세비아어

기하학에서 cevian은 삼각형의 꼭지점과 그 꼭지점에 반대되는 면을 모두 교차하는 선이다.^[1][2]중간자와 각도 이등분자는 세비안의 특별한 경우다."세비아인"이라는 이름은 이탈리아 수학자 지오반니 세바에서 유래했는데, 그는 세비아인에 대해 잘 알려진 정리를 증명했고, 세비아인도 그의 이름을 가지고 있다.^[3]

길이

스튜어트의 정리

세비아인의 길이는 스튜어트의 정리에 의해 결정될 수 있다: 도표에서 세비아인의 길이 d는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

덜 흔하게, 이것은 또한 "남자와 그의 아버지가 싱크대에 폭탄을 넣었다"는 의미인 니모닉으로 표현된다.

$\displaystyle \,man+dad=bmb+cnc.}$^[4]

중앙값

만약 세비안이 중앙분리대(즉, 측면을 이등분하는 것)인 경우, 그 길이는 공식으로 결정할 수 있다.

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2}}}$

또는

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}}$

그 이후

$\displaystyle \,a=2m.}$

따라서 이 경우

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}:}}}.}$

앵글 이등분자

만약 세비안이 각도 이등분자라면, 그것의 길이는 공식에 따른다.

${\displaystyle \,(b+c)^{2}}}=a^{2}\왼쪽 사진\frac {d^{2}}:{mn}+1\오른쪽),}$

그리고^[5]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

그리고

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}{b+c}}}$

여기서 반퍼미터 s = (a+b+c)/2.

길이 a의 옆면은 b:c 비율로 나눈다.

고도

만약 세비안이 고도가 되어 면에 수직인 경우, 그 길이는 공식에 따른다.

${\dyplaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}:$

그리고

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s-a(s-b)(s-c)}}{a},}$

여기서 반퍼미터 s = (a+b+c) / 2.

비율 속성

세 명의 세비안이 모두 동일한 임의의 내부 지점을 통과하는 길이의 비율에는 다양한 특성이 있다.^{[6]: 177–188} 오른쪽의 도표를 참조하면,

${\displaystyle {\frac {AF}{$$FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{$$EA}=1;}$ $$(세바의 정리)

${\displaystyle {\frac {AO}{OD}={\frac {AE}{EC}+{\frac {AF}{FB};}$

${\displaystyle {\frac {OD}{AD}+{\frac {OE}{BE}+{\frac {OF}{CF}=1;}$

${\displaystyle {\frac {AO}{AD}+{\frac {BO}{BE}+{\frac {CO}{CF}=2.}$

두 방정식을 합하면 1 + 1 + 1 = 3이 되기 때문에 이 마지막 두 특성은 동등하다.

스플리터

삼각형의 스플리터는 둘레를 이등분하는 세비아인이다.세 개의 분할자는 삼각형의 나겔 지점에서 일치한다.

면적 이등분자

삼각형의 면적 이등분자 중 3개는 정점을 반대편 중간점에 연결하는 중위수다.따라서 균일한 밀도 삼각형은 어떤 중위수를 지탱하는 면도기에서 원칙적으로 균형을 맞출 것이다.

앵글 트라이센터

삼각형의 각 꼭지점에서 2개의 세비안이 그려져서 각도를 3개의 동일한 각도로 나눈다면, 6개의 세비안이 쌍으로 교차하여 몰리 삼각형이라고 불리는 정삼각형을 형성한다.

세비안이 형성한 내삼각형 영역

루스의 정리는 각 꼭지점에서 한 개씩 세 개의 세비안의 쌍방향 교차점에 의해 형성된 삼각형의 그것과 주어진 삼각형의 면적의 비율을 결정한다.

참고 항목

• 매스 포인트 기하학
• 메넬라오스의 정리

메모들

참조

• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon
• 로스 혼스버거(1995년).19세기와 20세기 유클리드 기하학의 에피소드 137쪽.미국 수학 협회
• 블라디미르 카라페토프(1929)."평면 삼각형에서 상관 정점선의 일부 특성."미국 수학 월간 36: 476–479.
• 인디카 샤미에라 아마라싱헤(2011년)."모든 직각 세비아 삼각형에 대한 새로운 정리."세계 수학 경시대회 저널, Vol 24 (02) 페이지 29–37.