클리포드토루스

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기하학적 위상학에서, 클리포드 토러스(Clifford torus)는 두 개의¹
_a¹
_b 원 S와 S의 데카르트 곱 중 가장 단순하고 대칭적인 평탄한 내장이다(원통 표면이 "평탄한" 것과 같은 의미).그것은 윌리엄 킹던 클리포드의 이름을 따서 지어졌다.R이³ 아니라 R에 있습니다⁴.R이 필요한 이유를⁴ 알기 위해, S와¹
_b S가 각각 독자적인 매립 공간²
_a R과²
_b R에 존재하는 경우¹
_a, 결과적 공간은 R이 아니라³ R이 된다는⁴ 점에 유의하십시오.역사적으로 두 원의 데카르트 곱이 대조적으로³ R 토러스라는 관점은 첫 번째 원이 x와 y를 소비한 후에 두 번째 원에 사용할 수 있는 하나의 독립 축 z를 가질 것이기 때문에 회전 연산자의 매우 비대칭적인 적용이 필요하다.

다른 방법으로 설명하면, R에³ 내장된 토러스는 R에 내장된⁴ 최대 대칭 클리포드 토러스의 비대칭 축소 차원 투영이다.이 관계는 큐브의 모서리를 종이에 투영하는 것과 유사합니다.이러한 투영을 통해 큐브 모서리의 연결을 정확하게 캡처하는 저차원 이미지가 생성되지만 큐브의 완전 대칭 및 교환 가능한 세 축 중 하나를 임의로 선택하고 제거해야 합니다.

S와¹
_b S의 반지름이 각각${\displaystyle \sqrt{}}$1/$(\$2$\})$인¹
_a 경우, Clifford torus 제품은 R의⁴ 3차원 서브매니폴드인 3구³ S에 완벽하게 들어갑니다.C가 위상적으로 R과⁴ 동일하기 때문에² 수학적으로 편리할 때, Clifford torus는 복소 좌표 공간² C 안에 있는 것으로 볼 수 있다.

클리포드 토러스는 정사각형 토러스의 한 예입니다. 왜냐하면 그것은 반대쪽이 확인된 정사각형과 등각형이기 때문입니다.그것은 유클리드 2-토러스("2"는 그것의 위상 차원이다)로 더 알려져 있다; 그것에 그려진 도형들은 그것이 평탄한 것처럼^{[clarification needed]} 유클리드 기하학을 따르는 반면, 일반적인 "도넛" 모양의 토러스의 표면은 바깥쪽 테두리에서는 양의 곡선과 안쪽에서는 음의 곡선으로 되어 있다.비록 3차원 유클리드 공간에서 토러스의 표준 매립과는 다른 형상을 가지고 있지만, 정사각형 토러스는 또한 내쉬 매립 정리에 의해 3차원 공간에 매립될 수 있다; 하나의 가능한 매립은 표면을 따라 두 개의 수직 방향으로 흐르는 프랙탈 파동 세트에 의해 표준 토러스를 수정한다.를 클릭합니다.^[1]

형식적 정의

R의² 단위 원¹ S는 각도 좌표로 파라미터화할 수 있습니다.

$\displaystyle S^{1}=\{(\cos \theta,\sin \theta)\mid 0\leq \theta < 2 \pi \}$

R의 다른² 복사본에서 단위 원의 다른 복사본을 가져옵니다.

$\displaystyle S^{1}=\{(\cos \varphi,\sin \varphi)\mid 0\leq \varphi <2\pi \}$

그럼 클리포드 토러스는

$({displaystyle {\frac {1}{\fracrt {2}}) S^{1}=\left\{\frac {1}{\fracrt {2}}(\cos \theta,\sin \varphi,\vart {2})}$

S의¹ 각 복사본은 R의 내장² 서브매니폴드이므로, 클리포드 토러스는 R × R² = R의⁴ 내장² 토러스이다.

R이⁴ 좌표(x₁, y₁, x₂, y₂)에 의해 주어지면 클리포드 토러스는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=black{1}{2}}=x_{2}^{2}+y_{2}}^{2}.}$

이것은 R에서⁴ Clifford torus가 3구³ S 유닛의 서브매니폴드임을 보여준다.

클리포드 토러스가 S에서³ 최소 표면임을 쉽게 확인할 수 있다.

복소수를 사용한 대체 도출

클리포드 토러스를 C에 내장된² 토러스로 간주하는 것도 일반적이다.C의 두 복사본에는 다음과 같은 단위 원이 있습니다(여전히 각도 좌표에 의해 파라미터화됨).

$\displaystyle S^{1}=\left\{e^{i\theta}\mid 0\leq \theta <2\pi \right\}$

그리고.

$\displaystyle S^{1}=\left\{e^{i\varphi}\mid 0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

이제 클리포드 토러스는

$\displaystyle {\frac {1}{\fracrt {2}}S^{1}=\left\{\frac {1}{\fracrt {2}}\left(e^{i\theta}, e^{i\varphi}\ta}\theqle,}$

이전과 같이 C의² 단위구³ S에 내장된 서브매니폴드이다.

C가² 좌표(z₁, z₂)에 의해 주어지면 클리포드 토러스는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \left z_{1}\right ^{2}=param frac {1}{2}=\left z_{2}\right ^{2}.}$

위에서 정의한 클리포드 토러스에서 클리포드 토러스의 원점까지의² 거리는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {{\frac {1}{2}}\left e^{i\theta}\right ^{2}+{\frac {1}{2}}\left e^{i\varphi}\right ^{2}}=1).}$

C의² 원점에서 1의 거리에 있는 모든 점의 집합이 단위 3구이기 때문에 Clifford torus는 이 3구 안에 있습니다.사실 클리포드 토러스는 이 3개의 구를 두 개의 합동 고체 토리로 나눕니다(히가르트^[2] 분할 참조).

O(4)는 직교 변환에 의해 R에⁴ 작용하므로 위에서 정의한 "표준" 클리포드 토러스를 강성 회전을 통해 다른 동등한 토리로 이동할 수 있습니다.이것들은 모두 "Clifford tori"라고 불립니다.6차원군 O(4)는 3구 안에 있는 모든 클리포드 토리의 공간에서 횡방향으로 작용한다.그러나 이 동작에는 2차원 스태빌라이저(그룹 동작 참조)가 있습니다. 이는 토러스가 (다른 토러스로 이동하는 것이 아니라) 토러스가 세로 방향으로 회전하기 때문입니다.그래서 실제로 클리포드 ^[2]토리의 4차원 공간이 있다.사실, 3구 단위의 클리포드 토리와 극의 대원 쌍(즉, 최대로 떨어져 있는 대원) 사이에는 일대일 대응 관계가 있다.Clifford torus가 주어졌을 때, 연관된 극지방의 대원은 두 상호보완적인 영역의 핵심 원이다.반대로, 극지방의 대원 쌍이 주어지면, 연관된 클리포드 토러스는 두 원에서 등거리에 있는 3구체의 점들의 궤적입니다.

클리포드 토리의 보다 일반적인 정의

한 2-평면²² R에서 반지름 r의 원의 곱인 3-sphere³² S의 평면 토리를 "Clifford tori"라고도 한다.

같은 원은 0 ≤ θ ≤ ≤ π π π/2 범위의 일부 각도 in에 대해 cos(θ) 및 sin(θ)인 반지름을 갖는 것으로 생각할 수 있다(여기서 퇴화 사례 θ = 0 및 θ = //2 포함).

이 모든 형태의 토리의 0 ≤ θ θ 2 2 2에 대한 결합

$(\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta)\times S(\sin \theta))}$

(여기서 S(r)는 중심(0, 0)과 반지름 r을 갖는 것으로 정의된 평면² R의 원을 나타낸다³.) (각각 S의 대원에³ 해당하며 함께 극성 대원의 쌍을 구성하는 두 퇴화 사례 = 0 및 θ = θ/2를 포함해야 한다.)

이 Torus_θ T는 쉽게 볼 수 있는 영역이 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {area}(T_{\theta })=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta,}$

따라서 Torus_π/4 T만이 가능한 최대 면적이 2µ이다².이 Torus_π/4 T는 "Clifford Torus"라고 가장 일반적으로 불리는 Torus_θ T이며, S에서 최소³ 표면인 T 중 하나이기도_θ 합니다.

더 높은 차원의 클리포드 토리에 대한 더 일반적인 정의

짝수 차원 유클리드 공간²ⁿ R = C의ⁿ 단위구²ⁿ⁻¹ S는 다음과 같이 복소 좌표로 표현될 수 있다.

$\displaystyle S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots,z_{n}\in \mathbf {C}^{n}^{1}+\cdots+z_{n}^{2}=1\right\}입니다.}$

그런 다음, 음수가 아닌 모든₁ 숫자 r, ..., r에_n 대해 r + ...이 된다₁².+ r_n² = 1, 다음과 같이 일반화 클리포드 토러스를 정의할 수 있다.

$\displaystyle T_{r_{1},\ldots,r_{n}=\left\{(z_{1},\ldots,z_{n})\in \mathbf {C}^{n}: z_{k} =r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\right.}$

이 일반화된 클리포드 토리는 모두 서로 분리되어 있다.이러한 토리 T의 결합이_{r1, ..., rn} 단위(2n - 1)-구²ⁿ⁻¹ S라고 다시 한 번 결론지을 수 있다(여기서 반지름 중_k 적어도 하나가 0인 퇴화 경우를 다시 포함해야 한다).

특성.

• 클리포드 토러스는 "평탄하다"; 그것은 일반적인 회전 토러스와 달리 늘리지 않고 평면으로 평평하게 펴질 수 있다.
• 클리포드 토러스는 3구체를 2개의 합동 고체 토리로 분할한다(입체 투영에서는 클리포드 토러스가 혁명의 표준 토러스로 나타난다).3구체를 균등하게 나눈다는 것은 투사된 토러스 내부는 외부와 동등하다는 것을 의미하며, 이는 쉽게 시각화되지 않습니다.)

수학에 사용

심플렉틱 기하학에서 클리포드 토러스는 표준 심플렉틱 구조를 가진 C의 내장² 라그랑지안 서브매니폴드의 예를 제시합니다.(물론 C의 내장 원의 곱은 C의² 라그랑지안 토러스를 제공하므로 이것들은 클리포드 토리가 될 필요는 없습니다.)

로슨 추측에 따르면 원형 메트릭을 가진 3구체의 최소 내장 토러스는 모두 클리포드 토러스여야 합니다.이 추측은 2012년 Simon Brendle에 의해 증명되었다.

Clifford tori와 등각 변환 하에서의 이미지는 윌모어 기능의 글로벌 미니마이저입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 듀오실린더
• 홉프 교정
• 클리포드 평행 및 클리포드 표면
• 윌리엄 킹덤 클리포드

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