기하학에서의 오일러 정리

기하학에서 오일러 정리는 삼각형의 원심과 인텐서 사이의 거리 d는 다음과^[1]^[2] 같이 주어집니다.

d^{2}=R(R-2r)

또는 이에 준하는

{\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},

여기서

R

{\displaystyle

R

}

및

R

r

{\displaystyle

r

}

은 각각 원주반지름 및 인반지름(각각 외접원 및 내접원의 반경)을 나타냅니다

r

. 이 정리는 1765년에 발표한 레온하르트 오일러의 이름을 따서 지어졌습니다.^[3] 하지만, 같은 결과가 1746년 윌리엄 애플에 의해 더 일찍 발표되었습니다.^[4]

이 정리로부터 오일러 부등식은 다음과 같습니다.^[5]

R\geq 2r,

대등한 경우에만 평등을 유지하는 것입니다.^[6]

불평등의 더 강한 버전

더 강력한^[6] 버전은

{\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,

a

서

{\displaystyle

a

a

b

{\displaystyle

b

}

및

c

{\displaystyle

c

}

는

c

삼각형의 변 길이입니다.

기술된 원에 대한 오일러 정리

$r_{a}$ ${\$ $d_{a}$ d ${\$ 가 $r_{a}$ $d_{a}$ 각각 정점 $A$ $A$ 와 반대되는 기재된 원의 반지름 및 $A$ 그 중심과 외접된 원의 중심 사이의 거리, $d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})$ 다음 $d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})$ $d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})$ = R $($ + 2 ra ) {\displaystyle d_{a}^{2} = R(R+2r_{a}}.

절대기하학에서의 오일러 부등식

주어진 원에 내접하는 모든 삼각형에 대하여, 내접하는 원의 반지름의 최댓값이 정삼각형에 대하여 도달하고 그것에 대하여만 성립한다는 형태의 오일러의 부등식은 절대기하학에서 유효합니다.^[7]

참고 항목

이심 4사분면에서 동일한 세 변수 간의 관계에 대한 호들갑 정리
같은 두 개의 원을 갖는 삼각형의 무한대가 존재함을 보여주는 폰세레의 폐쇄 정리
시작 추측, 더 높은 차원으로의 일반화
삼각형 부등식 목록

참고문헌

^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186
^ Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series, vol. 2, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584
^ Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR 40378417, S2CID 125341434
^ Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124거리에 대한 Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124공식은 p.123의 하단 근처에 있습니다.
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429
^ ^a ^b Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197–209Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197–209198쪽
^ Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2018), "Euler's inequality in absolute geometry", Journal of Geometry, 109 (Art. 8): 1–11, doi:10.1007/s00022-018-0414-6, S2CID 125459983

외부 링크

Weisstein, Eric W., "Euler Triangle Formula", MathWorld

[Johnson-1] Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186

[Dunham-2] Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series, vol. 2, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584

[LevershaSmith-3] Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR 40378417, S2CID 125341434

[Chapple-4] Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124거리에 대한 Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124공식은 p.123의 하단 근처에 있습니다.

[wlim-5] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429

[SV-6] Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197–209Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197–209198쪽

[PS-7] Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2018), "Euler's inequality in absolute geometry", Journal of Geometry, 109 (Art. 8): 1–11, doi:10.1007/s00022-018-0414-6, S2CID 125459983

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