헵탄 삼각형

헵탄 삼각형은 정점이 (임의 시작 정점에서) 정규 헵타의 첫 번째, 두 번째, 네 번째 정점과 일치하는 둔부 스칼린 삼각형이다. 따라서 그것의 옆면은 일반 헵타의 한쪽 면과 인접한 짧고 긴 대각선과 일치한다. 모든 헵탄 삼각형은 유사하며(동일한 모양을 가지고 있다), 따라서 헵탄 삼각형이라고 통칭한다. 그것의 각도는 ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 7,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 7\mathrm{},}$ ${\displaystyle \pi /7,}$ 및$$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 7\mathrm{},}$ ${\displaystyle$ 4$\pi /7,}$의 측도를 가지고 있으며$$, 비율 1:2:4의 각도를 가진 유일한 삼각형이다. 헵탄 삼각형은 다양한 주목할 만한 성질을 가지고 있다.

요점

헵탄 삼각형의 9점 중심도 최초의 브로카드 포인트다.^{[1]: Propos. 12}

두 번째 브로카드 포인트는 9점 원 위에 있다.^{[2]: p. 19}

헵탄 삼각형의 원곡점과 페르마 점들이 정삼각형을 이룬다.^{[1]: Thm. 22}

원곡선 O와 직교점 H 사이의 거리는 다음과^{[2]: p. 19} 같다.

${\displaystyle OH=R{\sqrt{2},}$

여기서 R은 회음부다. 인센티브 I에서 직교점까지의 거리 제곱은^{[2]: p. 19}

${\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}},}$

여기서 r은 인라디우스다.

직교점에서 원곡선까지의 두 접선은 상호 수직이다.^{[2]: p. 19}

거리의 관계

옆면

헵타곤 삼각형의 옆면 a < b < c>는 각각 일반 헵타곤의 옆면, 짧은 대각선, 긴 대각선과 일치한다. 그들은^{[3]: Lemma 1} 만족한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}$

(후자는[2]^{: p. 13} 시신방정식) 그리고 그 결과

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

그리고^{[3]: Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.}$

따라서 –b/c, c/a 및 a/b는 모두 입방정식을 만족한다.

${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

그러나 이 방정식의 해법에는 순전히 실제 용어를 사용한 대수적 표현은 존재하지 않는데, 이는 카수스 이레두시빌리스의 예이기 때문이다.

면의 대략적인 관계는

$(displaystyle b\ 약 1.80193\cdot a,\qquad c\ 약 2.24698\cdot a.})$

우리는 또한 가지고^[4][5] 있다.

${\displaystyle {\frac{a^{2}},\frac -{b^{2}},\frac -{b^{ca},\property -{c^{2}}:}}}}$

입방정식을 만족시키다.

${\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle {\frac{a^{3}{bc^{2}},\frac -{b^{3}}}}\frac{c^{3}}}}\frac {c^{3}}{ab^{2}}:}$

입방정식을 만족시키다.

${\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle {\frac{a^{3}{b^{2}c},\frac {b^{3}a},\frac - {c^{3}{a^{2}b}}}}}}}$

입방정식을 만족시키다.

${\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.}$

우리는 또한 가지고^{[2]: p. 14} 있다.

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

그리고^{[2]: p. 15}

${\displaystyle {{\frac{b^{2}}+{\frac{c^{2}}}{b^{2}}}+{\frac{a^{2}}}{c^{2}}}}=5.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle ab-bc+ca=0,}$

${\displaystyle a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,}$

${\displaystyle a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,}$

${\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}$

다른^{[citation needed]} (m, n), m, n > 0, m, n < 2000)은 없다.

${\displaystyle a^{m}b^{n}\pm b^{m}c^{n}\pm c^{m}a^{n}=0.}$

고도

고도 h_a, h_b, h는_c 만족한다.

${\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}}}$^{[2]: 13페이지}

그리고

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}}}{2}}.}$^{[2]: 페이지 14}

측면 b(반대편 각도 B)로부터의 고도는 ${\displaystyle {내부}_{}}$ 각도 이등분선의 $절반$이며 A ${\$A의 A$}:$^{[2]: p. 19}

${\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}$

여기서 A각은 가장 작은 각이고, B각은 두 번째로 작은 각이다.

내부 각도 이등분자

내부 각도 이등분자의 속성은 $각각{\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle w_{A},w_{B},$ 그리고 W C {\displaystyle $w_{C}$이다$.$^{[2]: p. 16}

${\displaystyle w_{A}=b+c,}$

${\displaystyle w_{B}=c-a,}$

${\displaystyle w_{C}=b-a.}$

할라디우스, 인라디우스, 엑라디우스

삼각형의^[6] 면적은

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}{4}}{4}R^{2},}$

여기서 R은 삼각형의 원곡선이다.

우리는^{[2]: p. 12} 가지고 있다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}}$

우리는 또한 가지고^[7] 있다.

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}}$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}}}=70R^{6}.}$

인라디우스에 대한 인라디우스의 비율 r /R은 입방정식의^[6] 양의 해법이다.

${\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.}$

게다가^{[2]: p. 15}

${\displaystyle {\frac{1}{a^{2}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}={\frac {2}{R^{2}}}}}}}}.}$

우리는 또한 가지고^[7] 있다.

${\displaystyle {\frac{1}{a^{4}}+{\frac {1}{b^{4}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\frac{1}{a^{6}}+{\frac {1}{b^{6}}+{\frac {1}{c^{6}}={\frac {17}{7}{7}R^{6}}}.}$

일반적으로 모든 정수 n에 대해,

${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}}:{2n}}$

어디에

${\displaystyle g(-1)=8,\display g(0)=3,\display g(1)=7}$

그리고

$[\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3)]}$

우리는 또한 가지고^[7] 있다.

${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt{7}bR,\quad 2c^{2}={\sqrt{7}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt{7}aR.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4}}}$

${\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt{7}R^{5}}}$

${\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}}}}}$

측면 a에 해당하는 exradius r은_a 헵탄 삼각형의 9점 원 반지름과 같다.^{[2]: p. 15}

직교 삼각형

헵탄 삼각형의 직각 삼각형은 고도의 발에 정점이 있는 헵탄 삼각형과 비슷하며, 유사도는 1:2이다. 헵탄 삼각형은 직교 삼각형과 비슷한 둔탁한 유일한 삼각형이다(등각 삼각형은 유일한 급성 삼각형이다).^{[2]: pp. 12–13}

삼각형 특성

헵탄 삼각형과 관련된 다양한 삼각형 정체성은 다음을 포함한다.^{[2]: pp. 13–14 [6]}

${\displaystyle A={\frac {\pi }{7},\quad B={\frac {2\pi }{7},\quad C={\frac {4\pi }{7}}}}.}$

${\displaystyle \cos A=b/2a,\quad \cos B=c/2b,\quad \cos C=-a/2c,}$^{[4]: 발의안 제10호}

${\displaystyle \cos B\cos C=-{\frac {1}{8},}$

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C={\frac {5}{4}},}$

$\displaystyle \cos ^{4}}A+\cos ^{4}B+\cos ^{4}C={\frac {13}{16}},}$

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C={\sqrt{7},}$

${\displaystyle \cot ^{2}A+\cot ^{2}B+\cot ^{2}C=5,}$

${\displaystyle \csc ^{2}A+\csc ^{2}B+\csc ^{2}C=8,}$

${\displaystyle \csc ^{4}}A+\csc ^{4}B+\csc ^{4}C=32,}$

${\displaystyle \sec ^{2}A+\sec ^{2}B+\sec ^{2}C=24,}$

${\displaystyle \sec ^{4}}A+\sec ^{4}B+\sec ^{4}C=416,}$

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {\sqrt{7}},}$

${\displaystyle \sin ^{2}A\sin ^{2}B\sin ^{2}C={\frac {7}{64}},}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C={\frac {7}{4}},}$

$\displaystyle \sin ^{4}}A+\sin ^{4}B+\sin ^{4}C={\frac {21}{16}},}$

$\displaystyle \tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-{\sqrt{7},}$

$\displaystyle \tan ^{2}A+\tan ^{2}B+\tan ^{2}C=21.}$

입방정식

${\displaystyle 64y^{3}-byy^{2}+56y-7=0}$

has solutions^{[2]: p. 14} ${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi }{7}},\sin ^{2}{\frac {2\pi }{7}},}$ and ${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {4\pi }{7}},}$ which are the squared sines of the angles of the triangle.

입방정식의 양의 해법

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0}$

$등가{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\frac{2}{}}$ ${\displaystyle ,}$ 7$$, {\$displaystyle 2$\cos${\frac {$2$\pi$}{7$}},$ 이는$$ 삼각형 각도 중 하나의 코사인 2배이다.^{[8]: p. 186–187}

죄(2π / 7), 죄 (4 / / 7), 죄 (8 7 / 7)는 의 뿌리다^[4].

${\displaystyle x^{3}-{\frac {\sqrt{7}}{2}}x^{2}+{\frac {\sqrt{7}}{8}}=0.}$

또한 다음과 같은 이점이 있다.^[7]

${\displaystyle \sin B-\sin C=-{\frac {\sqrt{7}{2}},}$

$\displaystyle \sin B-\sin B-\sin C+\sin C\sin A=0,}$

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {\sqrt{7}{8}}.}$

${\displaystyle -\sin A,\sin B,\sin C{\text{{}-{\x^{7}{2}}:x^{2}+{\sqrt{7}}}{7}}}}}=0의 뿌리다.}$

정수 n의 경우, let

${\displaystyle S(n)=(-\sin {A}^{n}+\sin ^{n}{B}+\sin ^{n}{C}.}$

n = 0,...,20의 경우,

${\displaystyle S(n)=3,{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7}{2^{2}}},{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7\cdot 3}{2^{4}}},{\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}},{\frac {7\cdot 5}{2^{5}}},{\frac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}},{\frac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}},{\frac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}},}$

${\displaystyle {\frac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}},{\frac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}},{\frac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}},{\frac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}},{\frac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}},{\frac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}},{\frac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}},{\frac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}.}$

n= 0, -1, , ..-20의 경우,

${\displaystyle S(n)=3,0,2^{3},-{\frac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}},2^{5},-{\frac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {2^{6}\cdot 17}{7}},-2^{7}{\sqrt {7}},{\frac {2^{9}\cdot 11}{7}},-{\frac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{10}\cdot 29}{7}},-{\frac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}},}$

${\displaystyle -{\frac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{14}\cdot 51}{7}},-{\frac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}},-{\frac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}},-{\frac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}.}$

${\displaystyle -\cos B,\cos C{\cos C{\text{}}는 }}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}}-{1}{1}{2}}x-{1}{8}=0의 루트다.}$

정수 n의 경우, let

${\displaystyle C(n)=(-\cos {A}^{n}+\cos ^{n}+\cos ^{n}{C}.}$

n= 0, 1, , ..10의 경우,

${\displaystyle C(n)=3,-{\frac {1}{2}},{\frac {5}{4}},-{\frac {1}{2}},{\frac {13}{16}},-{\frac {1}{2}},{\frac {19}{32}},-{\frac {57}{128}},{\frac {117}{256}},-{\frac {193}{512}},{\frac {185}{512}},...}$

${\displaystyle C(-n)=3,-4,24,-88,416,-1824,8256,-36992,166400,-747520,3359744,...}$

${\displaystyle \tan A,\tan B,\tan C{\text{}}는 }}x^{3}+{\sqrt{7}x^{2}-7x+{\sqrt{7}=0의 뿌리다.}$

${\displaystyle \tan \tan ^{2}A,\tan ^{2}B,\tan ^{2}C{\text{}}는 }x^{3}-21x^{2}+35x-7=0의 루트다.}$

정수 n의 경우, let

${\displaystyle T(n)=\tan ^{n}{n}{A}+\tan ^{n}{B}+\tan ^{n}{C}.}$

n= 0, 1, , ..10의 경우,

${\displaystyle T(n)=3,-{\sqrt {7}},7\cdot 3,-31{\sqrt {7}},7\cdot 53,-7\cdot 87{\sqrt {7}},7\cdot 1011,-7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 2771,-7\cdot 32119{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 53189,}$

${\displaystyle T(-n)=3,{\sqrt {7}},5,{\frac {25{\sqrt {7}}}{7}},19,{\frac {103{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {563}{7}},7\cdot 9{\sqrt {7}},{\frac {2421}{7}},{\frac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {10435}{7}},...}$

우리는 또한 가지고^[7][9] 있다.

${\displaystyle \tan A-4\sin B=-{\sqrt{7},}$

${\displaystyle \tan B-4\sin C=-{\sqrt{7},}$

${\displaystyle \tan C+4\sin A=-{\sqrt {7}.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle \cot ^{2}A=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt{7}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}B=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt{7}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}C=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt{7}}.}$

우리는 또한 가지고^[4] 있다.

${\displaystyle \cos A=-{\frac {1}{1}:{2}}+{\frac {4}{\sqrt{7}}\sin ^{3}C,}$

${\displaystyle \cos ^{2}A={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{\sqrt{7}}\sin ^{3}A,}$

${\displaystyle \cot A={\frac {3}{\sqrt {7}+{\frac {4}{\sqrt {7}}\cos B,}$

${\displaystyle \cot ^{2}A=3+{\frac {8}{\sqrt{7}}\sin A,}$

${\displaystyle \cot A={\sqrt{7}+{\frac {8}{\sqrt{7}}\sin ^{2}B,}$

${\displaystyle \csc ^{3}A=-{\frac {6}{\sqrt {7}+{\frac {2}{\sqrt{7}}\tan ^{2}C,}$

${\displaystyle \sec A=2+4\cos C,}$

${\displaystyle \sec A=6-8\sin ^{2}B,}$

${\displaystyle \sec A=4-{\frac {16}{\\sqrt{7}}\sin ^{3}B,}$

${\displaystyle \sin ^{2}A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}{1}:{2}}:\cos B,}$

${\displaystyle \sin ^{3}A=-{\frac {\sqrt{7}}{8}+{\frac {\sqrt{7}}}{4}}\cos B,}$

우리는 또한 가지고^[10] 있다.

${\displaystyle \sin ^{3}B\sin C-\sin ^{3}C\sin A-\sin ^{3}A\sin B=0,}$

${\displaystyle \sin b\sin ^{3}C-\sin C\sin ^{3}A-\sin A\sin ^{3}B={\frac {7}{2^{4}}}}}}}},}$

${\displaystyle \sin ^{4}B\sin C-\sin ^{4}C\sin A+\sin ^{4}A\sin B=0,}$

${\displaystyle \sin B\sin ^{4}C+\sin C\sin ^{4}A-\sin A\sin ^{4}B={7}{7}{2^{5}}}},}$

${\displaystyle \sin ^{11}B\sin ^{3}C-\sin ^{11}C\sin ^{3}A-\sin ^{11}A\sin ^{3}B=0,}$

${\displaystyle \sin ^{3}B\sin ^{11}C-\sin ^{3}C\sin ^{11}A-\sin ^{11}B={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}}}}}}.}$

라마누잔 타입의 신분도 ^[7][11]있고

${\displaystyle {\sinrt[{3}]{2\sin({\frac {2\pi }{7}}}}}+{\sinrt[{3}]{2\sinrt[}}}}}}{7}}}}}}}}}+{2\sqrpi {8\pi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}}}}}}+{\sqrt[{3}}}}}}}}{\tan({\frac {8\pi{7}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

우리는 또한 가지고^[10] 있다.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{7}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\sin({2\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({4\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\sin({8\pi }{7}}}=\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{49}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {9\pi }{7}})}}=-3*{\sqrt[{3}]{7}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}}}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}=-61*{\sqrt[{3}]{7}}/8.}$

참조