맥스웰-볼츠만 분포

맥스웰-볼츠만
	확률밀도함수
	누적분포함수
매개변수
지지하다
PDF	(여기서 exp는 지수 함수)
CDF	(여기서 erf는 오차 함수)
의미하다
모드
분산
왜도
예. 첨도
엔트로피

맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann distribution)는 물리학에서 제임스 클러크 맥스웰과 루트비히 볼츠만의 이름을 딴 특별한 확률 분포입니다.

입자가 서로 또는 열 환경과 에너지와 운동량을 교환하는 매우 짧은 충돌을 제외하고는 고정된 용기 안에서 자유롭게 움직이는 이상적인 가스에서 입자 속도를 설명하는 데 처음 정의되어 사용되었습니다. 여기서 "입자"라는 용어는 기체 입자(원자 또는 분자)만을 지칭하며, 입자의 시스템은 열역학적 평형에 도달한 것으로 가정됩니다.^[1] 이러한 입자의 에너지는 맥스웰-볼츠만 통계로 알려진 것을 따르며 속도의 통계적 분포는 입자 에너지와 운동 에너지를 동일시하여 유도됩니다.

수학적으로 맥스웰-볼츠만 분포는 $T/m$ /m {\displaystyle $T/m}($ 온도와 입자 질량의 비율 $)$ 의 제곱근에 비례하는 단위로 속도를 측정하는 3개의 자유도(유클리드 공간의 속도 벡터 구성 요소)를 가진 카이 분포입니다.^[2]

맥스웰-볼츠만 분포는 압력과 확산을 포함한 많은 기본적인 기체 특성에 대한 단순한 설명을 제공하는 기체의 운동 이론의 결과입니다.^[3] 맥스웰-볼츠만 분포는 기본적으로 3차원 입자 속도에 적용되지만 입자의 속도(속도의 크기)에만 의존하는 것으로 나타났습니다. 입자 속도 확률 분포는 임의로 선택된 입자가 분포에서 임의로 선택된 속도를 가지며 다른 입자보다 한 속도 범위 내에 있을 가능성이 더 높습니다. 기체의 운동이론은 실제 기체의 이상화인 고전적인 이상기체에 적용됩니다. 실제 가스에서는 다양한 효과(예: 반데르발스 상호작용, 소용돌이 흐름, 상대론적 속도 제한 및 양자 교환 상호작용)가 있어 맥스웰-볼츠만 형태와 속도 분포가 다를 수 있습니다. 그러나 보통 온도에서 희유화된 가스는 이상적인 가스와 거의 유사하게 작용하며 맥스웰 속도 분포는 그러한 가스에 대한 훌륭한 근사치입니다. 이것은 충분히 낮은 밀도의 이온화된 가스인 이상적인 플라즈마에 대해서도 마찬가지입니다.^[4]

이 분포는 1860년 맥스웰에 의해 휴리스틱 기반으로 처음 도출되었습니다.^[5] 나중에 볼츠만은 1870년대에 이 분포의 물리적 기원에 대한 중요한 연구를 수행했습니다. 분포는 시스템의 엔트로피를 최대화한다는 근거로 유도될 수 있습니다. 파생상품 목록은 다음과 같습니다.

평균 $\langle H\rangle =E;$ ⟨ $H$ ⟩ = E; ${\$ displaystyle \ lang $H$ \rangle = E;}의 보존 제약을 갖는 위상 공간에서의 최대 엔트로피 확률 분포
표준 앙상블.

분배함수

열역학적 평형에 있는 동일한 비 상호작용적이고 상대론적이지 않은 고전적인 입자를 많이 포함하는 계의 경우, 크기 $v$ 의 속도 벡터를 중심으로 하는 3차원 속도 공간 $dv$ 의³ 무한소 요소 내 입자의 비율은 다음에 의해 주어집니다.

f(v)~d^{3}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}\right)~d^{3}v,

위치:

$m$ 은 입자 질량입니다.
$k$ 는 볼츠만 상수입니다.
$이것$ 은 열역학적 온도입니다.
$f (v)$ 는 모든 속도에 ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ $\int$ ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ ( ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ ) ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ d 3 v ${\textstyle \int f(v)\,$ d^{3}v}가 통일이 되도록 적절히 정규화된 확률 분포 함수입니다.

속도 확률 밀도는 298.15 K(25 °C)의 온도에서 몇 가지 비활성 가스의 속도의 함수입니다. y축은 s/m이므로 곡선의 어떤 구간 아래에 있는 면적(속도가 해당 범위에 있을 확률을 나타냅니다)은 무차원입니다.

속도 공간의 요소를 $표준$ 데카르트 좌표계에서의 속도에 대해 $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$ 3 $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$ = d $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$ x d v $v$ d z {\displaystyle d^{3}v = dv_{x}\, dv_{y}\, ω_{z}}로 쓸 수 있고, 표준 구면 좌표계에서의 속도에 대해 d 3 $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$ = v 2 d d dv {\displaystyle d^{3}v = v^{2}\, dv\, d\Omega }로 쓸 수 있습니다. $d\Omega$ 서 $d\Omega$ ω {\displaystyle d\Omega }은(는 $)$ 입체각의 요소입니다.

한 방향으로만 움직이는 입자에 대한 맥스웰 분포 함수는 이 방향이 $x$ 일 경우,

f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}\right)~dv_{x}

위의 3차원 형태를

v

와_y

v z

위에 적분하면 얻을 수 있습니다.

$f(v)$ $f(v)$ 의 대칭성을 인식하여 실각에 적분하여 속도의 확률 분포를 함수로^[6] 쓸 수 있습니다 $f(v)$

f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}\right).

이 확률 밀도 함수는 단위 속도당 $v$ 에 가까운 속도를 가진 입자를 발견할 확률을 제공합니다. 이 방정식은 ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ 매개변수 a = ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ T ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ / m $.$ {\textstyle a = {\sqrt {kT ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ }\,} 맥스웰-볼츠만 분포는 3개의 자유도와 척도 매개변수 a = k T / m인 chi 분포와 같습니다 ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$

분포에 의해 만족되는 가장 간단한 상미분 방정식은 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}&0=kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT),\\[4pt]&f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m}{2kT}\right);\end{aligned}

또는 단위 없는 프레젠테이션에서:

{\begin{aligned}&0=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]&f(1)={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{align}}

평균 값의 다윈-폴러 방법을 사용하면 맥스웰-볼츠만 분포가 정확한 결과로 얻어집니다.

2D 맥스웰-볼츠만 분포에 대한 이완

평면에서 이동하도록 제한된 입자의 경우 속도 분포는 다음과 같습니다.

P(s<{\vec {v}}<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}\right)ds

이 분포는 균형에 있는 시스템을 설명하는 데 사용됩니다. 그러나 대부분의 시스템은 평형 상태에서 시작하지 않습니다. 평형 상태를 향한 계의 진화는 볼츠만 방정식에 의해 지배됩니다. 이 방정식은 근거리 상호작용의 경우 평형 속도 분포가 맥스웰-볼츠만 분포를 따를 것이라고 예측합니다. 오른쪽은 900개의 단단한 구 입자가 직사각형 안에서 움직이도록 제약을 받는 분자동역학(MD) 시뮬레이션입니다. 그들은 완벽한 탄성 충돌을 통해 상호 작용합니다. 시스템은 평형 상태에서 초기화되지만 속도 분포(파란색)는 2D 맥스웰-볼츠만 분포(오렌지색)로 빠르게 수렴됩니다.

전형적인 속도

평균 $\langle v\rangle$ ⟨ v ⟩ ${\displaystyle$ \langle v\rangle }, 가장 가능성 있는 속도(모드) v 및 평균 제곱 속도 ⟨ v 2 ⟩ {\textstyle {\langle v^{2}\rangle }}는 맥스웰 분포의 속성에서 얻을 수 있습니다.

이것은 헬륨과 같은 거의 이상적인 단원자 기체뿐만 아니라 이원자 산소와 같은 분자 기체에도 잘 작동합니다. 이것은 더 큰 자유도로 인해 더 큰 열 용량(동일한 온도에서 더 큰 내부 에너지)에도 불구하고, 그들의 병진 운동 에너지(따라서 그들의 속도)는 변하지 않기 때문입니다.^[7]

가장 가능성 있는 $속도$ 인_p v는 계 내의 모든 분자(동일한 $질량$ m)가 가질 가능성이 가장 높은 속도이며 최대값 $또는$ f( $v$ )의 모드에 해당합니다 $.$ 이를 찾기 위해 도함수 ${\tfrac {df}{dv}},$ ${\tfrac {df}{dv}},$ ${\tfrac {df}{dv}$ 을(를) 0으로 설정하고 ${\tfrac {df}{dv}},$ $v$ 에 대해 다음을 해결합니다.
${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}\right)=0$
${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0$
솔루션을 사용하면 다음과 같습니다.
${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}$
${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$
위치:
- $R$ 은 가스 상수입니다.
- $M$ 은 물질의 몰 질량이므로 입자 질량, m $및$ 아보가드로 상수, N: $M=mN_{\mathrm {A} }.$ $=$ $M=mN_{\mathrm {A} }.$ $M=mN_{\mathrm {A} }.$ 의 곱으로 계산할 수 있습니다 $M=mN_{\mathrm {A} }.$ ${\$ displaystyle M $=$ mN_{\mathrm {A $}}$

이원자 질소의 경우(N₂, 공기의 주성분)^[8]을 상온(300 K)에서 제공합니다.

v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\{\text}J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.

평균 속도는 속도 분포의 예상 값으로, ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ = ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ a ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ = $m$ 2 k T {\textstyle b = {\frac {1} {2a^{2}} = {\frac {m}{2k $T$ ${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$
평균 제곱 $\langle v^{2}\rangle$ ⟨ $v2$ ⟩ {\ $displaystyle \langle$ v^{2}\rangle }은 속도 분포의 2차 원시 모멘트입니다. "근 평균 제곱 속도" $v_{\mathrm {rms} }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {$ rms}}}는 평균 운동 에너지를 가진 입자의 ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ 에 해당하는 평균 제곱 속도의 제곱근입니다. ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ = ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ a ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ = ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ 2 k T {\ $textstyle$ b = ${\frac {$ 1} {2a^{2}} = {\frac { $m$ }{2k $T$

{\begin{aligned}v_{\mathrm {rms}}&={\sqrt {\lang v^{2}\rangle}}=\left[\int_{0}^{\infty}v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}

일반적인 속도는 다음과 같습니다.

v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \ lang v\rangle <\ lang v\rangle < 108.5\%\ \ lang v\rangle \ approx v_{\mathrm {rms}}

평균 제곱근 속도는 기체의 $음속$ c와 직접적인 관계가 있습니다.

c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},

여기서 γ = 1

{\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}

+ 2 f {\textstyle \ gamma = 1+{\frac {2}{f}}는 단열 지수이고, f는 개별 기체 분자의 자유도 수이다. 위의 예에서 300 K,

f=5

=

f=5

{\

displaystyle f = 5}의 이원자 질소(대략 공기)와

c={\sqrt {\frac {7}{15}}v_{\mathrm {rms}}\approx 68\%\v_{\mathrm {rms}\approx 84\%\v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s},

공기의 실제 값은 300K에서 347m/s를 산출하는 공기의 평균 몰 중량(29g/mol)을 사용하여 근사적으로 계산할 수 있습니다(가변 습도에 대한 보정은 0.1%~0.6%).

평균 상대속도

{\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle  {\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2} \rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left {\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langlev\rangle \end{aligned}}

여기서 3차원 속도 분포는

f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}\right).

The integral can easily be done by changing to coordinates ${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ and ${\vec {U}}={\tfrac {{\vec {v}}_{1}\,+\,{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

파생 및 관련 분포

맥스웰-볼츠만 통계

1860년 제임스 클러크 맥스웰에 의해 최초로 유도된 것은 기체의 운동 이론과 속도 분포 함수의 특정 대칭에 기초한 주장이었습니다. 맥스웰은 또한 이러한 분자 충돌이 평형을 향한 경향을 수반한다는 초기 주장을 내놓았습니다.^[5]^[10] 맥스웰에 이어 1872년^[11] 루트비히 볼츠만도 역학적 근거에 의한 분포를 유도하고, 시간이 지남에 따라 기체가 충돌로 인해 이러한 분포로 향해야 한다고 주장했습니다(H-정리 참조). 그는 후에(1877)^[12] 통계 열역학의 틀 아래서 분포를 다시 유도했습니다. 이 절의 유도는 맥스웰-볼츠만 통계(통계 열역학에서)로 알려진 결과로 시작하여 볼츠만의 1877년 유도를 따른 것입니다. 맥스웰-볼츠만 통계는 주어진 단일 입자 미세 상태에서 발견되는 입자의 평균 수를 제공합니다. 특정한 가정 하에서, 주어진 미세 상태에 있는 입자들의 비율의 로그는 시스템의 온도에 대한 해당 상태의 에너지의 비율에 선형입니다. $상수$ k{\ $displaystyle$ k $}$ 와 $k$ C{\ $displaystyle$ C}가 $C$ 있어서, $모든$ i에 대하여 $i$

-\log \left ({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}\cdot {\frac {E_{i}}{T}+C.

이 방정식의 가정은 입자들이 상호작용하지 않는다는 것과 고전적이라는 것입니다. 이것은 각 입자의 상태가 다른 입자의 상태로부터 독립적으로 고려될 수 있다는 것을 의미합니다. 또한 입자는 열 평형 상태에 있는 것으로 가정됩니다.^[1]^[13]

이 관계는 정규화 계수를 도입하여 방정식으로 쓸 수 있습니다.

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left (-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}{\displaystyle \sum_{j}\exp \left(-{\tfrac {E_{j}}{kT}\right)}}

(1)

위치:

$N$ 은_i 단일 입자 미세 상태 $i$ 의 예상 입자 수이고,
$N$ 은 계의 총 입자 수이다.
$E$ 는_i 미세 상태 $i$ 의 에너지입니다.
지수 $j$ 에 대한 합계는 모든 미시 상태를 고려한 것이고,
$T$ 는 계의 평형온도이고,
$k$ 는 볼츠만 상수입니다.

$N_{i}:N$ (1)의 분모는 $N_{i}:N$ $N_{i$ 비율이 되도록 정규화 계수입니다. $N}$ 은 $N_{i}:N$ (는) 통일성에 더해집니다. 즉, (단일 입자 시스템의 경우 전체 시스템의 일반적인 분할 기능이 아니라) 일종의 분할 기능입니다.

속도와 속도는 에너지와 관련이 있기 때문에 식 (1)을 사용하여 온도와 가스 입자의 속도 사이의 관계를 도출할 수 있습니다. 필요한 것은 운동량 공간을 같은 크기의 영역으로 나누어 결정하는 에너지 내 미세 상태의 밀도를 발견하는 것입니다.

운동량 벡터에 대한 분포

퍼텐셜에너지가 0이 되어 모든 에너지가 운동에너지의 형태가 됩니다. 거대한 비상대론적 입자에 대한 운동 에너지와 운동량 사이의 관계는

E={\frac {p^{2}}{2m}

(2)

여기서 $p$ 는 운동량 벡터 $p$ = [ $p$ , p, p $]$ 의 제곱입니다. 따라서 식 (1)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}\right)

(3)

위치:

$Z$ 는 식 (1)의 분모에 해당하는 분할 함수입니다.
$m$ 은 기체의 분자 질량입니다.
$T$ 는 열역학적 온도입니다.
$k$ 는 볼츠만 상수입니다.

$이러한 i$ N: $N$ 의 분포는 운동량 성분 값을 갖는 분자를 찾는 확률 밀도 함수 $f$ 에_p 비례하므로 다음과 같습니다.

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}\right)

(4)

분자가 어느 정도 운동량을 가질 확률이 1이어야 한다는 것을 인식함으로써 정규화 상수를 결정할 수 있습니다. 모든 p, p, p에 $대하여 x$ ( $4 y$ )의_z 지수를 적분하면 다음과 같은 인수가 생성됩니다.

\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}{\Bigr}}^{3}

정규화된 분포 함수는 다음과 같습니다.

$12 π$ $T}}\right)}$ ( $f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)$ 6)

분포는 분산 $mkT$ $mkT$ 인 $p_{z}$ 세 개의 독립적인 정규 분포 변수 $p_{x}$ ${\$ $p_{y}$ ${\$ $p_{z}$ ${\$ 의 곱으로 보입니다 $mkT$ 추가적으로, $a={\sqrt {mkT}}$ 의 크기는 = mk T {\ $a={\sqrt {mkT}}$ a $a={\sqrt {mkT}}$ = {\sqrt {와 함께 맥스웰-볼츠만 분포로 분포할 것임을 알 수 있습니다. $T$ 운동량에 대한 맥스웰-볼츠만 분포(또는 속도에 대해서도 동일)는 기체의 운동 이론 프레임워크 내에서 평형에서 H-정리를 사용하여 보다 근본적으로 얻을 수 있습니다.

에너지 분포

에너지 분포가 당당한 것으로 나타났습니다.

f_{E}(E)\,dE=f_{p}({\textbf {p}})\,d^{3}{\textbf {p}},

(7)

$d^{3}{\textbf {p}}$ 서 $d^{3}{\textbf {p}}$ $d^{3}{\textbf {p}}$ ${\$ 는 $d^{3}{\textbf p}$ 에너지 간격 $dE$ 에 해당하는 운동량의 무한소 위상 공간 부피입니다. 에너지- momentum 분산 관계 E = $E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},$ $E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},$ m, {\displaystyle E = {\tfrac {\textbf {p} ^{2}} {2m}} 이는 dE로 표현할 수 있습니다.

d^{3}{\textbf {p}}=4\pi  {\textbf {p}} ^{2}d {\textbf {p}} =4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE.

(8)

(7)의 (8)을 사용하여 모든 것을 에너지 $E$ 로 표현하면, 우리는

{begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[2pt]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}\right)\,dE\end{aligned}

그리고 마지막으로

$π$ $T}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{k$ $T}}\right)}$ ( $f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)$ 9)

에너지는 세 개의 정규 분포 운동량 성분의 제곱의 합에 비례하기 때문에 이 에너지 분포는 모양 매개변수 $k_{\text{shape}}=3/2$ $k_{\text{shape}}=3/2$ = 3 $k_{\text{shape}}=3/2$ / $k_{\text{shape}}=3/2$ 2 {\displaystyle k_{\text{shape}= 3/2} 및 척도 매개변수 θ 척도 = k T를 사용하여 감마 분포와 동등하게 기록할 수 있습니다 $\theta _{\text{scale}}=kT.$ ${\displaystyle \theta _{\text{scale}}=kT.$ $}$

등분배 정리를 사용하여 에너지가 평형의 세 자유도 모두에 균등하게 분포되어 있음을 감안할 때, 우리는 $f_{E}(E)dE$ F ( $f_{E}(E)dE$ $f_{E}(E)dE$ {\ $displaystyle f_{E}(E)dE}$ 를 카이제곱 분포의 집합으로 $f_{E}(E)dE$ 분할할 수 있으며, 여기서 자유도당 에너지는, $ε$ 는 자유도가 1개인 카이 $squared$ 분포로 분포되어 있고,

f_{\varepsilon}(\varepsilon)\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon kT}}~\exp \left (-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)\,d\varepsilon

평형 상태에서 이 분포는 어떤 자유도에서도 성립합니다. 예를 들어, 입자가 고정 쌍극자 모멘트의 강체 질량 쌍극자일 경우, 입자는 3개의 병진 자유도와 2개의 추가 회전 자유도를 갖게 됩니다. 각 자유도에서의 에너지는 1 자유도를 갖는 위의 카이제곱 분포에 따라 설명되고, 총 에너지는 5 자유도를 갖는 카이제곱 분포에 따라 분배될 것입니다. 이것은 기체의 비열 이론에 영향을 미칩니다.

속도 벡터에 대한 분포

속도확률밀도 $f$ 가_v 운동량확률밀도함수에 비례한다고 인식하는 것은

f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v

$그리고$ p = $mv$ 를 사용하면 우리는 얻을 수 있습니다.

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}\right)$

맥스웰-볼츠만 속도 분포입니다. $속도$ $v$ = [ $v$ , v, v]에 대한 무한소 원소 $[$ dv,dv, dv]에서 속도를 갖는 입자를 발견할 확률은

f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.

운동량과 마찬가지로 이 분포는 세 개의 독립적인 정규 분포 변수 $v_{x}$ ${\$ $v_{y}$ ${\$ 및 $v_{z}$ ${\$ 의 곱으로 보이지만 ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$ $v_{z}$ k ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$ ${\$ $T}{m$ 벡터 속도 [ $v x,$ $v y,$ $v z]$ 에 대한 맥스웰-볼츠만 속도 분포는 세 방향 각각에 대한 분포의 곱임을 알 수 있습니다.

f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})

단일 방향에 대한 분포가 존재하는 경우

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}\right).

속도 벡터의 각 구성 요소는 $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ μ $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ = μ $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ = $μ$ $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ = 0 {\displaystyle \ $mu$ _ ${v_{x$ }}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}=0} 및 표준 편차 σ v x = σ v y = σ v z = k T m {\textstyle \sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}= {\sqrt ${\frac {k$ $T}{m$ 따라서 벡터는 $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ μ $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ $=$ 0 ${\$ displaystyle \ $mu$ _ ${\mathbf {v}$ $=$ \mathbf ${$ 0} $σ$ 및 공분산 $({$ V $=$ (k T m) I {\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} $=$ \left $({$ \frac {k $T}{m}\right)$ $I$ 여기서 $I$ ${\displaystyle$ I $}$ 는 $I$ 3 × 3 항등 행렬입니다.

속도에 대한 분포

속도에 대한 맥스웰-볼츠만 분포는 위의 속도 벡터 분포로부터 바로 뒤를 따릅니다. 속도는 다음과 같습니다.

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}

그리고 구면 좌표의 부피 요소.

dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega

여기서

\phi

ϕ

{\displaystyle

\

}

및 θ

{\

displaystyle \theta }은 속도 벡터의 구면 좌표 각도입니다. 실선

d\Omega

에 대한 속도의 확률 밀도

함수의 적분

D ω {\displaystyle

d\Omega

d\Omega}은 4

4\pi

π

4\pi

4\pi}의

4\pi

계수

를 산출합니다. 벡터 성분의 제곱의 합에 대한 속도의 대체와 함께 속도 분포:

$f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}\right).$

n차원 공간에서

n차원 공간에서 맥스웰-볼츠만 분포는 다음과 같습니다.

f(v)~d^{n}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {n}{2}}\,\exp \left(-{\frac {m v ^{2}}{2kT}\right)~d^{n}v

속도 분포는 다음과 같습니다.

f(v)~ dv={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\times v^{n-1}~dv

다음 적분 결과가 유용합니다.

{\begin{aligned}\int_{0}^{+\infty}v^{a}\exp \left (-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}

여기서

\Gamma (z)

γ(z)

{\displaystyle \Gamma

(z

)}

는 Gamma 함수입니다. 이 결과는 속도 분포 함수의 모멘트를 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

{\begin{aligned}\lang v\rangle &={\frac {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}v\cdot v^{n-1}\exp \left (-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {2kT}{m}}\{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}\end{aligned}}

이는 평균 속도

{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

의

{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

=

{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

⟨

{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

⟩ =

2k

T M γ (n + 12) γ (n 2)입니다. {\textstyle v_{\mathrm {avg} =\lang v\rangle = {\sqrt {\frac {2k

T}{m}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}

{\begin{aligned}\lang v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left (-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}

루트 mean 제곱

{\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}

{\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}

= ⟨

v2

⟩ = nk Tm {\textstyle v_{\

rm

{rms}}={\sqrt {\lang v^{2

}\rangle

}}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}

속도 분배 함수의 도함수:

{\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT})\right){\biggl[}-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0

이렇게 하면 가장 가능성 있는 속도(모드) ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$ = ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$ ( ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$ - $1) k$ Tm. {\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)k $T}{m}}}.$

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b 통계물리학(제2판), F. Mandl, 맨체스터 물리학, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780471915331
^ 대학 물리 – 현대 물리학과 함께 (12판), H.D. Young, R.A. Freedman (원판), Addison-Wesley (Pearson International), 1판: 1949, 12판: 2008, ISBN 978-0-321-50130-1
^ 물리학 백과사전 (제2판), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC 출판사, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)
^ N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, President of Plasma Physics, Inc., San Francisco Press, 1986, 기본적인 플라즈마 물리학에 관한 많은 다른 텍스트들 중.
^ ^a ^b
참조:
- 맥스웰, J.C. (1860 A): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 1부. 완벽한 탄성 구면의 움직임과 충돌에 관한 것입니다. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 4번째 시리즈, vol. 19, pp. 19–32. [1]
- 맥스웰, J.C. (1860 B): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 2부. 두 종류 이상의 움직이는 입자들이 서로 간에 확산되는 과정. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 제4저, 20권, 21-37쪽. [2]
^ H.J.W. Müller-Kirsten (2013), 통계물리학 기초, 제2판, 세계과학, ISBN 978-981-4449-53-3, 제2장
^ Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn & Chris Vuille (2011). College Physics, Volume 1 (9th ed.). p. 352. ISBN 9780840068484.
^ 계산은 질소가 이원자임에도 영향을 받지 않습니다. 단원자 기체에 비해 이원자 기체의 열용량(동일한 온도에서 더 큰 내부 에너지)에도 불구하고 자유도가 더 크기 때문에 ${{3RT} \over {M_{\text{m}}}}$ M ${\$ { $3$ 스타일 $RT} \over {M_{\text{m}}}$ 는 여전히 평균 병진 운동 에너지입니다 ${{3RT} \over {M_{\text{m}}}}$ . 질소가 이원자인 것은 몰 질량 $M$ = $28$ g/mol의 값에만 영향을 미칩니다. 예: K. Prakashan, Engineering Physics(2001), 2.278 참조.
^ 실온에서 질소는 "강체" 이원자 기체로 간주되며, 3개의 번역기체 외에 2개의 회전 자유도가 추가되며, 진동 자유도는 접근할 수 없습니다.
^ Gyenis, Balazs (2017). "Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium". Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID 38272381.
^ L. Boltzmann, "가스몰레쿨렌의 바이테레스터디엔 über das Wärmegleichgeichtunter Gasmolekülen." 빈의 Sitzungsberichte der Kaiserlichen Academyier der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Classse, 66, 1872, pp. 275–370.
^ 볼츠만, L., "위베르 디 베지흥 즈비첸 뎀즈바이텐 하우프트사츠 데어 메카니첸 베르메테오리, 와르셰인리히케이츠레크능 레스펙티브 덴 새젠 다스 베르메글라이히게이츠". 마테슈-나투르비센샤프틀라이체 클라세 빈에 있는 시종스베리히테 데어 카이저리첸 아카데미에어 비센샤프텐. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. 비센샤프트클릭 아반드룽겐, Vol. II, pp. 164–223, 라이프치히: Barth, 1909. 번역은 http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf 에서 가능합니다.
^ McGraw Hill Encyclopedia of Physics (2판), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
^ Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. p. 434. ISBN 0-521-84635-8.Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. p. 434. ISBN 0-521-84635-8.부록 N, 434페이지

외부 링크

Mathworld의 Wolfram 데모 프로젝트의 "Maxwell Speed Distribution"

[StatisticalPhysics-1] 통계물리학(제2판), F. Mandl, 맨체스터 물리학, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780471915331

[2] 대학 물리 – 현대 물리학과 함께 (12판), H.D. Young, R.A. Freedman (원판), Addison-Wesley (Pearson International), 1판: 1949, 12판: 2008, ISBN 978-0-321-50130-1

[3] 물리학 백과사전 (제2판), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC 출판사, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)

[4] N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, President of Plasma Physics, Inc., San Francisco Press, 1986, 기본적인 플라즈마 물리학에 관한 많은 다른 텍스트들 중.

[Maxwell-5] 참조:
맥스웰, J.C. (1860 A): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 1부. 완벽한 탄성 구면의 움직임과 충돌에 관한 것입니다. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 4번째 시리즈, vol. 19, pp. 19–32. [1]

맥스웰, J.C. (1860 B): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 2부. 두 종류 이상의 움직이는 입자들이 서로 간에 확산되는 과정. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 제4저, 20권, 21-37쪽. [2]

[6] 맥스웰, J.C. (1860 A): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 1부. 완벽한 탄성 구면의 움직임과 충돌에 관한 것입니다. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 4번째 시리즈, vol. 19, pp. 19–32. [1]

[7] 맥스웰, J.C. (1860 B): 기체의 역학 이론에 대한 삽화. 2부. 두 종류 이상의 움직이는 입자들이 서로 간에 확산되는 과정. 런던, 에딘버러, 더블린 철학 잡지와 과학 저널, 제4저, 20권, 21-37쪽. [2]

[6] H.J.W. Müller-Kirsten (2013), 통계물리학 기초, 제2판, 세계과학, ISBN 978-981-4449-53-3, 제2장

[7] Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn & Chris Vuille (2011). College Physics, Volume 1 (9th ed.). p. 352. ISBN 9780840068484.

[8] 계산은 질소가 이원자임에도 영향을 받지 않습니다. 단원자 기체에 비해 이원자 기체의 열용량(동일한 온도에서 더 큰 내부 에너지)에도 불구하고 자유도가 더 크기 때문에 ${{3RT} \over {M_{\text{m}}}}$ M ${\$ { $3$ 스타일 $RT} \over {M_{\text{m}}}$ 는 여전히 평균 병진 운동 에너지입니다 ${{3RT} \over {M_{\text{m}}}}$ . 질소가 이원자인 것은 몰 질량 $M$ = $28$ g/mol의 값에만 영향을 미칩니다. 예: K. Prakashan, Engineering Physics(2001), 2.278 참조.

[9] 실온에서 질소는 "강체" 이원자 기체로 간주되며, 3개의 번역기체 외에 2개의 회전 자유도가 추가되며, 진동 자유도는 접근할 수 없습니다.

[10] Gyenis, Balazs (2017). "Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium". Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID 38272381.

[11] L. Boltzmann, "가스몰레쿨렌의 바이테레스터디엔 über das Wärmegleichgeichtunter Gasmolekülen." 빈의 Sitzungsberichte der Kaiserlichen Academyier der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Classse, 66, 1872, pp. 275–370.

[12] 볼츠만, L., "위베르 디 베지흥 즈비첸 뎀즈바이텐 하우프트사츠 데어 메카니첸 베르메테오리, 와르셰인리히케이츠레크능 레스펙티브 덴 새젠 다스 베르메글라이히게이츠". 마테슈-나투르비센샤프틀라이체 클라세 빈에 있는 시종스베리히테 데어 카이저리첸 아카데미에어 비센샤프텐. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. 비센샤프트클릭 아반드룽겐, Vol. II, pp. 164–223, 라이프치히: Barth, 1909. 번역은 http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf 에서 가능합니다.

[13] McGraw Hill Encyclopedia of Physics (2판), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

[14] Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. p. 434. ISBN 0-521-84635-8.Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. p. 434. ISBN 0-521-84635-8.부록 N, 434페이지

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