구부러지다

시리즈의 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi}{displaystyle}}$ 픽의 확산 법칙
법률 보수 덩어리 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스듀헴(엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 선형의 소성 후크의 법칙 스트레스 유한 변형률 미량 변형률 호환성. 구부러지다 컨택 메카니즘 마찰의 재료고장론 파괴 역학
유체역학 유체 스태틱스 · 다이내믹스 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점성 (뉴욕 · 비뉴욕) 부력 · 믹싱 · 압력. 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집력(화학) 표면 장력 가스 대기. 보일의 법칙 샤를의 법칙 복합가스 법칙 픽의 법칙 게이-루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
레올로지 점탄성 레오메트리 레오미터 스마트 유체 전기기후학 자기 지질학 강유체
과학자 베르누이 보일 코시 찰스 오일러 픽 게이루삭 그레이엄 후크 뉴턴 경이다. 나비에 놀 파스칼 스토크스 트루즈델
v t

응용역학에서 굽힘(굴곡이라고도 함)은 요소의 세로축에 수직으로 가해지는 외부하중을 받는 가느다란 구조요소의 거동을 특징짓는다.

구조 요소는 그 치수 중 적어도 하나가 다른 ^[1]두 개의 작은 부분(일반적으로 1/10 이하)인 것으로 가정한다.길이가 폭과 두께보다 상당히 길면 요소를 보라고 합니다.예를 들어 옷걸이에 달린 옷의 무게로 옷장 막대가 처지는 것은 빔이 구부러지는 것을 볼 수 있다.한편, 셸은 길이와 폭이 같은 크기의 순서이지만 구조물의 두께('벽'으로 알려진)가 상당히 작은 기하학적 형태의 구조물이다.직경이 크지만 얇은 짧은 튜브가 양끝에서 지지되고 측면으로 적재되는 것은 쉘이 구부러지는 현상을 나타내는 예입니다.

한정자가 없는 경우 벤딩은 모든 객체에서 로컬로 발생할 수 있으므로 벤딩이라는 용어가 모호합니다.따라서 기술자는 보다 정확하게 사용하기 위해 ^[2]봉의 굽힘, ^[1]빔의 굽힘, ^[3]판의 굽힘, 셸의^[2] 굽힘 등과 같은 특정 물체를 말합니다.

보의 준정적 굽힘

빔에 횡하중이 가해지면 빔 내부에서 변형과 응력이 발생한다.준정적 경우, 굽힘 편향의 양과 발생하는 응력은 시간이 지남에 따라 변하지 않는 것으로 가정한다.단부에서 지지되고 중앙에서 하방되는 수평빔에서 빔의 상방재료를 하방재료를 신장시키면서 압축한다.횡하중에 의해 발생하는 내부 응력에는 다음 두 가지 형태가 있습니다.

• 하중 방향에 수직인 평면에서의 수평 하중과 평행한 전단 응력 + 보완 전단 응력
• 빔 상부 영역에서의 직접 압축 응력과 빔 하부 영역에서의 직접 인장 응력.

이 마지막 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이기 때문에 커플 또는 모멘트를 형성합니다.이 굽힘 모멘트는 굽힘을 경험하는 빔의 처짐 변형 특성에 저항합니다.빔의 응력 분포는 몇 가지 단순화된 가정을 ^[1]사용할 때 매우 정확하게 예측할 수 있습니다.

오일러-베르누이 굴곡 이론

가늘고 긴 빔의 오일러-베르누이 이론에서, 주요 가정은 '평면 단면은 평면을 유지한다'는 것이다.즉, 단면에 걸친 전단(shear)에 의한 변형은 고려되지 않는다(shear 변형 없음).또한 이 선형 분포는 최대 응력이 재료의 항복 응력보다 작은 경우에만 적용할 수 있습니다.항복량을 초과하는 응력은 플라스틱 벤딩 문서를 참조하십시오.항복 시 단면(빔의 중성축에서 가장 먼 지점)에서 발생하는 최대 응력은 굽힘 강도로 정의됩니다.

다음 조건을 충족하는 보를 고려합니다.

• 빔은 원래 직선이고 가늘며 테이퍼도 약간입니다.
• 재료는 단면에 걸쳐 등방성(또는 직교성), 선형 탄성 및 균질하다(단, 길이를 따라서는 필요 없음).
• 작은 편향만 고려됩니다.

이 경우 빔 편향($\displaystyle$ w$)$을 설명하는 방정식은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}w(x)} {\mathrm {d} x^{2} = frac {M(x)} {E(x)I(x)}}$

여기서 x$({displaystyle$x})에 대한 휘어진 형상의 두 번째 도함수는 곡률로 $해석$되며$,$ E({$displaystyle$ E$}$는 영 계수$,$ $I{\displaystyle }$({$displaystyle$ I$$$})$는 단면의 관성 $,$ M({$displaystyle$M})은$$ 빔의 내부 굽힘 모멘트입니다.

또한 빔이 길이를 따라 균질하고 테이퍼되지 않고(즉, 일정한 단면), 적용된 $횡하중{\displaystyle }$q$)$ {$displaystyle$q($x$에서 편향되는 경우 다음과 ^[1]같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {d}^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}=q(x)}$

이것은 빔 벤딩에 대한 오일러-베르누이 방정식입니다.

빔의 변위에 대한 해법을 구한 후, 빔의 휨모멘트$(M\displaystyle$M)와 $(Q\displaystyle$Q)은 다음 관계를 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {mathrm {d}^{2}w}{\mathrm {d}}~;~Q(x)=cfrac {d}M}{\mathrm {d}x}.}$

단순 빔 굽힘은 종종 오일러-베르누이 빔 방정식을 사용하여 분석됩니다.단순 벤딩 이론을 사용하기 위한 조건은 다음과 같습니다.^[4]

1. 빔은 완전히 구부러질 수 있습니다.이는 전단력이 0이며 비틀림 또는 축방향 하중이 존재하지 않음을 의미한다.
2. 소재는 등방성(또는 직교성)이며 균질하다.
3. 소재는 Hooke의 법칙에 준거하고 있습니다(선형 탄성이며, 소성 변형되지 않습니다).
4. 빔은 처음에 직선이며 횡단면이 빔 길이 전체에 걸쳐 일정합니다.
5. 빔에는 벤딩 평면에 대칭 축이 있습니다.
6. 빔의 비율은 찌그러짐, 주름 또는 측면 좌굴이 아닌 구부러짐으로 인해 파손될 수 있습니다.
7. 빔의 단면은 벤딩 중에도 평면을 유지합니다.

굽힘 하중을 받는 빔 축 방향으로 압축력과 인장력이 발생합니다.이러한 힘은 빔에 응력을 유발합니다.최대 압축 응력은 빔의 가장 위쪽 가장자리에 있는 반면 최대 인장 응력은 빔의 아래쪽 가장자리에 있습니다.이 두 개의 마주보는 최대값 사이의 응력은 선형으로 변화하므로, 따라서 선형 경로 상에 굽힘 응력이 없는 점이 존재합니다.이 점들의 궤적은 중성축이다.이 영역에는 응력이 없고 인접한 영역에는 응력이 낮기 때문에 굽힘 시 균일한 단면 빔을 사용하는 것은 붕괴 직전까지 빔의 전체 용량을 사용하지 않기 때문에 하중을 지탱하는 데 특별히 효과적인 방법은 아닙니다.와이드 플랜지 빔(I-빔)과 트러스 거더는 이 저응력 영역의 재료량을 최소화하므로 이러한 비효율성에 효과적으로 대처합니다.

단순 벤딩 상태에서 빔의 벤딩 응력을 결정하는 일반적인 공식은 다음과 같습니다.^[5]

${\displaystyle_{x}=black{M_{z}y}{I_{z}}=black {M_{z}}{W_{z}}}}$

어디에

• $§$ $(디스플레이 스타일)$는 굽힘 응력입니다.
• ${\displaystyle M_{}}$z(\$displaystyle M_{$z})$$ – 중성축에 대한 모멘트
• ${\displaystyle y}${\$displaystyle$ y$}$ – 중립 축에 대한 수직 거리
• ${\displaystyle I_{}}$ z$(\$ – 중성축 z에 대한 두 번째 영역 모멘트.
• ${\displaystyle W_{}}$z(\$displaystyle W_{$z})$$ - 중립 축 z에 대한 저항 모멘트.$displaystyle W_{z$

오일러-베르누이 빔 휨 이론의 확장

플라스틱 벤딩

${\displaystyle \sigma \frac{}{}}$ ${\displaystyle =}$ M ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ I$$ \ $displaystyle$ \ $display$style$=${$tfrac$ { My$$}{I_$$${x$}}}} 등식은 극한섬유(즉, 중성축에서 가장 멀리 떨어진 빔 부분)에서의 응력이 구성 소재의 항복 응력 미만일 때만 유효하다.높은 부하에서는 응력 분포가 비선형 상태가 되고, 연성 재료는 결국 응력의 크기가 빔의 모든 항복 응력과 동일한 플라스틱 힌지 상태로 진입하며, 응력이 인장에서 압축으로 변화하는 중성 축에서 중단됩니다.이 플라스틱 힌지 상태는 일반적으로 강철 구조물 설계에서 한계 상태로 사용됩니다.

복합 또는 비대칭 벤딩

위의 방정식은 단면이 대칭인 경우에만 유효합니다.비대칭 단면을 가진 균일한 빔의 경우 빔의 최대 굽힘 응력은 다음과 같습니다.

$\displaystyle _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}z}$^[6]

$여기$서 y${\displaystyle ,}$ {$displaystyle$ y$,$$z}$는 응력이 오른쪽에 표시된 단면 상의 점의 좌표이고, ${\displaystyle M_{}}$y {$displaystyle$ M_${$$y$$}$ ${\displaystyle {및}_{}}$ $M{\displaystyle {}_{}}$$$z {$displaystyle M_$${$z$$$$}는 y 및 z$$중심축에 대한 굽힘 ${\displaystyle {모멘트}_{}}$입니다$.$$displaystyle I_{z}$는 y축과 z축에 대한 영역의 두 번째 모멘트(관성 모멘트와 구별됨)이며, ${\displaystyle I_{}}$ y {\$displaystyle$ I_${yz}$는 면적의 모멘트의 곱입니다.이 방정식을 사용하면 모멘트 방향 또는 단면 형상에 관계없이 빔 단면의 임의의 지점에서 굽힘 응력을 계산할 수 있습니다.${\displaystyle M_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ y z$,$ I y ${\displaystyle z_{}}$ { $displaystyle M_{y$}, $M_{z},$$I_{y}, I_{z},$$I_{yz}}:$ 단면의$$ 한 점에서 다른 점으로 변경되지 않습니다.

큰 굽힘 변형

신체의 큰 변형의 경우, 단면의 응력은 이 공식의 확장 버전을 사용하여 계산된다.먼저 다음과 같은 가정을 세워야 합니다.

1. 평평한 섹션의 가정 – 변형 전후에 차체 고려 부분이 평평한 상태로 유지됩니다(즉, 소용돌이 치지 않음).
2. 단면의 법선 벡터에 수직인 이 섹션의 전단 응력과 법선 응력은 이 섹션과 평행한 법선 응력에 영향을 미치지 않는다.

벤딩 반지름$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho}$가 10개 섹션 높이 h보다 작을 경우 큰 벤딩 고려사항을 구현해야 합니다.

$\displaystyle \rho < 10h >$

이러한 가정으로 큰 굽힘에서의 응력은 다음과 같이 계산됩니다.

$\displaystyle \displays = flac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}}}}y{\frac {rho}{\rho +y}}}$

어디에

$(디스플레이 스타일$ F$)$는 정상적인 힘입니다.

$\displaystyle$A는$$ 섹션 ${\displaystyle \mathrm{영역}}$입니다.

${\displaystyle M}$ $\$ $displaystyle$M은$$ 구부러지는 모멘트입니다.

$§$ ${\displaystyle$ \rho$}$은(는) 로컬 벤딩 반경(현재 섹션의 벤딩 ${\displaystyle \mathrm{반경}}$)

${\$$$$I_{x}}'}}$는$$y{$displaystyle$ y$}$에서의 x축을 따른 관성 모멘트입니다(Steiner's 정리 참조).

$\displaystyle$y는$$ $\displaystyle\display$가 계산되는$$ 단면적의 y축을 따른 위치입니다.

벤딩 $반지름{\displaystyle }$ ${\$ {\$displaystyle \rho}$이(가) 무한대에 근접하고 y $≪$ {\$displaystyle$ y$\ll \rho$가 되면 원래 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \sigma \frac{}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle F\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$± M ${\displaystyle \frac{y}{}}$ $I${$displaystyle$ \ $displaystyle$= { F \ $over$ A $}$ \ $pm$ {$frac$ { $My$} { I$\}$ } 。

티모셴코 굽힘 이론

1921년 티모셴코는 빔 방정식에 전단 효과를 추가함으로써 빔의 오일러-베르누이 이론을 개선했다.티모셴코 이론의 운동학적 가정은 다음과 같다.

• 빔 축에 대한 규범은 변형 후에도 직선 상태를 유지한다.
• 변형 후 빔 두께에 변화가 없음

그러나 축에 대한 규범은 변형 후에도 축에 대해 수직을 유지할 필요가 없습니다.

이러한 가정^[7] 하에서 일정한 단면 빔의 선형 탄성, 등방성, 균질한 빔의 준정적 굽힘 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {d}^{4}w}{\mathrm {d}x^{4}}=q(x)-{\cfrac {EI}{k}AG}~{\cfrac {mathrm {d}^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

$여기$서$$I {\$displaystyle$ I$}$은 단면의 관성 모멘트이고$,$ A {\$displaystyle$A$$}는 $,$ G {\$displaystyle$G$$}는 전단 계수$,$ k {\$displaystyle$$$$k$}는 전단 보정 $계수{\displaystyle }$,$($x$$$)$는 횡하중이다.포아송의 ${\displaystyle }$( {\$${\$displaystyle \nu$ $\})$이 0.3에 가까운 재료의 경우 직사각형 단면에 대한 전단 보정 계수는 약

${\displaystyle k=black {5+5\nu}{6+5\nu}}$

노멀의 회전(${\displaystyle x}$($$x ) ${style$ \$varphi (x$ )은 다음과 같이 나타냅니다.

${\displaystyle {\mathrm {d} \varphi} {\mathrm {d} ^{2}w} {\mathrm {d} x^{2}} - {\mathrm {q(x)} {k}AG}}}$

휨 모멘트(${\displaystyle }${$displaystyle$M$\})$와 전단력(${\displaystyle }$ ${displaystyle$Q$\})$은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {d} \varphi}{\mathrm {d} x}~Q(x)=kAG\left({\cfrac {d} w}{\mathrmathrm {d} x})=EI-varphi\c$

탄성 기초의 보

오일러-베르누이, 티모셴코 또는 다른 굽힘 이론에 따르면 탄성 기초의 빔은 설명될 수 있다.레일 궤도, 건물 및 기계의 기초, 물 위의 선박, 식물의 뿌리 등과 같은 일부 애플리케이션에서 하중을 받는 빔은 연속 탄성 기초 위에 지지됩니다(즉,^{[8][9][10][11]} 외부 하중에 의한 연속 반응은 빔의 길이를 따라 분포됩니다).

보의 동적 굽힘

빔의 휨 진동으로도 알려진 ^[12]빔의 동적 굴곡은 18세기 말에 다니엘 베르누이에 의해 처음 연구되었다.베르누이의 진동빔 운동방정식은 빔의 고유진동수를 과대평가하는 경향이 있었고, 1877년 중간면 회전을 추가함으로써 레일리에 의해 약간 개선되었다.1921년 스티븐 티모셴코는 휨빔의 동적 반응에 전단 효과를 통합함으로써 이론을 더욱 개선했다.이것은 동적 오일러-베르누이 이론이 불충분한 고주파 진동과 관련된 문제에 이론을 사용할 수 있게 했다.빔의 동적 굽힘에 대한 오일러-베르누이 이론과 티모셴코 이론은 엔지니어에 의해 계속 널리 사용되고 있습니다.

오일러 베르누이 이론

적용된 $횡하중{\displaystyle }$q (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle t}$) {$displaystyle$q ($x$ , $t$)}에서$$^[7] 일정한 단면의 가늘고 등방성 균질한 빔의 동적 굽힘에 대한 오일러-베르누이 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {4}w}{\cfrac x^{4}}+m~{\displayac {{2}w}{\cfrac t^{2}}=q(x,t)}$

$여기$서$$E(\$displaystyle$ E$)$는 영 계수,$I{\displaystyle }$(\$displaystyle$ I$)$는 단면의 관성 모멘트, $x$ t$)$ {$displaystyle$ w$(x, t)}$는 빔의 중성축 편향,$m{\displaystyle }$(\$displaystyle$ m$)$은 빔의 단위 길이당 질량입니다.

자유 진동

빔에 횡하중이 없는 상황에서는 굽힘방정식이 다음과 같은 형태를 취합니다.

$\displaystyle EI~{\cfrac {4}w}{\cfrac x^{4}}+m~{\displayac {{2}w}{\cfrac t^{2}}=0}$

빔의 자유 고조파 진동은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle w(x,t)=text{Re}}[{\hat {w}(x)~e^{-i\obe t}}\displays\displays\ac {{2}w}{\display t^{2}=-\displayt}$

굽힘 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}} {\mathrm {d} x^{4}}-m\opega ^{2}{\hat {w}}=0}$

위의 방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

${\displaystyle {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {A3\mathrm{}}_{}}$ $($},$A_{2$},$A_{3$},$A_{$4$$})는 $상수$이고${\displaystyle }$β :$=$(${\displaystyle {\frac{m}{}}^{}}$ ${\displaystyle {{E\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\frac{}{}{}^{}}^{}}$)$/$($표시$ 스타일 \display style $:=\leftfac {m})$$EI}}~\obega^{2}\right)^{1/4}$

캔틸레버 I 빔의 모드 모양
첫 번째 횡방향 굽힘	첫 번째 비틀림	첫 번째 수직 굽힘
두 번째 횡방향 굽힘	두 번째 비틀림	두 번째 수직 굽힘

티모셴코-라일리 이론

1877년, 레일리는 빔 단면의 회전 관성 효과를 포함시킴으로써 동적 오일러-베르누이 빔 이론의 개선을 제안했다.티모셴코는 1922년 빔 방정식에 전단 효과를 추가함으로써 그 이론을 개선했다.Timoshenko-Rayleigh 이론에서는 빔의 중간 표면으로의 법선 전단 변형이 허용된다.

이러한 가정^[7][13] 하에서 일정한 단면의 선형 탄성, 등방성, 균질한 빔의 굽힘에 대한 방정식은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일EI~{\frac {partial ^{4}w}{\frac x^{4}}+m~{\frac {partial t^{2}w}-\left(J+{\frac {EIM}{k})AG}}\right) {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}+{\frac {Jm}{k}AG}~{\frac {\frac ^{4}w}{\frac t^{4}}\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{k}AG}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}-{\frac {EI}{k}AG}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}\end {aligned}}}$

$여기$서 J ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{m}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$A {\$displaystyle$ J$=tfrac$ {$m$$}$$I}{A}}$는 단면의 극성 $모멘트$이고 m $=$ $a$ {\$display$ m=\$rho$A$$$}$는 빔 단위 길이당 $질량{\displaystyle }$, ${\$ {\$display$style \$rho$$}$는 빔 밀도$,$ $style$ {\$display$ style$$$$A}는 단면적,$$G {\display $style$G는 전단 계수$$$,$보정 계수를 듣다포아송 비율( ${\$ \$displaystyle \nu$)이 0.3에 가까운 소재의 경우 전단 보정 계수는 대략

${\displaystyle {displaystyle {5+5\nu }{6+5\nu }}\caps {text}\[6pt]&=capsfrac {6+12\nu +6\nu ^2}}{7+12\nu +4\nu ^2}}\capsigned {text} {6+5\crossection}$

자유 진동

무료로, 조화 진동은 티모셴코-레일리 방정식의 형태를 취한다.

$\displaystyle EI~{\cfrac {d}^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d}x^{4}}+m\obega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}}{k}}{k}}AG}}\오른쪽) {\cfrac {mathrm {d} ^{\hat {w}} {\mathrm {d} x^{2}} + m \ obega ^{2} \ left ( {\cfrac {d ^{2}J} {k}AG}-1\오른쪽)~{\hat {w}}=0}$

이 방정식은 w$\displaystyle$w의$$ $모든{\displaystyle }$ 도함수가 소거되기 위해서는 동일한 형태를 가져야$$, 따라서 ${\displaystyle e^{}}$ $k x$\displaystyle e^{$kx}$ $형식$의 해를 예상할 수 있다는 점에 유의하여 해결할 수 있다.이 관찰은 특성 방정식으로 이어진다.

$\displaystyle \alpha ~k^{4}+\displays ~k^{2}+\displays ~k^{2}+{\displaystyle :=EI~,~\beta :=m\obe ^{2}\left\displaystyle \cfrac {J}+{EI}{k}{k}AG}}\오른쪽)~,~,\gamma :=m\o메가^{2}\lefts\http\http\http:{k},\http:/http:/http:/http:/http:\hAG}-1\right)}$

이 4차 방정식의 해는 다음과 같다.

${\displaystyle k_{1}=+{\displayrt {z_{+}}}~,~k_{2}=-{\displayrt {z_{+}}}~,~k_{3}=+{\displayrt {z_{-}}}=-{\displayrt {z_{-}}}}}}}}}}}.$

어디에

${\displaystyle z_{+}: =snapac {-\displayrt ^{2}-4\alpha \alpha }}{2\alpha }}~,~z_{-}: =snapac {-\displaystyle ^{2}-4\alpha }}{2\alpha }}$

자유 진동에 대한 Timoshenko-Rayleigh 빔 방정식의 일반적인 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}}~e^{-k_{3}x}}$

판의 준정적 굽힘

보의 명확한 특징은 한 치수가 다른 두 치수보다 훨씬 크다는 것입니다.구조물은 평평하고 그 치수 중 하나가 다른 두 개보다 훨씬 작을 때 판이라고 불린다.가해진 하중을 받는 플레이트의 변형과 응력을 설명하려는 몇 가지 이론이 있는데, 그 중 두 가지는 널리 사용되어 왔다.이것들은

• Kirchhoff-Love 이론(고전 판 이론이라고도 함)
• 민들린-리스너 판 이론(판 1차 전단 이론이라고도 함)

키르히호프-접시의 사랑 이론

키르히호프-러브 이론의 가정은 다음과 같다.

• 중간 표면에 수직인 직선은 변형 후에도 직선 상태를 유지한다
• 중간 표면에 수직인 직선은 변형 후에도 중간 표면에 수직인 상태로 유지됩니다.
• 판 두께는 변형 중에도 변하지 않는다.

이러한 가정은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {displaystyle}u_{\alpha}(\mathbf {x}~{\frac {\frac w^{0}}=-x_{3}~w_{{,\alpha}^{0}~{0};~\alpha =1,2\u_{f} {\f})$

여기서$$u ${\displaystyle \mathbf$ {u$}$는 플레이트 내 점의 $변위$이고 w ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}${\$display$ w$^{0}}$은 중간 표면의 변위입니다.

변형-변위 관계는 다음과 같습니다.

${{displaystyle\alpha \aligned}\varepsilon_{\alpha \aligned}~{,\alpha \alpha }^{0}\\\varepsilon_{33)&=0\end{aligned}$

평형 방정식은

$\displaystyle M_{\alpha \displays }+q(x)=0~;~M_{\alpha \displays}:=\int _{-h}^{x_{3}~\displays _ {\alpha \displays}~{3}$

$여기$서${\displaystyle }$q (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$q($x)}$는 플레이트 표면에 대해 수직인 부하입니다.

변위의 관점에서, 외부 하중이 없을 때 등방성 선형 탄성판에 대한 평형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222$

직접 텐서 표기법에서,

$\displaystyle \displayla ^{2}\displayla ^{2}w=0}$

민들린-라이스너 판 이론

이 이론의 특별한 가정은 중간 표면에 대한 규범이 직선이고 확장 불가능하지만 변형 후 중간 표면에 대해 반드시 정규적이지는 않다는 것입니다.플레이트의 변위는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {mathbf {x} u_{\alpha} =-x_{3} ~\varphi _{\alpha}~;~\alpha = 1,2\u_{3}(mathbf {x})=w^{0}(x_{2}\end{}) 정렬됨$

여기서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle \varphi _{\alpha}}$는 법선의 회전입니다.

이러한 가정으로부터 발생하는 변형-변위 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle {displaystyle }\varepsilon _{\alpha \alphi _{\alpha ,\display}\varepsilon _{\alpha }&=displayac {1}{2}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0-varphi}) _right} _varphi } _{{} _varphi } _right}$

여기서$\delta {\displaystyle }$ {$displaystyle \kappa}$는 전단 보정 계수입니다.

평형 방정식은

$\displaystyle { begin { aligned }&M_{\alpha }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha }+q=0\end{aligned}}$

어디에

${\displaystyle Q_{\alpha}:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\display_{\alpha3}~{\alpha_{3}}$

플레이트의 동적 굽힘

얇은 키르히호프 판의 역학

판의 동적 이론은 판의 파동 전파와 정재파 및 진동 모드의 연구를 결정합니다.키르히호프 플레이트의 동적 굽힘을 제어하는 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle M_{\alpha \displays,\alpha \displays }-q(x,t)=J_{1}~{\dot {w}^0}-J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

여기서 밀도가 $\theta {\displaystyle }$ $=$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle \rho$ =\$rho (x$인 플레이트의 경우,

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~J_{3}:=\int _{-h}^{2}~\rho ~{3}$

그리고.

${\displaystyle {w} {{dot {w} {\dot t^{2}w^{0}}~{\dot {w}} = displayfrac {\dot {w} {\dot {w}}} {\dot {w}}} {\dot} {\dfrac} {\dot} {\frac} {\frac}$

아래 그림은 원형 플레이트의 진동 모드를 보여줍니다.

• 

  모드 k = 0, p = 1

• 

  모드 k = 0, p = 2

• 

  모드 k = 1, p = 2

「 」를 참조해 주세요.

• 굽힘 모멘트
• 벤딩 머신(플랫 메탈 벤딩)
• 브레이크(판금 굽힘)
• 브레이저 효과
• 판의 굽힘
• 벤딩(금속 가공)
• 연속체 역학
• 모순
• 편향(엔지니어링)
• 플렉셔 베어링
• 관성 모멘트 목록
• 전단 및 모멘트 다이어그램
• 전단 강도
• 샌드위치 이론
• 진동
• 판의 진동

레퍼런스

외부 링크

• 굴곡 공식
• 빔 응력 및 편향, 빔 편향 테이블