고도(삼각형)

기하학에서 삼각형의 고도는 꼭짓점을 통과하고 꼭짓점의 반대쪽을 포함하는 선에 수직인 선분입니다. 반대쪽을 포함하는 이 선을 고도의 확장된 기저라고 합니다. 확장된 기지와 고도의 교차점을 고도의 발이라고 합니다. 고도의 길이는 종종 단순히 "고도"라고 불리는 확장된 기저부와 정점 사이의 거리입니다. 꼭짓점에서 발까지 고도를 그리는 과정을 그 꼭짓점에서 고도를 떨어뜨리는 것으로 알려져 있습니다. 직교 투영의 특별한 경우입니다.

고도는 삼각형의 면적을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 고도의 길이와 밑면의 길이의 곱의 1/2이 삼각형의 면적과 같습니다. 따라서 가장 긴 고도는 삼각형의 가장 짧은 변과 수직입니다. 고도는 삼각함수를 통해 삼각형의 변과도 관련이 있습니다.

이등변삼각형(두 개의 합동인 변이 있는 삼각형)에서, 일치하지 않는 변을 기본으로 하는 고도는 그 변의 중점을 발로 합니다. 또한 일치하지 않는 면을 기본으로 하는 고도는 꼭짓점 각도의 각도 이등분선이 됩니다.

고도를 h(높이)로 표시하는 것이 일반적이며, 종종 고도가 그려진 면의 이름과 함께 첨자로 표시됩니다.

직각삼각형에서 빗변 c에 그려진 고도는 빗변을 길이 p와 q의 두 부분으로 나눈다. 만약 우리가 고도의 길이를 h로_c 나타내면, 우리는 다음 관계를 갖습니다.

${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ $=$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{pq}}}$ ${\displaystyle$}={\$sqrt {pq}}($기하평균정리; 특수한 경우, 역피타고라스정리 참조)

예각 삼각형의 경우 고도의 발은 모두 삼각형의 측면에 있습니다(확장되지 않음). 둔각 삼각형에서 둔각 꼭짓점으로 가는 고도의 발은 반대쪽의 안쪽에 있지만, 예각 꼭짓점으로 가는 고도의 발은 삼각형의 바깥쪽에 있는 확장된 반대쪽에 있습니다. 이것은 인접한 도표에서 볼 수 있습니다: 이 둔각 삼각형은 예각을 갖는 꼭대기 꼭지점에서 수직으로 떨어진 고도가 삼각형 바깥쪽의 확장된 수평면과 교차합니다.

정중앙

세 개의 (가능하게 확장된) 고도는 한 점에서 교차하며, 이를 삼각형의 직교 중심이라고 하며, 일반적으로 H로 표시됩니다.^[1][2] 삼각형이 예각인 경우에만 직교 중심이 삼각형 내부에 있습니다. 한 각도가 직각인 경우 직교 중심은 직각의 꼭지점과 일치합니다.^[2]

A, B, C를 꼭짓점과 삼각형의 각도라고 하고, $a$ = ${\displaystyle \mathrm{BC}}$¯, ${\displaystyle \stackrel{}{b}}$ = ${\displaystyle CA}$ ¯,$c$=$AB$ ¯ ${\style${\overline {$BC}}\right,$b=\$left${\overline {$CA}\$right,c=\$left${\overline {AB}\right}을 변 길이라고 합니다. 직교 중심에는 삼선 좌표가^[3] 있습니다.

및 무게중심 좌표

무게중심 좌표는 삼각형 내부의 한 점에 대해 모두 양수이지만, 외부의 한 점에 대해 적어도 하나는 음수이고, 두 개의 무게중심 좌표는 꼭짓점에 대해 0이므로, 직교 중심에 대해 주어진 무게중심 좌표는 직교 중심이 예각 삼각형 내부에 있음을 보여줍니다. 직각 삼각형의 직각 꼭짓점 위에 있고, 둔각 삼각형의 바깥쪽에 있습니다.

복소 평면에서 점 A, B, C가 숫자 z, z, z를 나타내고 삼각형 △ abc의 외심이 평면의 원점에 위치한다고 가정합니다. 그러면 복소수.

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

점 H, 즉 삼각형의 고도 △ abc로 표시됩니다. 이로부터 자유 벡터에 의한 직교 중심 H의 다음과 같은 특성을 직접 설정할 수 있습니다.

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

이전 벡터 정체 중 첫 번째는 제임스 조셉 실베스터(James Joseph Sylvester)가 제안한 실베스터(Sylvester)의 문제로도 알려져 있습니다.^[5]

특성.

D, E, F를 각각 A, B, C로부터의 고도의 발이라고 합니다. 그러면:

• 직교 중심이 고도를 분할하는 세그먼트 길이의 곱은 세 고도 모두에서 동일합니다.^[6][7]

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}={\overline {B}H}\cdot {\overline {HE}={\overline {CH}\cdot {\overline {HF}}.}$

이 상수의 제곱근을 반지름으로 하는 H를 중심으로 하는 원이 삼각형의 극원입니다.^[8]

• 기지로부터 고도의 길이까지의 직교 중심 거리의 세 고도에 대한 비율의 합은 1입니다.^[9] (이 속성과 다음 속성은 내부 지점의 보다 일반적인 속성과 이를 통해 세비아를 적용한 것입니다.)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}+{\frac {HE}{\overline {BE}}+{\frac {\overline}HF}}{\오버라인 {CF}=1.}$

• 꼭지점에서 고도의 길이까지의 직교 중심 거리의 세 고도에서의 비율의 합은 2입니다.^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}+{\frac {\overline {B}H}}{\overline {BE}}+{\frac {\overline {CH}{\overline {CF}}=2.}$

• 직교 중심의 등각 공액은 삼각형의 외심입니다.^[10]
• 정삼각형의 동위원소 공액은 반보상 삼각형의 대칭점입니다.^[11]
• 평면상의 4개의 점, 즉 그 중 하나가 나머지 3개에 의해 형성된 삼각형의 직교 중심이 되는 점을 직교 중심계 또는 직교 중심 사각형이라고 합니다.

원과 원뿔과의 관계

삼각형의 둘레 반경을 R로 표시합니다. 그러면^[12][13].

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}^{2}+{\overline {B}H}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

또한, r을 삼각형 원의 반지름으로, r_a, r을_bc 원의 반지름으로, R을 다시 원의 반지름으로 표시하면, 꼭짓점으로부터 직교 중심의 거리와 관련하여 다음과 같은 관계가 성립합니다.^[14]

${\displaystyle {\begin {align}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {B}H}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}^{2}+{\overline {B}H}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{align}}$

예를 들어 AD와 같은 고도가 P에서 원주와 교차하도록 확장되어 AD가 원주의 코드가 되면 풋 D는 세그먼트 HP를 분할합니다.^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}= {\overline {DP}}.}$

삼각형의 한 변에 외부로 접하고 다른 변의 확장에 접하는 모든 포물선의 직행렬은 직교 중심을 통과합니다.^[15]

삼각형의 직교 중심을 지나는 원뿔은 직사각형 쌍곡선입니다.^[16]

다른 중심과의 관계, 9점 원

9점 원의 직교 중심 H, 중심 G, 외심 O, 중심 N은 모두 오일러 선으로 알려진 한 직선 위에 놓여 있습니다.^[17] 9점 원의 중심은 오일러 선의 중간 지점, 즉 직교 중심과 외심 사이에 있으며, 중심과 외심 사이의 거리는 중심과 외심 사이의 거리의 절반입니다.^[18]

${\displaystyle {\begin {align}&{\overline {OH}=2{\overline {NH}},\&2{\overline {OG}={\overline {GH}}.\end{align}}$

직교 중심은 중심보다 유인기 I에 더 가깝고 직교 중심은 유인기보다 중심에서 더 멀리 있습니다.

${\displaystyle {\begin {align} {\overline}HI}}&<{\오버라인 {HG}},\{\오버라인 {HG}}&>{\오버라인 {IG}}.\end{align}}$

변 a, b, c, 반지름과 둘레 반지름 R로 볼 때,^{[19][20]: p. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{align}}$

정삼각형

삼각형 △ abc가 비스듬한 경우(직각이 포함되지 않음) 원래 삼각형의 직교 중심의 페달 삼각형을 직교 삼각형 또는 고도 삼각형이라고 합니다. 즉, 비스듬한 삼각형의 고도의 발은 정삼각형인 △DEF를 형성합니다. 또한, 정삼각형 △DEF의 인센티브(내접원의 중심)는 원삼각형 △abc의 정삼각형입니다.

정삼각형의 꼭짓점에 대한 삼선형 좌표는 다음과 같습니다.

정삼각형의 확장된 변과 기준삼각형의 반대쪽 확장된 변은 세 개의 직선점에서 만나게 됩니다.^[22][23][21]

어떤 예각삼각형에서도 둘레가 가장 작은 내접삼각형은 정삼각형입니다.^[24] 이것은 1775년에 제기된 Fagnano의 문제에 대한 해결책입니다.^[25] 정삼각형의 변은 원삼각형의 꼭지점에서 원주방향 접선과 평행합니다.^[26]

정삼각형의 정삼각형은 삼각형의 빛 경로를 제공합니다.^[27]

△ abc의 변들의 중간 지점에 있는 9점 원의 접선은 정삼각형의 변들과 평행하여 정삼각형과 유사한 삼각형을 형성합니다.

직각삼각형은 접선삼각형과 밀접한 관계가 있으며, 다음과 같이 구성됩니다. L을 꼭짓점 A에서 삼각형 △ abc의 원에 접하는 선이라 하고, L, L을 유사하게 정의합니다. $A$″ = ${\displaystyle L_{}}$ $B$${\displaystyle {}_{}}$∩ L C, {\$displaystyle A"$=L_{$B$${\displaystyle {\}\backslash }^{}}$cap L_{C}, $B$ ″ = L ∩ $LA, {\$$B$=${\displaystyle {L\_}_{}}${${\displaystyle C}$}\${\displaystyle {}_{}{}_{}{L\_}_{}}$A$},$ C ″ = L ∩$LA$라고 합니다$.$ {\displaystyle C"=L_{C}\cap L_{A}. 접선 삼각형은 △A"B"C", 그 변들은 삼각형의 접선△abc의 꼭짓점에서 원을 그리며, 정삼각형과 동형입니다. 접선 삼각형의 외심과 직교 삼각형과 접선 삼각형의 유사도 중심은 오일러 선에 있습니다.^{[20]: p. 447}

접선 삼각형의 꼭짓점에 대한 삼선형 좌표는 다음과 같습니다.

기준 삼각형과 그 정삼각형은 정삼각형입니다.

정삼각형에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하십시오.

몇 가지 추가 고도 정리

측면의 고도

변 a, b, c 및 반지름 = ${\displaystyle \frac{12}{}(a}$+ b${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c),}$ ${\displaystyle$s={\$tfrac {1}{2}}(a$+ $b$+ $c)}$개의 변 a(기저)로부터의 고도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

이것은 변의 넓이에 대한 헤론의 공식을 변의 넓이 공식 ${\displaystyle \frac{12}{}}$× ${\displaystyle \text{밑면}}$× ${\displaystyle \text{높이},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}}$와 결합한 것에서 나온 것입니다. 여기서$$ 밑면은 변 a로, 높이는 꼭짓점 A(변 a의 반대쪽)로부터의 고도입니다.

이 방정식은 a를 b 또는 c와 교환함으로써 각각 고도 h와_b h를_c 찾는 데 사용할 수 있습니다.

인라디우스 정리

변 a, b, c와 그에 상응하는 고도_a h, h_b, h를_c 갖는 임의의 삼각형을 생각해 보자. 고도와 원내반경 r은 다음과^{[29]: Lemma 1} 관련이 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

외반지름 정리

삼각형의 한 변에서 나오는_a 고도를 h, 다른 두 변을 b와 c, 그리고 삼각형의 외접원 반지름(삼각형 외접원의 반지름)을 R로 나타내면, 고도는 다음과^[30] 같습니다.

${\displaystyle h_{a}= {\frac {bc}{2}R}}.}$

인테리어 포인트

p₁^[31], p₂, p는₃ 임의의 점 P에서 변까지의 수직 거리이고, h₁, h는₂₃ 각각의 변까지의 고도라면,

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

넓이 정리

변 a, b, c에서 삼각형의 고도를 각각 h, h, h, h로 표시하고, 고도의 역수의 반합을 $H$ = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a_{}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{b_{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1_{}^{}}{}}$+ h ${\displaystyle \frac{c_{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle$H = {\$tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1$}}{-1$}}{2}}$을(를) 가질 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

고도의 일반적인 점

E가 임의의 삼각형의 고도 AD 상의 임의의 점 △ abc이면,

${\displaystyle {\overline {AC}^{2}+{\overline {EB}^{2}={\overline {AB}^{2}+{\overline {CE}^{2}}}$

특수한 경우

정삼각형

정삼각형 내의 임의의 점 P에서 세 변에 대한 수직선의 합은 삼각형의 고도와 같습니다. 이것이 비비아니의 정리입니다.

직각삼각형

다리 a와 b가 있고 빗변 c가 있는 직각 삼각형에서 각 다리는 고도 ${\displaystyle {ha}_{}}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h_{a$} = $b}$이고 ${\displaystyle {hb}_{}}$ = a ${\displaystyle h_{b$} = a$}$입니다$.$ 세^[34][35] 번째 고도는 관계식을 통해 알 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

이것은 역 피타고라스 정리라고도 합니다.

특히 다음 사항을 참고하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{align}}$

역사

삼각형의 세 고도가 일치한다는 정리는 현존하는 그리스 수학 문헌에 직접 명시되어 있지 않지만, 아르키메데스 (기원전 3세기)의 저서 "직각삼각형에 관한 논문 해설"을 인용하여 렘마스의 저서 (명제 5)에서 사용됩니다. 파푸스(Pappus, Mathematical Collection, VII, 62; 340)에 의해서도 언급되었습니다.^[36] 이 정리는 알 나사위가 렘마스의 책에 대한 논평(11세기)에서 명시적으로 언급하고 증명했으며, 알 키(10세기)fl.에 기인합니다.^[37]

아랍어로 된 이 증명은 (17세기 초) 라틴어 판본의 일부로 번역되었지만 유럽에서는 널리 알려지지 않았으며 따라서 이 정리는 17-19세기에 몇 번 더 증명되었습니다. Samuel Marolois는 그의 기하학(1619)에서 그것을 증명했고, Isaac Newton은 완성되지 않은 논문인 곡선의 기하학(c.1680)에서 그것을 증명했습니다.^[36] 나중에 윌리엄 채플이 1749년에 그것을 증명했습니다.^[38]

특히 우아한 증거는 프랑수아-요제프 세르부아 (1804)와 독립적으로 칼 프리드리히 가우스 (1810) 덕분입니다. 반대쪽 점을 통해 삼각형의 각 면에 평행한 선을 그리고 이 세 선의 교차점으로부터 새로운 삼각형을 형성하세요. 그러면 원래 삼각형은 새 삼각형의 중간 삼각형이고, 원래 삼각형의 고도는 새 삼각형의 수직 이등분선이므로 (새 삼각형의 외심에서) 일치합니다.^[39]

참고 항목

• 삼각형 중심
• 중앙값(측위)

메모들

참고문헌

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry, Dover
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometry: Theorems and Constructions, Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Bogomolny, Alexander. "Existence of the Orthocenter". Cut the Knot. Retrieved 2022-12-17.
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Altitude". MathWorld.
• 대화형 애니메이션이 포함된 삼각형의 직교 중심
• 오르토센터 구조 컴퍼스와 스트레이트엣지의 애니메이션 시연입니다.
• Fagnano's Problem by Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.