적응공정

확률적 과정에 대한 연구에서, 적응된 과정(비기대적 또는 비기대적 과정이라고도 함)은 "미래를 들여다볼" 수 없는 과정이다.비공식적인 해석은^[1] 모든 실현과 모든 n에 대해 X가_n 시간 n에 알려져 있는 경우에만 X가 조정된다는 것이다.예를 들어, 통합과정이 적응 과정일 경우에만 이토 적분(Ito integrity)의 정의에서 적응 과정의 개념은 필수적이다.

정의

내버려두다

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {F},\mathb {P})}$ 은 확률 공간이며 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ,
$I$ be an index set with a total order $\leq$ (often, $I$ is $\mathbb {N}$ , $\mathbb {N} _{0}$ , $[0,T]$ or $[0,+\infty )$ );
$\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ = $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ ( $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ ) $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ $\$ 은 시그마 대수 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 의 여과가 된다 $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ ${\mathcal {F}}$
$(S,\Sigma )$ , $(S,\Sigma )$ ) $(S,\Sigma )$ 은 $(S,\Sigma )$ (는) 측정 가능한 공간, 상태 공간이다.
${\displaystyle X:$ $I\times \Oomega \to$ S $}$ 은 $X:I\times \Omega \to S$ (는) 확률적인 과정이다.

$X$ $X$ 프로세스는 여과 $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ i ) $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ ${\$ I $}}}$ 에 적응한다고 하며, 임의 $X$ $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{{i\in I}}$ 변수 $X_{i}:\Omega \to S$ : $X_{i}:\Omega \to S$ → $X_{i}:\Omega \to S$ ${\displaystystyle X_{i}:$ $\Oomega \to$ $S}$ 은 $X_{i}:\Omega \to S$ (는) a $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ ( $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ , $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ $){\$ $displaystyle$ $({\mathcal {F}$ $_{$ $i$ },\ $Sigma )}$ - 각 $i\in I$ 에 대해 측정 $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ 가능한 함수임 $i\in I$ ^[2]

예

확률적 공정 X : [0, T] × Ω → R을 고려하여 실제 라인 R을 오픈 세트에 의해 생성되는 통상적인 보렐 시그마 대수학으로 장착한다.

자연 여과 F를_•^X 취하면, 여기서 F는_t^X Borel 하위 세트 B에 대한 사전 이미지 X_s⁻¹(B)에 의해 생성된 times-algebra이고, 0 ≤ s ≤ t를 곱하면 X는 자동으로 F-adapt_•^X 된다.직관적으로 자연 여과 F는_•^X X에서 t까지의 거동에 대한 "전체 정보"를 포함한다.
이는 비첨부 공정 X : [0, 2] × Ω → R: F를_t 0 ≤ t < 1, F_t = 1_t^X ≤ t ≤ 2의 경우 사소한 σ-algebra {∅, Ω}로 설정한 간단한 예를 제공한다.사소한 σ-algebra에 관해서 함수를 측정할 수 있는 유일한 방법은 일정하기 때문에, [0, 1]에서 일정하지 않은 공정 X는 F-adapt에_• 실패한다.그러한 프로세스의 비일관적인 특성은 보다 정제된 "미래" σ-알게브라스 F_t, 1 ≤ t ≤ 2의 정보를 "이용한다".

참고 항목

참조

^ Wiliams, David (1979). "II.25". Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations. Vol. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.
^ Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations. Springer. p. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

[1] Wiliams, David (1979). "II.25". Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations. Vol. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.

[2] Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations. Springer. p. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.

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