공의 부피

기하학에서 공은 주어진 점으로부터 반지름이라고 불리는 일정한 거리 내의 모든 점으로 구성된 공간의 영역입니다. 즉, 구 또는 초구로 둘러싸인 영역입니다.n-공은 n차원 유클리드 공간에 있는 공입니다.공의 부피는 이 공의 르베그 척도이며, 3차원 공간에서 공의 일반적인 부피를 일반화합니다.반지름 R의 n-볼 $부피$는 R n ${\displaystyle {Vn}_{}}${\$displaystyle$ R$^{n}V_$${n}}$이고, $여기$서 ${\displaystyle {Vn}_{}}${\$displaystyle$ V_${n}$은 반지름$$ 1의 n-볼인 단위 n-볼의 부피입니다.

$실수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$ ${\$ V_${n}}$는 2차원 반복 관계를 통해 표현할 수 있습니다.폐쇄형 표현식에는 감마, 요인 또는 이중 요인 함수가 포함됩니다.볼륨은 ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\$ A_${n$ 즉 단위 n-sphere의 면적으로 표현할 수도 있습니다.

공식

첫 번째 권은 다음과 같습니다.

치수	반지름 R의 공 부피	부피 V의 공의 반지름
0	${\displaystyle 1}$	(모든 0개의 공은 볼륨 1을 갖습니다.)
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle {\frac {V}{2}}=0.5\times V}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}\약 3.142\times R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi}}\약 0.564\times V^{\frac {1}{2}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi}{3}}R^{3}\약 4.189\times R^{3}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi}}\right)^{1/3}\대략 0.620\times V^{1/3}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\약 4.935\times R^{4}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi}}\약 0.671\times V^{1/4}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\대략 5.264\times R^{5}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}\right)^{1/5}\약 0.717\times V^{1/5}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\약 5.168\times R^{6}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi}}\약 0.761\times V^{1/6}$
7	${\display style {\frac {16\pi^{3}}{105}R^{7}\대략 4.725\times R^{7}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}\right)^{1/7}\대략 0.801\times V^{1/7}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\약 4.059\times R^{8}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi}}\약 0.839\times V^{1/8}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}R^{9}\약 3.299\times R^{9}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}\right)^{1/9}\약 0.876\times V^{1/9}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\약 2.550\timesR^{10}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi}}\약 0.911\times V^{1/10}$
11	${\displaystyle {\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\약 1.884\times R^{11}$	${\displaystyle \left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}\right)^{1/11}\약 0.944\times V^{1/11}}$
12	${\displaystyle {\frac {\pi^{6}}{720}}R^{12}\약 1.335\timesR^{12}$	${\displaystyle {\frac {(720V)^{1/12}}{\sqrt {\pi}}\약 0.976\times V^{1/12}$
13	${\displaystyle {\frac {128\pi^{6}}{135135}R^{13}\약 0.911\timesR^{13}$	${\displaystyle \left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}\right)^{1/13}\약 1.007\times V^{1/13}$
14	${\displaystyle {\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\대략 0.599\timesR^{14}$	${\displaystyle {\frac {(5040V)^{1/14}}{\sqrt {\pi}}\약 1.037\times V^{1/14}}$
15	${\displaystyle {\frac {256\pi ^{7}}{2027025}R^{15}\대략 0.381\timesR^{15}$	${\displaystyle \left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}\right)^{1/15}\약 1.066\times V^{1/15}$
n	Vn(R)	Rn(V)

닫힌형태

n차원 유클리드 공간에서 반지름 R의 유클리드 공의 n차원 부피는 다음과 같습니다.^[1]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr}}}R^{n}}$

여기서 Δ는 오일러의 감마 함수입니다.감마 함수는 에서 오프셋되지만 그렇지 않은 경우 요인 함수를 정수가 아닌 인수로 확장합니다.n이 양의 정수이고 Δ(n + 1/2) = (n - 1/2) · (n - 3/2) · … · 1/2 · π를 만족합니다.

이차원 재발 관계

감마 함수를 사용하지 않고 볼륨을 계산할 수 있습니다.극좌표에서 벡터-캘큘러스 이중적분을 사용하여 아래에 증명된 바와 같이, 반지름 R의 n-볼의 부피 V는 인터리브 재발 관계를 통해 (n - 2)-볼의 부피로 재귀적으로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)={\begin{case}1&{\text{if}}}n=0,\\[0.5ex]2R&{\text{if}}n=1,\\[0.5ex]{\dfrac {2\pi}{n}}R^{2}\times V_{n-2}(R)&{\text{otherwise}}.\end{case}}$

이를 통해 약 n/2단계로 V(R)를_n 계산할 수 있습니다.

대체형태

볼륨은 1차원 재발 관계를 사용하여 (n - 1)-볼로 표현할 수도 있습니다.

${\displaystyle{aligned}V_{0}(R)&=1,\V_{n}(R)&={\frac {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi}}{\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr )}}R\,V_{n-1}(R).\end{aligned}}$

위의 내용을 뒤집으면 부피 V의 n-볼의 반지름은 (n - 2)- 또는 (n - 1)-볼의 반지름으로 재귀적으로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle{aligned}R_{n}(V)&={\bigl(}{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}^{1/n}\left(\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}V\right)^{-2/(n(n-2)))}R_{n-2}(V),\R_{n}(V)&={\frac {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr}}^{1/n}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}^{1/(n-1)}^{V^{-1/(n-1)}}R_{n-1}(V)입니다.\end{aligned}}$

정수 및 반수에서 감마 함수의 특정 값에 대한 명시적인 공식을 사용하면 유클리드 공의 부피에 대한 공식을 인수 측면에서 제공합니다.음이 아닌 정수 k의 경우 다음과 같습니다.

${\displaystyle{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},\V_{2k+1}(R)&={\frac {2(k!)(4\pi)^{k}}{(2k+1)!}}}:R^{2k+1}.\end{aligned}}$

볼륨은 이중 요인으로 표현할 수도 있습니다.양의 홀수 정수 2k + 1의 경우 이중 요인은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle (2k+1)!!=(2k+1)\cdot (2k-1)\cdot 5\cdot 3\cdot 1.}$

홀수차원 공의 부피는

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2(2\pi)^{k}}{(2k+1)!!!}}}R^{2k+1}.$

짝수 정수의 이중 인수에 대한 규칙이 여러 개 있습니다.이중 요인이 다음을 만족하는 규칙 하에서

${\displaystyle (2k)!!=(2k)\cdot (2k-2)\cdot 4\cdot 2\cdot {\sqrt {2/\pi}}=2^{k}\cdot k!\cdot {\sqrt {2/\pi}}$

n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 n차원 공의 부피는

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2(2\pi)^{(n-1)/2}}{n!!}}:R^{n}}$

공의 부피 V를 반지름 R로 표현하는 대신 공식을 뒤집어서 반지름을 부피의 함수로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle{aligned}R_{n}(V)&={\frac {\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\sqrt {\pi}}}V^{1/n}\&=\left({\frac {n!!V}{2(2\pi )^{(n-1)/2}}\right)^{1/n}\R_{2k}(V)&={\frac {(k!V)^{1/(2k)}}{\sqrt {\pi}}},\R_{2k+1}(V)&=\left({\frac {(2k+1))!V}{2(k!)(4\pi )^{k}}\right)^{1/(2k+1)}.\end{aligned}}$

고차원 근사치

감마 함수에 대한 스털링 근사는 차원 수가 높을 때 부피를 근사하는 데 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi}}}\left({\frac {2\pi}}\right)^{n/2}R^{n}}$

${\displaystyle R_{n}(V)\sim(\pin)^{1/(2n)}{\sqrt {\frac {n}{2\pie}}}V^{1/n}}$

특히, R의 임의의 고정 값에 대해 볼륨은 n이 무한대로 갈수록 0의 제한 값을 가지는 경향이 있습니다.어떤 n의 값이 V(R)를 최대화하는지는 R의 값에 따라 달라집니다. 예를 들어, 볼륨 V(1)는 0 ≤ n ≤ 5일 때 증가하고 n = 5일 때 최대치를 달성하고 n ≥ 5일 때 감소합니다.

표면적과의 관계

A(R)를_{n − 1} 반지름 R의 (n - 1)-구의 하이퍼볼륨이라고 합니다.(n - 1)-구는 반지름 R의 n차원 공의 (n - 1)차원 경계(표면)이며, 구의 하이퍼볼륨과 공의 하이퍼볼륨은 다음과 관련이 있습니다.

${\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {n}{R}}V_{n}(R)}$

따라서 A(R)는_{n − 1} 다음과 같은 공식과 재귀 관계를 V(R)로부터_n 물려받습니다.

${\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}{\bigr}}}}R^{n-1}}}$

요인과 이중 요인에 대한 공식도 있습니다.

프루프

위 수식들의 증명들이 많이 있습니다.

볼륨은 반지름의 n번째 거듭제곱에 비례합니다.

n-볼의 부피와 일반적으로 유용한 사실에 대한 여러 증명에서 중요한 단계는 반지름 R의 n-볼의 부피가 R에 비례한다는ⁿ 것입니다.

${\displaystyle V_{n}(R)\propto R^{n}}$

비례 상수는 단위 공의 부피입니다.

다음은 n차원 공간의 부피에 관한 일반적인 사실의 특별한 경우입니다.K가 그 공간에 있는 물체(측정 가능한 집합)이고 RK가 인자 R에 의해 모든 방향으로 뻗어 나온 물체라면, RK의 부피는 K의 부피의 R배와 같습니다ⁿ.이는 변수 공식의 변경에 따른 직접적인 결과입니다.

${\displaystyle V(RK)=\int _{RK}dx=\int _{K}R^{n}\,dy=R^{n}V(K)}$

여기서 dx = dx…dx와 치환 x = Ry가 만들어졌습니다.

다차원 적분을 피하는 위의 관계에 대한 또 다른 증명은 귀납법을 사용합니다.기본 경우는 n = 0이며, 여기서 비례성은 명백합니다.귀납적 단계의 경우, 비례성이 차원 n - 1에서 참이라고 가정합니다. 초평면과 n-볼의 교점은 (n - 1)-볼입니다.n-볼의 부피를 (n - 1)-볼의 부피의 적분으로 쓸 때:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int_{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)dx,}$

귀납적 가설에 의해 (n - 1)-볼의 반지름에서 R의 인자를 제거하여 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}\!\int_{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}}\right)dx.}$

변수 t = x/R을 변경하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n}\!\int_{-1}^{1}V_{n-1}\!\leftθ\sqrt {1-t^{2}}\right)dt=R^{n}V_{n}(1),}$

이것은 n 차원의 비례 관계를 보여줍니다.귀납법에 의해 비례 관계는 모든 차원에서 참입니다.

2차원 재귀 공식

n-볼과 (n - 2)-볼의 부피와 관련된 재귀 공식의 증명은 위의 비례 공식과 원통 좌표에서의 적분을 사용하여 제공될 수 있습니다.공의 중앙을 통과하는 평면을 고정합니다.평면상의 한 점과 구의 중심 사이의 거리를 r이라 하고, 방위각을 θ라 합니다.반지름과 방위각을 고정하여 정의된 (n - 2)차원 평면과 n-볼을 교차시키면 반지름 λR² - r의² (n - 2)-볼이 됩니다.따라서 공의 부피는 반지름과 방위각에 대한 (n - 2)-공의 부피의 반복 적분으로 표기할 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{R}V_{n-2}\!\left({\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\r오른쪽)r\,dr\,d\theta,}$

방위각 좌표는 즉시 통합할 수 있습니다.비례 관계를 적용하면 부피가 다음과 같음을 알 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)= 2\pi V_{n-2}(R)\int _{0}^{R}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-2)/2}\,r\,dr.}$

적분은 치환 u = 1 - (r/R)로 하여 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle{aligned}V_{n}(R)&=2\pi V_{n-2}(R)\cdot \left[-{\frac {R^{2}}{n}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{n/2}\right]_{r=0}^{r}=R}\&={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),\end{aligned}}$

2-시그널 재귀 공식입니다.

동일한 기법을 사용하여 볼륨 공식의 귀납적 증명을 제공할 수 있습니다.인덕션의 기본사례는 0-ball과 1-ball로, 사실 Δ(1) = 1과 Δ(3/2) = 1/2 · Δ(1/2) = Δ/2를 이용하여 직접 확인할 수 있습니다.귀납적 단계는 위와 유사하지만 (n - 2)-볼의 부피에 비례성을 적용하는 대신 귀납적 가설을 적용합니다.

1차원 재귀 공식

비례 관계는 n-볼과 (n - 1)-볼의 부피와 관련된 재귀 공식을 증명하는 데도 사용될 수 있습니다.비례 공식의 증명처럼, n-볼의 부피는 (n - 1)-볼의 부피에 걸쳐 적분으로 쓸 수 있습니다.그러나, 치환을 하는 대신, 비례 관계는 적분기의 (n - 1)-볼의 부피에 적용될 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\int _{-R}^{R}\left(1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-1)/2}\,dx.}$

적분은 짝수 함수이므로 대칭에 의해 적분 간격은 [0, R]로 제한될 수 있습니다.구간 [0, R]에서 치환 u = (x/R)을 적용할 수 있습니다.이는 식을 다음과 같이 변환합니다.

${\displaystyle V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \int _{0}^{1}(1-u)^{(n-1)/2}u^{-{\frac {1}{2}}\,du}$

적분은 베타함수 β(x, y)라는 잘 알려진 특수함수의 값이며, 베타함수의 관점에서 부피는

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \mathrm {B} \left({\tfrac {n+1}{2}}, {\tfrac {1}{2}}\right)}$

베타 함수는 요인이 이항 계수와 관련된 것과 거의 같은 방식으로 감마 함수의 용어로 표현할 수 있습니다.이 관계를 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot {\frac {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr )}}}.$

Δ(1/2) = √π 값을 사용하면 1-벡터 재귀 공식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi}}{\frac {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}}}{\tfrac {1}{2}}}{\bigr}}}{\tfrac {\bigl(}{\tfrac {n}}}}{V_{n-1}(R)}.$

2차원 재귀적 공식과 마찬가지로 부피 공식의 귀납적 증명을 위해 동일한 기술을 사용할 수 있습니다.

구면좌표에서의 직접적분

$n-볼{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$($)$ {\$displaystyle V_{n}(R$)}의$$ 부피는 부피 요소를 구면 좌표에 적분하여 계산할 수 있습니다.구면좌표계는 방사좌표 r과 각좌표 θ₁, …, θ를_{n − 1} 가지며, 여기서 θ를_{n − 1} 제외한 각 θ의 도메인은 [0, θ]이고, θ의_{n − 1} 도메인은 [0, 2θ]입니다.구형 볼륨 요소는 다음과 같습니다.

${\displaystyle dV=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1},}$

부피는 0과 R사이의 r과 모든 가능한 각도에 대한 이 양의 적분입니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})\cdots d\varphi _{1}\,dr.}$

적분의 각 인자는 단일 변수에만 의존하므로 반복적분은 적분의 곱으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=\left(\int_{0}^{R}^{n-1}\,dr\right)\!\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi _{n-1}\right)}$

반지름 위의 적분은ⁿ R/n입니다.각좌표의 적분 간격은 λ/2에 대한 사인의 대칭에 의해 [0, λ/2]로 변경될 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\left(2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(4\int _{0}^{\pi /2}d\varphi _{n-1}\right)}$

나머지 각 적분은 이제 베타 함수의 특정 값이 됩니다.

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-1}{2}}, {\bigr )}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-2}{2}, {\tfrac {1}{2}, {\bigr )}\cdots \mathrm {B} {\bigl (}1, {\tfrac {1}{2}}\cdot 2\,\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}, {\tfrac {2}}, {\bigr )}.$

베타 함수는 감마 함수로 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\cdot {\frac {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-{\bigr}}\gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{2}}}{\bigr}}}{\cdot {\frac {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}}}\cdot {\frac {\bigl(}{\tfrac {n}}-1{\bigr )}\cdot {\bigl(}{\tfrac {1}{2}}}{\bigr )}}}{\gamma {\bigl(}{\tfrac {2}}-{\tfrac {1}{2}}}{\bigr )}}{\bigr}}}}\cdots {\frac {\Gamma (1)}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}\cdots {\frac {\bigl (}{\tfrac {3}{2}}}\cdots 2{\frac {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\cdots {\bigl (}{\tfrac {1}}{\bigr )}}\cdots {\bigl (1)}}{\gamma (1)}}}.}$

이 제품은 망원경입니다.이것을 값 Δ(1/2) = Δ 및 Δ(1) = 1과 함수식 ZΔ(z) = Δ(z + 1)와 결합하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}R^{n}}{n\,\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}{\bigr}}}={\frac {\pi ^{n/2}R^{n}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr}}}.$

가우스 적분

부피 공식은 가우스 적분을 사용하여 직접 증명할 수 있습니다.다음과 같은 기능을 고려합니다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})=\exp {\biggl(}{-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\biggr}}}}$

이 함수는 회전 불변이고 각각 하나의 변수의 함수의 곱입니다.가우스 적분에 대한 공식과 곱이라는 사실을 이용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\prod _{i=1}^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}}\exp \left{\tfrac {1}{2}x_{i}^{2}\right)\,flag_{i}\right)=(2\pi)^{n/2},}$

여기서 dV는 n차원 볼륨 요소입니다.회전 불변성을 사용하여 구면 좌표로 동일한 적분을 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\int _{0}^{\infty}}\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left{\tfrac {1}{2}r^{2}\right)\,dA\,dr,}$

여기서^{n − 1} S(r)은 반지름 r의 (n - 1)-구(반지름 r의 n-볼의 표면)이고 dA는 면적 요소(동등하게는 (n - 1)차원 부피 요소)입니다.구의 표면적은 공의 부피와 유사한 비례방정식을 만족합니다.A(r)가_{n − 1} (n - 1)-구 반지름 r의 표면적이라면,

${\displaystyle A_{n-1}(r)=r^{n-1}A_{n-1}(1)입니다.}$

위의 적분에 이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle (2\pi )^{n/2}=\int _{0}^{\infty}}\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left{\tfrac {1}{2}r^{2}\right)\dA\,dA\,dr=A_{n-1}(1)\int _{0}^{\infty}}\exp \left{\tfrac {1}{2}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr.}$

t = r/2 대체하기:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}\exp \left{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr=2^{(n-2)/2}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{(n-2)/2}\dt.}$

오른쪽의 적분은 n/2에서 평가된 감마 함수입니다.

두 결과를 종합하면

${\displaystyle A_{n-1}(1)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}{\bigr}}}}}.$

이 공식으로부터 반지름 R의 n-볼 부피를 구하려면 0 ≤ r ≤ R에 대한 반지름 r 구의 표면적을 적분하고 함수방정식 ZΩ(z) = Ω(z + 1)을 적용합니다.

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}{\frac {2\pi ^{n/2}}{\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}}\,r^{n-1}\,dr={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\,\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}{2}}{\bigr}}}}R^{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr}}}}R^{n}}R^{n}}}R^{n}}.$

기하학적 증명

$관계$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$+${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle R)}$ = ${\displaystyle \frac{Rn}{}}$ ${\displaystyle \frac{+}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}{An}_{}}$ (${\displaystyle R)}${\$displaystyle V_{n+1}(R$) = {\$frac {R}{n+1}}$입니다.$A_{n}(R)}$ 및 ${\displaystyle {An}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle R)}$ $=$ (${\displaystyle 2}$ $π$ R${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle R)}${\$displaystyle A_{n+1}(R$)$=$($2\pi$ R$)V_{n}(R)}$이므로 n-볼의 부피와 n-볼의 면적도 기하학적으로 유도할 수 있습니다.위와 같이, R {\$displaystyle$ R$}$의 모든 방향을$$R {\$displaystyle$ $B_{$n}}번 리스케일링하여 단위 볼 ${\displaystyle B_{}}$ $n$ ${\displaystyle$ $B_{$n}}로부터 $반지름$ R$${\displaystyle$V_{n}($${\displaystyle R}$)}를 ${\displaystyle {구하므로}^{}}$, ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle n_{}}$ ($R$ {\$displaystyle$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{V\_}}{}{}_{}\frac{}{}}$}}에 비례하며,$$$이$는 d V n (R)${\displaystyle \frac{}{}}$d R$$= n $R$ ($R)$ {\$displaystyle${\$frac {dV_{$n}($R)}$= {\$frac$${n}{R}}V_{n}(R$ ${\displaystyle {또한}_{}}$, $공$은 동심원들의 결합이고 $ε$만큼 반지름이 증가하는 것은 두께 $ε$의 껍질에 해당하므로 An${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle R)}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ n${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$(${\displaystyle \frac{R}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$d ${\displaystyle \frac{}{}}${\$displaystyle A_{n-1}(R$) $=$ {\$frac {dV_{n}(R)}{dR}}.$$따라서$,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{Vn}}_{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{R}{}{}_{}n}$ ${\displaystyle {\mathrm{An}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}1}$ ${\displaystyle (}$R$)$ {\$displaystyle V_{$n}(R) = ${\frac {R}{n}}, A_{$${\displaystyle {n-1}_{}}$$}($${\displaystyle \frac{R}{}}$$)$ = ${\displaystyle V_{n+1}(R$ = {\$frac {R}{$+$1}}}$에 ${\displaystyle {해당}_{}}$합니다.$A_{n}(R$

${\displaystyle {}_{}{단위}_{}}$ $구$ ${\displaystyle {Sn}_{}}$+$$ $displaystyle$ S_${n+$ R${\displaystyle )}$V_{n$}(R)}$은(는) 단위 $구 Sn$ + 1 {\$displaystyle S_{n+1}}$과 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$× ${\displaystyle {Bn}_{}}${\$displaystyle$ S_${1}\times$ B_${n$ :

${\displaystyle (x,y,{\vec {z}})\maps\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2)}}}, {\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\vec {z}}\right)}$

( $$ → {\$displaystyle${\$vec {z}}}$은(는) n-슬라이스입니다${\displaystyle .}$ (${\displaystyle x,y}$, ${\displaystyle z}$ → ) = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle (x, y,$ {\$vec {z}})$ =$1$ 측정 집합 0을 무시합니다.)각 점에서 등각법과의 차이가 xy 평면에서의 스트레칭($1\mathrm{}$/ $\sqrt{{x\mathrm{}}^{}}$2 + $\sqrt{{y\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$textstyle$ 1$/\!)$이기 때문에 볼륨이 보존됩니다.${\sqrt {x^{2}+y^{2$$}}}}$${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\displaystyle$ S_${n$}}(관련 각도가 동일함)에서 z $→$ {\$displaystyle {\vec {z}}}$의 기울기 방향의 압축과 정확히 $일치$하는 ${\displaystyle {상수}^{}}$x ${\displaystyle {}^{}}$ +$$ 2 {\$displaystyle x^{2$} +$y^{$2$\}\})$의 방향의 시간.${\displaystyle {S2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ S_${2$의 경우, 아르키메데스가 원래 "구와 원기둥"에서 비슷한 주장을 했습니다.

공이 L 표준에 있음^p

L 표준에는^p 공의 부피에 대한 명시적인 표현도 있습니다.R에서 벡터 x = (x, …, x)의 L 놈은

${\displaystyle \x\_{p}={\biggl(}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{p}{\biggr)}^{\!1/p}}$

그리고^p L 공은 L 놈이 공의 반지름이라 불리는 고정된 수 이하인 모든^p 벡터의 집합입니다.경우 p = 2는 표준 유클리드 거리 함수이지만 정보 이론, 코딩 이론, 차원 정규화 등 다양한 맥락에서 p의 다른 값이 발생합니다.

반지름 R의 L 공의^p 부피는

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl(}2\,\Gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr}}{\Bigr}}^{\bigr}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}+1{\bigr}}}R^{n}}$

이러한 볼륨은 p = 2의 경우와 유사한 재발 관계를 만족합니다.

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl(}2\,\Gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr)}{\Bigr}}^{p}}R^{p}\,V_{n-p}^{p}(R)}$

그리고.

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)=2{\frac {\bigl(}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n-1}{p}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}+1{\bigr )}}R\,V_{n-1}^{p}(R),}$

일반화된 이항 계수를 사용하여 보다 간결하게 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {2}{\dbinom {n/p}{1/p}}R\,V_{n-1}^{p}(R)}$

p = 2의 경우, 2Ω(3/2) = √π이기 때문에 유클리드 공의 부피에 대한 재발을 복구합니다.

예를 들어 p = 1(택시 표준) 및 p = ∞(최대 표준)의 경우 볼륨은 다음과 같습니다.

${\displaystyle{aligned}V_{n}^{1}(R)&={\frac {2^{n}}{n!}}R^{n},\V_{n}^{\infty}(R)&=2^{n}R^{n}.\end{aligned}}$

이는 교차 다포체와 하이퍼큐브의 부피에 대한 기본적인 계산과 일치합니다.

표면적과의 관계

대부분의 p 값에 대해, 반지름 R의 L 구(반지름^p R의 L n-볼 경계)의^p $표면적{\displaystyle {}_{}^{}}$ A ${\displaystyle n_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$p ( ${\displaystyle R}$)$${\$displaystyle A_{n-1}^{p}(R)$는 반지름에 대한 L^p 공의 부피를 미분하여 계산할 수 없습니다.공면적 공식을 사용하여 부피를 표면적에 대한 적분으로 표현할 수 있지만 공면적 공식에는 p-노름이 점마다 어떻게 다른지를 설명하는 보정 인자가 포함되어 있습니다.p = 2 및 p = δ의 경우 이 인자는 하나입니다.그러나 p = 1이면 보정 계수는 √n입니다. R에서 반지름 R의 L 구의 표면적은 L 공 부피의 도함수의 √n 배입니다.이것은 발산 정리를 벡터 필드 F(x) = x 에 적용하여 가장 간단하게 알 수 있습니다.

${\displaystyle nV_{n}^{1}(R)=}$${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla}) \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}( x_{1} +\cdots + x_{n} )\,dS}$ ${\displaystyle = {\frac {R}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \,dS}$ ${\displaystyle = {\frac {R}{\sqrt {n}}}A_{n-1}^{1}(R)}$

다른 p 값의 경우 상수는 복잡한 적분입니다.

일반화

부피 공식은 더욱 일반화될 수 있습니다.양의 실수₁ p, …, p는_n L ≥ 0인 (p₁, …, p_n) 공을 정의합니다.

${\displaystyle B_{p_{1},\ldots,p_{n}}(L)=\left\{x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbf {R}^{n}:\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}\leq L\right\}}.$

이 공의 부피는 디리클레 ^[3]때부터 알려져 있습니다.

${\displaystyle V{\bigl (}B_{p_{1},\ldots,p_{n}}(L){\bigr )}={\frac {2^{n}}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}+1{\bigr )}}{\gamma {\bigl (}{\tfrac {1}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}+1{\bigr )}}}L^{\tfrac {1}{p_{1}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}}.$

L 놈과 비교^p

$조화평균$ p = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{p_{}}{}}{}}$1 + ⋯ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{{}_{}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{n_{}}{}}{}}${\$displaystyle$ p = {\$frac {n}}{{\frac$ {1$}{p_{n}}}}}}$를 사용하고 R$$=$L$p${\$${\displaystyle displaystyle}$ R = {\$sqrt[{p}}}{$$L$ L볼의^p 부피 공식과 유사성이 명확해집니다.

${\displaystyle V\left(\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}}:{\vert x_{1}}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}\leq R\right\}\right)={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{p_{1}}+1{\bigr}}\cdots \Gamma {\bigl(}{\tfrac {1}{p_{n}}+1{\bigr}}}{\gamma {\bigl(}{\tfrac {n}}}R^{n}}}R^{n}}.$

참고 항목

• n구형의
• 구포장
• 해밍 바운드

참고문헌

외부 링크

• 초구형 좌표 유도 (프랑스어)
• 초구 Wolfram MathWorld
• 계산 기준에서 하이퍼스피어의 볼륨