3-sphere

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2016년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 3-sphere는 구체의 고차원 아날로그다. 고정 중심점에서 등거리점 집합으로 4차원 유클리드 공간에 삽입할 수 있다. 3차원의 공의 경계가 일반 구(또는 2-sphere, 2차원 표면)인 것과 유사하게 4차원의 공의 경계가 3-sphere(3차원의 물체)인 것이다. 3-sphere는 3-manifold와 n-sphere의 예다.

정의

좌표에서 중심(C₀, C₁, C, C₂₃)과 반지름 r을 가진 3-sphere는 4차원 공간(R⁴)의 모든 점(x₀, x₁, x, x₂₃)의 집합이다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}$

반경 1이 있는 원점을 중심으로 하는 3-sphere를 3-sphere 단위라고 하며, 일반적으로 S³:

${\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathb {R}^{4}:x_{0}^{2}+x_{1]}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.}$

종종⁴ R을 2개의 복잡한 치수(C²)나 쿼터니온(H)의 공간으로 보는 것이 편리하다. 그런 다음 3-sphere 유닛은

${\displaystyle S^{3}=\왼쪽\{(z_{1},z_{2})\in \mathb {C}^{2}: z_{1}{1}{2}+ z_{2} ^{2} ^{2}=1\right\}}}}}}$

또는

$\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathb {H} :\ q\ =1\right\}.}$

표준 1의 쿼터니온으로 이 설명은 쿼터니온 디비전 링에서 버퍼가 있는 3-sphere를 식별한다. 평면 극좌표에서 단위 원이 중요하듯이, 쿼터니온 곱셈에 관여하는 4공간 극좌표에서도 3-sphere가 중요하다. 이 3-sphere의 개발에 대한 자세한 내용은 쿼터의 극지방 분해를 참조하십시오. 3-sphere에 대한 이러한 견해는 조르주 르메르트르가 개발한 타원형 공간 연구의 기초가 된다.^[1]

특성.

기본 속성

반경 r의 3-sphere의 3차원 표면적은

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\,}$

4차원 하이퍼볼륨(3-sphere로 경계된 4차원 영역의 내용)은

${\displaystyle H={\frac {1}{1}:{2}}\pi ^{2}r^{4}.}$

3차원 하이퍼플레인이 있는 3-sphere의 모든 비어 있지 않은 교차점은 2-sphere이다(하이퍼플레인이 3-sphere에 접하는 경우는 제외, 이 교차점은 단일 점). 3-sphere가 주어진 3차원 하이퍼플레인을 통과하면서 교차로에서 출발하여, 하이퍼플레인이 3-sphere의 "동등분자"를 통해 바로 절단될 때 최대 크기에 도달하는 성장 2-sphere가 된다. 그런 다음 3-sphere가 하이퍼플레인을 떠날 때 2-sphere는 다시 한 지점으로 축소된다.

위상학적 특성

3-sphere는 경계가 없는 소형 3차원 다지관이다. 그것은 또한 간단히 연결되어 있다. 이는 넓은 의미에서 3-sphere의 모든 루프 또는 원형 경로가 3-sphere를 떠나지 않고 지속적으로 축소될 수 있다는 것을 의미한다. 2003년 그리고리 페렐만에 의해 입증된 푸앵카레 추측에 따르면 3-sphere는 이러한 성질을 가진 유일한 3차원 다지관(동형성까지)임을 알 수 있다.

3-sphere는 R의³ 원 포인트 콤팩트화에 대해 동형이다. 일반적으로 3-sphere에 대해 동형인 모든 위상학적 공간을 위상학적 3-sphere라고 부른다.

3-sphere의 호몰로지 그룹은 다음과 같다: H₀(S³,Z)와 H₃(S³,Z)는 모두 무한 순환인 반면 H_i(S³,Z)는 다른 모든 지수 i에 대해 {0}이다. 이러한 호몰로지 그룹이 있는 위상학적 공간은 호몰로지 3-sphere로 알려져 있다. 처음에 푸앵카레는 모든 호몰로지 3-spres가 S에게³ 동형체라고 추측했지만, 그 자신이 현재 푸앵카레 호몰로지 영역으로 알려진 비동형체를 만들었다. 현재 무한히 많은 동종학 영역이 존재하는 것으로 알려져 있다. 예를 들어, 덴.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output 비탈 .mw-parser-output과.그3-sphere에 매듭에 Den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/n으로 이들은 3-sphere에homeomorphic지 못하고 있는 상동 영역을 준다.

호모토피 그룹에 대해서는 π₁(S³) = π₂(S³) = {0}이(가) 있고 infinite(S³)는₃ 무한순환이다. 더 높은 호모토피 그룹(k 4 4)은 모두 유한한 아벨 그룹이지만 그 외에는 식별할 수 있는 패턴을 따르지 않는다. 자세한 내용은 호모토피 구 그룹을 참조하십시오.

S의³ 호모토피군

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
πk(S3)	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z2⊕Z2	Z12⊕Z2	Z84⊕ZZ22	Z2⊕Z2	Z6

기하학적 특성

3-sphere는 자연적으로 매끄러운 다지관이며, 사실⁴ R의 폐쇄된 내장형 서브매니폴드이다. R에⁴ 대한 유클리드 메트릭스는 3-sphere에 대한 메트릭스를 유도하여 리만 다지관의 구조를 제공한다. 모든 구와 마찬가지로 3-sphere는 1/r과² 동일한 양의 양의 단면 곡률을 가지고 있으며, 여기서 r은 반지름이다.

3-sphere의 흥미로운 기하학 대부분은 3-sphere가 쿼터니온 곱셈에 의해 주어지는 자연스러운 Lie 그룹 구조를 가지고 있다는 사실에서 비롯된다(그룹 구조에 관한 아래 섹션 참조). 이러한 구조를 가진 다른 구들은 0-sphere와 1-sphere뿐이다(원 그룹 참조).

2-sphere와 달리 3-sphere는 비바니싱 벡터 필드(접선 번들의 부분)를 허용한다. 심지어 세 개의 선형 독립적이고 비바니싱 벡터 필드도 찾을 수 있다. 이것들은 3-sphere의 Lie 대수학의 기초를 형성하는 좌변량 벡터 장으로 간주될 수 있다. 이는 3-sphere가 병렬 처리 가능하다는 것을 의미한다. 따라서 3-sphere의 접선 번들은 사소한 것이다. n-sphere의 선형 독립 벡터 필드 수에 대한 일반적인 설명은 구의 문서 벡터 필드를 참조하십시오.

S에³ 서클 그룹 T가 3-sphere에게 홉프 묶음으로 알려진 주 서클 묶음의 구조를 주는 흥미로운 액션이 있다. 만일³ S를² C의 서브셋으로 생각한다면, 그 작용은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \lambda }$= ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle \lambda }$ λ λ λ ${\displaystyle \lambda \mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ { { { { { { { { { { { { { { { { {$$\\\\$data \lambda =(z_{1},z_${1},$z_{$2},z_{2},z_{2}, $\da$ )\$lambda$ )\lamba $)\quad$ \$lamba$ \$lamba$

이 작용의 궤도 공간은 2-sphere S에² 대해 동형이다. S는³ S² × S에¹ 대해 동형체가 아니기 때문에, Hopf 번들은 비동형이다.

위상학적 구조

3-sphere에는 몇 가지 잘 알려진 건축물이 있다. 여기서는 3볼 한 쌍의 접착과 1점 콤팩트화에 대해 설명한다.

접착

3-sphere는 3-볼 한 쌍의 경계를 함께 "글링"하여 토폴로지적으로 구성할 수 있다. 3볼의 경계는 2-sphere이며, 이 두 개의 2-스페어를 식별해야 한다. 즉, 같은 크기의 3볼 한 쌍을 상상한 다음, 2구형의 경계가 일치하도록 그것들을 과대포장하고, 2구경 쌍에 있는 점의 쌍이 서로 동등하게 일치하도록 한다. 2-sphere의 경우(아래 참조)와 유사하게 접착면을 적도구라 한다.

3볼의 인테리어가 서로 붙어 있지 않다는 점에 유의한다. 네 번째 차원을 생각할 수 있는 한 가지 방법은 3볼의 3차원 좌표의 연속적인 실제 가치 함수로서, 아마도 "온도"로 간주될 것이다. 우리는 접착 2-sphere를 따라 "온도"를 0으로 잡고 3-볼 중 하나를 "핫"하게 하고 나머지 3-볼은 "콜드"하게 한다. '핫'한 3볼은 '상반구'로, '콜드' 3볼은 '하반구'로 생각할 수 있다. 두 개의 3구 중심에서 온도가 가장 높다/낮다.

이 구조는 디스크 한 쌍의 경계를 접착하여 수행하는 2-sphere의 구조와 유사하다. 디스크는 2볼이고, 디스크의 경계는 원(1-sphere)이다. 디스크 한 쌍의 직경이 동일하도록 두십시오. 과대포장하고 경계에 해당하는 점을 접착한다. 다시 한 번 세 번째 차원을 온도로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 우리는 2-sphere를 부풀려 디스크 쌍을 북반구와 남반구로 이동시킬 수도 있다.

원포인트 컴팩트화

2-sphere에서 단일 점을 제거한 후 남은 것은 유클리드 평면에 대한 동형성이다. 마찬가지로 3-sphere에서 한 점을 제거하면 3차원 공간이 생긴다. 이것을 보는 매우 유용한 방법은 입체 투영을 통해서이다. 우리는 먼저 저차원 버전을 설명한다.

장치 2-sphere의 남극을 xy-plane에 3-space로 놓으십시오. 우리는 P를 비행기와 선 NP의 교차점에 보내서 구(북극 N)의 점 P를 비행기에 매핑한다. 3-sphere(북극 제거에 동의함) 지도를 같은 방식으로 3-공간으로 입체 투영. ( 입체 투영은 등각이므로 둥근 구를 둥근 구 또는 평면으로 보내도록 함)

원포인트 압축을 생각하는 다소 다른 방법은 지수 지도를 통해서이다. 유클리드 비행기에 탑승한 2-sphere 유닛의 사진으로 돌아가기: 원점에 근거한 평면 내 측지학을 고려하고, 남극에 근거한 동일한 길이의 두-sphere에 있는 측지학에 매핑한다. 이 지도 아래 반경 π의 원의 모든 지점은 북극으로 보내진다. 오픈 유닛 원반은 유클리드 평면에 동형이기 때문에, 이것은 다시 원 포인트 콤팩트화다.

3-sphere에 대한 지수 지도는 유사하게 구성된다. 또한 3-sphere가 단위 쿼터의 Lie 그룹이라는 사실을 사용하여 논의될 수 있다.

3-sphere의 시스템 조정

S에³ 대한 4개의 유클리드 좌표는 x₀² + x₁² + x₂² + x₃² = 1의 조건을 따르기 때문에 중복된다. 3차원 다지관으로서 두 개의 좌표(위도, 경도 등)를 사용하여 2-sphere를 파라미터화할 수 있는 것처럼 3차원 다지관으로서 S를³ 세 개의 좌표로 파라미터화할 수 있어야 한다. S의³ 비경쟁적 위상 때문에 전체 공간을 커버하는 좌표 세트를 한 세트도 찾을 수 없다. 2-sphere에서와 마찬가지로 최소한 두 개의 좌표 차트를 사용해야 한다. 다음과 같은 몇 가지 다른 좌표 선택이 제시되어 있다.

초심 좌표

S의² 일반적인 구면 좌표와 유사하게 S에³ 어떤 종류의 초심 좌표를 갖는 것이 편리하다. 그러한 선택들 중 하나는, 결코 독특한 것이 아니라, ( where, φ, φ)을 사용하는 것이다.

${\displaystyle {\signed}x_{0}&=r\cos \\csn \cs \\x_{2}&=r\sin \cos \cos \varphi\x_{3}&r\sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \varpend{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ψ과 θ은 0 ~ π의 범위를 넘고, φ은 0 ~ 2 π의 범위를 넘는다. ψ, θ, φ의 고정값에 대해, for, φ의 2-sphere r sin ψ을 매개변수로 나타내며, ψ이 0 또는 π일 때, ψ은 점을 기술한다.

이러한 좌표에서 3-sphere의 원형 메트릭은^{[citation needed]}

${\dapplaystyle ds^{2}=r^{2}\왼쪽[d\lift ^{2}+\sin ^{2}\d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\d\varphi ^{2}\right]}}}$

그리고 볼륨은 다음에 의해 형성된다.

${\displaystyle dV=r^{3}\왼쪽(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\wedge d\barphi .}$

이 좌표들은 쿼터니온의 측면에서 우아하게 묘사되어 있다. 모든 단위 쿼터니언 q는 버시어로 쓸 수 있다.

${\displaystyle q=e^{\tau \}=\cos \cos \beat +\tau \sin \beat }$

여기서 τ은 상상의 쿼터, 즉 τ² = -1을 만족시키는 쿼터니온이다. 이것은 오일러의 공식의 쿼터니오닉 아날로그다. 이제 장치 가상 쿼터는 모두 Im H에 있는 장치 2-sphere에 있으므로 이러한 모든 τ은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \thin \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k}$

τ을 이 형태로 하여 quaternion q 단위는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle q=e^{\tau \}=x_{0}+x_{1}i_{1}i_{2}j+x_{3}k}$

여기서_0,1,2,3 x는 위와 같다.

공간 회전(cf. quaternion 및 공간 회전)을 기술하기 위해 q를 사용할 때, τ에 대한 회전을 2㎛ 각도로 기술한다.

호프 좌표

단위₂ 반지름의 경우 다른 선택인 초심₁ 좌표(,, ,, ),)는² C에³ S를 내장하는 것을 사용한다. 복잡한 좌표 (z₁, z₂) ∈ C 우리는² 쓴다.

${\displaystyle {\displaysty}z_{1}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}\1}\sin \eta \\\z_{2}=e^\,\xi _{2}}\cos \eta .\ended}}}}}}}$

이것은 또한 R로⁴ 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

여기서 runs run은 0 ~ π/2 범위에 걸쳐 진행되며, 2과 ξ은₁₂ 0 ~ 2 π 사이의 값을 취할 수 있다. 이러한 좌표는 3-sphere를 Hopf 번들로 설명하는 데 유용하다.

${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$

0과 π/2 사이의 고정값인 η에 대해 좌표₁(ξ₂, 2)는 2차원 토러스(torus를 나타낸다. 위의 상수 ξ과₁ ξ의₂ 고리는 토리의 단순한 직교 그리드를 형성한다. 오른쪽 이미지를 참조하십시오. 변질된 경우, η이 0 또는 //2일 때, 이들 좌표는 원을 설명한다.

이러한 좌표에서 3-sphere의 원형 메트릭은

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{1}^{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}}^{2}}}$

그리고 볼륨은 다음에 의해 형성된다.

${\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \eta \eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}$

Hopfibration의 연동 원을 가져오려면 위의^[2] 방정식을 사용하여 간단히 대체하십시오.

${\displaystyle {\regated}z_{1}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2}&=e^{i\, (\xi _{2}-xi _{1})\cos \eta .\ended}}}}}}}}}$

이 경우 η과 ξ은₁ 어느 원을 명시하고, ξ은₂ 각 원을 따라 위치를 명시한다. ξ₁ 또는 ξ의₂ 왕복 1회(0~2π)는 각각 2개의 방향에서 토러스 왕복 1회 주행과 동일하다.

입체 좌표

또 다른 편리한 좌표 세트는 극에서 해당 적도³ R 하이퍼플레인까지 S의³ 입체 투영을 통해 얻을 수 있다. 예를 들어 포인트(-1, 0, 0, 0)에서 투영하면 S에³ 포인트 p를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle p=\leftbp=\u\{1-\u\^{2}}:{1}{1+\u\{2}}:}{\frac {1+\ ^2}}: 오른쪽)={{\frac {1+\mathbf {u}{1-\mathbf {u}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 u = (u₁, u₂, u₃)는 R과³ u = u₁² + u의₂²₃² 벡터다. 위의 두 번째 평등에서 우리는 p를 단위 쿼터니온으로, u₁ = ui₂ + uj₃ + uk를 순수한 쿼터니온으로 식별했다. (주: 분자와 분모는 쿼터니온 곱셈이 일반적으로 비확정적임에도 불구하고 여기서 통근한다는 점에 유의하십시오.) 이 지도의 역행은 p = (x₀₁, x, x₂, x₃)를 S에서³ S로 한다.

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\왼쪽(x_{1},x_{2},x_{3}\오른쪽).}$

우리는 그 지점 (1, 0, 0, 0)에서 예상할 수 있었는데, 이 경우 p는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle p=\왼쪽 p=\frac {-1+\ v\^{2}}:{1+\ v\{2}}:}{\frac {2\mathbf {v}{1+\v\{2}}}\오른쪽)={\frac {-1+\mathbf {v}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 v = (v₁, v₂, v₃)는 R의³ 또 다른 벡터다. 이 지도의 역행은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\왼쪽(x_{1},x_{2},x_{3}\오른쪽).}$

u 좌표는 (-1, 0, 0), v 좌표는 (1, 0, 0), v 좌표는 (1, 0, 0)을 제외한 모든 곳에 정의된다는 점에 유의하십시오. 이것은 두 개의 좌표도 또는 "패치"로 구성된 S에³ 대한 지도책을 정의하며, 이 지도는 S의³ 모든 것을 포괄한다. 이 두 차트의 겹침에 대한 전환 기능은 다음과 같이 제공된다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\\ u\{2}}\mathbf {u}}}$

그리고 역도 성립.

그룹 구조

단위 쿼터니온의 집합으로 간주될 때, S는³ 중요한 구조, 즉 쿼터니온 곱셈의 구조를 계승한다. 단위 쿼터니언 세트는 곱셈으로 닫히기 때문에 S는³ 집단의 구조를 떠맡는다. 더욱이 퀀텀니온 곱셈이 매끄럽기 때문에 S는³ 진짜 거짓말 그룹으로 볼 수 있다. 그것은 차원 3의 비아벨리안 컴팩트한 Lie 그룹이다. Lie group S라고³ 생각하면 Sp(1) 또는 U(1, H)로 표기되는 경우가 많다.

리 그룹 구조를 인정하는 구들은 단위 복합 번호의 집합으로 생각되는 S와¹ 단위 쿼터니온의 집합인 S³(실수 번호 1과 -1로 구성된 퇴보⁰ 케이스 S도 0차원이지만 리 그룹이다. 8분의 1 단위인 S가⁷ Lie 그룹을 형성할 것이라고 생각할 수도 있지만, 8분의 1 곱셈은 연관성이 없기 때문에 실패한다. 팔전구조는 S에게⁷ 하나의 중요한 특성, 즉 병렬성을 부여한다. 평행할 수 있는 구들은 S¹, S³, S밖에⁷ 없는 것으로 밝혀졌다.

쿼터니온의 행렬 표현 H를 사용하여 S의³ 행렬 표현을 얻는다. Pauli 매트릭스에 의해 한 가지 편리한 선택이 주어진다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i_{3}j+x_{4}k\mapsto {\pmatrix}\;\,x_{1}+ix_{2}}}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

이 지도는 H로부터 2 × 2 복합 행렬의 집합에 이르는 주입 대수 동형성을 제공한다. quaternion q의 절대값이 q의 행렬 영상의 결정요인의 제곱근과 같다는 속성을 가지고 있다.

단위 쿼터니온의 집합은 단위 결정 인자와 함께 위 형식의 행렬에 의해 주어진다. 이 행렬 부분군은 정확히 특수 단일 집단 SU(2)이다. 따라서 S as³ a Lie group은 SU(2)와 이형성이다.

우리의 Hopf 좌표(η, ξ₁, ξ₂)를 사용하여 우리는 그 양식에 SU(2)의 어떤 요소도 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}e^{i\,\xi _{1}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \e^{-i\,\i\}}cos \eta &e^{pmatrix}.}$

이 결과를 설명하는 또 다른 방법은 우리가 Pauli 행렬의 선형 조합의 지수로서 SU(2) 요소의 행렬 표현을 표현하는 것이다. 임의의 요소 U su SU(2)를 다음과 같이 쓸 수 있다고 본다.

${\displaystyle U=exp\left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\오른쪽).}$^[3]

U의 결정인자가 +1이라는 조건은 계수 α가₁ 3-sphere에 위치하도록 제약된다는 것을 의미한다.

문학에서.

1884년에 출판된 에드윈 애벗 애벗의 플랫랜드와 디오니스 버거의 1965년 플랫랜드의 속편인 스피어랜드에서는 3-sphere를 오버스피어라고 하고, 4-sphere를 하이퍼스피어라고 부른다.

Mark A라는 미국 물리학 저널에 기고하고 있다.^[4] 피터슨은 신성한 코미디에서 단테가 같은 방식으로 우주를 바라봤다는 것을 암시하는 세 가지 시각화 방법을 설명하고 언어를 지적한다; 카를로 로벨리는 같은 생각을 지지한다.^[5]

제4차원에서 수학을 만난 예술에서 스티븐 L. 립스콤은 예술, 건축, 수학에 관련된 하이퍼스피어 차원의 개념을 발전시킨다.^[6]

참고 항목

• 1-sphere, 2-sphere, n-sphere
• 큐브, 폴리초론, 심플렉스
• 파울리 행렬
• 회전 그룹 SO(3)
  • SO(3)에 대한 차트
  • 쿼터니온과 공간 회전
• 홉 번들, 리만 구
• 푸앵카레 구
• 렙폴화
• 클리포드 토루스

참조

• 데이비드 W. Henderson, 지오메트리 체험: 유클리드, 구면 및 쌍곡 공간, 2판, 2001, [1] (제20장: 3-공간 및 쌍곡 3-공간)
• 제프리 R. 몇 주, 공간의 모양: 표면 및 3차원 다지관 시각화 방법, 1985, (2])(제14장: 하이퍼스피어)(세이: 용어에 대한 경고: 우리의 2-sphere는 3차원 공간에서 정의되는데, 여기서 그것은 3차원 공의 경계선이다. 이 용어는 수학자들 사이에서는 표준이지만 물리학자들 사이에서는 표준이 아니다. 그러니 사람들이 투-sphere를 3-sphere라고 부르는 것을 발견하더라도 놀라지 말라.)
• Zamboj, Michal (8 Jan 2021). "Synthetic construction of the Hopf fibration in the double orthogonal projection of the 4-space". arXiv:2003.09236v2 [math.HO].

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Hypersphere". MathWorld. 참고: 이 글에서는 n차원 공간의 구를 n-sphere라고 부르는 구에 대한 대체 명명 체계를 사용한다.