정수

모든 정수의 집합을 나타내기 위해 자주 사용되는 이중 패임 기호(EX 참조)

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

정수("wole"^[a]이라는 뜻의 라틴인 정수)는 구어적으로 구분이 없는 성분 없이 쓸 수 있는 숫자로 정의된다.예를 들어, 21, 4, 0, -2048은 정수인 반면, 9.75는 정수인 반면,5+1/2와 √2는 그렇지 않다.

정수의 집합은 0, 양수 자연수(1, 2, 3, ...)로 구성되며, 정수 또는 계수 숫자로도 불리며,^[2][3] 그 첨가제 인버(-1, -2, -3, ...)로 구성된다.정수의 집합은 종종 굵은체(Z) 또는 칠판 굵은체$({\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle (\mathb {Z})}$ 문자$$ "Z"로 표시되는데, 원래 독일어 자흘렌("number")^[4][5][6]을 나타낸다.

${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$은(는) $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ 합리적인 숫자 Q ${\$의 집합이며$,$ 이는 다시 실제 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ $\$$mathb {R}$의 집합입니다 자연$$숫자처럼 Z ${\$ \$mathb {Z}$은 무한합니다$.$

정수는 자연수를 포함하는 가장 작은 그룹과 가장 작은 고리를 형성한다.대수적 수 이론에서, 정수는 때때로 더 일반적인 대수적 정수들과 구별하기 위해 합리적인 정수로 적격이다.사실 (합리적인) 정수는 또한 합리적인 숫자인 대수적 정수다.

기호

기호는 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}다양한 세트를 나타내기 위해,보다도 다른 작가들이고, 다양한 사용:Z+{\displaystyle \mathbb{Z}^{+}}, Z+{\displaystyle \mathbb{Z}_{+}}또는 Z>를 포함한 양의 정수에{\displaystyle \mathbb{Z}^{>}}, Z0+{\di 주석이 달린 수 있다.splays$tyle \mathb {Z} ^{0+}$ 또는$$ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 음이 아닌 정수의 경우$$$$ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$≠ ${\$0이 아닌 정수에 $Z$$∗{\$을 사용하는 저자도 있고, 음이 아닌 정수에 사용하는 저자도 있고, {–1, 1}에 사용하는 저자도 있다.또한 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 정수 modulo p 집합(즉, 정수의 조합 클래스 집합) 또는 p-adic 정수 집합을 나타내기 위해 사용된다$$.^[7][8][9]

대수적 특성

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 링 제품 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

자연수처럼 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은 덧셈과 곱셈의 연산, 즉 어떤 두 정수의 합과 곱이 정수인 상태에서 닫힌다.그러나 음의 자연수(그리고 중요한 것은 0)가 포함되면서 자연수와는$$달리 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$도 뺄셈으로 닫힌다.^[10]

정수는 가장 기본적인 것이 되는 유니탈 링을 형성하는데, 다음과 같은 의미로, 유니탈 링의 경우, 정수로부터 이 링에 이르는 독특한 링 동형성이 있다.이 범용 속성(즉, 링 범주의 초기 개체)은 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 특성을 나타낸다$.$

${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$은(는) 두 정수(예: 1을 2로 나눈 값)의 몫이 정수일 필요가 없으므로 분할되어 닫히지 않는다$$.자연수는 지수에서 닫히지만, 정수들은 (지수가 음수일 때 결과가 분수가 될 수 있기 때문에) 그렇지 않다.

다음 표에는 모든 정수 a, b 및 c에 대한 덧셈과 곱셈의 기본 속성이 나열되어 있다.

정수에 대한 덧셈과 곱셈의 속성

	덧셈	곱하기
마감:	a + b는 정수다.	a × b는 정수다.
연관성:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
동시성:	a + b = b + a	a × b = b × a
ID 요소의 존재:	a + 0 = a	a × 1 = a
역 원소의 존재:	a + (−a) = 0	유일하게 반전 가능한 정수(단위라고 함)는 -1과 1이다.
분배성:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) + (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
0점 없음:		× b = 0이면 a = 0 또는 b = 0(또는 둘 다)

덧셈을 위해 위에 열거된 처음 다섯 가지 속성은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$덧셈에 의하면 아벨 그룹이라고 한다.또한 0이 아닌 모든 정수는 유한합 1 + 1 + ...로 쓸 수 있기 때문에 주기 그룹이기도 하다. + 1 또는 (-1) + (-1) + ... + (−1).실제로 추가되는$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 모든 무한 주기 그룹이 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 이형적이라는 점에서 유일한 무한 주기 그룹이다$.$

위에 나열된 곱셈의 첫 번째 네 가지 속성은 곱셈 아래의$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 쉼표 단모형이라고 한다.그러나 모든 정수가 (숫자의 경우와 같이) 곱셈 역수를 갖는 것은 아니며, 이는 곱셈 아래의$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 그룹이 아님을 의미한다.

위 속성 표의 모든 규칙(마지막을 제외한)을 종합하면, 추가 및 곱셈과$$ $함께{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$${\$displaystyle \mathb {Z}이($가) 통일성을 가진 상호 교환 고리라고 한다.그것은 그러한 대수적 구조의 모든 물체의 원형이다.변수의 모든 값에 $대해{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$에서 그러한 식의 동일성만 참이며, 이는 모든 단변환 링에서 참이다.0이 아닌 특정 정수는 특정 링에서 0으로 매핑된다.

정수(표 마지막 속성)에 제로가 없다는 것은 정류 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$가) 통합 도메인임을 의미한다.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 분할되어 닫히지 않는다는$$ 사실과 동일한 승법적 invers가 없다는 것은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 필드가 아님을 의미한다.정수를 하위 문자열로 포함하는 가장 작은 필드는 합리적인 수의 필드다.정수로부터 합리성을 구성하는 과정은 어떤 통합 영역의 분수 영역을 형성하기 위해 모방될 수 있다.그리고 다시 대수적 숫자 필드(합리적 숫자의 확장)에서 시작하여 정수 링을 추출할 수 있으며, 여기에는 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 하위 링으로 포함된다$$.

일반 분할은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 정의되어 있지 않지만$,$ 분할 "잔차"에 정의되어 있다.그것은 유클리드 분할이라고 불리며, 다음과 같은 중요한 속성을 가지고 있다: b 0 0의 두 정수를 주어, a = q × b + r과 0 ≤ r < b, 여기서 b는 b의 절대값을 나타내는 것과 같은 고유한 정수 q와 r이 존재한다.정수 q는 quitient라고 하고 r은 a b의 분할의 나머지라고 한다.최대 공통분할기의 계산을 위한 유클리드 알고리즘은 유클리드 분할의 순서에 의해 작동된다.

위의 내용은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 유클리드 도메인이라고 한다.이는 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 주된 이상 영역이며, 모든 양의 정수는 본질적으로 고유한 방법으로 프라임의 산물로 쓸 수 있음을 암시한다.^[11]이것이 산술의 기본 정리다.

주문-이론적 특성

${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$는) 상한 또는 하한 없이 완전히 정렬된 집합이다.$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$순서는 다음과$$ 같다: :... -3 < -2 < -1 < 0 < 2 < 3 < ...정수는 0보다 크면 양수, 0보다 작으면 음수다.0은 음과 양으로 정의되지 않는다.

정수의 순서는 다음과 같은 방법으로 대수적 연산과 호환된다.

1. 만약 a < b와 c < d, 그 다음에 a + c < b + d.
2. 만약 a < b와 0 < c>라면, 그 다음 ac < bc.

따라서 $위$의 순서와 함께$$ Z ${\$}이(가) 주문된 링이라는 것을 따른다.

정수는 양성 원소가 잘 배열된 완전히 순서가 정해진 유일한 비종교 아벨 그룹이다.^[12]이는 어떤 노메테리아 가치평가 링도 필드 또는 별개의 가치평가 링이라는 진술과 맞먹는다.

건설

초등교육에서 정수는 (양)자연수, 0, 자연수의 부정으로 직관적으로 정의되는 경우가 많다.그러나 이러한 정의 방식은 여러 가지 다른 사례(각 산술 연산을 정수 유형의 각 조합에 대해 정의할 필요가 있음)로 이어지며, 정수가 산술의 다양한 법칙을 준수한다는 것을 증명하는 것은 지루하게 만든다.^[13]따라서 현대적 집합이론 수학에서는 사례 구분 없이 산술 연산을 정의할 수 있는 보다 추상적인 구조가^[14] 대신 사용되는 경우가 많다.^[15]따라서 정수는 순서가 지정된 자연수 쌍(a,b)의 동등성 등급으로 공식 구성될 수 있다.^[16]

직관은 (a,b)^[16]가 a에서 b를 빼는 결과를 의미한다는 것이다.1 - 2와 4 - 5가 동일한 숫자를 나타낼 것이라는 예상을 확인하기 위해 다음 규칙으로 이러한 쌍에 ~의 동등성 관계를 정의한다.

$(a,b)\심(c,d)}$

정확히 언제

${\daystyle a+d=b+c.}$

정수의 덧셈과 곱셈은 자연수에 대한 등가 연산의 관점에서 정의될 수 있다.^[16] [(a,b)]를 사용하여 (a,b)를 회원으로 하는 등가 등급을 나타냄으로써, 다음과 같은 것을 가질 수 있다.

$[\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]}$

$[\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

정수의 부정(또는 첨가제 역)은 쌍의 순서를 반대로 하여 얻는다.

$[\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)]}$

따라서 뺄셈은 가법 역의 추가로 정의할 수 있다.

$[\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]}$

정수의 표준 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ 만약의 경우에 한해서만 $a+d를 표시한다.}$

이러한 정의가 동등계급 대표자의 선택과 무관하다는 것은 쉽게 검증된다.

모든 동등성 등급에는 형식(n,0) 또는 (0,n) 또는 두 가지 모두인 고유한 멤버가 있다.자연수 n은 등급 [(n,0)](즉, 자연수가 [n,0]에 n을 보내는 지도에 의해 정수에 내장되어 있고, 등급 [0,n]은 -n(이것은 나머지 모든 등급에 적용되며, 등급 [0,0]은 -0 = 0 이후 두 번째로 등급[0,0]을 나타낸다.

따라서 [(a,b)]는 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle {\case}a-b,&{\mbox{if}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{b}a.\end{case}}}$

만일 자연수가 해당 정수(위에서 언급한 내장 사용)로 식별된다면, 이 규약은 모호성을 생성하지 않는다.

이 표기법은 정수의 익숙한 표현을 {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} 로 복구한다.

몇 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaystyle}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &=[[k,k]\1&=[1,0]&=[2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]]]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots&=[(k,k+1)]\\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\-2&=[(0,2)]&=[1,3]&=\cdots &&=[(k,k+2)]].\end{정렬}}}$

이론 컴퓨터 과학에서 정수 구성을 위한 다른 접근법은 자동화된 정리 프로버와 용어 재작성 엔진에 의해 사용된다.정수는 몇 가지 기본 연산(예: 0, success, peader)을 사용하여 만든 대수적 용어와, 이미 구성된 것으로 가정되는 자연수를 사용하여(예: Peano 접근법 사용)로 표현된다.

서명된 정수의 그러한 구조는 적어도 10개가 존재한다.^[17]이러한 구조는 몇 가지 면에서 다르다: 건설에 사용되는 기본 운영의 수, 이러한 운영에서 수용되는 수(보통, 0과 2 사이) 및 인수 유형, 이러한 운영 중 일부의 인수로서 자연수의 유무, 그리고 이러한 운영이 자유 생성자인지 아닌지의 여부. i.e, 동일한 정수를 하나 또는 많은 대수 용어를 사용하여 나타낼 수 있다.

이 절에 제시된 정수 구성 기법은 두 개의 $자연수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$ 및$$ $y{\displaystyle }${\$displaystyle y}$ 인수로 사용하고 정수$($$x{\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$ ${\)$를 반환하는 단일$$ 기본 연산 쌍${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystystyle$ ($x,y)$이 있는 특정 경우에 해당한다.$displaystyle x-y}$ $$.정수 0은 쌍(0,0), 쌍(1,1), 쌍(2,2) 등으로 쓸 수 있으므로 이 작업은 자유롭지 않다.이 시공 기술은 증명 보조 이자벨에 의해 사용되지만, 많은 다른 도구들은 자유 시공자에 기초한 주목할 만한 대체 시공 기법을 사용한다. 이 기법은 더 단순하고 컴퓨터에서 보다 효율적으로 구현될 수 있다.

컴퓨터 공학

컴퓨터 언어에서 정수는 종종 원시 데이터 유형이다.그러나 실제 컴퓨터는 용량이 유한하기 때문에 정수 데이터 유형은 모든 정수의 하위 집합만 나타낼 수 있다.또한 공통의 두 개의 보완적 표현에서 기호의 고유 정의는 "부정, 양, 0"이 아닌 "부정"과 "부정"을 구별한다. (그러나 컴퓨터가 정수 값이 정말로 양수인지 아닌지를 결정하는 것은 확실히 가능하다.)고정 길이 정수 근사 데이터 유형(또는 하위 집합)은 여러 프로그래밍 언어(예: Algol68, C, Java, Delphi 등)로 int 또는 Integer로 표시된다.

비그넘과 같은 정수의 가변 길이 표현은 컴퓨터의 메모리에 맞는 정수를 저장할 수 있다.다른 정수 데이터 유형은 고정된 크기로 구현되며, 보통 2의 검정력(4, 8, 16 등) 또는 기억할 만한 소수 자릿수(예: 9 또는 10)의 비트 수를 구현한다.

카디널리티

정수 집합의 카디널리티는 ℵ₀(alph-null)과 같다.$이것$은 Z ${\$$displaystyle \$$mathb$ ${Z}$에서 $N{\displaystyle \mathbb{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ 1, $2,$. . .${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . . . . $.$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$\}}$그런$$ 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}-2x,&#mbox{{{}x\leq 0\\\2x-1,&#mbox{}}}}$

그래프와 함께$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle (x,f(x))}$은(는)

{... (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), ...}.

역함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\case}g(2x)=-x\g(2x-1)=x,\end{case}}}$

그래프로

{(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, −3), ...}.

참고 항목

• 양의 정수의 표준 인자화
• 하이퍼인테거
• 정수 복잡성
• 정수 격자
• 정수부
• 정수순서
• 정수값함수
• 수학 기호
• 패리티(수학)
• 무한정 정수

수 체계 콤플렉스 ${\displaystyle :\;\mathb {C}}$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathb {R} }$ 이성적 ${\displaystyle :\;\mathb {Q} }$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathb {Z}}$ 내추럴 ${\displaystyle :\;\mathb {N}}$ 0: 0 원: 1 소수 합성수 음정수 분수 유한 소수점 디아디드(마인드 이진수) 반복소수법 비이성적 대수비이성 초월체 상상의

각주

참조

원천

• 벨, E.T., 멘 오브 수학.뉴욕: Simon & Schuster, 1986. (하드커버; ISBN 0-671-46400-0)/(Paperback; ISBN 0-671-62818-6)
• 허슈타인, I.N. 토픽스 인 대수학; 2판 (1975년 6월 20일), ISBN 0-471-01090-1.
• 맥 레인, 선더스, 개럿 비르호프; 미국 수학 협회, 제3판(1999년)ISBN 0-8218-1646-2.

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 정수를 찾아 보십시오.

• "Integer", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 포지티브 정수 - 분할표 및 숫자 표현 도구
• 온라인 정수순서 cf OEIS 백과사전
• Weisstein, Eric W. "Integer". MathWorld.

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