페어링

수학에서 페어링은 두 개의 R-모듈의 카르테시안 제품에서 나온 R-비린어 맵이며, 여기서 기본 링 R은 역순이다.

정의

R은 유닛과 상호 작용하는 링이 되게 하고, M, N, L은 R-모듈이 되게 한다.

쌍은 모든 R-bilinar 지도 $e{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ N${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e:$$M\time N\to L}$ 즉, 만족한다$.$

${\displaystyle e(}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot }$ m${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e(m}$, r ${\displaystyle \cdot }$ n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e(m}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot$ e$(m,n$

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$ and ${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\in R}$ 및$$ $m{\displaystyle }$,${\displaystyle }$m ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$∈ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m,m_{1}, m_{2}\in M}$ 및$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,n_{1}, n_{2}\}\in$ N$\}$에 대해 동등하게 쌍은 R-선형 맵이다.

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$은 M과 N의 텐서 제품을 나타낸다$$.

A pairing can also be considered as an R-linear map ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$, which matches the first definition by setting ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$.

위의 지도 ${\displaystyle \Phi }$이(가) R-modules의 이형성일 경우 페어링을 perfect라고 한다.

A pairing is called non-degenerate on the right if for the above map we have that ${\displaystyle e(m,n)=0}$ for all ${\displaystyle m}$ implies ${\displaystyle n=0}$; similarly, ${\displaystyle e}$ is called non-degenerate on the left if ${\displaystyle e(m,n)=0}$ for all ${\displaystyle }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$은 $m{\displaystyle }$ = 0 ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ m=0$}을($를$)$ 암시한다.

모든 m에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$$$$$N${\displaystyle }$= M {\$displaystyle N=M}$과 $e{\displaystyle (m}$ ,${\displaystyle m}$)${\displaystyle }$=$$ {\$displaystyle e($m,m$)=0}$이면 쌍을 교대로 부른다.In particular, this implies ${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$, while bilinearity shows ${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$. Thus, for an alternating pairing, ${\displaystyle e(m,n)=-}$${\displaystyle e}$( n${\displaystyle }$, ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$.

예

실제 벡터 공간 V에 있는 스칼라 제품은 페어링(위의 정의에서 M = N = V, R = R)이다.

결정자 지도(k에 대한 2×2 행렬) → ${\displaystyle k}$는 pairing $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ k ${\displaystyle k^{2}\time k^{2$}\2$}\to$ k$}$로 볼 수 있다$.$

Hopf map S ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ $H{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$:$S^{2}\times S^{2}\to$ S$^{2}}}$는 쌍을$$ 이루는 예다.예를 들어,^[1] 하디 등은 포셋 모델을 사용하여 지도의 명시적 구조를 제시한다.

암호학의 쌍

암호학에서는 흔히 다음과 같은 전문적 정의를 사용한다.^[2]

Let ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$ be additive groups and ${\displaystyle \textstyle G_{T}}$ a multiplicative group, all of prime order ${\displaystyle \textstyle p}$. Let ${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$ be generators of ${\displaystyle G_1}$${\displaystyle \textstyle G_{1}$및$$ G$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}.

페어링은 ${\displaystyle {}_{}}$: e : G 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$G_{1}\time G_{2}\오른쪽 화살표 G_{{}$$T}$

다음과 같은 경우에 해당된다.

1. 이선성: $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a\mathbb{},}$ ${\displaystyle \text{b}}$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$: e (${\displaystyle }$P${\displaystyle }$, ${\displaystyle BQ}$) = ${\displaystyle e{}^{}}$( P${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle Q^{}}$) ${\displaystyle b^{}}$ ${\$\$for a,b\in \mathb {Z} :\$ e\$\e\left(aP,bQ$\right$)=e\e(P,Q\rig$)^{$ab}}}}}}$
2. 비지연성: $e{\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$
3. 실용적인 목적을 위해 $e{\displaystyle }$ ${\$을(를) 효율적으로 계산할 수 있어야$$ 한다.

암호 문헌에서도 모든 그룹이 승법 표기법으로 표기되는 것이 일반적이라는 점에 유의한다.

$G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$= G ${\$일 경우 쌍을 대칭이라고 한다$.$As ${\displaystyle \textstyle G}$ is cyclic, the map ${\displaystyle e}$ will be commutative; that is, for any ${\displaystyle P,Q\in G}$, we have ${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$. This is because for a generator ${\displaystyle g\in G}$, there exist integers ${\di$$splaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ such that ${\displaystyle P=g^{p}}$ and ${\displaystyle Q=g^{q}}$. Therefore ${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$.

Weil pairing은 타원 곡선 암호화에 있어서 중요한 개념이다. 예를 들어, 특정 타원 곡선을 공격하는 데 사용될 수 있다(MOV 공격 참조).그것과 다른 쌍들은 신원 기반 암호화 체계를 개발하기 위해 사용되어 왔다.

페어링의 개념에 대한 약간 다른 사용법

복잡한 벡터 공간에 있는 스칼라 제품을 이선형은 아니지만 쌍이라고 부르기도 한다.예를 들어, 표현 이론에서, 사람은 종종 문자 쌍 구성이라고 불리는 유한 집단의 복잡한 표현 문자에 스칼라 제품을 가지고 있다.

참고 항목

• 이중 시스템
• 요네다 제품

참조

외부 링크

• 페어링 기반 암호화 라이브러리