등전 정리

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고전적인 통계 역학에서, 설비 정리는 시스템의 온도를 그것의 평균 에너지와 연관시킨다.등전 정리는 등전, 에너지의 등전 또는 단순 등전 법칙으로도 알려져 있다.장비화의 원래 아이디어는 열 평형에서 에너지가 모든 다양한 형태에서 균등하게 공유된다는 것이었다. 예를 들어, 분자의 변환 운동에서 자유도 당 평균 운동 에너지는 회전 운동에서와 같아야 한다.

등전 정리는 정량적 예측을 한다.정열 정리처럼 특정 온도에서 시스템에 대한 총 평균 운동 에너지와 전위 에너지를 제공하며, 여기에서 시스템의 열 용량이 계산된다.그러나, 등전성은 특정 입자의 운동 에너지 또는 단일 스프링의 잠재적 에너지와 같은 에너지의 개별 구성 요소의 평균 값도 제공한다.예를 들어, 단원자 이상 기체의 모든 원자는 열 평형에서 평균 운동 에너지가 (3/2)kT이며_B, 여기서 k는_B 볼츠만 상수, T는 (열역학) 온도라고 예측한다.보다 일반적으로, 설비는 열 평형 상태에서 어떤 고전적인 시스템에도 적용될 수 있다.그것은 고체의 특정 열 용량에 대한 이상적인 가스 법칙과 둘롱-페티트 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있다.등전 정리도 상대론적 효과를 고려할 때에도 보유하기 때문에 항성, 심지어 백색 왜성과 중성자 별의 성질을 예측하는 데 사용될 수 있다.

등전 정리는 특정 조건에서 정확한 예측을 하지만 저온에서처럼 양자 효과가 유의할 때는 정확하지 않다.열 에너지 kT가_B 특정 자유도에서 양자 에너지 간격보다 작은 경우, 이 자유도의 평균 에너지와 열 용량은 장비화에 의해 예측된 값보다 작다.이 정도의 자유도는 열 에너지가 이 간격보다 훨씬 작을 때 "냉동"된다고 한다.예를 들어, 고체의 열 용량은 다양한 형태의 운동이 냉동되면서 낮은 온도에서 감소한다.이러한 열용량의 감소는 19세기 물리학자들에게 고전 물리학이 부정확하고 보다 교묘하고 과학적인 새로운 모델이 필요하다는 최초의 신호 중 하나였다.다른 증거와 함께, 장비화가 흑체 방사선을 모형화하지 못한 것, 즉 자외선 파국으로 알려진 것 역시 맥스 플랑크가 빛을 방출하는 물체의 오실레이터에서 에너지가 정량화되었다는 것을 암시하도록 유도했는데, 이것은 양자역학과 양자장 이론의 발전에 박차를 가한 혁명적인 가설이다.

기본 개념 및 간단한 예

"등분"이라는 명칭은 "등분"을 의미하며, 이전의 æquus("등분 또는 짝수")에서 라틴어 qui에서 유래한 것이며, 명사 partitio("등분, 부분")로부터의 분할을 의미한다.^[1][2]장비화의 원래 개념은 시스템이 열 평형에 도달하면 평균적으로 어떤 시스템의 전체 운동 에너지가 모든 독립된 부분들 간에 균등하게 공유된다는 것이었다.등전기는 또한 이러한 에너지에 대한 정량적 예측을 한다.예를 들어, 온도 T에서 열 평형 상태에 있는 불활성 귀족 기체의 모든 원자는 평균 (3/2)kT의_B 변환 운동 에너지를 가지고 있으며 여기서 k는_B 볼츠만 상수라고 예측한다.그 결과 운동에너지는 1/2(질량)(속도)과 같기 때문에 크세논의 무거운 원자는 같은 온도에서 헬륨의 가벼운 원자에 비해 평균속도가 낮다.²그림 2는 네 개의 고귀한 기체에서 원자의 속도에 대한 맥스웰-볼츠만 분포를 보여준다.

이 예에서 핵심은 운동 에너지가 속도에서 이차적이라는 것이다.등전 정리는 열 평형에서 에너지에서 2차적으로만 나타나는 임의의 자유도(입자의 위치나 속도의 구성 요소 등)가 평균적인 에너지를 가지고 있음을 보여준다.따라서 시스템의 열 용량에 1⁄2k를_BB 기여한다.이것은 응용 프로그램이 많다.

변환 에너지 및 이상적인 가스

질량 m, 속도 v의 입자의 (뉴턴식) 운동에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m \mathbf{v}{v}={1}{{1}:{2}}m\좌측(v_{x}^{2}+v_{z}^{2}+v_{z}^{2}\rig}\오른쪽)}}$

여기서 v_x, v_y 및 v는_z 속도 v의 데카르트 성분이다.여기서 H는 해밀턴의 줄임말이며, 해밀턴의 형식주의는 가장 일반적인 형태의 등전 정리에서 중심적인 역할을 하기 때문에 그 후로는 에너지의 상징으로 사용된다.

운동 에너지는 속도 구성 요소에서 이차적이므로, 이 세 가지 구성 요소는 각각 열 평형에서 평균 운동 에너지에 1⁄2kT를_B 기여한다.따라서 입자의 평균 운동 에너지는 위의 고귀한 기체의 예에서와 같이 (3/2)kT이다_B.

보다 일반적으로, 단원자 이상 기체에서 총 에너지는 순수하게 (변환적) 운동에너지로 구성된다: 가정으로, 입자들은 내부 자유도가 없고 서로 독립적으로 움직인다.따라서 Equipartition은 N 입자의 이상적인 기체의 총 에너지는 (3/2)N k_B T라고 예측한다.

따라서 기체의 열 용량은 (3/2)N k이고_B, 따라서 특히 그러한 기체 입자의 몰의 열 용량은 (3/2)Nk_AB = (3/2)R이며, 여기서_A N은 아보가드로 상수, R은 기체 상수다.R ≈ 2 cal/(mol·K)이기 때문에, 이상 기체의 어금니 열용량은 대략 3 cal/(mol·K)로 예측한다.이 예측은 단원자 가스와 비교했을 때 실험에 의해 확인된다.^[3]

평균 운동 에너지는 또한 기체 입자의 평균 제곱 속도 v를_rms 계산할 수 있다.

${\displaystyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\angle }}}}={\sqrt {\frac {3k_{B}}T}{m}}={\sqrt {\frac{3}RT}{M}},}$

여기서 M = Nm은_A 가스 입자의 몰의 질량이다.이 결과는 우라늄 농축 방법을 제공하는 Graham의 유출 법칙과 같은 많은 응용에 유용하다.^[4]

용액의 회전 에너지 및 분자 텀블링

유사한 예가 관성₁ I, I₂, I의₃ 주요 모멘트를 가진 회전 분자에 의해 제공된다.그러한 분자의 회전 에너지는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle H_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{1}2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+)I_{2}\오메가_{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}$

여기서 Ω₁, Ω₂ 및 Ω은₃ 각 속도의 주요 성분이다.변환 사례에서와 정확히 같은 추론에 의해, 등전화는 열 평형에서 각 입자의 평균 회전 에너지가 (3/2)kT임을_B 암시한다.마찬가지로, 등전 정리에서는 분자의 평균(더 정확히 말하면, 뿌리 평균 제곱) 각도 속도를 계산할 수 있다.^[5]

경성 분자의 텀블링, 즉 용액 내 분자의 무작위 회전은 핵자기 공명, 특히 단백질 NMR과 잔류 2극 커플링에 의해 관찰되는 이완에 핵심적인 역할을 한다.^[6]회전 확산은 형광 음이소트로피, 유량 이등분광 및 유전 분광법 같은 다른 생물물리학적 탐침에도 의해 관찰될 수 있다.^[7]

전위 에너지 및 조화 진동자

등전위는 운동 에너지뿐만 아니라 전위 에너지에도 적용된다. 중요한 예로는 2차 전위 에너지를 갖는 스프링과 같은 고조파 발진기가 있다.

${\displaystyle H_{\text{pot}={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,}$

여기서 상수 a는 스프링의 경직성과 q는 평형으로부터의 편차를 나타낸다.만약 그러한 1차원 시스템이 질량 m을 가지고 있다면, 그 운동 에너지 H는_kin

${\displaystyle H_{\text{kin}}={\frac {1}{1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}},}$

여기서 v와 p = mv는 오실레이터의 속도와 모멘텀을 나타낸다.이 항들을 결합하면 총 에너지가^[8] 산출된다.

${\displaystyle H=H_{\text{kin}}+H_{\text{pot}}={\frac {p^{2}}:{2m}+{\frac {1}{1}{2}}aq^{2}.}$

따라서 등전기는 열 평형 상태에서 오실레이터에 평균 에너지가 있음을 의미한다.

${\displaystyle \langle H\rangele =\langle H_{\text{kin}}\langle H_{\text{pot}\langle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,}$

여기서 각괄호 $⟨{\displaystyle }$ …${\displaystyle ⟩}${ { \$displaystyle \left\langle \ldots \right\rangle }$은 동봉된 수량의 평균을 나타낸다$$.^[9]

이 결과는 진자, 진동 분자 또는 패시브 전자 진동자와 같은 모든 유형의 고조파 오실레이터에 유효하다.그러한 오실레이터의 시스템은 많은 상황에서 발생한다. 장비에 의해 각 오실레이터는 평균 총 에너지 kT를_B 받게 되며, 따라서 시스템의 열 용량에_B k를 기여한다.이는 존슨-나이키스트 소음^[10] 공식과 고체 열 용량의 둘롱-페티트 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있다.후자의 적용은 특히 장비 역사에서 중요했다.

고형물의 특정 열 용량

장비 정리의 중요한 적용은 결정 고체의 특정 열 용량에 적용된다.그러한 고체의 각 원자는 3개의 독립된 방향으로 진동할 수 있으므로 고체는 3N의 독립된 단순 고조파 오실레이터의 체계로 볼 수 있으며, 여기서 N은 격자 안의 원자의 수를 나타낸다.각 고조파 오실레이터는 평균 에너지 kT를_B 가지므로 고체의 평균 총 에너지는 3NkT이며_B, 열 용량은 3Nk이다_B.

N은 아보가드로 나디아 상수고, 가스의 상관 관계 R)NAkB를 사용함으로써 R및 볼츠만 상수 kB, 이 고체의면 건실한 요소의 비열 용량(단위 질량당)는 그의 원자 wei에 비례한다고 밝혔다 비열 용량의 Dulong–Petit 법에 대한 설명을 제공하고 있고 상수입니다.ght.현대판으로는 고체의 어금니 열용량은 3R ≈ 6 cal/(mol·K)이다.

그러나 이 법칙은 양자 효과로 인해 낮은 온도에서 부정확하다; 그것은 또한 실험적으로 도출된 열역학 제3법칙과도 일치하지 않는다. 열역학 제3법칙에 따르면 어떤 물질의 어금니 열용량은 온도가 절대 0이 될 때 0이 되어야 한다.^[10]양자 효과를 통합한 보다 정확한 이론은 알버트 아인슈타인(1907)과 피터 데비예(1911)에 의해 개발되었다.^[11]

다른 많은 물리적 시스템은 결합된 오실레이터의 집합으로 모델링될 수 있다.그러한 오실레이터의 동작은 피아노 스트링의 진동 모드나 오르간 파이프의 공명처럼 정상 모드로 분해될 수 있다.반면에, 정상 모드 간에는 에너지 교환이 없기 때문에 그러한 시스템에서는 장비화가 종종 고장난다.극단적인 상황에서는 모드는 독립적이기 때문에 그들의 에너지는 독립적으로 보존된다.이것은 공식적으로 인간성이라고 불리는 어떤 종류의 에너지의 혼합이 장비화의 법칙을 지탱하는 데 중요하다는 것을 보여준다.

입자의 침전

잠재적 에너지가 그 위치에서 항상 이차적인 것은 아니다.그러나, 설비 정리에서는 자유도 x가 에너지에 x의^s 배수(고정 실수의 경우 s)만 기여한다면, 열 평형에서 그 부분의 평균 에너지는 kT_B/s이다.

중력 아래의 입자 침전물에는 이 연장선의 간단한 적용이 있다.^[12]예를 들어 맥주에서 가끔 볼 수 있는 아지랑이는 빛을 흩뿌리는 단백질 덩어리가 원인일 수 있다.^[13]시간이 흐르면서, 이 덩어리들은 중력의 영향을 받아 아래로 가라앉고, 병의 윗부분보다 아래쪽에 더 많은 아지랑이를 일으킨다.그러나, 반대 방향으로 작용하는 과정에서, 입자들은 병의 윗부분을 향해 다시 확산된다.평형에 도달한 후에는 장비 정리를 사용하여 부력 질량 m의_b 특정 덩어리의 평균 위치를 결정할 수 있다.무한히 키가 큰 맥주병의 경우 중력 전위 에너지는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle H^{\mathrm {grav}}=m_{\rm {b}gz\,}$

여기서 z는 병 안의 단백질 덩어리의 높이, g는 중력에 의한 가속이다.s = 1이므로 단백질 덩어리의 평균 전위 에너지는 kT와_B 같다.따라서 부력 질량이 10MDa(거의 바이러스 크기)인 단백질 덩어리는 평형 상태에서 평균 높이가 약 2cm인 아지랑이를 생성하게 된다.평형으로의 침전 과정은 메이슨-위버 방정식으로 설명된다.^[14]

역사

이 글은 열용량에 비 SI 단위인 cal/(mol·K)를 사용하는데, 이는 한 자릿수에 대한 정확도가 높기 때문이다.
J/(mol·K)의 해당 SI 단위에 대한 대략적인 변환을 위해, 그러한 값을 4.2 J/cal로 곱해야 한다.

운동 에너지의 장착은 1843년에 처음 제안되었고, 1845년에 존 제임스 워터스턴에 의해 보다 정확하게 제안되었다.^[15]1859년 제임스 서점 맥스웰은 기체의 운동 열 에너지가 선형 에너지와 회전 에너지로 균등하게 구분된다고 주장했다.^[16]1876년 루드비히 볼츠만은 어떤 시스템에서 운동의 모든 독립적 요소들 사이에서 평균 에너지가 균등하게 나누어져 있다는 것을 보여줌으로써 이 원리에 따라 확장되었다.^[17][18]볼츠만은 고체의 특정 열 용량에 대한 둘롱-페티트 법칙의 이론적 설명을 제공하기 위해 등전 정리를 적용했다.

설비정리의 역사는 19세기에 연구된 특정 열용량의 역사와 얽혀 있다.1819년 프랑스 물리학자 피에르 루이 둘롱과 알렉시스 테레스 쁘띠는 실온에서 고체 원소의 특정 열 용량이 원소의 원자량에 반비례한다는 사실을 발견했다.^[20]그들의 법은 원자 무게를 측정하는 기법으로 여러 해 동안 사용되었다.^[11]그러나 제임스 드워와 하인리히 프리드리히 베버의 후속 연구는 이 둘롱-페티트 법칙이 고온에서만 유지된다는 것을 보여주었다;^[21] 낮은 온도에서 또는 다이아몬드 같은 예외적으로 단단한 고형물의 경우, 특정 열 용량은 더 낮았다.^[22]

가스의 특정 열 용량에 대한 실험적인 관찰은 또한 설비 정리의 타당성에 대한 우려를 불러일으켰다.정리는 단순한 단원자 기체의 어금니 열 용량은 대략 3 cal/(mol·K)이어야 하는 반면, 이원자 기체의 어금니 열 용량은 대략 7 cal/(mol·K)이어야 한다고 예측한다.실험 결과 이전의 예측은 확인되었으나,^[3] 이원자 가스의 어금니 열 용량은 일반적으로 약 5 cal/(mol·K)이었으며,^[23] 매우 낮은 온도에서 약 3 cal/(mol·K)로 떨어졌다.^[24]맥스웰은 1875년에 실험과 등분배 정리 간의 차이 많이 심지어 이들 숫자를 보고짐작보다 더 악화되었다;그 원자 내부 부속이 있[25], 열 에너지 이러한 내부 부품의 운동으로, 그리고 이원자 일원자 기체의 예상 비열은 3cal(mol·K)과 7cal/보다 더 많은 기부 가야 한다고 말했다.(mo각각 l.K.

세 번째 불일치는 금속의 특정 열에 관한 것이었다.^[26]고전적인 드루드 모델에 따르면 금속 전자는 거의 이상적인 기체로 작용하므로, N은_e 전자의 수인 등전 정리에 의해 열 용량에 (3_eB/2)Nk를 기여해야 한다.그러나 실험적으로 전자는 열 용량에 거의 기여하지 않는다: 많은 도체와 절연체의 어금니 열 용량은 거의 같다.^[26]

어금니 열 용량을 설명하지 못하는 설비에 대한 몇 가지 설명이 제안되었다.볼츠만은 자신의 장비 정리의 파생이 옳다고 옹호하면서도 기체가 에테르와의 상호작용 때문에 열 평형 상태에 있지 않을 수도 있다고 제안했다.^[27]켈빈 경은 장비 정리의 도출은 실험에 동의하지 않기 때문에 부정확해야 한다고 제안했지만 방법을 보여줄 수 없었다.^[28]1900년에 레일리 경은 대신 등전 정리 및 열 평형 실험 가정이 모두 옳다는 보다 급진적인 견해를 제시했다. 이들을 조화시키기 위해 등전 정리의 "파괴적인 단순함에서 탈피"할 수 있는 새로운 원리가 필요하다는 점에 주목했다.^[29]알버트 아인슈타인은 1906년에 특정 열의 이러한 이상들이 양자 효과, 특히 고체의 탄성 모드에서 에너지의 정량화에 기인한다는 것을 보여주면서 탈출을 제공했다.^[30]아인슈타인은 새로운 양자 이론의 필요성을 주장하기 위해 장비화의 실패를 이용했다.^[11]네른스트의 1910년 저온에서^[31] 특정 열량을 측정한 결과 아인슈타인의 이론을 뒷받침했고, 물리학자들 사이에 양자 이론을 폭넓게 수용하게 되었다.^[32]

설비정리의 일반적 공식화

장비 정리의 가장 일반적인 형태는 적절한 가정(아래에서 설명)에 따라 해밀턴 에너지 함수 H와 자유도 x가_n 있는 물리적 시스템에 대해 다음 장비 공식은 모든 지수 m과 n에 대해 열 평형을 유지한다고 명시한다.^[5][9][12]

$\displaystyle \!{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangele }=\delta _{mn}k_{B}T.}}$

여기서 Δ는_mn 크로네커 델타인데, m = n이면 1이고 그렇지 않으면 0이다.평균 브래킷 $⟨{\displaystyle }$ …$⟩{\$은(는) 위상 공간에 걸친 앙상블 평균으로 가정하거나, 인체모형을 가정했을 때 단일 시스템의 시간 평균으로 가정한다$$.

일반적 설비 정리는 시스템의 총 에너지가 일정할 ^[9]때 마이크로캐논적 앙상블과 또한 시스템이 에너지를 교환할 수 있는 열탕에 결합될 ^[5][33]때 표준적 앙상블에서 모두 유지된다.일반 공식의 유래는 이 글의 뒷부분에 제시되어 있다.

일반 공식은 다음 두 가지와 같다.

1. ${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}{\Bigr \rangle }=k_{B}}}T\quad {\mbox{{}모든 경우}$
2. ${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}{\Bigr \rangle }=0\quad{\mbox{{}}}}}{}}}}}}}}}$

만약 자유도_n x가 해밀턴 H에서 2차 용어_nn² 도끼로만 나타난다면, 이 공식의 첫 번째는

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n}x_{n}^{n}}\angle ,}}$

이 정도의 자유가 평균 에너지 to ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle H\rangele}$에 미치는 기여의 두 배$.$ 따라서 2차 에너지를 가진 시스템의 등전 정리도 일반 공식에서 쉽게 따른다.2를 s로 대체한 유사한 인수가 폼 도끼의_nn^s 에너지에 적용된다.

자유도 x는_n 시스템의 위상 공간에 있는 좌표이므로 일반적으로 일반화된 위치 좌표 q와_k 일반화된 모멘텀 좌표 p로_k 세분된다. 여기서 p는_k q에 대한_k 결합 운동량이다.이 상황에서 공식 1은 모든 k에 대해

${\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }=k_{\rm {B}}T.}$

해밀턴 역학의 방정식을 이용해서,^[8] 이 공식들은 또한 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}{\Bigr \bigr \rangle }=-{\bigl \langle }{q_{dt}}{\bigr \r \r랑글 }=k_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

마찬가지로 공식 2를 사용하여 다음과 같은 것을 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }=0\quad {\mbox{ for all }}\,j,k}$

그리고

${\displaystyle {\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }=0\quad {\mbox{ for all }}\,j\neq k.}$

처녀정리와 관계

일반적 등전 정리(general equipmentation organism)는 처녀정리의 연장(internal organization, 1870년^[34] 제안)으로,

${\displaystyle {\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle },}$

여기서 t는 시간을 의미한다.^[8]두 가지 중요한 차이점은 처녀정리가 개별 평균보다 요약된 것을 서로 연관시키고, 온도 T에 연결하지 않는다는 것이다.또 다른 차이점은 정리의 전통적인 파생은 시간에 따른 평균을 사용하는 반면, 등전 정리의 파생은 위상 공간에 대한 평균을 사용한다는 것이다.

적용들

이상기체법

이상적인 기체는 설비 정리의 중요한 응용을 제공한다.공식을 제공할 뿐만 아니라

${\displaystyle{\begin{정렬}\langle H^{\mathrm{kin}}\rangle&={\frac{1}{2m}}\langle p_{)}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&, ={\frac{1}{2}}{\biggl(}{\Bigl \langle}p_{)}{\frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{)}}}{\Bigr \rangle}+{\Bigl \langle}p_{y}{\frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle}+{\Big.나는 \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\partial p_{z}}}}{{\bigrary \rangele }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aigned}}$

입자당 평균 운동 에너지를 위해, 등전 정리는 고전 역학으로부터 이상적인 기체 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있다.^[5]q = (q_x, q_y, q_z)와 p = (p_x, p, p_yz)가 기체 내 입자의 위치 벡터와 운동량을 나타내고 F가 그 입자에 대한 순 힘이라면, 그 다음

${F}\rangle 및 \mathbf{\displaystyle{\begin{정렬}\langle\mathbf{q}\cdot, ={\Bigl \langle}q_{)}{\frac{dp_{)}}{dt}}{\Bigr \rangle}+{\Bigl \langle}q_{y}{\frac{dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle}+{\Bigl \langle}q_{z}{\frac{dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle}\\&, =-{\Bigl \langle}q_{)}{\frac{H\partial}{\partial q_{)}}}{\Bigr \rangle}-{\Bigl \lan.gle}q_{y}{{\frac {\partial q_{y}}}{\Bigr \rangele }-{\bigl \langle q_{z}{\partial H}{\partial q_{z}}}{\bigr \rangele }}=-3k_{B}T,\ed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 첫 번째 평등은 뉴턴의 두 번째 법칙이고, 두 번째 줄은 해밀턴의 방정식과 등식 공식을 사용한다.N 입자 수율 시스템 합계

${\displaystyle 3NK_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }}}}$

뉴턴의 제3법칙과 이상적인 기체 가정에 의해, 계통의 순력은 그들의 용기의 벽에 의해 가해지는 힘이며, 이 힘은 기체의 압력 P에 의해 주어진다.그러므로

${\displaystyle -{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\biggr \rangele }=P\p\oint _{\mathbf } \cdot \mathbf {dmathbf {dmathbf {ds}}}}}}}}}}}, {dmathbf.$

여기서 dS는 용기의 벽을 따라 있는 최소 면적 요소다.위치 벡터 q의 차이는 다음과 같으므로

${\displaystyle{\mathbf{q}={\frac {\mathbf {q}={\frac {\fract q_{x}}}+{\fract q_{y}}}}{\fract q_{y}}}}+{\frac {\fract q_{z}}}}}}}}}}},}}}}}}}}},}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다양성 정리는 다음을 암시한다.

${\displaystyle P\point _{\mathrm {surface}}\mathbf {q}\cdot \mathbf {dS} = P\int _{\mathbf {volume}}\{\boldsymbolla }}}\{\cdot \cdmathbft}\cdmathbf}\cdmathbf,databv,},},},}}}$

여기서 dV는 컨테이너 내의 최소 볼륨이고 V는 컨테이너의 총 볼륨이다.

이 평등을 합치면 수확량이 증가한다.

${\displaystyle 3NK_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,}$

이는 즉시 N 입자에 대한 이상적인 가스 법칙을 암시한다.

${\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT,\,}$

여기서 n = N/N은_A 기체의 점 개수, R = Nk는_AB 기체 상수다.등전화는 이상 기체 법칙과 내부 에너지의 단순한 파생을 제공하지만, 칸막이 기능을 이용한 대체 방법으로도 동일한 결과를 얻을 수 있다.^[35]

이원자 가스

이원자 가스는 강성 a의 스프링에 의해 결합되는₁ m과₂ m의 두 질량으로 모델링할 수 있으며, 이를 강직 로터-조화 오실레이터 근사치라고 한다.^[19]이 체계의 고전적인 에너지는

${\displaystyle H={\frac{\frac {p} _{1}\오른쪽 ^{2}}:{2m_{1}:{1}}+{2}\frac {1}{2}}:{1}{1}{1}:{2}}:aq^{2},}},}$

여기서 p와₁ p는₂ 두 원자의 모멘텀a이고, q는 평형값에서 분리기간 분리의 편차다.에너지 내 모든 자유도는 2차이므로 전체 평균 에너지에 1⁄2kT_B, 열 용량에 1⁄2k를_B 기여해야 한다.따라서 N 이원자 분자의 기체의 열 용량은 7N·1⁄2k_B: 모멘트 a p와₁ p가₂ 각각 3도의 자유도에 기여하고, 확장 q가 7번째에 기여하는 것으로 예측된다.따라서 다른 자유도가 없는 이원자 분자 몰의 열 용량은 (7/2)Nk_AB = (7/2)R이어야 하며, 따라서 예측 어금니 열 용량은 약 7 cal/(mol/K)이어야 한다.단, 이원자 기체의 어금니 열 용량에 대한 실험 값은 일반적으로 매우 낮은 온도에서 약 5 cal/(mol·K)^[23]이며 3 cal/(mol·K)로 떨어진다.^[24]더 많은 자유도를 추가하면 예측된 특정 열을 증가시킬 수 있을 뿐 감소시킬 수 없기 때문에 장치 예측과 어금니 열 용량의 실험 값 사이의 불일치는 분자의 더 복잡한 모델을 사용한다고 설명할 수 없다.^[25]이 불일치는 물질의 양자 이론의 필요성을 보여주는 중요한 증거였다.

극한 상대론적 이상 기체

Equartition은 뉴턴 역학으로부터 고전적인 이상 기체 법칙을 도출하기 위해 위에서 사용되었다.그러나 백색 왜성, 중성자 항성 등 일부 계통에서는 상대론적 영향이 지배적이 되어 이상적인 ^[9]기체 방정식을 수정해야 한다.등전 정리는 극단적 상대론적 이상 기체에 대해 그에 상응하는 법칙을 도출하는 편리한 방법을 제공한다.^[5]이러한 경우, 단일 입자의 운동 에너지는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle H_{\mathrm {kin}}\관련 cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}.}$

p_x 모멘텀 구성요소와 관련하여 H의 파생상품을 취하면 다음 공식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle p_{x}{\frac {\partial h_{kin}}}}}{{x}}}}}=c{\prac {p_{x}^{2}}:{\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}:}}$

그리고_y p 및_z p 구성 요소의 경우 유사하게.세 가지 구성 요소를 함께 추가하면

${\displaystyle{\begin{정렬}\langle H_{\mathrm{kin}}\rangle&={\biggl \langle}c{\frac{p_{)}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt{p_{)}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle}\\&, ={\Bigl \langle}p_{)}{\frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{)}}}{\Bigr \rangle}+{\Bigl \langle}p_{y}{\frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial. p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm{kin}}}}}}{\partial p_{z}}}}{\Bigr \rangele }\&=3k_{B}}T\end{aigned}}$

장비 공식에서 마지막 평등이 뒤따르는 경우.따라서 극한 상대성 기체의 평균 총 에너지는 비 상대성 사례의 2배인데, N 입자의 경우 3NkT이다_B.

비이상 가스

이상적인 기체에서는 입자들이 충돌을 통해서만 상호작용하는 것으로 가정한다.등전 정리는 입자 사이의 거리 r에만 의존하는 잠재적 U(r)가 있는 보수적인 힘을 통해 입자도 서로 상호작용하는 "비이상적 기체"의 에너지와 압력을 도출하는 데도 사용될 수 있다.^[5]이러한 상황은 우선 단일 기체 입자에 대한 주의를 제한하고, 나머지 기체를 수직 대칭 분포에 의해 근사하게 함으로써 설명할 수 있다.그런 다음 주어진 입자로부터 r 떨어진 거리에서 다른 입자를 발견하는 확률밀도가 4πrρg²(r)과 같도록 방사형 분포함수 g(r)를 도입하는 것이 관례인데 여기서 where = N/V는 기체의 평균 밀도다.^[36]기체의 나머지 부분과 주어진 입자의 상호작용에 관련된 평균 전위 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle h_{\mathrm {pot}\\reangele =\int _{0}^{0}\infit }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.}$

The total mean potential energy of the gas is therefore ${\displaystyle \langle H_{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h_{\mathrm {pot} }\rangle }$, where N is the number of particles in the gas, and the factor 1⁄2 is needed because summation over all the particles counts each interaction twice. 운동 에너지와 전위 에너지를 추가한 다음 등전위를 적용하면 에너지 방정식이 생성된다.

${\displaystyle H=\langle H_{\mathrm {kin} }\rangele +\langle H_{\langle h_{pot}}\rangele ={\frac {3}{2}}Nk_{B}}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\\nft }r^{2}U(r)g(r)\,dr.}$

압력 방정식을 도출하는 데 사용할 수 ^[5]있는 유사한 인수

${\displaystyle 3Nk_{\rm {B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infit }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.}$

무성 발진기

조화 오실레이터(단순 고조파 오실레이터와 대조적으로)는 전위 에너지가 확장 q(평형으로부터 계통의 편차를 측정하는 일반화된 위치)에서 2차적이지 않은 오실레이터다.그러한 발진기는 설비 정리에 대한 보완적인 관점을 제공한다.^[37][38]간단한 예는 형태의 잠재적 에너지 기능에 의해 제공된다.

${\displaystyle H_{\mathrm {pot}}}=Cq^{s},\,}$

여기서 C와 s는 임의의 실제 상수다.이 경우, 설비 법칙은 다음과 같이 예측한다.

${\displaystyle k_{\rm{B}}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle .}$

따라서 평균 전위 에너지는 2차 고조파 오실레이터(여기서 s = 2)와 같이 kT_B/2가 아니라 kT_B/s와 동일하다.

보다 일반적으로 1차원 시스템의 일반적인 에너지 함수는 확장 q:

${\displaystyle H_{\mathrm {pot}}}=\sum _{n=2}^{\nft }C_{n}q^{n}}}}}}}}$

음이 아닌 정수의 경우 n.n = 1항은 존재하지 않는다. 평형점에서는 순력이 없기 때문에 에너지의 첫 번째 파생상품은 0이기 때문이다.평형 위치의 에너지는 관례에 의해 0으로 설정될 수 있으므로 n = 0 기간은 포함하지 않아도 된다.이 경우, 설비의 법칙은 다음과^[37] 같이 예측한다.

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle .}$

여기에 인용된 다른 예들과 대조적으로, 장비 공식은

${\displaystyle \langle H_{\mathrm {pot}\\angle ={\frac {1}{2}}k_{\rm{B}}T-\sum _{n=3}^{n=}}\flack({\franc{n-2}{2}}\\오른쪽)C_{n}\langle q^{n}\angle }$

알려진 상수의 측면에서 평균 전위 에너지가 기록되는 것을 허용하지 않는다.

브라운 운동

등전 정리는 랭귀빈 방정식에서 입자의 브라운 운동을 도출하는 데 사용될 수 있다.^[5]그 방정식에 따르면, 속도 v의 질량 m 입자의 운동은 뉴턴의 두 번째 법칙에 의해 지배된다.

${\dplaystyle {\frac {d\mathbf {v}}{dt}={\frac {1}{m}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf{v}}}=-{\frac {}{\pau{1}{m}}\mathbf _{rnd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 F는_rnd 입자와 주변 분자의 무작위 충돌을 나타내는 임의의 힘이며, 시간 상수 τ은 용액을 통해 입자의 움직임에 반대되는 드래그력을 반영한다.드래그 힘은 흔히 F_drag = -γv로 표기되므로 시간 상수 τ은 m//과 같다.

위치 벡터 r을 사용한 이 방정식의 도트 곱은 평균화 후 방정식을 산출한다.

${\displaystyle {\Bigl \langle }\mathbf {r}\cdot {\frac {d\mathbf {v}}{dt}}{\Bigr \rangele}+{\frac {1}{\tau}}\langle \cdot \mathbf {v} \mathbf =0}$

브라운 운동용 (임의의 힘 F는_rnd 위치 r과 상관관계가 없기 때문에).수학적 정체성 사용

${\displaystyle {\frac {d}{d}\left(\mathbf {r}\cdot \mathbf {r}\right)={\frac {d}{d}\좌(r^{2}\right)=2\좌(\mathbf {r}\cdot \mathbf {vf {vf {vf {v}\v}\v}\v}\rig)}$

그리고

${\displaystyle {\frac {d}{d}\{dt}\lift(\mathbf {r}\cdot \mathbf {v}\right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdcdot {\d\mathbf {v},},},},}$

브라운 운동의 기본 방정식은 로 변형될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{\rm {B}}T,}$

변환 운동 에너지의 등전 정리로부터 마지막 평등이 뒤따르는 경우:

${\displaystyle \langle H_{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T.}$

initial${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$⟩ ${\displaystyle \langle$ r$^{2}\angle }($적절한 초기 조건 포함)에 대한 위의 미분 방정식을 정확하게 해결할 수 있다.

${\displaystyle \langle r^{2}\angle ={\frac {6k_{\rm {B}}T\tau ^{2}}:{m}\왼쪽(e^{-t/\tau }-1+{\frac {t}{\tau }}\오른쪽).}$

작은 시간 척도에서, t<< τ과 함께, 이 입자는 자유롭게 움직이는 입자 역할을 한다: 지수함수의 테일러 시리즈에 의해, 제곱된 거리는 대략 2차적으로 증가한다.

${\displaystyle \langle r^{2}\rangele \cHB}약 {\frac {3k_{\rm {B}}T}{m}}{m}t^{2}=\langle v^{2}\랑글 t^{2}.}$

그러나 긴 시간 척도에서는 t >> >과 함께 지수 및 상수 항은 무시할 수 있으며, 제곱된 거리는 선형적으로만 커진다.

${\displaystyle \langle r^{2}\angle \ 약 {\frac {6k_{B}T\tau }{m}t={\frac {6k_{B}Tt}{\gamma }}.}$

이것은 시간 경과에 따른 입자의 확산을 설명한다.경질 분자의 회전 확산에 대한 유사 방정식은 유사한 방법으로 도출될 수 있다.

항성 물리학

등전 정리 및 관련 정리는 오래 전부터 천체물리학에서 도구로 사용되어 왔다.^[39]예를 들어, 항성 정리는 항성 온도나 백색 왜성 질량에 대한 찬드라세카르 한계를 추정하는 데 사용될 수 있다.^[40][41]

항성의 평균 온도는 등전 정리로부터 추정할 수 있다.^[42]대부분의 별들은 서로 대칭적이기 때문에, 총 중력 전위 에너지는 통합에 의해 추정될 수 있다.

${\displaystyle H_{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}{r}M(r)\\rho(r)\,dr,}$

여기서 M(r)은 반경 r 내의 질량이고 ρ(r)은 반경 r에서의 항성 밀도이며, G는 중력 상수를 나타내고 R은 항성의 총 반지름을 나타낸다.항성 전체에서 일정한 밀도를 가정할 때, 이 통합은 공식을 산출한다.

${\displaystyle H_{\mathrm {grav}}=-{\frac {3}GM^{2}}:{5R}},}$

여기서 M은 별의 총 질량이다.따라서, 단일 입자의 평균 전위 에너지는

${\displaystyle \langle H_{\mathrm {grav}}\rangele ={\frac {H_{\mathrm {grav}}}}}}{N}=-{\frac {3}GM^{2}}:{5RN},}$

여기서 N은 항성의 입자 수입니다.대부분의 별은 주로 이온화된 수소로 구성되기 때문에 N은 대략 M/m과_p 같으며 여기서 m은_p 한 양성자의 질량이다.등전 정리의 적용에 따라 별의 온도를 추정할 수 있다.

${\displaystyle {\Bigl \langle }r{\frac {\partial H_{\mathrm {grav}}{{\bigr \r \angle }=\langle -H_{\mathrm {grav}}\rangele =k_{B}}}T={\frac {3GM^{2}}:{5RN}}.}$

태양의 질량과 반지름을 대체하면 추정 태양 온도는 T = 1400만 켈빈으로, 중심 온도의 1,500만 켈빈에 매우 가깝다.그러나 태양은 이 모델에 의해 가정된 것보다 훨씬 더 복잡하다. 온도와 밀도는 반지름에 따라 매우 다양하며, 그러한 우수한 일치(상대 오차 7할)는 부분적으로 우연한 것이다.^[43]

항성형성

거대한 분자구름에서 항성생성을 위한 조건 결정에 동일한 공식을 적용할 수 있다.^[44]그러한 구름의 밀도의 국부적 변동은 구름이 자신의 중력 아래 안쪽으로 붕괴되는 폭주 상태를 초래할 수 있다.그러한 붕괴는 등전위 정리(또는 동등하게, 처녀정리)가 더 이상 유효하지 않을 때, 즉 중력 전위 에너지가 운동에너지의 2배를 초과할 때 발생한다.

${\displaystyle {\frac {3}GM^{2}}:{5R}}>3Nk_{B}T.}$

클라우드에 대해 일정한 밀도 ρ이라고 가정

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

별 수축에 대한 최소 질량인 청바지 질량 M을_J 산출한다.

${\displaystyle M_{\rm {J}^{2}=\왼쪽({\frac {5k_{B})T}{Gm_{p}}}\오른쪽)^{3}\왼쪽({\frac {3}{4\pi \rho }}}\오른쪽).}$

그러한 구름에서 일반적으로 관측되는 값(T = 150K, ρ = 2×10⁻¹⁶ g/cm³)을 대체하면 관측된 항성 형성과 일치하는 17개의 최소 태양 질량이 추정된다.이 효과는 1902년에 그것을 출판한 영국의 물리학자 제임스 홉우드 청바지의 뒤를 이어 청바지 불안정이라고도 알려져 있다.^[45]

파생어

운동 에너지 및 맥스웰-볼츠만 분포

등전 정리의 원래 공식은 열 평형상태의 어떤 물리적 시스템에서 모든 입자가 정확히 동일한 평균 변환 운동 에너지(3/2)kT를_B 가지고 있다고 명시한다.^[46]이는 확률 분포인 Maxwell-Boltzmann 분포(그림 2 참조)를 사용하여 표시할 수 있다.

${\displaystyle f(v)=4\pi \좌({\frac {m}{2\pi k_{\rm {B})T}}\오른쪽)^{3/2}\!\!v^{2}\exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}:{2k_{\rm {B}})T}{\Bigr )}}}$

for the speed of a particle of mass m in the system, where the speed v is the magnitude ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ of the velocity vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}).$$}$

맥스웰-볼츠만 분포는 원자로 구성된 어떤 시스템에도 적용되며, 특히 운동 에너지가 온도 T에서 볼츠만 인수에 따라 분포된다는 표준 앙상블만 가정한다.^[46]질량 m의 입자에 대한 평균 변환 운동 에너지는 통합 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \langle H_{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T,}$

설비 정리에서 말한 바와 같이또한 특정 양자 에너지 상태에서 입자를 찾을 확률을 이용하여 입자 에너지를 평균화함으로써 동일한 결과를 얻을 수 있다.^[35]

2차 에너지 및 파티션 함수

보다 일반적으로 등전 정리에서는 총 에너지 H에 나타나는 임의의 자유 x가 단순한 2차 용어 A가 상수인 Ax로만² 열 평형에서 평균 ½kT의_B 에너지를 갖는다고 기술하고 있다.이 경우 등전 정리는 파티션 함수 Z(β)에서 도출될 수 있으며 여기서 β = 1/(kT_B)는 표준 역온이다.^[47]변수 x에 대한 통합으로 인자 산출

${\displaystyle Z_{x}=\int _{-\infit }^{\dx\ e^{-\beta Ax^{2}}={\sqrt {\frac {}{\pi }{\beta A}}}}}}},}$

Z의 공식으로이 인자와 관련된 평균 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle H_{x}\rm {B}-{\frac {\partial \log Z_{x}}}{\partial \beta }}}={\frac {1}{1}{2\beta}={1}{1}:{2}}k_{\rm {B}}}}}}}}}}}}}T}$

설비 정리에서 말한 바와 같이

일반 교정쇄

등전 정리의 일반적인 유래는 마이크로캐논 앙상블과^[5][9] 표준 앙상블 둘 다 많은 통계 역학 교과서에서 찾아볼 수 있다.^[5][33]그것들은 시스템의 위상 공간에 대한 평균을 얻는 것을 포함하는데, 이것은 복합적인 다지관이다.

이러한 유래를 설명하기 위해 다음과 같은 표기법을 도입한다.첫째, 위상공간은 일반화된 위치 좌표 q와_j 이들의 결합 모멘텀a p로_j 설명된다.수량 q는_j 시스템의 구성을 완전히 설명하는 반면 수량(q_j,p_j)은 시스템 상태를 완전히 설명한다.

둘째, 극소량

${\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}\,dp_{i}\,}$

위상 공간의 체적 Δ(E, ΔE)을 도입하여 시스템의 에너지 H가 두 한계인 E와 E + ΔE 사이에 있는 위상 공간의 체적 ΔE와 E + ΔE:

${\displaystyle \Sigma(E,\Delta E)=\int_{H\in \왼쪽[E,E+\Delta E\right]d\Gamma.}$

이 식에서 ΔE는 매우 작은 것으로 가정되며, ΔE << E. 이와 유사하게 Ω(E)은 에너지가 E:보다 작은 위상 공간의 총 부피로 정의된다.

${\displaystyle \Oomega(E)=\int_{H<E}d\감마 .\,}$

ΔE는 매우 작기 때문에 다음과 같은 통합은 동등하다.

${\displaystyle \int _{H\in \왼쪽[E,+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,}}}$

여기서 타원은 통합체를 나타낸다.이로부터 ΔE가 ΔE에 비례하는 것을 따른다.

${\displaystyle \Gamma =\Delta E\\\prac {\partial \Oomega}{\partial E}=\Delta E\ \rho(E),}$

여기서 ρ(E)는 주의 밀도다.통계역학의 통상적인 정의에 의해 엔트로피 S는 k log_B Ω(E)과 같고, 온도 T는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{\rm {B}}{\frac {\partial \log \Omega }{\partial E}}=k_{\rm {B}}{\frac {1}{\Omega }}\,{\frac {\partial \Omega }{\partial E}}.}$

표준 앙상블

표준 앙상블에서 시스템은 온도 T(켈빈 단위)에서 무한 열탕과 열 평형 상태에 있다.^[5][33]위상 공간에서 각 상태의 확률은 볼츠만 인자가 정규화 $요인{\displaystyle \mathcal{}}$ N을 곱한 값$({\$으로 주어지며$,$ 이 값은 확률을 합쳐서 1이 되도록 선택된다.

${\displaystyle {\mathcal{N}\int e^{-\\beta H(p,q)}d\Gamma =1,}$

여기서 β = 1/kT_B.위상 공간 변수 x에_k 부품별 통합을 사용하면 위와 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma ={\mathcal {N}}\int d[x_{k}e^{-\beta H(p,q)}]d\Gamma _{k}-{\mathcal {N}}\int x_{k}{\frac {\partial e^{-\beta H(p,q)}}{\partial x_{k}}}d\Gamma ,}$

여기서 D where = D =/dx_k, 즉 첫 번째 통합은 x에_k 걸쳐 수행되지 않는다. 두 한계 a와 b 사이의 첫 번째 적분을 수행하고 두 번째 적분을 단순화하면 방정식이 산출된다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,}$

첫 번째 항은 대개 0인데, 왜냐하면_k x는 한계에서 0이기 때문이거나, 또는 에너지가 그 한계에서 무한대로 가기 때문이다.그럴 경우 정관합주단의 설비정리가 바로 뒤따른다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T.}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$… ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$로 상징되는 평균은 정식 앙상블을 인수하는 앙상블 평균이다$$.

마이크로캐논 앙상블

마이크로캐논술 앙상블에서 이 시스템은 나머지 세계로부터 격리되어 있거나, 적어도 그것과 아주 약하게 결합되어 있다.^[9]따라서, 그것의 총 에너지는 사실상 일정하다; 확실히, 우리는 총 에너지 H가 E와 E+dE 사이에 제한되어 있다고 말한다.주어진 에너지 E와 확산 dE의 경우, 시스템이 그 에너지를 갖는 위상 공간 Ⅱ의 영역이 있으며, 그 위상 공간의 영역에서 각 상태의 확률은 마이크로캐논 앙상블의 정의에 의해 동일하다.이러한 정의에 따라 위상 공간 변수 x_m(qor_k p일_k 수 있음_n) 및 x의 장비 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\Bigl \langle}x_{m}{\frac{H\partial}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle}&, ={\frac{1}{\Sigma}}\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac{H\partial}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&, ={\frac{\Delta E}{\Sigma}}\,{\frac{\partial}{E\partial}}\int_{H&lt을 말한다.E}x_{m}{\frac{H\partial}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&^{\f.rac {1}{\rho }\,{\frac {\partial E}\{\partial E}\int _{H<E}x_{m}{\partial \left(H-E\right)}{\partial x_{n}}\d\Gamma ,end{a}}}}}}$

여기서 E는 x에_n 의존하지 않는 상수이기 때문에 마지막 평등이 뒤따른다.부품별 통합은 관계를 산출한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}}$

첫 번째 줄 오른쪽의 첫 번째 항은 0이기 때문에(H = E인 초저면에서는 H - E의 적분으로 다시 쓸 수 있다).

이 결과를 이전 방정식 산출량으로 대체

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Omega }{\rho }}.}$

$\rho {\displaystyle }$= ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Omega }}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\$\partial \$Oomega}{\partial E}}}}$이(가) 있으므로 등전$$ 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {1}{\Omega }}{\frac {\partial \Omega }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {\partial \log \Omega }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.}$

따라서, 우리는 설비 정리의 일반적인 공식화를 도출해냈다.

위에서 설명한 애플리케이션에서 매우 유용했다.

제한 사항

인간성 요구 조건

설비의 법칙은 열 평형상태의 에고다이컬 시스템에 대해서만 유지되는데, 이는 동일한 에너지를 가진 모든 상태가 동등하게 채워질 가능성이 있어야 함을 의미한다.^[9]따라서 시스템 내의 모든 다양한 형태 또는 표준 앙상블의 외부 열탕과 에너지를 교환할 수 있어야 한다.에고데틱한 것으로 엄격하게 증명된 물리적 시스템의 수는 적다; 유명한 예는 야코프 시나이(Yakov Sinai)의 하드 숄더 시스템이다.^[48]인간성을 보장하기 위한 격리된 시스템(따라서 장비화)에 대한 요구사항이 연구되었고, 역동적인 시스템의 현대적 혼돈 이론에 대한 동기를 제공했다.혼란스러운 해밀턴 시스템은 보통 좋은 가정이지만 에고딕적일 필요는 없다.^[49]

에너지가 다양한 형태들 사이에서 공유되지 않고, 등전화가 마이크로캐논 앙상블에서 유지되지 않는 흔히 인용되는 역예는 결합된 조화 오실레이터의 시스템이다.^[49]시스템이 나머지 세계로부터 격리된 경우, 각 정상 모드의 에너지는 일정하며, 에너지는 한 모드에서 다른 모드로 전달되지 않는다.따라서, 그러한 시스템에서는 장비화가 유지되지 않는다. 각 정상 모드의 에너지 양은 초기 값으로 고정된다.에너지 기능에 충분히 강한 비선형 용어가 존재할 경우, 에너지는 정상 모드 간에 전달되어 인간성을 유발하고 장비화 법칙을 유효하게 만들 수 있다.그러나 콜모고로프-아놀드-모저 정리는 비선형 섭동이 충분히 강하지 않는 한 에너지가 교환되지 않을 것이며, 에너지가 너무 작으면 적어도 일부 모드에 갇힌 채로 남아 있을 것이라고 기술하고 있다.

또 다른 방법은 비선형 솔리톤 대칭의 존재에 의해 인간성이 깨질 수 있다.1953년, 페르미, 파스타, 울람, 칭구우는 비선형 용어(한 시험에서는 2차, 다른 시험에서는 세제곱, 1/3에서는 1차 선형 근사)를 포함하는 진동 문자열의 컴퓨터 시뮬레이션을 실시했다.그들은 이 체계의 행동이 장비에 기초한 직관이 그들을 예상하게 했을 것과는 상당히 다르다는 것을 발견했다.모드의 에너지가 균등하게 공유되는 대신에, 시스템은 매우 복잡한 준주기적 행동을 보였다.이러한 곤혹스러운 결과는 결국 1965년 Kruskal과 Zabusky에 의해 논문에서 설명되었는데, 시뮬레이션 시스템을 Korteweg-de Vries 방정식에 연결함으로써 솔리톤 수학의 발달로 이어졌다.

양자 효과로 인한 고장

열 에너지 kT가_B 에너지 수준 사이의 간격보다 현저히 작을 때 설비 법칙이 무너진다.위의 장비화 정리의 유도에서 요구되는 에너지 수준이 매끄러운 연속체를 형성한다고 가정하는 것은 빈약한 근사치이기 때문에 등전화는 더 이상 유지되지 않는다.^[5][9]역사적으로 특정 발열과 흑체 방사선을 설명하는 고전적 장비화 정리의 실패는 물질과 방사선의 새로운 이론, 즉 양자역학과 양자장 이론의 필요성을 보여주는 데 결정적인 역할을 했다.^[11]

설비 분해의 예시를 위해 위에서 설명한 단일(양) 고조파 발진기의 평균 에너지를 고려하십시오.무관한 영점 에너지 용어를 무시한 채, 그 양자 에너지 수준은 E_n = nhν에 의해 주어지는데 여기서 h는 플랑크 상수, ν은 오실레이터의 기본 주파수, n은 정수다.표준 앙상블에서 주어진 에너지 수준이 채워질 확률은 볼츠만 인자에 의해 주어진다.

${\displaystyle P(E_{n}}={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z}},}$

여기서 β = 1/kT이고_B 분모 Z는 파티션 함수, 여기서 기하 계열

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\inful }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu}}}}}.}$

그것의 평균 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}.}$

공식을 Z로 대체하면 최종 결과가^[9] 나온다.

${\displaystyle \langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu}}{1-e^{-\beta h\nu}}}.}$

고온에서 열 에너지 kT가_B 에너지 수준 사이의 간격 hν보다 훨씬 클 때, 지수론 βhν은 1보다 훨씬 적고 평균 에너지는 등전 정리(그림 10)와 일치하여 kT가_B 된다.그러나 낮은 온도에서 hν >> kT가_B 되면 평균 에너지가 0이 된다. 즉, 고주파 에너지 수준이 "동결"된다(그림 10).또 다른 예로서, 열 에너지_B kT(대략 0.025 eV)는 가장 낮은 전자 에너지 수준과 다음으로 높은 전자 에너지 수준 사이의 간격(대략 10 eV)보다 훨씬 작기 때문에 수소 원자의 내부 흥분 전자 상태는 상온에서 기체로서의 특정 열에 기여하지 않는다.

유사한 고려사항은 에너지 수준 간격이 열 에너지보다 훨씬 클 때마다 적용된다.이 추론은 무엇보다도 맥스 플랑크와 알버트 아인슈타인이 흑체 방사선의 자외선 재앙을 해결하기 위해 사용하였다.^[50]역설은 닫힌 용기에 전자파장의 독립 모드가 무한히 있기 때문에 발생하며, 각각은 조화 진동기로 취급될 수 있다.각 전자파 모드가 평균 에너지_B kT를 갖는다면 용기에 무한한 에너지가 존재할 것이다.^[50][51]그러나, 위의 추론에 의해 ν이 무한대로 가면서 고주파 모드의 평균 에너지는 0으로 가고, 더욱이 모드의 에너지의 실험적 분배를 기술하는 Planck의 흑체복사선 법칙은 같은 추리에서 따르게 된다.^[50]

다른 보다 미묘한 양자 효과는 동일한 입자 및 연속 대칭과 같은 등전에 대한 보정으로 이어질 수 있다.동일한 입자의 영향은 매우 높은 밀도와 낮은 온도에서 우세할 수 있다.예를 들어, 금속의 발란스 전자는 몇 개의 전자볼트의 평균 운동 에너지를 가질 수 있는데, 이것은 보통 수만 켈빈들의 온도에 해당된다.파울리 배척원리가 고전적 접근법을 무효화시킬 정도로 밀도가 높은 그런 상태를 퇴행성 페르미온 가스라고 한다.그러한 기체는 백색 왜성과 중성자 별의 구조에 중요하다.^{[citation needed]}저온에서 보세-아인슈타인 응축수의 페르미온 아날로그(많은 수의 동일한 입자가 가장 낮은 에너지 상태를 차지하는 경우)가 형성될 수 있다. 이러한 초유체 전자는 초전도성을 담당한다^{[dubious – discuss]}.

참고 항목

• 운동 이론
• 양자통계역학

참고 및 참조

추가 읽기

• Huang, K (1987). Statistical Mechanics (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 136–138. ISBN 0-471-81518-7.
• Khinchin, AI (1949). Mathematical Foundations of Statistical Mechanics (G. Gamow, translator). New York: Dover Publications. pp. 93–98. ISBN 0-486-63896-0.
• Landau, LD; Lifshitz EM (1980). Statistical Physics, Part 1 (3rd ed.). Pergamon Press. pp. 129–132. ISBN 0-08-023039-3.
• Mandl, F (1971). Statistical Physics. John Wiley and Sons. pp. 213–219. ISBN 0-471-56658-6.
• Mohling, F (1982). Statistical Mechanics: Methods and Applications. John Wiley and Sons. pp. 137–139, 270–273, 280, 285–292. ISBN 0-470-27340-2.
• Pathria, RK (1972). Statistical Mechanics. Pergamon Press. pp. 43–48, 73–74. ISBN 0-08-016747-0.
• Pauli, W (1973). Pauli Lectures on Physics: Volume 4. Statistical Mechanics. MIT Press. pp. 27–40. ISBN 0-262-16049-8.
• Tolman, RC (1927). Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry. Chemical Catalog Company. pp. 72–81. ASIN B00085D6OO
• Tolman, RC (1938). The Principles of Statistical Mechanics. New York: Dover Publications. pp. 93–98. ISBN 0-486-63896-0.

외부 링크

• 단일 기체와 이원자 기체의 혼합에 대해 실시간으로 장비를 시연하는 애플릿 2020-08-06년 Wayback Machine에 보관
• Nir J가 쓴 항성물리학의 등전 정리.예루살렘 히브리 대학의 라카 물리학 연구소의 부교수인 샤비브.