4차원 공간

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기하학.
평면에 구 투영
개요 이력(타임라인)
나뭇가지 유클리드식 비유클리드 타원형 구면 쌍곡 비아키메데스 기하학 프로젝티브 아핀 합성 분석적 대수적 산술 디오판토스 차분 리만식 심플렉틱 이산 미분 복잡한 유한 이산/조합 디지털. 볼록한 계산식 프랙탈 인시던트 비가환 기하학 비가환 대수기하학
개념 특징들 치수 스트레이트 및 컴퍼스 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 평행 꼭짓점 합동 유사도 대칭
0차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
이차원 비행기 지역 다각형 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모자리 람보이드 사변형 사다리꼴 연 원형 지름 원주 지역
입체 용량 큐브 직육면체의 실린더 십이면체 이십면체 팔면체 피라미드 플라토닉 솔리드 구 사면체
4차원 / 기타차원 테서랙트 초구
기하학자
이름으로 아이다 아랴바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보우하야나 볼랴이 브라마굽타 카르탕 콕서터 데카르트 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 하위헌스 예 ṣṭ 하데바 카티아야나 카얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메시바라 푸앵카레 리만 사카베 시즈지 알투시 베블렌 비라세나 양희 알야사민 장 기하학자 목록
시기별로 BCE 아흐메스 보우하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1–1400 장 카티아야나 아랴바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시즈지 카얌 알야사민 알투시 양희 파라메시바라 1400년대-1700 예 ṣṭ 하데바 데카르트 파스칼 하위헌스 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700년대-1900 가우스 로바체프스키 볼랴이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탕 베블렌 콕서터 현일 아티야 그로모프
v t

4차원 공간(4D)은 3차원 공간(3D)의 개념을 수학적으로 확장한 것입니다. 3차원 공간은 일상 세계에서 물체의 크기나 위치를 설명하기 위해 차원이라고 불리는 세 개의 숫자만 있으면 된다는 관찰을 가능한 가장 단순하게 추상화한 것입니다. 예를 들어 직사각형 상자의 부피는 길이, 너비 및 높이(흔히 x, y 및 z로 표시됨)를 측정하고 곱하여 찾습니다. 이런 보통 공간의 개념을 유클리드 공간이라고 하는데, 원래 일상생활의 공간적 경험에서 추상화한 유클리드의 기하학에 해당하기 때문입니다.

네 번째 차원을 추가하는 아이디어는 1754년에 출판된 장 르롱드알렘베르의 "차원"에 나타나지만,^[1] 3차원 이상의 수학은 19세기에 와서야 등장했습니다. 차원 수에 관계없이 유클리드 공간의 일반적인 개념은 1853년 이전에 스위스 수학자 루트비히 슐레플리에 의해 완전히 개발되었습니다. 슐레플리의 작품은 그의 생전에 거의 주목을 받지 못했고 1901년 사후에만 출판되었지만,^[2] 한편 네 번째 유클리드 차원은 다른 사람들에 의해 재발견되었습니다. 1880년 찰스 하워드 힌튼(Charles Howard Hinton)은 "4차원이란 무엇인가?"라는 에세이에서 이를 대중화했는데, 이 에세이에서 그는 선, 정사각형, 정육면체의 특성을 단계적으로 일반화하여 "4차원 정육면체"의 개념을 설명했습니다. 힌튼의 방법의 가장 간단한 형태는 2D 공간에 보통의 3D 큐브 두 개를 그린 다음, 하나는 보이지 않는 거리로 분리된 채로 다른 하나를 둘러싸는 다음, 그들의 동등한 정점들 사이에 선을 그리는 것입니다. 이는 더 큰 외부 큐브 내부의 더 작은 내부 큐브를 보여줄 때마다 첨부된 애니메이션에서 볼 수 있습니다. 이 경우 두 입방체의 꼭지점을 연결하는 8개의 선은 "보이지 않는" 네 번째 차원에서 단일 방향을 나타냅니다.

그 이후로 고차원 공간(3 이상)은 현대 수학과 물리학을 공식적으로 표현하는 기초 중 하나가 되었습니다. 이러한 주제의 상당 부분은 이러한 공간을 사용하지 않고는 현재의 형태로 존재할 수 없습니다. 아인슈타인의 상대성 이론은 유클리드 4차원 공간은 아니지만 4차원 공간에서 공식화됩니다. 아인슈타인의 시공간 개념은 슐레플리의 유클리드 4차원 공간의 4대칭 공간 차원이 아닌 3개의 공간 차원과 1개의 시간 차원을 가진 비유클리드 기하학에 기반한 민코프스키 구조를 가지고 있습니다.

유클리드 4D 공간의 단일 위치는 벡터 또는 4-튜플, 즉 (x, y, z, w)와 같은 숫자의 순서 목록으로 제공될 수 있습니다. 이러한 위치가 더 복잡한 모양으로 연결될 때 비로소 고차원 공간의 완전한 풍부함과 기하학적 복잡성이 나타납니다. 이러한 복잡성의 힌트는 3D 큐브와 유사한 가장 간단한 규칙적인 4D 물체 중 하나인 테서랙트의 2D 애니메이션에서 볼 수 있습니다.

역사

라그랑주는 그의 메카니크 해석학(1788년 출판, 1755년경의 연구에 기초)에서 역학은 4차원 공간, 즉 공간의 3차원과 시간의 하나에서 작동하는 것으로 볼 수 있다고 썼습니다.^[3] 일찍이 1827년에 뫼비우스는 네 번째 공간 차원이 3차원 형태를 거울 이미지로 회전시킬 수 있다는 것을 깨달았습니다.^[4] 차원 수에 관계없이 유클리드 공간의 일반적인 개념은 케일리, 그라스만, 뫼비우스가 3차원 이상에서 기하학의 가능성을 구상한 유일한 다른 사람들이었던 19세기 중반 스위스 수학자 루트비히 슐레플리에 의해 완전히 개발되었습니다.^[5] 1853년까지 슐레플리는 플라톤 입체의 4차원 유사체를 포함하여 고차원적으로 존재하는 모든 정다각형을 발견했습니다.

4개의 공간 차원으로 이루어진 사분원이라고 불리는 산술은 1843년 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 정의되었습니다. 이 연관 대수학은 마이클 크로우(Michael J. Crowe)가 벡터 분석의 역사에서 밝힌 바와 같이 3차원 벡터 분석 과학의 원천이었습니다. 얼마 지나지 않아 테세린과 코쿼티온이 R 위의 다른 4차원 대수로 소개되었습니다. 1886년, 빅토르 슐레겔은 4차원 물체를 슐레겔 도표로 시각화하는 그의 방법을 설명했습니다^[6].

4차원의 최초의 인기 있는 폭로자 중 한 명은 1880년 더블린 대학 잡지에 실린 그의 에세이 "4차원이란 무엇인가?"로 시작한 찰스 하워드 힌튼이었습니다.^[7] 그는 그의 책 "새로운 생각의 시대"에서 테서랙트, 아나, 카타라는 용어를 만들었고, 책 "네 번째 차원"에서 정육면체를 사용하여 네 번째 차원을 시각화하는 방법을 소개했습니다.^[8][9] 힌튼의 아이디어는 1962년 1월 사이언티픽 아메리칸지에 실린 "수학 게임 칼럼"에서 마틴 가드너가 등장한 "4차원의 교회"에 대한 환상에 영감을 주었습니다.

고차원 비유클리드 공간은 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 1854년 논문인 "Uber die Hypothesen welcher Geometrie zu Grunddeigen"에 의해 견고한 기반 위에 놓였으며, 그는 "점"을 임의의 좌표열(x_1n, ..., x)로 간주했습니다. 1908년 헤르만 민코프스키는 아인슈타인의 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론의 기초인 시공간의 네 번째 차원으로서 시간의 역할을 통합하는 논문을^[10] 발표했습니다.^[11] 그러나 비유클리드인 시공간의 기하학은 슐레플리가 탐구하고 힌튼이 대중화한 것과 크게 다릅니다. 민코프스키 공간에 대한 연구는 4차원 유클리드 공간의 수학과는 상당히 다른 리만의 수학을 요구했고, 따라서 상당히 다른 선을 따라 발전했습니다. 이러한 분리는 소설과 철학의 작품들이 구분을 모호하게 만들면서 대중적인 상상력에서 덜 명확해 졌습니다. 그래서 1973년 H. S. M. 콕서터는 다음과 같이 써야 한다고 느꼈습니다.

네 번째 유클리드 차원을 시간으로 표현하면 얻을 수 있는 것이 거의 없습니다. 사실, 타임머신에서 H.G. 웰스에 의해 아주 매력적으로 개발된 이 아이디어는 존 윌리엄 던 (시간에 대한 실험)과 같은 작가들을 상대성 이론에 대한 심각한 오해로 이끌었습니다. 민코프스키의 시공간 기하학은 유클리드적이지 않으며 결과적으로 현재 조사와 관련이 없습니다.

— H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes^[12]

벡터

수학적으로 4차원 공간은 그 안의 한 점을 특정하기 위해 4개의 매개변수가 필요한 공간입니다. 예를 들어, 일반적인 점은 다음과 같은 위치 벡터 a를 가질 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}$

이는 다음과 같이 주어진 4개의 표준 기저 벡터(e₁, e₂, e₃₄)로 표기할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

따라서 일반 벡터 a는

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}$

벡터는 3차원에서와 같이 덧셈, 뺄셈 및 축척합니다.

유클리드 3차원 공간의 점곱은 다음과 같이 4차원으로 일반화됩니다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}$

벡터의 노름 또는 길이를 계산하는 데 사용할 수 있으며,

${\displaystyle \left \mathbf {a} \right = {\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} } = {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}$

그리고 0이 아닌 두 벡터 사이의 각도를 다음과 같이 계산하거나 정의합니다.

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } {\left \mathbf {a} \right \left \mathbf {b} \right }}$

민코프스키 시공간은 도트 곱과 다른 비퇴화 쌍으로 정의된 기하학적 구조를 가진 4차원 공간입니다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}$

예를 들어, 점 (0,0,0)과 (1,1,1,0) 사이의 거리 제곱은 유클리드 공간과 민코프스키 공간 모두에서 3인 반면, (0,0,0,0)과 (1,1,1,1) 사이의 거리 제곱은 유클리드 공간에서 4이고 민코프스키 공간에서 2입니다. b를₄ 증가시키면 메트릭 거리가 감소합니다. 이것은 잘 알려진 많은 명백한 상대성 이론의 "패러독스"로 이어집니다.

교차 제품은 4차원으로 정의되지 않습니다. 대신 외장 제품은 일부 용도에 사용되며 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{align}}$

이것은 바이벡터 값이며, 4차원의 바이벡터가 기저를 갖는 6차원 선형 공간을 형성합니다(e₁₂₁₃, e₁₄, e₂₃, e₂₄₃₄). 4차원에서 회전을 생성하는 데 사용할 수 있습니다.

직교성과 어휘

일상생활에서 익숙한 3차원 공간에는 일반적으로 x, y, z로 표시되는 세 개의 좌표축이 있으며, 각 축은 다른 두 축과 직교(즉, 수직)합니다. 이 공간의 여섯 가지 기본 방향은 위, 아래, 동쪽, 서쪽, 북쪽, 남쪽으로 부를 수 있습니다. 이러한 축을 따라 위치를 고도, 경도 및 위도라고 할 수 있습니다. 이러한 축을 따라 측정된 길이는 높이, 너비 및 깊이라고 할 수 있습니다.

비교적으로, 4차원 공간은 다른 세 개와 직교하는 여분의 좌표축을 가지며, 이는 일반적으로 w로 표시됩니다. 찰스 하워드 힌튼(Charles Howard Hinton)은 두 개의 추가적인 기본 방향을 설명하기 위해 각각 "위쪽"과 "아래쪽"을 의미하는 그리스 단어에서 아나(ana)와 카타(kata)라는 용어를 만들었습니다.^{[8]: 160}

위에서 언급했듯이 헤르만 민코프스키는 4차원 개념을 활용하여 유한한 빛의 속도를 포함한 우주론을 논의했습니다. 3차원 공간에 시간 차원을 추가하면서 그는 대안적인 수직성, 쌍곡 직교성을 지정했습니다. 이 개념은 그의 우주에서 전자기 관계에 적합한 수정된 동시성을 그의 4차원 공간에 제공합니다. 민코프스키의 세계는 3개의 공간 차원과 1개의 시간 차원의 우주에서 이전에 사용되었던 전통적인 절대 공간 및 시간 우주론과 관련된 문제들을 극복했습니다.

기하학.

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4차원 공간의 기하학은 추가적인 자유도 때문에 3차원 공간의 기하학보다 훨씬 더 복잡합니다.

3차원에 2차원 다각형으로 이루어진 다면체가 있듯이, 4차원에는 다면체로 이루어진 다면체가 있습니다. 3차원에는 플라톤 입체로 알려진 5개의 규칙적인 다면체가 있습니다. 4차원에는 플라톤 입체의 유사체인 6개의 볼록한 규칙적인 4-폴리토프가 있습니다. 규칙성을 위한 조건을 완화하면 추가로 58개의 볼록한 균일한 4-폴리토프가 생성되며, 이는 3차원의 13개의 반규칙 아르키메데아 고체와 유사합니다. 볼록함을 위한 조건을 완화하면 볼록하지 않은 규칙적인 4-폴리토페 10개가 추가로 생성됩니다.

4차원의 일반적인 폴리토프
(각 Coxeter 대칭 평면에서 직교 투영으로 표시)

A4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	H4, [5,3,3]
5셀 {3,3,3}	테서랙트 {4,3,3}	16셀 {3,3,4}	24셀 {3,4,3}	600셀 {3,3,5}	120셀 {5,3,3}

3차원으로 원을 압출하여 원을 형성할 수 있습니다. 4차원에는 실린더와 같은 여러 가지 물체가 있습니다. 구형의 실린더(구형의 "캡(caps)"을 갖는 실린더)를 얻기 위해 구형을 압출하고, 원통형 프리즘(cubinder)을 얻기 위해 실린더를 압출할 수 있습니다.^{[citation needed]} 두 원의 데카르트 곱은 두 개의 원을 얻기 위해 취해질 수 있습니다. 세 가지 모두 4차원 공간에서 각각의 속성을 가지고 "굴릴" 수 있습니다.

3차원에서 곡선은 매듭을 형성할 수 있지만 표면은 (자기 교차하지 않는 한) 매듭을 형성할 수 없습니다. 그러나 4차원에서는 곡선을 사용하여 만든 매듭을 네 번째 방향으로 변위하면 사소한 것으로 풀 수 있지만 2D 표면은 4D 공간에서 사소한 것이 아닌 자체 교차하지 않는 매듭을 형성할 수 있습니다.^{[13][page needed]} 이러한 표면은 2차원이기 때문에 3D 공간의 끈보다 훨씬 더 복잡한 매듭을 형성할 수 있습니다. 클라인 병은 그런 매듭지어진 표면의 한 예입니다.^{[citation needed]} 또 다른 이러한 표면은 실제 투영면입니다.^{[citation needed]}

초구

고정된 점 P로부터₀ 같은 거리 R을 갖는 유클리드 4-공간의 점들의 집합은 3-구로 알려진 초곡면을 형성합니다. 밀폐 공간의 초볼륨은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {V} = {\begin {matrix} {\frac {1}{2}}\end{matrix}\pi^{2}R^{4}$

이것은 일반 상대성 이론에서 프리드만-르마 î 트레-로버트슨-워커 메트릭의 일부이며, 여기서 R은 우주의 우주적 나이를 의미하는 함수 R(t)로 대체됩니다. 시간이 지남에 따라 R이 커지거나 줄어든다는 것은 내부의 질량 밀도에 따라 우주가 팽창하거나 무너진다는 것을 의미합니다.^[14]

인간의 4차원 인식

가상현실을 이용한 연구에 따르면 인간은 3차원 세계에 살고 있음에도 불구하고 특별한 연습 없이도 길이(1차원)와 그 사이의 각도(2차원)에 따라 4차원 공간에 내장된 선분에 대한 공간적 판단을 내릴 수 있습니다.^[15] 연구진은 "우리 연구 참가자들은 이러한 작업에 대한 최소한의 연습을 했고, 4D 가상 환경에서 지각 경험이 증가하면서 더 지속 가능하고 확정적이며 더 풍부한 4D 표현을 얻을 수 있는지는 여전히 미해결 문제로 남아 있습니다."라고 언급했습니다.^[15] 또 ^[16]다른 연구에서는 인간이 2D, 3D, 4D 미로에서 방향을 잡는 능력을 테스트했습니다. 각 미로는 무작위 길이의 네 개의 경로 세그먼트로 구성되어 있으며 직교 무작위 굴곡으로 연결되어 있지만 가지나 루프가 없습니다(즉, 실제로 미로). 그래픽 인터페이스는 존 매킨토시의 무료 4D 메이즈 게임을 기반으로 했습니다.^[17] 참가자들은 경로를 탐색하고 최종적으로 출발점으로 돌아가는 선형 방향을 추정해야 했습니다. 연구원들은 일부 참가자들이 4D로 약간의 연습을 한 후에 그들의 길을 정신적으로 통합할 수 있었다는 것을 발견했습니다 (저차원 사례는 비교를 위한 것이었고 참가자들이 방법을 배우기 위한 것이었습니다).

그러나 2020년 리뷰에서는 이러한 연구가 주로 대학생을 대상으로 한 소규모 주제 샘플로 어떻게 구성되는지 강조했습니다. 또한 향후 연구가 해결해야 할 다른 문제들을 지적했습니다. 예를 들어, 인공물의 제거(이는 원인이 될 수 있음). 4D 표현/4D 추론 및 연구자가 제시한 피드백을 사용하지 않는 요구되는 과제를 해결하기 위한 전략과 주제 간 가변성에 대한 분석(4D 인식이 가능한 경우 그 획득은 인간의 부분집합, 특정 임계 기간으로 제한될 수 있음)에 의해, 또는 사람들의 관심이나 동기를 위해). 또한 4차원을 투영할 수 있는 더 적절한 방법이 있는지 여부는 결정되지 않습니다(4차원을 투영할 수 있는 방법에는 제한이 없기 때문입니다). 연구자들은 또한 인간이 4D 인식을 습득하면 뇌 시각 영역과 내피질이 활성화될 수 있다고 가정했습니다. 그렇다면 4D 공간 인식 획득의 강력한 지표로 사용될 수 있다고 제안합니다. 저자들은 또한 (선험적 가정이 다른) 다양한 신경망 아키텍처를 사용하여 학습할 수 있거나 학습할 수 없는 것을 이해할 것을 제안했습니다.^[18]

차원적 비유

4차원 공간의 본질을 이해하기 위해 차원 유추라는 장치가 일반적으로 사용됩니다. 차원 비유는 (n - 1) 차원이 n 차원과 어떻게 관련이 있는지를 연구한 다음, n 차원이 (n + 1) 차원과 어떻게 관련이 있는지 추론하는 것입니다.^[19]

에드윈 애벗 애벗은 평면도라는 책에서 차원적 비유를 사용했는데, 이 책은 종이의 표면과 같은 2차원 세계에 사는 정사각형에 대한 이야기를 다루고 있습니다. 이 사각형의 관점에서 볼 때, 3차원적 존재는 금고를 열지 않고 (3차원을 가로질러 이동함으로써) 금고에서 물건을 제거하여 벽 뒤에 둘러싸인 모든 것을 볼 수 있는 등 겉으로 보기에 신과 같은 힘을 가지고 있습니다. 그리고 3차원에서 몇 인치 떨어진 곳에 서서 완전히 보이지 않는 상태를 유지하는 것입니다.

차원적 비유를 적용하면 4차원적 존재가 3차원적 관점에서 유사한 위업을 할 수 있다는 것을 추론할 수 있습니다. 루디 러커(Rudy Rucker)는 그의 소설 스페이스랜드(Spaceland)에서 주인공이 그러한 힘을 발휘하는 4차원적 존재들과 마주치는 것을 보여줍니다.

단면

3차원 물체가 2차원 평면을 통과할 때, 이 평면에 있는 2차원 존재는 이 평면 내의 3차원 물체의 단면만을 관찰할 것입니다. 예를 들어, 구가 종이 한 장을 통과한다면, 종이 안에 있는 존재들은 처음에 한 점을 보게 될 것입니다. 원은 점차 커져서 구의 지름에 도달할 때까지 커지다가 다시 작아져서 한 점으로 줄어들고 사라질 때까지 계속됩니다. 2D 존재들은 3차원 존재들과 같은 방식으로 원을 보지 않을 것이고, 오히려 1D "레티나"에서 원의 1차원 투영을 볼 수 있을 뿐입니다. 마찬가지로 4차원 물체가 3차원(초) 표면을 통과하면 4차원 물체의 3차원 단면을 관찰할 수 있습니다. 예를 들어, 초구는 점으로 먼저 나타나고, 초구의 "초경"에 도달할 때까지) 성장하는 구로 나타나며, 구는 한 점으로 줄어들다가 사라집니다.^[20] 네 번째 차원의 측면을 시각화하는 이 수단은 소설 플랫랜드와 찰스 하워드 힌튼의 여러 작품에서도 사용되었습니다.^{[8]: 11–14} 그리고, 같은 방식으로, 3차원의 존재는 (2D 망막을 가진 인간과 같은) 2D 모양의 모든 면과 내부를 동시에 볼 수 있고, 4D의 존재는 3D 망막으로 모든 면과 3D 모양의 내부를 한 번에 볼 수 있습니다.

프로젝션

고차원을 시각화하는 데 있어 차원 유추의 유용한 응용은 프로젝션에 있습니다. 투영은 n차원 물체를 n - 1차원으로 표현하는 방법입니다. 예를 들어, 컴퓨터 화면은 2차원이고, 3차원의 사람, 장소, 사물의 모든 사진은 평면에 물체를 투영하여 2차원으로 표현됩니다. 이렇게 하면 화면에 직교하는 치수(깊이)가 제거되고 간접 정보로 대체됩니다. 눈의 망막도 수용체의 2차원 배열이지만 뇌는 간접적인 정보(예를 들어 음영, 단축, 양안시 등)로부터 추론함으로써 3차원 물체의 본질을 인지할 수 있습니다. 예술가들은 종종 원근법을 사용하여 2차원 그림에 3차원 깊이의 환상을 줍니다. 그림에서 볼 수 있듯이 평면 표면에 회전하는 테서랙트의 가상 격자 모델에 의해 만들어지는 그림자도 투영의 결과입니다.

마찬가지로, 네 번째 차원에 있는 물체는 익숙한 세 차원에 수학적으로 투영될 수 있으며, 여기서 더 편리하게 조사할 수 있습니다. 이 경우 4차원 눈의 '망막'은 수용체의 3차원 배열입니다. 그러한 눈을 가진 가상의 존재는 망막에 있는 3차원 이미지의 간접적인 정보로부터 4차원 깊이를 추론함으로써 4차원 물체의 본질을 인지할 것입니다.

3차원 물체를 눈의 망막에 투영하는 원근법은 뇌가 3차원 깊이로 해석하는 전단축과 같은 인공물을 도입합니다. 마찬가지로 4차원에서 원근법 투영을 통해 단축 효과에 대해 유사한 결과를 얻을 수 있습니다. 차원 유추를 적용하면 이러한 효과로부터 4차원 "깊이"를 추론할 수 있습니다.

이 원리의 예로서, 다음의 이미지 시퀀스는 3차원 정육면체의 다양한 뷰와 4차원 입체의 입체적인 테서랙트의 유사한 투영을 비교합니다.

큐브	테서랙트	묘사
		왼쪽의 이미지는 정면으로 보는 큐브입니다. 4차원에서 테서랙트의 유사한 관점은 오른쪽에 표시된 셀 우선 투시 투영입니다. 큐브가 정사각형으로 투영되는 것처럼 테서랙트가 큐브로 투영되는 것처럼 둘 사이에 유사점을 그릴 수 있습니다. 큐브의 다른 5개 면은 여기에 표시되지 않습니다. 눈에 보이는 얼굴에 가려져 있습니다. 마찬가지로, 테서랙트의 다른 7개 세포는 눈에 보이는 세포에 가려져 있기 때문에 여기에는 보이지 않습니다.
		왼쪽의 이미지는 동일한 큐브 뷰를 에지 온(edge-on)으로 보여줍니다. 테서랙트의 유사한 관점은 오른쪽에 표시된 얼굴 우선 투시도입니다. 정육면체의 모서리 첫 번째 사영이 두 개의 사다리꼴로 구성된 것처럼 테서랙트의 면 첫 번째 사영은 두 개의 프리스텀으로 구성됩니다. 이 관점에서 정육면체의 가장 가까운 모서리는 빨간색과 초록색 면 사이에 놓여 있는 모서리입니다. 마찬가지로, 테서랙트의 가장 가까운 얼굴은 붉은 세포와 녹색 세포 사이에 놓여 있는 얼굴입니다.
		왼쪽은 모서리부터 먼저 본 큐브입니다. 이는 오른쪽에 표시된 테스터 액트의 에지 우선 투시도와 유사합니다. 정육면체의 꼭짓점 첫 번째 사영이 꼭짓점을 둘러싼 3개의 삼각형으로 구성된 것처럼, 테서랙트의 꼭짓점 첫 번째 사영은 꼭짓점을 둘러싼 3개의 육면체 부피로 구성됩니다. 정육면체의 가장 가까운 꼭짓점이 세 개의 면이 만나는 꼭짓점인 것처럼, 테서랙트의 가장 가까운 모서리는 투영 부피의 중심에 있는 세 개의 셀이 만나는 꼭짓점입니다.
		테서랙트의 에지-퍼스트 투영과 큐브의 에지-퍼스트 투영 사이에 상이한 비유가 그려질 수 있습니다. 정육면체의 가장 먼저 돌출된 부분은 가장자리를 둘러싼 두 개의 사다리꼴을 가지고 있는 반면, 테서랙트는 가장자리를 둘러싼 세 개의 육면체 부피를 가지고 있습니다.
		왼쪽은 모서리부터 먼저 본 큐브입니다. 테서랙트의 버텍스-퍼스트 투시도는 오른쪽에 표시됩니다. 정육면체의 꼭짓점 첫 번째 사영은 꼭짓점을 둘러싼 세 개의 테트라곤을 가지고 있지만, 테서랙트의 꼭짓점 첫 번째 사영은 꼭짓점을 둘러싼 네 개의 육면체 부피를 가지고 있습니다. 정육면체의 가장 가까운 모서리가 이미지의 중심에 놓여 있는 모서리인 것처럼, 테서랙트의 가장 가까운 꼭짓점은 투영된 부피의 경계가 아니라 네 개의 셀이 모두 만나는 내부의 중심에 놓여 있습니다. 큐브의 반대쪽에 있는 이 세 면 뒤에 다른 세 면이 놓여 있기 때문에 큐브의 여섯 면 중 세 면만 여기에서 볼 수 있습니다. 마찬가지로 테서랙트의 8개 세포 중 4개만이 여기에 보입니다. 나머지 4개는 테서랙트의 먼 쪽에 있는 네 번째 방향에서 이 네 개의 뒤에 놓여 있습니다.

그림자

투영과 밀접한 관련이 있는 개념은 그림자의 캐스팅입니다.

3차원 물체에 빛을 비추면 2차원 그림자가 드리워집니다. 차원적 비유에 의하면, 2차원 세계에서 2차원 물체에 비치는 빛은 1차원 그림자를 드리우고, 1차원 세계에서 1차원 물체에 비치는 빛은 0차원 그림자, 즉 빛이 아닌 점을 드리우게 됩니다. 반대로 4차원 세계에서 4차원 물체를 비추는 빛은 3차원 그림자를 드리울 것이라고 추론할 수 있습니다.

정육면체의 철사를 위에서 비추면 평평한 2차원 표면의 결과 그림자는 해당 모서리가 연결된 정사각형 내의 정사각형입니다. 마찬가지로, 테서랙트의 와이어 프레임이 "위"에서 (4차원에서) 켜져 있다면, 그 그림자는 공중에 떠 있는 또 다른 3차원 정육면체 안에 있는 3차원 정육면체의 그림자일 것입니다 (4차원 관점에서 보면 "평평한" 표면). (기술적으로 여기에 표시된 시각적 표현은 4차원 와이어 프레임 도형의 3차원 그림자의 2차원 이미지입니다.)

경계지역

차원 비유는 경계 영역과 같은 고차원 물체의 기본 속성을 추론하는 데도 도움이 됩니다. 예를 들어, 2차원 객체는 1차원 경계로 경계지어집니다. 정사각형은 4개의 모서리로 경계지어집니다. 3차원 물체는 2차원 표면에 의해 경계지어집니다: 정육면체는 6개의 정사각형 면에 의해 경계지어집니다.

차원적인 비유를 적용함으로써, 테서랙트라고 알려진 4차원 정육면체가 3차원 부피로 경계지어져 있다는 것을 추론할 수 있습니다. 실제로 그렇습니다. 수학은 테서랙트가 8개의 정육면체로 경계를 이룬다는 것을 보여줍니다. 이것을 아는 것은 테서랙트의 3차원 투영을 해석하는 방법을 이해하는 데 핵심입니다. 테서의 경계는 단지 2차원 표면이 아닌 이미지의 볼륨에 투영됩니다.

하이퍼볼륨

4D의 4볼륨 또는 하이퍼볼륨은 테서랙트(측면 길이의 경우) 및 4볼(반지름 r의 경우${\displaystyle {}^{}}$π 2$$ 4 / 2${\displaystyle \pi^{2}$r^{4}/2})과 같은 간단한 기하학적 도형에 대해 닫힌 형태로 계산할 수 있습니다.

익숙한 하위 차원에서 유추하여 추론하는 것은 훌륭한 직관적 지침이 될 수 있지만, 더 엄격하게 테스트되지 않은 결과를 받아들이지 않도록 주의해야 합니다. 예를 들어, 2차원의 원으로 둘러싸인 영역의 공식($$ =$$π r 2 {\$displaystyle$A$$=$\$pi$$r^{2}})과 $$의 구로 둘러싸인 볼륨(${}^{}$ =$43$π r 3 {\$textstyle$V = {\$frac {$4}{3}}\pi r^{3}})을 생각해 보십시오. 4차원 공간에서 구로 둘러싸인 볼륨은$$π r 4 ${\displaystyle \pi$4}}의 유리수 배수라고 추측할 수 있지만 올바른 ${\displaystyle 볼륨}$은$$π 22 r 4 {\$displaystyle {\frac${\$pi$2}}{2}r^{4}}입니다. 임의의 차원 n에서 n-볼의 부피는 차원 n과 차원 n - 2를 연결하는 반복 관계로부터 계산 가능합니다.

시야범위

사람들은 3차원 공간에 있는 존재로서의 공간적 자기 인식을 가지고 있지만 시각적으로는 하나의 차원이 덜합니다: 눈은 세계를 망막의 표면에 있는 2차원으로의 투영으로 봅니다. 4차원의 존재가 초표면에 투영되어 세상을 볼 수 있다고 가정할 때, 단 1차원, 즉 3차원으로 투영된 세상을 동시에 볼 수 있을 것입니다. 예를 들어 불투명한 상자의 6개 면 모두를 동시에 볼 수 있을 것이고, 실제로 상자 안에 무엇이 있는지를 동시에 볼 수 있을 것입니다. 사람들이 종이에 직사각형의 내부와 네 면을 동시에 볼 수 있는 것처럼.^{[citation needed]} 존재자는 입체적인 물체의 내부 구조를 포함하여 3차원적인 부분 공간에 있는 모든 점을 동시에 식별할 수 있을 것이며, 2차원 투영에서 인간의 관점에서 가려진 것들을 3차원적으로 볼 수 있습니다. 뇌는 2차원으로 이미지를 받고 추론을 사용하여 3차원 물체를 그리는 것을 돕습니다.

문화적으로

인아트

문학에서

공상과학 텍스트는 평행 또는 대체 우주 또는 다른 상상의 존재 평면을 언급할 때 종종 "차원"의 개념을 언급합니다. 이 사용법은 평행/대체 우주/존재의 평면으로 이동하려면 표준 우주 이외의 방향/차원으로 이동해야 한다는 개념에서 파생되었습니다. 사실, 다른 우주/평면들은 우리의 것으로부터 단지 작은 거리에 있지만, 그 거리는 표준적인 것이 아니라 4번째(또는 더 높은) 공간(또는 비공간적) 차원에 있습니다.

진정한 기하학적 차원과 관련하여 가장 많이 예고된 공상과학 이야기 중 하나이며, 그러한 문제를 이제 막 조사하기 시작하는 사람들에게 출발점으로 자주 추천됩니다. 에드윈 A의 1884년 소설 플랫랜드입니다. 애보트. 아이작 아시모프(Isaac Asimov)는 시그넷 클래식 1984판 서문에서 플랫랜드를 "차원을 인식하는 방법에 대해 찾을 수 있는 최고의 소개"라고 설명했습니다.

다른 차원에 대한 아이디어는 많은 초기 공상과학 이야기에 통합되었으며, 예를 들어 Miles J. Breuer의 부록과 안경(1928)과 Murray Leinster의 5차원 투석기(1931)에서 두드러지게 나타났습니다. 그리고 1940년대에는 공상과학 소설에서 불규칙하게 나타났습니다. 다른 차원과 관련된 고전 이야기로는 로버트 A가 있습니다. 하인라인의 —그리고 그는 비뚤어진 집을 지었습니다 (1941). 캘리포니아 건축가가 테서랙트의 입체 투영을 기반으로 집을 설계하는 Alan E. Nourse's Tiger by the Tail and The Universe Between (1951년 둘 다); 그리고 Walter Tevis의 The Ifth (1957년). 매들린 엥글의 소설 시간 속의 주름 (A Rookle In Time, 1962)은 다섯 번째 차원을 우주를 빠르게 가로질러 이동하기 위해 "우주를 유혹"하거나 공간을 "접는" 방법으로 사용합니다. 4차원과 5차원은 또한 윌리엄 슬레이터가 쓴 '자신을 뒤집은 소년'이라는 책의 핵심적인 부분입니다.

철학에서

임마누엘 칸트(Immanuel Kant)는 1783년에 다음과 같이 썼습니다. "모든 곳의 공간은 (다른 공간의 경계가 아닌) 3차원을 가지며, 일반적으로 공간은 더 많은 차원을 가질 수 없다는 것은 한 점에서 세 개 이상의 선이 직각으로 교차할 수 없다는 명제에 기반을 두고 있습니다. 이 명제는 개념에서 전혀 보여줄 수 없지만, 직관에 즉시 의존하며, 실제로는 (실증적으로) 확실하기 때문에 순수한 직관에 선험적으로 의존합니다."^[22]

'우주에는 4차원이 있다'는 독일 철학자이자 실험심리학자인 구스타프 페흐너가 1846년 '닥터 미제스'라는 필명으로 발표한 단편소설입니다. 이야기 속의 주인공은 다른 그림자를 알아채고 대화할 수 있지만 2차원 표면에 갇혀 있는 그림자입니다. 페크너에 따르면, 이 "그림자 인간"은 세 번째 차원을 시간의 하나로 생각할 것입니다.^[23] 이 이야기는 플라톤의 공화국 (기원전 380년)c.에 제시된 "동굴의 전설"과 강한 유사성을 지니고 있습니다.

사이먼 뉴컴(Simon Newcomb)은 1898년 미국 수학 학회 회보(Bulletin of the American Mathematical Society)에 "초공간의 철학"이라는 제목의 기사를 기고했습니다.^[24] 린다 달림플 헨더슨은 형이상학적 주제를 탐구하기 위해 더 높은 차원을 사용하는 글쓰기를 설명하기 위해 사용되는 "초공간 철학"^[25]이라는 용어를 만들었습니다. "초공간 철학자"의 예로는 1888년에 "테서랙트"^[26]라는 단어를 사용한 최초의 작가 찰스 하워드 힌튼과 러시아 밀교주의자 PD가 있습니다. 아이고.

참고 항목

인용문

참고문헌

추가읽기

• Archibald, R. C (1914). "Time as a Fourth Dimension" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society: 409–412.
• Andrew Forsyth (1930) 4차원 기하학, 인터넷 아카이브 링크
• Gamow, George (1988). One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science (3rd ed.). Courier Dover Publications. p. 68. ISBN 978-0-486-25664-1. 68페이지 발췌
• E. H. 네빌 (1921) 4차원, 케임브리지 대학 출판부, 미시간 대학 역사 수학 모음집 링크

외부 링크

• 4차원 물체를 시각화하는 여러 가지 방법을 보여주는 "Dimensions" 비디오
• "Dimensions" 비디오를 요약한 Science News 기사(2012-09-29 Acharved at Wayback Machine)
• 평지: 다차원의 로맨스 (제2판)
• 4D - 3D 아날로그의 프레임 단위 애니메이션