삼선 좌표

기하학에서, 주어진 삼각형에 상대적인 점의 trilinar 좌표 x:y:z는 삼각형의 세 측면으로부터 상대적인 방향 거리를 설명한다. 트리린 좌표는 동종 좌표의 예다. 비율 x:y는 각각 정점 A와 B의 반대쪽 정점 B와 C의 점에서 측면까지의 수직 거리의 비율이다. 또한 z:x와 정점 C와 마찬가지로 정점 C와 정점 C와 마찬가지로, y:z도 정점으로부터 측면까지의 수직 거리의 비율이다.

오른쪽 다이어그램에서 표시된 내부 지점의 3행 좌표는 실제 거리(a', b' , c' ) 또는 모든 양의 상수 k에 대한 비율 형태로 동등하게 ka' :kb' :kc'이다. 점이 기준 삼각형의 측선에 있는 경우, 해당 삼선 좌표는 0이다. 외부 지점이 삼각형의 내부로부터 사이드라인 반대편에 있는 경우, 그 사이드라인과 연관된 3행 좌표는 음이다. 3개의 삼각 좌표가 모두 양성이 아닌 것은 불가능하다.

"삼각좌표"라는 이름은 때때로 "삼각좌표"로 약칭되기도 한다.

표기법

삼림 좌표에 대한 비율 표기법 x:y:z는 실제 지시 거리에 대해 순서가 정해진 삼중 표기법(a', b' , c' )과 다르다. 여기서 x, y, z 각각은 그 자체로 의미가 없다. 다른 것 중 하나에 대한 그것의 비율은 의미가 있다. 따라서 3행 좌표에 대한 "콤마 표기법"은 피해야 하는데, 이는 순서가 지정된 3행이라는 뜻의 표기법(x, y, z)은 예를 들어 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z)를 허용하지 않는 반면, "콜론 표기법"은 x : y : z = 2x : 2y : 2z를 허용하기 때문이다.

예

삼각형 ABC의 인센티브자의 3행 좌표는 1 : 1 : 1이다. 즉, 인센티브자에서 BC, CA, AB까지의 (방향) 거리는 (r, r, r)로 표시된 실제 거리에 비례한다. 여기서 r은 삼각형 ABC의 inradius이다. 측면 길이가 a, b, c인 경우:

• A = 1 : 0 : 0
• B = 0 : 1 : 0
• C = 0 : 0 : 1
• 인센티브 = 1 : 1 : 1
• 중심 = BC : ca : ca : 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C.
• 할례 = cos A : cos B : cos C.
• 직교점 = 초 A : 초 B : 초 C.
• 9점 중심 = cos(B - C) : cos(C - A) : cos(A - B)
• symmedian point = a : b : c = sin A : sin B : sin C.
• A-excenter = −1 : 1 : 1
• B-excenter = 1 : −1 : 1
• C-excenter = 1 : 1 : -1

일반적으로, 장려자는 중심과 같지 않다. 중심에는 2차 좌표 1 : 1 : 1이 있다(이들은 G = 중심인 삼각형의 실제 서명된 영역에 비례한다).

The midpoint of, for example, side BC has trilinear coordinates in actual sideline distances ${\displaystyle (0,{\frac {\Delta }{b}},{\frac {\Delta }{c}})}$ for triangle area ${\displaystyle \Delta }$, which in arbitrarily specified relative distances simplifies to ${\displaystyle 0:ca:a$$b.}$ The coordinates in actual sideline distances of the foot of the altitude from A to BC are ${\displaystyle (0,{\frac {2\Delta }{a}}\cos C,{\frac {2\Delta }{a}}\cos B),}$ which in purely relative distances simplifies to ${\displaystyle 0:\cos C:\cos B.$$}$^{[1]: p. 96}

공식

공모주 및 동시화폐

삼각형 좌표는 삼각형 기하학에서 많은 대수적 방법을 가능하게 한다. 예를 들어, 세 개의 점

P = p : Q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

결정인자가 있는 경우에만 공선이다.

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\x&y&z\end{vmatrix}}}$

0과 같다. 따라서 x:y:z가 변수 점이라면 P와 U를 통과하는 선의 방정식은 D = 0이다.^{[1]: p. 23} 이로부터 모든 직선은 x, y, z로 동질적인 선형 방정식을 갖는다. 실제 계수에서 lx+my+nz = 0 형식의 모든 방정식은 l : m: n이 a : b : c, 옆 길이와 비례하지 않는 한 유한한 점의 실제 직선이며, 이 경우 무한대에 점의 위치를 가진다.^{[1]: p. 40}

이 명제의 이중적인 점은 그 선들이

pα + qβ + rγ = 0

α + vβ + w³ = 0,

xα + yβ + zγ = 0

D = 0인 경우에만 점(α, β, γ)에서 일치한다.^{[1]: p. 28}

또한 D의 결정인자를 평가할 때 실제 유도 거리를 사용하는 경우, 삼각형 PUX의 면적은 KD이며, 여기서 삼각형 PUX의 방향(시계 방향 또는 시계 반대 방향)이 Triangle ABC와 동일하면 K = abc/8∆² (그리고 여기서 where은 위와 같이 Triangle ABC의 영역)이고, K = –abc/8∆²은 다른 방향이다.

평행선

trilinari 방정식 ${\displaystyle l}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle lx+my$${\displaystyle +}$$nz=0}$ 및 $l$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle m}$ + ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$이(가) 있는 두 선은 다음과 같은 경우에만^{[1]: p. 98, #xi} 평행하다$$.

${\displaystyle {\bmatrix}l&m&n\l'&m'&n'\a&c\end{vmatrix}=0,}$

여기서 a, b, c는 옆 길이 입니다.

두 선 사이의 각도

trilinaria 방정식 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle m}$ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$= 0 ${\displaystyle lx+my$${\displaystyle +}$$nz=0}$과 $l{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$을(를) 갖는 두 선 사이의 각 접선은 다음과$$^{[1]: p.50} 같다.

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

수직선

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ trilinari ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$ l ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y}$+ n z${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ lx+$my$${\displaystyle +}$$nz=0}$ 및 $l$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle x}$+ m + ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ z${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$이(가) 있는 두 선은 다음과 같은 경우에만 수직이다$$.

$(\displaystyle l'+mm'+n'-(mn'+m'n)\cos A-(n'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

고도

꼭지점 A에서 측면 BC까지의 고도 방정식은^{[1]: p.98, #x}

$B-z-cos C=0.}$

정점으로부터의 거리 측면에서 선

반대편이 a, b, c인 정점 A, B, C에서 p, q, r이 가변 거리인 선의 방정식은 다음과 같다^{[1]: p. 97, #viii} .

${\displaystyle apx+bqy+crz=0.}$

실제 거리 트리린 좌표

좌표 값 a, b', c'가 측면에 대한 실제 수직 거리로 만족하는^{[1]: p. 11} 트리린어

$(\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

삼각형 측면 a, b, c 및 면적 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$ $\}.$ 내부 지점 P 삼각형 ABC, PCA, PAB를 각각 (1/2)aa', (1/2)bbb' 및 (1/2)cc'로 분할하여 이 글의 상단에 있는 그림에서 확인할 수 있다.

두 점 사이의 거리

실제 거리 a가_i 있는 두 점 사이의 거리 d: b_i : c는_i 다음과^{[1]: p. 46} 같이 주어진다.

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}$

또는 더 대칭적으로

${\$$$$\Delta ^{2}}:}\왼쪽(a(b_{1}-b_{2}-$b_${2$})($c_{1$}-c_{1}+$b(c_${1}-$c_{2})(a_{1}-a_{1$}+c($a_{1}-a_{1})+c(b_{2}-b_{$1}_{$1}\}\오른쪽$

점에서 선까지의 거리

실제 거리의 트리린 좌표에서 직선 lx + my + nz = 0까지의 거리 d는 다음과^{[1]: p. 48} 같다.

${\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}$

2차 곡선

변수 trilinar 점 x : y : z의 원뿔 단면 방정식은^{[1]: p.118}

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

선형 항도 없고 상수 항도 없다.

실제 거리 좌표(a', b', c' )에서 중심을 갖는 반지름 r 원의 방정식은 다음과^{[1]: p.287} 같다.

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

회음부

삼각형의 원곡선 좌표 x, y, z에 있는 방정식은^{[1]: p. 192}

$Lyz+mzx+nxy=0.}$

변수 l, m, n이 각각 측면 길이 a, b, c(또는 반대편의 각도의 사인)^{[1]: p. 199} 와 같으면 방정식은 원주를 제공한다.

각각의 뚜렷한 할례자는 자기만의 독특한 중심을 가지고 있다. 중심 x' : y' : z'와 함께 원곡선의 3행 좌표 방정식은 다음과^{[1]: p. 203} 같다.

$(\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y'=0).}$

요실금

삼각형에 새겨진 모든 원뿔형 부분에는 3행 좌표 방정식이 있다.^{[1]: p. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

정확히 하나 또는 세 개의 지정되지 않은 징후가 음성으로 나타나면서

근방의 방정식은 다음과 같이^{[1]: p. 210, p.214} 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}\cos {\frac {A}{2}}:pm {\sqrt {y}}\cos {\pm}{\sqrt {z}}}}}cos {\frac}{2}}=0,}$

예를 들어, 정점 A의 반대편 측면 세그먼트에 인접한 외관 방정식은 다음과^{[1]: p. 215} 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}\cos {\frac {A}{2}}:pm {\sqrt {y}\cos {\pm}{z}}}\cos {\frac}{2}}=0.}$

큐빅 곡선

많은 입방 곡선은 삼선 좌표를 사용하여 쉽게 표현된다. 예를 들어, X의 P-이소콘주게이트가 UX 선에 있는 점 X의 중심점으로서 중추적 자가 이소콘주게이트 입방 Z(U,P)는 결정 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\bmatrix}x&y&z\qryz&rpzx&pqxx\u&v&w\end{vmatrix}=0.}$

명명된 큐빅 중 Z(U,P)는 다음과 같다.

Thomson 세제곱: Z(X(2),X(1) 여기서 X(2) = 중심, X(1) = 인센티브

Feuerbach 세제곱: Z(X(5), X(1) 여기서 X(5) = Feuerbach 점

Darboux 세제곱: Z(X(20), X(1)), 여기서 X(20) = De Longchamps 지점

Neuberg 세제곱: Z(X(30), X(1) 여기서 X(30) = 오일러 무한 포인트.

전환

삼선 좌표와 사이드라인으로부터의 거리 사이

For any choice of trilinear coordinates x:y:z to locate a point, the actual distances of the point from the sidelines are given by a' = kx, b' = ky, c' = kz where k can be determined by the formula ${\displaystyle k={\frac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$ in which a, b, c are the respective sidelengths BC, CA, AB, and ∆ ABC의 영역이다.

이심 좌표와 삼선 좌표 사이

삼각형 좌표 x : y : z가 있는 점에는 편심 좌표 도끼가 있다: by : cz 여기서 a, b, c는 삼각형의 측심선이다. 반대로 2중점 α : β : γ의 점에는 α/a : β/b : :/c의 삼림 좌표가 있다.

데카르트 좌표와 트리린 좌표 사이

기준 삼각형 ABC에서 정점 B의 위치를 순서에 따라 데카르트 좌표 쌍으로 표현하고, 정점 C를 원점으로 하여 벡터 B로 대수적으로 표현한다. 마찬가지로 꼭지점 A의 위치 벡터를 A로 정의한다. 그런 다음 기준 삼각형 ABC와 연관된 모든 점 P는 데카르트 시스템에서 벡터 P = kA₁ + kB로₂ 정의할 수 있다. 이 점 P에 trilinar 좌표 x : y : z가 있는 경우, 데카르트 표현에 있는 계수 k와₁ k에서₂ trilinar 좌표로 변환 공식은, 측면 길이의 경우 a, b, c 반대 정점 A, B, C이다.

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}:{a}}\\frac {k_{2}}:{b}}}}}}\\frac {1-k_{1}-k_{2}},}$

그리고 3행 좌표에서 데카르트 표현 계수로의 변환 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz},\frac k_{2}={\frac}{ax+by+cz}}.}$

보다 일반적으로, 정점의 데카르트 좌표가 알려져 있고 벡터 A, B, C로 표현되는 임의의 원점을 선택한 경우, P의 데카르트 좌표는 2극 좌표 도끼를 사용하여 이 정점의 데카르트 좌표에 대한 가중 평균이다. 근소한 차이로 따라서 trilinar 좌표 x, y, z에서 점의 데카르트 좌표 P의 벡터로 변환 공식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle{\frac{p}={\frac}{ax+by+cz}{\frac+by+cz}{\frac+cz}{B}}{\frac+by+cz}{\frac+cz}{\underline {C}}},}},},}},}$

여기서 측면 길이는 C - B = a, A - C = b 및 B - A = c이다.

참고 항목

• 몰리의 삼분법 정리#몰리의 삼각형들, 삼분법 좌표로 표현된 수많은 점들의 예를 제시한다.
• 3차 플롯
• 비비아니의 정리

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Trilinear Coordinates". MathWorld.
• 삼각 센터 백과사전 - 클라크 킴벌링에 의한 ETC; 7000개 이상의 삼각 센터에 대해 삼각 좌표(및 편심)가 있다.