탄성 충돌

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탄성 충돌은 두 신체의 총 운동 에너지가 동일하게 유지되는 두 신체의 만남이다. 이상적이고 완벽하게 탄성 있는 충돌에서는 운동에너지를 열, 소음 또는 잠재적 에너지와 같은 다른 형태로 순변환할 수 없다.

작은 물체가 충돌하는 동안 운동 에너지는 먼저 입자 사이의 반발력 또는 매력적인 힘과 관련된 잠재적 에너지로 변환된다(입자가 이 힘에 반대하여 움직일 때, 즉 힘과 상대 속도 사이의 각도가 둔탁할 때), 그러면 이 잠재적 에너지는 다시 운동 에너지로 변환된다(the ths).e 입자는 이 힘으로 움직인다. 즉 힘과 상대 속도 사이의 각도는 급성이다).

원자의 충돌은 탄력적이다. 예를 들어 러더포드 역추적.

탄성 충돌의 유용한 특별한 경우는 두 신체의 질량이 같을 때, 이 경우 단순히 모멘텀을 교환하는 것이다.

기체나 액체의 분자들은 완벽하게 탄성 있는 충돌을 거의 경험하지 않는다. 왜냐하면 운동 에너지가 분자의 변환 운동과 각각의 충돌에 대한 내부 자유도 사이에서 교환되기 때문이다. 언제라도 충돌의 절반은 비탄성 충돌(쌍은 충돌 후 변환 동작에서 운동 에너지를 이전보다 적게 가지고 있음)이며, 절반은 "초탄성"(충돌 후 운동 에너지를 이전보다 더 많이 보유함)이라고 설명할 수 있다. 전체 표본에 걸쳐 평균화된 분자 충돌은 플랑크의 법칙이 에너지가 흑체 광자에 의해 운반되는 것을 금지하고 있는 한 본질적으로 탄성 있는 것으로 간주될 수 있다.

거시적인 신체들의 경우 완벽하게 탄성 있는 충돌은 완전히 실현되지 않은 이상이지만 당구공과 같은 물체의 상호작용에 의해 근사치가 된다.

에너지를 고려할 때 충돌 전후의 가능한 회전 에너지도 역할을 할 수 있다.

방정식

일차원 뉴턴어

탄성 충돌에서는 운동 에너지와 운동 에너지가 모두 보존된다.^[1] 중량 m₁, m 및₂ 속도 u₁, 충돌 전 u₂, 충돌 후 v₁, v를₂ 가진 입자 1과 2를 고려한다. 충돌 전후의 총 운동량 보존은 다음과 같이 표현된다.^[1]

${\displaystyle m_{1}u_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\ =\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}$

마찬가지로, 총 운동 에너지의 보존은 다음과 같이 표현된다.^[1]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}.}$

이러한 방정식은 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$displaystyle$ v_${1},v_{2$}}: u 1,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2 {\$displaystyle u_{$1},$u_{2}}:$ 알려진$$ 경우$$ 직접 해결할 수 있다.^[2]

${\displaystyle {\displaystyle {\cccc}v_{1}{1}=&#{\dfrac {m_{1}-m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}}}u_{2}\[.5em]v_{2}=&#{\dfrac{2m_{1}:{m_{1}+m_{2}}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}:{m_{1}{1}+m_{2}}}}u_{2}\end{array}}}$

만약 두 덩어리가 같다면, 우리는 사소한 해결책을 가지고 있다.

${\displaystyle v_{1}=u_{2}}$

${\displaystyle v_{2}=u_{1}.}$

이것은 단순히 신체가 그들의 초기 속도를 서로 교환하는 것에 해당한다.^[2]

예상할 수 있듯이, 용액은 일정한 변환 속도를 가진 기준 프레임을 사용하는 것과 같은 모든 속도(갈릴레아 상대성)에 상수를 더하면 불변한다. 실제로 방정식을 도출하기 위해서는 먼저 알려진 속도 중 하나가 0이 되도록 기준 프레임을 변경하고, 새 기준 프레임에서 알 수 없는 속도를 결정하고, 다시 원래 기준 프레임으로 변환할 수 있다.

예

볼 1: 질량 = 3kg, 속도 = 4m/s

볼 2: 질량 = 5kg, 속도 = -6m/s

충돌 후:

볼 1: 속도 = -8.5m/s

볼 2: 속도 = 1.5m/s

또 다른 상황:

다음은 같은 질량의 경우, $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$

탁구공이 탁구공을 치거나 SUV가 쓰레기통을 치는 등$$${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1$}:{2$}}:$ m 2 ${\$1}보다 훨씬$$ 큰 제한 사례에서, 무거운 질량의 약 2배에 달하는 질량이 튕겨 나가면서 무거운 질량의 2배인 질량이 거의 속도를 바꾸지 않는다. 하나^[3]

큰 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 경우$,$ 질량이 거의 $같으면{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ 1${\$1}의 값이 작다$$: 훨씬 가벼운 입자에 부딪히면 속도가 크게 바뀌지 않고, 훨씬 무거운 입자에 부딪히면 빠른 입자가 빠른 속도로 되돌아온다. 이것이 중성자 감속재(고속 중성자를 감속시켜 체인 반응을 유지할 수 있는 열 중성자로 바꾸는 매개체)가 중성자를 쉽게 흡수하지 못하는 가벼운 핵이 있는 원자로 가득 찬 물질인 이유인데, 가장 가벼운 핵은 중성자와 거의 같은 질량을 갖는다.

용액의 유래

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 대해 위의 방정식을 도출하려면 운동 에너지 및 운동량 방정식을 다시 정렬하십시오$.$

${\displaystyle m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2}=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle m_{1}(v_{1}-u_{1}=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 방정식의 각 면을 ${\displaystyle \frac{{하단\mathrm{}}^{}}{}}$ 방정식의 각 면으로 나누고, $2{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{a}{}}$- ${\displaystyle \frac{b}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}:{(a-b)}}=a+b}$를 사용하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다$.$

${\$$$$}}=u_{2}+v_{2}\quad \rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_$$1$}.

즉, 다른 입자에 대한 한 입자의 상대 속도는 충돌에 의해 역전된다.

이제 $위$의 공식은 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$u 1, ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}, u_{1}, u_{$1}, u_{$2}}에 대한 선형 방정식 시스템을 상수로 푸는$$ 것에서 따온 것이다$.$

${\displaystyle \left\{\m_{\pair{array}{rcrcc}v_{1}v_{1}-u_{2}-u_{2}-u_{2}\{1}m_{1}{1}v_{2}&m_{1}{1}v_{1}+m_{2}u_{2}u_{2}.\end{array}\오른쪽.}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가$$ 결정되면 대칭으로 v ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개를 찾을 수 있다$$.

질량 프레임의 중심

질량의 중심에 관해서, 두 가지 속도 모두 충돌에 의해 역전되는데, 무거운 입자는 질량의 중심을 향해 천천히 움직이며, 같은 저속으로 튕겨나오고, 가벼운 입자는 질량의 중심을 향해 빠르게 움직이며, 같은 고속으로 튕겨나간다.

질량 중심 속도는 충돌에 의해 변하지 않는다. 이를 확인하려면 충돌 전$$ $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$ 및 충돌 후$$ $시간{\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ t$'}$의 질량 중심을 고려하십시오.

${\displaystyle {\bar {{x}(t)={\frac {m_{1}x_{1}{1}(t)+m_{2}x(t){m_{1}+m_{2}{2}{m_{1}+m_{2}}}}}$

${\displaystyle {\bar {{x}(t')={\frac {m_{1}x_{1}{1}(t')+m_{2}x_{2}(t'){m_{1}+m_{2}}.}$

따라서 충돌 전후 질량 중심의 속도는 다음과 같다.

${\displaystyle v_{\bar {{x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}:{m_{1}+m_{2}}}}{{1}+m_{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{\bar{x}}={\frac {m_{1}v_{1}+m_{1}{2}v_{2}}:{m_{1}+m_{2}}.}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${{\$와 v x${\$의 숫자는 충돌$$ 전후의 총 순간이다. 모멘텀이 보존되어 있기 때문에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$v ${\displaystyle x_{}^{}}$의$′{\$이(가) 있다$.$

1차원 상대론

특수 상대성 이론에 따르면

${\displaystyle p={\frac { {}{\sqrt{1-{\frac {v^{2}}:}}}}}$

여기서 p는 질량을 가진 모든 입자의 운동량을 나타내고, v는 속도를 나타내며, c는 빛의 속도다.

총 모멘텀이 0인 모멘텀 프레임의 중심에서,

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}}$

${\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}}^{2}c^{2}}+{\sqrt {m_{2}^{2}^{2}}{4}+p_{2}}^{2}c^{2}}:}=E}$

${\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}.}$

Here ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$represent the rest masses of the two colliding bodies, ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$represent their velocities before collision, ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$their velocities after collision, ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$$$그들의 모멘텀a, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은 진공에서 빛의 속도이며, $E{\displaystyle }${\$displaystyle E}$은 두 신체의 총 에너지, 휴식 질량 및 운동에너지를 나타낸다.

계통의 총 에너지와 운동량은 보존되고 그 나머지의 질량은 변하지 않기 때문에 충돌체의 나머지 질량, 총 에너지 및 총 운동량에 의해 충돌체의 운동량이 결정되는 것으로 나타난다. 모멘텀 프레임의 중심에 비해 각 충돌체의 모멘텀은 충돌 후 크기가 변하지 않고 이동 방향을 반대로 바꾼다.

빛의 속도보다 훨씬 느리게 움직이는 거시적 물체를 다루는 정확한 결과를 주는 고전 역학과 비교하면 두 충돌체의 총 운동량은 프레임에 의존한다. 모멘텀 프레임의 중심에서, 고전 역학에 따르면,

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0}\,\!}$

${\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}^{2}^{2}}{2}^{2}}{2}^{2},\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2}^{2}^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{2}=-v_{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1}^{1}^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1}^{1}^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}\,\!}$

이는 다른 차이에도 불구하고 상대론적 계산 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}에 동의한다$.$

특수상대성이론의 한 가정은 운동량의 보존과 같은 물리 법칙이 모든 관성적 기준 틀에서 불변해야 한다고 말한다. 총 운동량이 임의적일 수 있는 일반 관성 프레임에서,

${\displaystyle {\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}$

${\displaystyle {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E}$

우리는 두 개의 움직이는 몸을 하나의 계통으로서 볼 수 있는데, 그 계통으로는 총 운동량이 ${\displaystyle p_{}}$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$T$ 총 에너지는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이며, 속도 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$은 질량 중심의 속도다. 모멘텀 프레임의 중심과 비교하여 총 모멘텀은 0과 같다. $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$은(는) 다음을 통해 제공됨을$$ 알 수 있다.

${\displaystyle v_{c}={\frac {p_}{T}c^{2}}:{E}}}$

이제 모멘텀 프레임 $u{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$과 $u{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 중앙에서 충돌 전 속도는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v_{c}{1-{1-{1}v_{c}}{c^{2}}:}}{\frac {u_{1}v}}}}{c^{2}}:}}}}}}}$

${\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}-v_{c}{1-{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}:}}}}}}}}{c^{2}}:}}}}}$

${\displaystyle v_{1}'=-u_{1}'}$

${\displaystyle v_{2}'=-u_{2}'}$

${\displaystyle v_{1}={\frac {v_{1}'+v_{c}{1+{1+{{v_{1}'v_{c}{c^{2}}:}}}{\frac {v_{1}}}}{c^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{2}'+v_{c}{1+{1+{{v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}}}}}}}}{c^{2}}:}}}}}}$

$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ 및$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle u_{2}\ll c}$이$($가) 있을 때,

${\$$T}}$ }}$$${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ ≈$$ m ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ m ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ $}$ {\$frac {m_{1$}+$m_{2}u_{$2}}:{$m_{$1}+m_{2}{{1}}}{1}+$m_{2$}}}}}$}}}}$

${\displaystyle u_{1}'}$ ≈ ${\displaystyle u_{1}-v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2$$}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2$$}}{m_{1}$$}}}}$

${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ ≈$$ ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ $1{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{{}_{}{u\mathrm{}}_{}}{}}$2 - ${\displaystyle \frac{{u\mathrm{}}_{}}{}}$1 ) ${\displaystyle \frac{{}_{}{1\mathrm{}}_{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2$}{2}}}$}}}}$

${\displaystyle v_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ ≈$$ ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$(${\displaystyle \frac{{u\mathrm{}}_{}}{}}$ 2 -${\displaystyle \frac{{}_{}{u\mathrm{}}_{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ m ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2$}{2}}}$}}}}$

${\displaystyle v_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ ≈$$ ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{}_{}{u\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 -${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ m ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2$}{2}}$}}}}$

${\displaystyle v_{1}}$ ≈ ${\displaystyle v_{1}'+v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{$$1}+m_{2}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}{2}}:{m_{1}+m_{2}{{2}}}{m_{1}+m_{2$$}$$}}}}$

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle \frac{{}_{}{1\mathrm{}}_{}}{}}$$}:{$1}{1} $$${\displaystyle \frac{{u\mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1}})+2m_{1}{$1}$m_{$1}{1}m_{$1}+m_{2$}{${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$}$}}}}$

따라서 두 충돌체의 속도가 빛의 속도(약 3억 m/s)보다 훨씬 낮을 때 고전적인 계산은 그대로 유지된다.

쌍곡함수를 이용한 상대론적 도출

속도 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}($일반적으로 rapidity라고 함)$$의 소위 매개변수를 사용하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle v/c=\tanh}$

그래서 우리는 얻는다.

${\displaystyle {\sqrt{1-{\frac {v^{2}}:{c^{2}}}=\c^name {sech}(s)$

상대론적 에너지와 운동량은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}:{1-{\frac {v^{2}}:}=mc^{2}\cosh(s)}$

${\displaystyle p={\frac { {}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}:}}=mc\sinh}$

에너지 및 모멘텀 충돌 질량 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle m_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}},$$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$displaystyle u_${1$},$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$$$2 {\$displaystystylease u_{2$}}의 합계가 속도 매개변수 ${\displaystyle 1_{}}$에 해당한다$$.${\displaystyle s_$${$$1$}, s 2 $\{\backslash$${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ $s_$${$2}}, s 3 $\{\backslash$${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ $s_{3$ $s{\displaystyle {}_{}}$4 {\$displaystyle s_{$$4$$}}}})$ 적절한 전력 $c$로 나눈 후 다음과 같이 한다$$.

${\displaystyle m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2}=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4}})}}$

${\displaystyle m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4}}}}}}}}}$

그리고 종속 방정식, 위의 방정식의 합:

${\displaystyle m_{1}e^{1}s_{1}+m_{2}e^{s_{2}}:m_{1}m_{1}e^{3}+m_{2}e^{4}}}}}$

"에너지"에서 정사각형 방정식 "${\displaystyle \mathrm{cs}}$"를 뺀 후 ID ${\displaystyle {cosh\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle }$) - ${\displaystyle {sinh\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle }$s${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cosh ^{2}-\sinh ^{2}(s)=1$를 사용하여 단순화 후 다음을 얻는다.

${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$

0이 아닌 질량의 경우, 쌍곡선 삼각법 ID cosh(a - b) = cosh(a) cosh(b) - sinh(a) sinh(a)를 사용하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4}}}}$

함수 ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \cosh}$은(는$$) $다음$과 같은 두 가지 솔루션을 제공한다.

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}}}$

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=-s_{3}+s_{4}}$

마지막 방정식에서 비응축 용액으로 이어지는 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개를$$ 풀고 종속 방정식으로 $대체$하면 ${\displaystyle {{e\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1$${\$displaystyle$e^{$s_{1}},$ $그리고$ ${\displaystyle {{e\mathrm{}}_{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle e^{s_{$2$\}\}:$ 다음과 같다.

${\displaystyle e^{s_{1}=e^{4}{\frac {m_{1}e^{3}+m_{2}e^{4}}{m_{1}e^{1}{1}{1}e^{4}}{1}s_{4}}}}}{1}e^{2}}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{s_{2}}=e^{s_{3}{3}}{3}+m_{2}e^{4}}{m_{1}e^{1}{1}{1}m_{4}}{4}}}{1}e^_{1}:{4}}}e^{2}}}}}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그것은 그 문제에 대한 해결책이지만 속도의 매개변수로 표현된다. 속도에 대한 솔루션을 얻기 위한 반환 대체:

${\displaystyle v_{1}/c=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}-e^{1}-s_{1}}{e^{1}:{1}{1}:{e^_{1}:{1}:{1}}}$

${\displaystyle v_{2}/c=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}:{e^{s_{2}}:{e^{2}}+e^{-s_{2}}:}}$

Substitute the previous solutions and replace: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ and ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}}$, after long transformation, with substituting: $Z=\sqrt{(}$${\$$}}}:$

${\displaystyle v_{1}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}{2}}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2})}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}c^{2}}:$

$u$$$$v_{2}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1$$}1$$}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2$$})$$}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2$$}^{2}}c^{2$

이차원

2차원의 비회전 충돌체 2개의 경우, 운동 에너지 및 각운동량의 3가지 보존 법칙에 의해 신체의 움직임이 결정된다. 각 차체의 전체 속도는 두 개의 수직 속도로 분할되어야 한다. 하나는 접촉 지점에서 충돌하는 차체의 일반적인 일반 표면에 접하고 다른 하나는 충돌선을 따라 접한다. 충돌은 충돌선을 따라 힘만 전달하기 때문에 충돌 지점에 접하는 속도는 변하지 않는다. 충돌선을 따라가는 속도는 1차원 충돌과 같은 방정식에 사용될 수 있다. 최종 속도는 두 개의 새로운 구성 요소 속도에서 계산할 수 있으며 충돌 지점에 따라 달라진다. 2차원 충돌에 대한 연구는 2차원 기체의 틀에서 많은 신체를 대상으로 이루어진다.

언제라도 운동량 프레임의 중심에서 두 신체의 속도는 반대 방향에 있으며, 크기는 질량에 반비례한다. 탄성 충돌에서 이러한 크기는 변하지 않는다. 몸의 형태와 충격 지점에 따라 방향이 달라질 수 있다. 예를 들어 구의 경우 각도는 두 신체의 중심(병렬) 경로 사이의 거리에 따라 달라진다. 0이 아닌 방향의 변화가 가능하다: 이 거리가 0이면 충돌에서 속도가 역전된다. 구들의 반지름 합에 가까우면 두 몸은 약간만 꺾인다.

충돌 전에 두 번째 입자가 정지해 있다고 가정하면 ${\displaystyle {mass\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ ${\displaystyle {\vartheta \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$개 입자의 편향각은 질량^[4] 중심 시스템의$$ 편향각${\displaysty$ style $\ta$}과 관련이 있다$.$

${\displaystyle \tan \vartheta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}}}\cos \theta }},\qquad \vartheta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }{2}}.}$

충돌 후 입자의 속도 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle v'_{1}=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \cos \theta }}}{m_{1}+m_{2}}}}},\qquad v'_{2}=v_{1}{\frac {2m_{1}:{1}{m_{1}+m_{2}}}}\sin {\frac {\theta }{2}.}$

두 개의 움직이는 물체와 2차원 충돌

첫 번째 볼의 최종 x 및 y 속도 구성요소는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[5]

${\displaystyle {\regated}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\teta _{2}-\varphi ){m_{1}+m_{2}{2}{2}}{2}}{{2}}}}}}{2}{2}{2}}{2}}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +\tfrac{}{2}})\end{ligned}}}}}}}$

어디서 v1과 v2개체의 2원형의 속도의 스칼라 사이즈 제품들이, m1 그리고 m2가 그들의 질량, θ1과 θ2 그들의 운동 각도, 그것은, v1x)v1cos⁡ θ 1, v1y)v1죄 ⁡ θ 1{\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos\theta _{1},\, v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}(의미하고 직접에 righ.t은 e-45° 각도, 또는 315° 각도)로 소문자 피( ()가 접촉각이다. (두 번째 공의 x와 y 속도를 얻으려면 '1' 첨자와 '2' 첨자를 모두 맞바꾸어야 한다.)

이 방정식은 두 신체의 상호작용이 접촉 각도를 따라 쉽게 계산된다는 사실에서 유래한 것으로, 물체의 속도도 x축과 y축을 회전시켜 물체의 접촉 각도와 평행하게 한 차원씩 계산한 다음 다시 원래의 방향으로 회전시켜 참된 것을 얻을 수 있다는 뜻이다. 속도의^{[6][7][8][9][10][11]} x 및 y 성분

각도가 없는 표현에서 변경된 속도는 접촉 당시의 중심 x와₁₂ x를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle {\regated}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v}_{1}-{1}-{2m_{2}}:{m_{1}+m_{2}{2}}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\ \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\ ^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\ \mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\ ^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$

여기서 각 괄호는 두 벡터의 내부 제품(또는 도트 제품)을 나타낸다.

참고 항목

• 충돌
• 비탄성 충돌
• 환원계수

참조

일반참조

• Raymond, David J. "10.4.1 Elastic collisions". A radically modern approach to introductory physics: Volume 1: Fundamental principles. Socorro, NM: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.

외부 링크

• 자연보전법을 이용한 유도 등 3차원 강체 충돌해석
• VNE 강체 충돌 시뮬레이션 C에서 탄성 충돌의 이해하기 쉬운 구현이 가능한 소형 오픈 소스 3D
• 2-D 충돌 시각화 사용자 조정 가능한 회복 계수 및 입자 속도와의 2-입자 충돌 자유 시뮬레이션(Adobe Shockwave 필요)
• 벡터를 이용한 2차원 탄성 충돌 계산법에 대한 삼각측정이 없는 2차원 탄성 충돌
• Bouncescope 사용자 구성이 가능한 수십 개의 물체의 탄성 충돌 시뮬레이터
• Flash Flash 스크립트로 볼 대 볼 충돌 관리 기능을 통해 다양한 영역의 탄력적 충돌 관리
• 탄성 충돌 유도
• 볼 속도 중 하나가 0일 경우 탄성 충돌 공식 유도