듀오실린더

이중 실린더 또는 비디스크라고도 불리는 두실린더는 4차원 유클리드 공간에 내장된 기하학적 물체로, 각각의 반지름 r과₁₂ r의 두 개의 원반으로 이루어진 데카르트 산물로 정의된다.

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z,w)\mid x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}}{2}^{2}}}{2}}}}{{2}}\오른쪽\}}}}}}}}}$

선분할이 있는 디스크의 데카르트 제품인 3공간의 실린더와 유사하다.그러나 실린더와 달리 (일반적인 두실린더)의 두 과급기는 모두 응집성이 있다.

그것의 이중은 XY 평면에서 그리고 ZW 평면에서 두 개의 원들로 구성된 두 개의 원으로 구성된 두 개의 원은 ZW 평면에 있다.

기하학

바운드 3마니폴드

두실린더는 토러스 같은 표면을 가진 두 개의 서로 수직인 3-매니폴드에 의해 각각 공식으로 설명된다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}}\leq r_{2}^{2}}$

그리고

${\displaystyle z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}}}\leq r_{1}^{2}}$

이 두 개의 경계형 3마니폴드는 XY와 ZW 평면에서 닫힌 루프를 형성할 정도로 4차원 공간에서 3차원 실린더 '바운트 around'로 생각될 수 있기 때문에 듀오실린더라고 불린다.두실린은 이 두 평면에서 모두 회전 대칭이 있다.

일반 듀오실린더는 두 개의 응집 세포, 하나의 평방형 평면 토러스 면(마루), 제로 에지, 제로 정점 등으로 구성된다.

능선

두실린더 능선은 두 개의 경계(고체) 토러스 세포 사이의 경계인 2매니폴드다.그것은 두 개의 원의 데카르트 산물인 클리포드 토러스 모양을 하고 있다.직감적으로 다음과 같이 구성될 수 있다: 2차원 직사각형을 원통으로 굴려 상단 가장자리와 하단 가장자리가 일치하도록 한다.그런 다음 실린더가 놓여 있는 3차원 하이퍼 평면에 수직으로 평면에서 실린더를 굴려 원형의 두 끝단이 일치하도록 한다.

그 결과 생긴 모양은 위상학적으로 유클리드 2토루스(도넛 모양)와 같다.그러나 후자와는 달리 표면의 모든 부분이 동일하게 변형되어 있다.도넛에서는 '도넛 구멍' 주변의 표면이 음의 곡률로 변형되는 반면, 외부 표면은 양의 곡률로 변형된다.

두실린더 능선은 화면 한쪽 가장자리를 벗어나면 반대편으로 이어지는 소행성과 같은 비디오 게임 스크린의 실제 전지구적 형태라고 생각할 수 있다.3차원 공간에 왜곡 없이 삽입할 수 없는데, 이는 두 쌍의 가장자리가 결합되기 위해서는 고유의 2차원 표면 외에 2도의 자유도가 필요하기 때문이다.

두실린더는 능선 양쪽에 있는 3-sphere의 돌출부에서 "슬라이징"하여 3-sphere로부터 건설할 수 있다.2-sphere에 있는 이것의 유사점은 경미한 위도 원을 ±45도로 그리고 그 사이의 불룩한 부분을 잘라내고 원통형 벽을 남기고 윗부분을 잘라내어 평평한 상단을 남기는 것이다.이 작업은 폴리탑에서 정점/피라미드를 제거하는 것과 동일하지만, 3-sphere가 부드럽거나 규칙적이기 때문에 작업을 일반화해야 한다.

능선 양쪽에 있는 두 개의 3차원 과급기 사이의 이음각은 90도 이다.

투영

두실린더를 3차원 공간으로 평행하게 돌출시키고, 3차원 공간을 가진 교차점은 둘 다 실린더를 형성한다.듀오실린더의 투시 투영은 '도넛 구멍'이 채워진 토러스 형상을 형성한다.

다른 형상과의 관계

듀오실린더는 구성 폴리곤 프리즘의 면수가 무한에 근접함에 따라 듀오프라임의 제한된 형태다.따라서 두 개의 회전은 듀오실린더의 좋은 폴리토픽 근사치 역할을 한다.

3-공간에서 실린더는 큐브와 구 사이의 중간으로 간주될 수 있다.4-공간에서는 테세락트(1-볼×1-볼×1-볼×1-볼)와 하이퍼스피어(4-볼) 사이에 3개의 중간 형태가 있다.다음 구성 요소:

• 표면이 4개의 원통형 셀과 1개의 사각형 토루로 구성된 큐빈더(2-ball × 1-ball)
• 표면이 세 개의 세포, 즉 두 개의 구와 그 사이의 영역으로 구성되는 스퍼린더(3-볼 × 1-볼.
• 표면이 두 개의 토로이드 세포로 구성된 두 개의 디오실린더(2-ball × 2-ball)

위의 세 가지 중 규칙적인 것은 듀오실린더뿐이다.이러한 구조는 4의 5개의 칸막이, 즉 차원 수에 해당한다.

참고 항목

• 클리포드 토루스
• 듀오프리즘
• 플랫 토러스
• 호프 진동
• 다지관

참조

• 간단히 설명하자면, 1910년, Munn & Company, Henry P. Manning, 1910년, New York.버지니아 대학교 도서관에서 구입할 수 있다.또한 온라인으로 액세스 가능:간단히 설명된 네 번째 차원—듀오프리스 및 듀오킬린더(이중 실린더)에 대한 설명 포함
• 추가 치수에 대한 시각적 가이드: 4차원, 고차원 폴리토페스 및 곡선 하이퍼퍼페이스, Chris McMullen, 2008, ISBN978-1438298924

외부 링크

• 로타초라(원형 표면을 가진 4차원 물체)
• 로타토프 분류
• 3차원 공간에 투사된 두실린더 도표
• 기하학적 제품을 사용한 하이퍼스페이스 탐색

(Wayback Machine 복사본)