용어 대수

유니버설 대수학과 수학 논리학에서 대수라는 용어는 주어진 서명에 대해 자유롭게 생성되는 대수적 구조다.^[1][2]예를 들어, 단일 이항 연산으로 구성된 서명에서 변수의 집합 X에 대한 대수라는 용어는 정확히 X에 의해 생성된 자유 마그마(free magma)이다.그 개념에 대한 다른 동의어로는 절대 자유 대수학 및 무정부 대수학 등이 있다.^[3]

범주 이론의 관점에서 대수라는 용어는 동일한 서명의 모든 X에서 생성된 알헤브라의 범주에 대한 초기 개체로서, 이소모르피즘에까지 고유한 이 개체를 초기 대수라고 부른다. 이 범주에 있는 모든 알헤브라를 동형 투영함으로써 생성된다.^[4][5]

비슷한 개념은 논리에 있어서 헤르브란트 우주에 대한 것으로, 일반적으로 논리 프로그래밍에서 이 이름으로 사용되는데,^[6] 이것은 일련의 절에서 상수와 함수 기호의 집합에서 출발하여 (절대 자유롭게) 정의된다.즉, 헤르브랜드 우주는 모든 지상 용어, 즉 그 안에 변수가 없는 항으로 구성되어 있다.

원자 공식이나 원자는 일반적으로 용어의 튜플에 적용되는 술어로 정의된다. 그러면 지상 원자는 지상 용어만 나타나는 술어가 된다.헤르브란트 기지는 헤르브란트 우주에 있는 원래 절과 용어의 집합에 있는 술어 기호로부터 형성될 수 있는 모든 지상 원자의 집합이다.^[7][8]이 두 개념은 자크 허브랜드의 이름을 따서 명명되었다.

용어 알헤브라는 추상적 데이터 유형의 의미론에도 역할을 하는데, 여기서 추상적 데이터 유형 선언은 다변형 대수 구조의 시그니처를 제공하고 대수라는 용어는 추상적 선언의 구체적인 모델이다.

유니버설 대수학

유형 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 함수 기호와 연관된 아리티의 집합이다.음이 아닌 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 경우$$$$$\tau n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\tau$$_{n}$에 있는 함수 기호를 $표시$하도록 한다.$$$arity$ 0의 $함수는 상수로$처리된다.

$\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$tau$ $}$을(를) 유형으로$$ 하고, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 변수 기호를 나타내는 비어 있지 않은 기호 집합으로$$ 설정하십시오. ($간단히{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$ 및$$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystytau }$이(가)가 분리되었다고$$ 가정하십시오.)$그런{\displaystyle }$ 다음 X$${\$displaystyle X}$에 대한 ▼ ${\displaystyle \tau }$ 유형의$$ $T{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle T(X)$ 집합이 다음과$$ 같은 최소 집합이다.

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T}$ ( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle X\cup \tau_{0}\subseteq T(X$ .
• For all ${\displaystyle n\geq 1}$ and for all function symbols ${\displaystyle f\in \tau _{n}}$ and terms ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in T(X)}$, we have the string ${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})\in T(X)}$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 $type{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ 유형의$$ 대수 $T{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\t}(X)}$이라는 용어는 다음과 같이 정의된다$$.^[9]

• $T{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {T}(X)}$의 도메인은 $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle T(X)}$ 입니다$.$
• $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $f{\displaystyle {}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f^{\mathcal{T}(X)}()$의 각 null 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ $f}$에 대해 $문자열{\displaystyle }$ f ${\displaystysty$ f}로 정의된다$.$
• For all ${\displaystyle n\geq 1}$ and for each n-ary function ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \tau }$ and elements ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$ in the domain, ${\displaystyle f^{{\mathcal {T}}(X)}(t_{1},...,t_{n})}$ is defined를 문자열 $f{\displaystyle ({t\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f(t_{1$}, $..., t_{n}})$로 지정$.$

A term algebra is called absolutely free because for any algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ of type ${\displaystyle \tau }$, and for any function ${\displaystyle g:X\to {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle g}$ extends to a unique homomorphism ${\displaystyle g^{\a$$st }:{\mathcal {T}}(X)\to {\mathcal {A}}}$, which simply evaluates each term ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}(X)}$ to its corresponding value ${\displaystyle g^{\ast }(t)\in {\mathcal {A}}}$. Formally, for each ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}(X)}$:

• $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in X$인 경우 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= g${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ g$^{\ast }(t)=g(t$
• $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$g${\displaystyle {}^{}\ast (t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {A(}^{}}$ $displaystyle g^{\$st$(t)=f^{\mathcal{A$
• If ${\displaystyle t=f(t_{1},...,t_{n})}$ where ${\displaystyle f\in \tau _{n}}$ and ${\displaystyle n\geq 1}$, then ${\displaystyle g^{\ast }(t)=f^{\mathcal {A}}(g^{\ast }(t_{1}),...,g^{\ast }$$(t_{n})}$.

허브랜드 베이스

언어의 시그니처 σ은 상수 O, 함수 기호 F, 술어 P의 알파벳으로 구성된 트리플 <O, F, P>이다.시그니처 σ의 헤르브랜드 기반은^[10] σ의 모든 접지 원자로 구성된다: R(t₁, …, t_n) 형식의 모든 공식 중 t₁, …t는_n 변수가 없는 용어(즉, 헤르브랜드 우주의 요소)이며 R은 n-ary 관계 기호(예: 술어)이다.평등이 있는 논리의 경우 t₁ = t₂ 형식의 모든 방정식을 포함하며, t와₁ t는₂ 변수를 포함하지 않는다.

결정성

이 글은 독자들에게 혼란스럽거나 불명확할 수 있다. 기사에 대해 명확하게 설명할 수 있도록 도와주십시오. 토크 페이지에서 이에 대한 논의가 있을 수 있다(2018년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

용어 알헤브라는 정량화 제거를 사용하여 해독 가능한 것으로 보일 수 있다.의사결정 문제의 복잡성은 NONELETEARY에 있다.^[11]

참고 항목

• 답안 세트 프로그래밍
• 클론(알지브라)
• 담화/우주 영역(수학)
• 라빈의 트리 정리(무한완전한 이항 트리의 단색 이론은 디커피블이 가능하다)
• 초기 대수
• 추상 데이터 유형
• 용어 재작성 시스템

참조

추가 읽기

• 조엘 버먼(2005년)."자유 알헤브라의 구조"오토마타, 세미그룹, 유니버설 대수학의 구조이론에서.스프링거 47-76페이지MR2210125.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Herbrand Universe". MathWorld.