오일러 선

기하학에서 오일러 선은 레오나르드 오일러(/ˈɔɪlər/)의 이름을 따서 명명된 선으로, 등변형이 아닌 어떤 삼각형으로부터도 결정되는 선이다. 삼각형의 중심선이며, 직각점, 원곡점, 중심점, 엑서터점, 그리고 삼각형의 9점 원 중심점 등 삼각형으로부터 결정된 몇 개의 중요한 점을 통과한다.^[1]

삼각형의 오일러 선의 개념은 4면체, 4면체 등 다른 형태의 오일러 선까지 확장된다.

오일러 선을 중심으로 한 삼각형

개별 센터

오일러는 1765년에 어떤 삼각형에서든 직교점, 원곡선, 중심은 일직선이라는 것을 보여주었다.^[2] 이 속성은 오일러 시대에는 규정되지 않았지만 또 다른 삼각 중심인 9점 중심에도 해당된다. 정삼각형에서는 이 네 개의 점이 일치하지만, 다른 어떤 삼각형에서는 모두 서로 구별되며, 오일러 선은 어느 두 개에 의해서도 결정된다.

오일러 라인에 놓여 있는 다른 주목할 만한 점으로는 드 롱샴스 포인트, 쉬플러 포인트, 엑서터 포인트, 고사드 관점이 있다.^[1] 그러나 일반적으로 인센티브는 오일러 라인에 있지 않으며 오일러 라인은 삼각형의 대칭축과 일치하고 모든 삼각형 중심을 포함하는 등실 삼각형에만 오일러 라인에 있다.^[3][4]

기준 삼각형의 접선 삼각형은 기준 삼각형의 정점에서 후자의 원곡선에 접한다. 접선 삼각형의 원주는 기준 삼각형의 오일러 선에 있다.^{[5]: p. 447 [6]: p.104, #211, p.242, #346} 직교 삼각형과 접선 삼각형의 직교 중심도 역시 오일러 선에 있다.^{[5]: p. 447 [6]: p. 102}

벡터 프루프

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$을 삼각형이 되게$$ 하라. 원심 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O$ 중심$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및 직교점 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 공선이라는 사실의 증거는 자유 벡터에 의존한다. 우리는 우선 전제조건을 명시하는 것으로 시작한다. 먼저 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$이(가) 관계를 충족함$$

${\displaystyle {\vec{GA}}+{\vec {GB}+{\vec}=0.}$

$이$는 G ${\displaystyle G}$의 절대 편심 좌표가 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$: 1 ${\displaystyle \frac{3}{}}$: 1 3 : 1 ${\displaystyle \frac{3}{}}${\$displaystyle {\frac{1}{3}}}}}}\\frac${1$}{3}}}}$ 더 나아가 실베스터의^[7] 문제는 다음과 같이 읽힌다$.$

${\displaystyle {\vec{OH}={\vec {OA}+{\vec{OB}+{\vec {OC}}.}$

자, 벡터 덧셈을 이용해서, 우리는 그것을 추론한다.

${\displaystyle {\vec{GO}={\vec {GA}+{\vec {AO}\,{\mbox{},{\mbox{{}},{\mbox{}, }}}}}},\,{\vec{GO}={\vec{GB}+{\vec{BO}\,{\mbox{}}}}}*BGO{\mbox{}}}},\,{\vec{GO}={\vec{GC}}+{\vec{CO}\,{\mbox{},{\mbox{{}}}}}}}}.}$

기간별로 이 세 가지 관계를 추가함으로써 우리는 그것을 얻는다.

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

결론적으로 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \stackrel{}{O}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle \stackrel{}{O}}$ ${\displaystyle H\stackrel{}{}}$→ ${\$ $따라서$ 3 $포인트{\displaystyle }$$$O {\$displaystyle$$G{\displaystyle }$},$$H {\$displaysty H$}($$이 순서)가 일렬로 되어 있다.

뒤리(Dörrie)의 저서에서 오일러 선과 실베스터의 문제는 하나의 증거로 합쳐진다.^[7] 그러나 실베스터 문제에 대한 대부분의 증명들은 오일러 선과는 별개로 자유 벡터의 근본적인 특성에 의존한다.

중심 간 거리

오일러 라인에서 중심 G는 원곡선 O와 직교점 H 사이에 있고 원곡선보다 두 배 더 멀리 있다.^{[6]: p.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

$(\displaystyle OH=3GO.}$

세그먼트 GH는 직교좌우회 직경이다.

9점 원의 중심 N은 직교점과 원곡선 사이의 중간에 오일러 선을 따라 위치한다.^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

따라서 오일러 선은 일부 척도계수 t에 대해 위치 0의 원곡선 O, 2t의 중심 G, 3t의 중심점 9개, 6t의 직교점 H와 함께 숫자 선에 위치할 수 있다.

또한 오일러 선을 따라 중심과 원곡선 사이의 제곱 거리는 측면 길이 a, b, c의 제곱 합계의 9분의 1에 해당하는 양만큼 원곡선 R보다² 작다.^{[6]: p.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{1}{9}(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2})).}$

게다가^{[6]: p.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2})).}$

표현

방정식

렛츠 A, B, C는 기준 삼각형의 정점 각도를 나타내며, x : y : z는 3행 좌표에서 변수 점으로 하고, 오일러 선에 대한 방정식은 다음과 같다.

$\sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

편심 좌표 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle \beta }$ :${\displaystyle \beta }$ : γ ${\displaystyle \alpha$ :\beta :\$gamma }$의 오일러 라인에 대한 방정식은 다음과$$^[8] 같다$.$

$#\displaystyle (\tan C-\tan B)\알파 +(\tan A-\tan C)\베타 +(\tan B-\tan A)\감마 =0.}$

파라메트릭 표현

오일러 선을 나타내는 또 다른 방법은 매개변수 t에 관한 것이다. Starting with the circumcenter (with trilinear coordinates ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$) and the orthocenter (with trilinears ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$ every 직교점을 제외한 오일러 선의 점은 트리린 좌표에 의해 주어진다.

$[\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C:\cos C+t\cos B}$

이 두 점의 삼각형 사이의 선형 결합으로 형성되었다.

예를 들면 다음과 같다.

• ${\displaystyle \mathrm{원곡선}}$에는 매개변수 $값{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= 0. ${\displaystyle \cos B:\cos C,$ ${\displaystyle \mathrm{매개}}$ 변수 값 t = 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle t=0$${\displaystyle \}}$에 해당하는$$ 3행선이 ${\displaystyle \mathrm{있다}}$$.$$}$
• The centroid has trilinears ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$ corresponding to the parameter value ${\displaystyle t=1.$$}$
• The nine-point center has trilinears ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$ corresponding to the parameter value ${\displaystyle t=2.$$}$
• The de Longchamps point has trilinears ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$ corresponding to the parameter value ${\displaystyle t=-1.$$}$

경사

데카르트 좌표계에서는 삼각형 측면의 경사를 m ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle m_{1},}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle m_{2},$ $m{\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle m_{3}}}$로 나타내고 오일러 선의 $경사$를 ${\displaystyle m_{}}$ E$${\$displaystystyle m_{E}$로 표시하며$,$ 이 경사는 다음과 같다^{[9]: Lemma 1} .

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{1}m_{3}+m_{1}m_{1}m_{{1}m_{{1}m_{{}}}E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

따라서 오일러 선(한정된 경우)의 경사는 다음과 같이 면의 경사면에서 표현 가능하다.

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}{1}m_{1}{3}+m_{3}+m_{3}{m_{1}+m_{1}{1}+m_{3}+m_{1}{1}+m_{2}{1}}m_{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

게다가 오일러 라인은 ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ ${\displaystyle B\mathrm{태닝}}$ ${\displaystyle C}$= 3${\displaystyle \tan$ B\$tan C=3$인 경우에만^{[9]: p.173} 급성 삼각형의 측면 BC와 평행하다$.$$}$

내접 정삼각형과의 관계

주어진 삼각형에 새겨진 정삼각형의 중심점의 중심점은 주어진 삼각형의 오일러 선에 수직인 두 개의 선으로 형성된다.^{[10]: Coro. 4}

특수 삼각형에서

직삼각형

직각 삼각형에서 오일러 선은 하이포텐유에 대한 중위수와 일치한다. 즉, 직각 정점과 그 정점 반대편의 중간점을 통과한다. 이것은 직각 삼각형의 직각점, 즉 그 고도의 교차점이 직각 정점 위로 떨어지는 반면, 횡방향의 수직 이등분선의 교차점인 그 원곡점은 저선형의 중간점에 떨어지기 때문이다.

등각 삼각형

이등변 삼각형의 오일러 선은 대칭의 축과 일치한다. 이등변 삼각형에서 인센티브는 오일러 라인에 떨어진다.

자동 삼각형

자동 삼각형의 오일러 선(중간인이 측면과 반대 순서로 되어 있지만 같은 비율로 있는 선)은 중위수 중 하나에 수직이다.^[11]

동시 오일러 선이 있는 삼각형 시스템

Fermat이 있는 삼각형 ABC를 고려하십시오.토리첼리는 F와₁ F를₂ 가리킨다. A, B, C, F, F에서₁₂ 선택한 정점을 가진 10개의 삼각형의 오일러 선은 삼각형 ABC의 중심에서 동시에 이루어진다.^[12]

직교계에 의해 형성된 4개의 삼각형의 오일러 선(각각은 다른 3개의 점에 정점이 있는 삼각형의 직교점인 4개의 점 집합)은 모든 삼각형에 공통되는 9개의 중심에서 동시에 이루어진다.^{[6]: p.111}

일반화

4각형

볼록한 사각형에서는 오일러 라인에서 퀘이셔터 H, "면적 중심" G, 퀘이시크루멘터 O가 이 순서로 시준되며, HG = 2GO이다.^[13]

사면체

사면체(四面體)는 4개의 삼각형 면으로 경계를 이룬 3차원 물체다. 4면체 중심에는 7개의 선이 동시에 있고, 6개의 중간 평면이 그 중심점에 교차하며, 모든 정점을 통과하는 곡선이 있는데, 그 중심은 곡면 중심이다. 이 점들은 삼각형의 그것과 유사한 4면체의 "Uler line"을 정의한다. 중심은 몽그 지점과 이 선을 따라 원곡선 사이의 중간점이다. 12점 구의 중심도 오일러 선에 놓여 있다.

단순 폴리토프

단순한 폴리토프는 모든 면이 단순한 폴리토프다. 예를 들어, 모든 폴리곤은 단순한 폴리토프다. 그러한 폴리토프와 연관된 오일러 선은 질량의 중심과 곡선으로 결정되는 선이다. 오일러 라인의 이 정의는 위의 것을 일반화한다.^[14]

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 다각형이라고$$ 가정하십시오. 오일러 선 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) $다음$과 같은 방법으로$$ P ${\displaystyle P}$의 대칭에 민감하다$$.

1. $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 반사 대칭 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$이($가$ 있는$$ 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $E$$}$은(는) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$이거나 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$의 점이다$.$

$2{\displaystyle }$. P ${\displaystyle P}$이(가) 회전 $대칭{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$의 중심을 가지고 있다면$,$ E${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E=C$ .

3. $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 한쪽 면만 제외하고 모두 길이가$$ 같으면 E ${\displaystyle$ E}은$($는) 마지막 면과 직교한다$$.

관련 구성

삼각형의 키퍼트 파라볼라(Kiepert parabola)는 삼각형의 측면에 접하는 독특한 파라볼라(둘이 연장됨)로 오일러 선을 다이렉트로 가지고 있다.^{[15]: p. 63}

참조

외부 링크

• 오일러 라인에 놓여 있는 여러 삼각형 중심을 보여주는 대화형 애플릿.
• 울프램 시연 프로젝트에서 '오일러 라인'과 '비유클리드 삼각연속기'가 함께했다.
• 9점 원뿔 및 오일러 라인 일반화, 추가 오일러 라인 일반화, 동적 기하 스케치에서 사각형 및 육각형의 준 오일러 라인
• 보고몰니, 알렉산더, "알티도스와 오일러 선"과 "오일러 선과 9점 원", 컷더코트
• Kimberling, Clark, "Triangle centers on the Euler line", Triangle Centers
• Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관:
• Weisstein, Eric W. "Euler Line". MathWorld.