중위수(지오메트리)

삼각형 중위수와 중심.

기하학에서 삼각형의 중위수는 반대편의 중간점에 정점을 결합하는 선 세그먼트로, 따라서 그 면을 이등분한다. 모든 삼각형에는 정확히 각 꼭지점에서 각각 하나씩 세 개의 중위수가 있으며, 그것들은 모두 삼각형의 중심에서 서로 교차한다. 이등변 삼각형과 정삼각형의 경우, 중앙값은 인접한 두 변의 길이가 같은 정점에서 모든 각도를 이등분한다.

중앙값의 개념은 4면체까지 확장된다.

질량 중심과의 관계

삼각형의 각 중위수는 삼각형의 중심을 통과하는데, 삼각형과 일치하는 균일한 밀도의 무한히 얇은 물체의 질량의 중심이다.^[1] 따라서 객체는 중위수의 교차점에서 균형을 맞출 것이다. 중심은 중앙분리대가 발산하는 꼭지점보다 중앙분리대가 교차하는 측면의 중앙분리대를 따라 두 배 더 가깝다.

동면적분할

각 중위수는 삼각형의 면적을 반으로 나눈다. 따라서 이름, 그리고 균일한 밀도의 삼각형 물체는 어떤 중앙값에서나 균형을 이룬다. (삼각형의 영역을 두 개의 동일한 부분으로 나누는 다른 선은 중심부를 통과하지 않는다.)^[2]^[3] 세 중위수는 삼각형을 같은 면적의 작은 삼각형 여섯 개로 나눈다.

동일면적 재산증명서

삼각형 ABC를 생각해보자. D를 A ${\$ 의 중간점 ${\overline {AB}}$ E는 ${\overline {BC}}$ ${\$ 의 중간점 ${\overline {BC}}$ F는 ${\overline {AC}}$ ${\displaystyle$ { $AC}$ 의 중간점 ${\overline {AC}}$ O는 중심점(대부분 일반적으로 G로 표시됨)으로 한다.

정의상, $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ = D $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ , $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ A $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ = $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ C $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ , $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ E = $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC$ . Thus $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$ and $[ABE]=[ACE]$ , where $[ABC]$ represents the area of triangle $\triangle ABC$ ; these hold because in 각각의 경우 두 삼각형은 길이가 같고 (각각) 베이스로부터 공통 고도를 공유하며, 삼각형의 면적은 그것의 키의 1/2과 같다.

다음이 있음:

[\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}

[\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}

Thus, $[ABO]=[ACO]$ and ${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[$ $ABO]}$

$[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ = $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ [ F $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ , $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ = $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ 2 $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ [ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ = $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ [ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ = 1 2 [ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ = $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ [ $AFO]$ = [ $FCO$ ], $[AFO]={Frac{1}}}}}}}.$ $ACO]={\frac {1}{2}}[$ $ABO]=[ADO]}$ , therefore, $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$ . Using the same method, one can show that $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$ .

세 개의 일치 삼각형

2014년에 Lee Sallows는 다음과 같은 정리를 발견했다.^[4]

삼각형의 중위수는 D, E, F 중간점에서 인접한 세 쌍의 삼각형이 만나는 위의 그림에서와 같이 6개의 동일한 면적 작은 삼각형으로 해부한다. 그러한 쌍의 두 삼각형을 공통적인 면을 공유하기 위해 만날 때까지 공통의 중간점을 중심으로 회전한다면, 각 쌍의 결합에 의해 형성된 세 개의 새로운 삼각형이 합치된다.

중위수 길이와 관련된 공식

중위들의 길이는 아폴로니우스의 정리로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

m_{a}={\sqrt {\b^{2}+2c^{2}-a^{2}}:}}}{4}}}}}}}}

m_{b}={\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}:}{4}}}}}}}}

m_{c}={\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}:}}}{4}}}}}}}}}

여기서

a

,

b

,

a,b,

및

c

a,b,

c

은(는) 중간점에서

m_{c}

각 중위수

m_{a},m_{b},

m_{a},m_{b},

m_{a},m_{b},

m_{a},m_{b},

{\displaystyle m_{b},

m

m_{a},m_{b},

m_{c}

{\

displaystym m_{c}

가 있는 삼각형의 면이다

c

.

이러한 공식은 다음과 같은 관계를 의미한다.^[5]

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.

기타 속성

ABC를 삼각형으로 하고, G를 그 중심이 되게 하고, D, E, F를 각각 BC, CA, AB의 중간점이 되게 한다. 그러면^[6] ABC 평면의 모든 점 P에 대해

PA+PB+PC\leq 2(PD+)PE+PF)+3PG.}

중심은 각 중앙값을 2:1 비율로 분할하며, 중심은 반대 정점에 비해 변의 중간점에 두 배 가까이 근접한다.

면 $a$ , $b$ , $c$ $a,b,c$ 및 $a,b,c$ 중위수 m $m_{a},m_{b},m_{c},$ , $m_{a},m_{b},m_{c},$ b $m_{a},m_{b},m_{c},$ , m $m_{a},m_{b},m_{c},$ , $m_{a},m_{b},m_{c},$ , {\ $displaystyle m_{a},m_{$ b}, $m_{c}$ 이 있는 삼각형의 경우

{\tfrac {3}{4}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\c}<a+b+c\c}<a+b+c}{3}{3}}}}}\prec^{2}}\오른쪽)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.

$a$ 가 $a$ $a$ 및 $b$ ${\displaystyle$ b}인중위수는 $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ + $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ = 5 $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2$ }인 경우에만 수직이다 $b$ $.$ $}$ ^[8]

하이포텐use $c$ $c$ 이(가) 있는 오른쪽 삼각형의 중위수는 m $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ 2 $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ + m $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ = $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$ . ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2$ }를 만족한다 $c$ $.$ $}$

임의의 삼각형 영역 T는 다음과 $m_{c}$ 같이 $m_{a},m_{b}$ $m_{a},m_{b}$ a $m_{a},m_{b}$ $m_{a},m_{b}$ $m_{a},m_{b}$ ${\$ $m_{c}$ c ${\$ 의 단위로 표현할 수 있다. 세미섬 $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ + $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ b $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ + m $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ ) $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ / $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ 이( $\sigma$ ) $\$ {\ $displaystyle \sigma }($ 으)로 $\sigma$ ^[9] 표시되는 경우

T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \좌측(\sigma -m_{a}\우측)\좌측(\sigma -m_{c}\우측)}}}.

사면체

사면체의 중간자.

{\begin{aligned}&{\frac { AS }{ SS_{BCD} }}={\frac { BS }{ SS_{ACD} }}={\frac { CS }{ SS_{ABD} }}\\=&{\frac { DS }{ SS_{ABC} }}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}

사면체는 4개의 삼각형 면을 가진 3차원 물체다. 반대 면의 중심과 사면체의 정점에 결합하는 선 세그먼트를 사면체의 중앙값이라고 한다. 4명의 중위수가 있으며, 그들은 모두 사면체의 중심에서 동시적이다.^[10] 2차원의 경우와 마찬가지로 사면체의 중심은 질량의 중심이다. 그러나 2차원의 경우와는 반대로 중심은 중위수를 2:1 비율이 아닌 3:1 비율(Commandino의 정리)으로 나눈다.

참고 항목

참조

^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223.
^ Bottomley, Henry. "Medians and Area Bisectors of a Triangle". Archived from the original on 2019-05-10. Retrieved 27 September 2013.
^ 던, J. A., 프리티, J. E., "삼각형 해빙", 1972년 5월 수학 가제트 56, 105-108. DOI 10.2307/3615256
^ 샐로즈, 리, "삼각형 정리" 수학 잡지, 제87권, 제5호(2014년 12월), 페이지 381
^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. p. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Retrieved 2011-04-24.
^ 문제 12015, American Matheical Monthly, Vol.1255, 2018년 1월, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
^ Posamentier, Alfred S, Salkind, Charles T, Dover, 1996: 페이지 86–87.
^ Boskoff, Homentcovschi, Suceava(2009) Mathematical Gazette, Note 93.15
^ 베니, 아르패드, "삼각형을 위한 헤론형 공식", 2003년 7월 Mathematical Gazette 87, 324–326.
^ 렁(Leung), 캄팀(Kam-tim), 숙남(Suen) 수엔(Suen); "의사, 행렬 및 기하학", 홍콩 대학 출판부, 1994, 페이지 53–54

외부 링크

메디아 인들이 코트를 자르고 있다.
컷더코트에서의 중위수 삼각형 면적
대화형 애니메이션을 사용하는 삼각형의 중위수
나침반 및 직선 애니메이션 데모를 사용하여 삼각형의 중위수 구성
Weisstein, Eric W. "Triangle Median". MathWorld.

[1] Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223.

[Bottomley2002-2] Bottomley, Henry. "Medians and Area Bisectors of a Triangle". Archived from the original on 2019-05-10. Retrieved 27 September 2013.

[Dunn-3] 던, J. A., 프리티, J. E., "삼각형 해빙", 1972년 5월 수학 가제트 56, 105-108. DOI 10.2307/3615256

[4] 샐로즈, 리, "삼각형 정리" 수학 잡지, 제87권, 제5호(2014년 12월), 페이지 381

[5] Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. p. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Retrieved 2011-04-24.

[6] 문제 12015, American Matheical Monthly, Vol.1255, 2018년 1월, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465

[P&S-7] Posamentier, Alfred S, Salkind, Charles T, Dover, 1996: 페이지 86–87.

[8] Boskoff, Homentcovschi, Suceava(2009) Mathematical Gazette, Note 93.15

[9] 베니, 아르패드, "삼각형을 위한 헤론형 공식", 2003년 7월 Mathematical Gazette 87, 324–326.

[10] 렁(Leung), 캄팀(Kam-tim), 숙남(Suen) 수엔(Suen); "의사, 행렬 및 기하학", 홍콩 대학 출판부, 1994, 페이지 53–54

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