베르누이의 원리

환기구를 통과하는 공기의 흐름. 두 열의 높이 차이에서 알 수 있듯이 유체 압력을 희생하면 운동 에너지가 증가합니다.

실험실 실험에 사용된 벤츄리미터의 영상

베르누이의 원리는 압력, 속도 및 높이와 관련된 유체 역학의 핵심 개념입니다. 베르누이의 원리는 유체의 속도 증가는 정압 또는 유체의 위치 에너지 감소와 동시에 일어난다는 것입니다.^[1]^{: Ch.3}^[2]^{: 156–164, § 3.5} 이 원리의 이름은 스위스의 수학자이자 물리학자인 다니엘 베르누이의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 1738년 그의 책 '유체역학(Hydrodynamica)'에 이 원리를 발표했습니다.^[3] 베르누이는 유속이 빨라지면 압력이 감소한다고 추론했지만, 베르누이의 방정식을 보통의 형태로 유도한 사람은 1752년의 레온하르트 오일러였습니다.^[4]^[5]

베르누이의 원리는 에너지 보존의 원리에서 도출될 수 있습니다. 이것은 정상적인 흐름에서 점성력이 없는 모든 지점에서 유체 내 모든 형태의 에너지의 합이 같다는 것을 의미합니다. 이를 위해서는 운동 에너지, 위치 에너지 및 내부 에너지의 합이 일정하게 유지되어야 합니다.^[2]^{: § 3.5} 따라서 유체의 운동 에너지 증가를 의미하는 유체의 속도 증가는 위치 에너지(정압 포함)와 내부 에너지의 동시 감소와 함께 발생합니다. 유체가 저장고 밖으로 흘러나오는 경우, 저장고의 단위 부피당 에너지( $압력$ 과 중력 퍼텐셜 ρgh의 합)는 모든 곳에서 같기 때문에 모든 형태의 에너지의 합은 동일합니다.

베르누이의 원리는 아이작 뉴턴의 운동 제2법칙에서도 직접적으로 도출될 수 있습니다. 압력이 높은 영역에서 압력이 낮은 영역으로 소량의 유체가 수평으로 흐르는 경우에는 압력이 앞보다 뒤에 더 많습니다. 이것은 볼륨에 알짜 힘을 주어 유선을 따라 가속합니다.^[a]^[b]^[c]

유체 입자는 압력과 자체 무게에만 영향을 받습니다. 유선의 한 구간을 따라 수평으로 유체가 흐르고 속도가 증가하는 경우에는 해당 구간의 유체가 더 높은 압력의 영역에서 더 낮은 압력의 영역으로 이동했기 때문일 수 있으며 속도가 감소하는 경우에는 더 낮은 압력의 영역에서 더 높은 압력의 영역으로 이동했기 때문일 수 있습니다. 따라서 수평으로 흐르는 유체 내에서는 압력이 가장 낮은 곳에서 최고 속도가 발생하고, 압력이 가장 높은 곳에서 최저 속도가 발생합니다.^[10]

베르누이의 원리는 등방성 흐름에만 적용됩니다: 비가역 과정(난류와 같은)과 비방사 과정(예: 열복사)의 영향이 작고 무시될 수 있는 경우. 그러나 이 원리는 이러한 경계 내에서 다양한 형태의 흐름에 적용될 수 있으며, 그 결과 다양한 형태의 베르누이 방정식이 탄생합니다. 베르누이 방정식의 단순한 형태는 비압축성 흐름(예: 낮은 마하 수치로 움직이는 대부분의 액체 흐름 및 가스)에 유효합니다. 더 높은 마하 수치로 압축 가능한 흐름에 더 발전된 형태를 적용할 수 있습니다.

비압축성 흐름 방정식

대부분의 액체 흐름과 낮은 마하 수치의 기체에서 유체 소포의 밀도는 흐름의 압력 변화에 관계없이 일정한 것으로 간주될 수 있습니다. 따라서 유체는 비압축성으로 간주될 수 있으며, 이러한 흐름을 비압축성 흐름이라고 합니다. 베르누이는 액체에 대한 실험을 수행했으므로 원래 형태의 방정식은 비압축성 흐름에만 유효합니다.

베르누이 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}

(A)

위치:

$v$ $v$ 은 $v$ (는) 한 지점의 유체 흐름 속도입니다.
$g {\displaystyle$ g $}$ 는 $g$ 중력에 의한 가속도입니다.
$z$ $z$ 는 기준면 위의 점을 높이는 것으로, $z$ 의 z ${\displaystyle z$ $} - direc$ tion은 위를 가리키므로 중력 가속도의 반대 방향입니다.
$p {\displaystyle$ p $}$ 는 $p$ 선택한 지점의 압력이고,
$ρ {\displaystyle$ \rho}은 유체의 모든 지점에서 유체의 밀도입니다.

베르누이 방정식과 베르누이 상수는 단위 질량당 에너지가 균일한 흐름의 모든 영역에 적용 가능합니다. 잘 혼합된 저장소에서 액체의 단위 질량당 에너지는 전체적으로 균일하기 때문에 Bernoulli의 방정식을 사용하여 점성 힘이 지배하고 단위 질량당 에너지를 침식하는 곳을 제외하고 저장소(저수지가 공급하는 파이프 또는 유동장 포함)의 모든 곳에서 유체 흐름을 분석할 수 있습니다.^[6]^{: Example 3.5 and p.116}

이 베르누이 방정식을 적용하려면 다음 가정이 충족되어야 합니다.^[2]^{: 265}

흐름은 안정적이어야 합니다. 즉, 어떤 지점에서든 흐름 매개변수(velocity, 밀도 등)는 시간에 따라 변할 수 없습니다.
흐름은 비압축성이어야 합니다. 압력이 달라지더라도 밀도는 유선을 따라 일정하게 유지되어야 합니다.
점성력에 의한 마찰은 무시할 수 있어야 합니다.

보존력장(중력장에 국한되지 않음)의 경우 베르누이 방정식은 다음과 같이 일반화될 수 있습니다.^[2]^{: 265}

{\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}

여기

서 ψ는 고려되는 지점의 힘 퍼텐셜입니다. 예를 들어, 지구 중력의

경우

ψ = gz.

$유체$ 밀도 ρ를 곱하면 식 (A)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

{\tfrac {1}{2}}\rhov^{2}+\rhogz+p={\text{constant}

또는:

q+\rhog=p_{0}+\rhogz={\text{constant}}

어디에

$q$ $=$ 1/ $2$ $ρ$ v는 동적 압력,
$h$ $=$ $z$ + $p /$ $ρ$ g는 피에조메트릭 헤드 또는 유압 헤드( $높이$ z와 압력 헤드의 합)이며,
$p$ $=$ $p$ + $q$ 는 정체 압력(정압 $p$ 와 동압 $q$ 의 합)입니다.

베르누이 방정식의 상수는 정규화될 수 있습니다. 일반적인 접근 방식은 총 헤드 $또는$ 에너지 헤드 H:

H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},

위의 방정식은 압력이 0이고 더 높은 속도에서는 압력이 음수인 유량 속도가 있음을 시사합니다. 대부분의 경우 기체와 액체는 음의 절대 압력, 심지어 영압도 되지 않기 때문에 분명히 베르누이 방정식은 영압에 도달하기 전에 유효하지 않습니다. 액체에서는 - 압력이 너무 낮아지면 - 공동 현상이 발생합니다. 위의 방정식들은 유속 제곱과 압력 사이의 선형 관계를 사용합니다. 기체의 유속이 빨라지거나 액체의 음파의 경우 질량 밀도의 변화가 상당히 커지므로 일정한 밀도의 가정은 유효하지 않습니다.

간체형

$베르누이$ 방정식의 많은 응용에서 ρgz 항의 변화는 다른 항에 비해 너무 작아서 무시할 수 있습니다. 예를 들어 비행 중인 항공기의 경우 $높이$ $z$ 의 변화가 너무 작아 ρgz 항이 생략될 수 있습니다. 이를 통해 위 식을 다음과 같은 단순화된 형태로 나타낼 수 있습니다.

p+q=p_{0}

여기서

p

는₀ 총 압력,

q

는 동적 압력입니다.^[14] 많은 저자들은 압력

p

를 정압으로 언급하여 총 압력

p

와₀ 동압

q

와 구별하고 있습니다. 공기역학에서 L.J. Clancy는 다음과 같이 쓰고 있습니다. "전체 및 동역학적 압력과 구별하기 위해, 유체의 운동이 아니라 상태와 관련된 실제 압력을 흔히 정압이라고 하지만, 압력이라는 용어만 사용되는 경우에는 이 정압을 말합니다."^[1]^{: § 3.5}

베르누이 방정식의 단순화된 형태는 다음과 같은 기억에 남는 단어 방정식으로 요약될 수 있습니다.^[1]^{: § 3.5}

정압+동압=전압

꾸준히 흐르는 유체의 모든 지점은 그 지점의 유체 속도와 상관없이 고유한 정압 $p$ 와 동압 $q$ 를 가지고 있습니다. $그들$ 의 합 + $q$ 는 총 압력 $p$ 로₀ 정의됩니다. 베르누이 원리의 중요성은 이제 "점점력이 없는 어떤 영역에서도 총 압력은 일정하다"로 요약할 수 있습니다. 어느 시점에서 유체 흐름이 정지되면 이 지점을 정체 지점이라고 하며, 이 지점에서 정압은 정체 압력과 같습니다.

유체 흐름이 비회전적이면 총 압력은 균일하고 베르누이의 원리는 "유체 흐름의 모든 곳에서 총 압력은 일정하다"고 요약할 수 있습니다.^[1]^{: Equation 3.12} 비회전성 흐름은 많은 양의 유체가 고체를 통과하여 흐르는 어떤 상황에서도 존재한다고 가정하는 것이 타당합니다. 비행 중인 항공기와 개방된 수역에서 이동하는 선박이 그 예입니다. 그러나 긴 파이프를 통해 흐르는 것과 같은 경계층에서는 베르누이의 원리가 중요하게 적용되지 않습니다.

불안정전위흐름

불안정 퍼텐셜 흐름에 대한 베르누이 방정식은 해양 표면파와 음향학 이론에서 사용됩니다. 비회전 흐름의 경우 유속은 속도 포텐셜 φ의 구배∇φ로 설명할 수 있습니다. 이 경우, 그리고 일정한 $밀도$ ρ의 경우 오일러 방정식의 운동량 방정식은 다음과 같이 적분할 수 있습니다.

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),

이 방정식은 불안정한 흐름(또는 시간 의존적인 흐름)에도 유효한 베르누이 방정식입니다. 여기서 ∂φ/∂t는 $시간$ t에 $대한$ $속도$ 전위 φ의 편미분을 나타내고, v = ∇φ는 유속을 나타냅니다. 함수 $f (t)$ 는 유체의 위치가 아니라 시간에만 의존합니다. 결과적으로, 어느 $순간$ t의 베르누이 방정식은 전체 유체 영역에 적용됩니다. 이는 정상적인 비회전 흐름의 특수한 경우에도 적용되며, 이 경우 $f$ 와∂φ/ ∂t는 상수이므로 식 (A)를 유체 영역의 모든 지점에 적용할 수 있습니다. 변환을 사용하여 $속도$ 퍼텐셜에 f(t $)$ 를 포함시키면 f $(t$ )를 0과 같게 만들 수 있습니다.

\Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau)\,\mathrm {d} \tau,

결과:

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.

전위와 유속의 관계는 이 변환에 의해 영향을 받지 않습니다. ∇ φ = ∇φ.

불안정한 퍼텐셜 흐름에 대한 베르누이 방정식은 또한 라그랑주 역학을 사용한 자유 표면 흐름에 대한 변형 설명인 루크의 변분 원리에서 중심적인 역할을 하는 것으로 보입니다.

압축유동방정식

베르누이는 액체에 대한 관찰로부터 그의 원리를 발전시켰고, 베르누이의 방정식은 이상적인 유체, 즉 비압축성, 비회전성, 무균성, 보수적인 힘을 받는 유체에 유효합니다. 가스 흐름에서 가스의 압축 또는 팽창으로 운동 에너지 또는 위치 에너지가 전달되지 않는 한 가스 흐름에 대해 유효한 경우가 있습니다. 가스의 압력과 부피가 동시에 변하면 가스 위에서 또는 가스에 의해 작업이 수행됩니다. 이 경우 비압축성 흐름 형태의 베르누이 방정식은 유효하다고 가정할 수 없습니다. 그러나 가스 프로세스가 완전히 등압 또는 등압인 경우에는 가스에 대한 작업이 수행되지 않습니다(단순한 에너지 균형이 깨지지 않습니다). 기체 법칙에 따르면, 보통 등압 또는 등압 과정은 기체 내에서 일정한 밀도를 보장하는 유일한 방법입니다. 또한 가스 밀도는 압력과 절대 온도의 비율에 비례합니다. 그러나 이 비율은 압축 또는 팽창 시 0이 아닌 양의 열이 추가되거나 제거되든 상관없이 달라집니다. 유일한 예외는 완전한 열역학적 순환 또는 개별 등방성(무마찰 단열) 과정에서와 같이 순 열 전달이 0인 경우이며, 그 후에도 이 가역 과정을 반전시켜 기체를 원래의 압력과 특정 부피, 따라서 밀도로 복원해야 합니다. 그래야만 수정되지 않은 원래의 베르누이 방정식을 적용할 수 있습니다. 이 경우 각 유선을 따라 가스의 밀도 변화를 무시할 수 있을 정도로 가스의 유속이 음속보다 충분히 낮으면 방정식을 사용할 수 있습니다. 마하 0.3 미만의 단열 흐름은 일반적으로 충분히 느린 것으로 간주됩니다.^[15]

물리학의 기본 원리를 사용하여 압축 가능한 유체에 적용할 수 있는 유사한 방정식을 개발할 수 있습니다. 각각의 방정식은 특정한 용도에 맞게 조정된 수많은 방정식이 있지만, 모두 베르누이의 방정식과 유사하고 뉴턴의 운동 법칙이나 열역학 제1법칙과 같은 물리학의 기본적인 원리에만 의존합니다.

유체 역학에서 압축 가능한 흐름

압축성 유체의 경우, 바로트로픽 상태방정식과 보존력의 작용 하에서,^[16]

{\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}{\rho \left ({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant(줄을 따라)}}

위치:

$p$ 는 압력입니다.
$ρ$ 는 밀도이고 $ρ$ (p)는 압력의 함수임을 나타냅니다.
$v$ 는 유속입니다.
$ψ$ 는 보존력장과 관련된 퍼텐셜로, 종종 중력 퍼텐셜입니다.

공학적 상황에서 고도는 일반적으로 지구의 크기에 비해 작으며 유체 흐름의 시간 척도는 상태 방정식을 단열식으로 간주할 수 있을 정도로 작습니다. 이 경우 이상기체에 대한 위의 식은 다음과 같습니다.^[1]^{: § 3.11}

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left ({\frac {\gamma }{\rho }}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant(스트림 라인을 따라)}}

여기에는 위에 나열된 조건 외에 다음과 같은 조건이 있습니다.

$γ$ 는 유체의 특정 열에 대한 비율입니다.
$g$ 는 중력에 의한 가속도입니다.
$z$ 는 기준면 위의 점의 고도입니다.

압축성 흐름의 많은 적용에서 고도의 변화는 다른 용어에 비해 무시할 수 있으므로 $gz$ 라는 용어는 생략될 수 있습니다. 매우 유용한 형태의 방정식은 다음과 같습니다.

{\frac {v^{2}}}+\left ({ {\gamma }{\rho -1}}\right){\frac {p}{\rho ({}}=\left gamma  {\gamma}{\rho -1}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}

위치:

p는₀ 총 압력입니다.
$ρ$ 는 총 밀도입니다.

열역학적으로 압축 가능한 흐름

(준) 정상 흐름의 경우 열역학에서 사용하기에 적합한 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같습니다.^[2]^{: § 3.5}^[17]^{: § 5}^[18]^{: § 5.9}

{\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}

$여기$ 에 단위 질량당 엔탈피(특정 엔탈피라고도 함)가 있으며, $종종$ h로 표기되기도 합니다("머리" 또는 "높이"와 혼동되지 않음).

주의:

w=e+{\frac {p}{\rho}}~~\left(={\frac {\gamma }{\rho}}{\rho}}\right)

여기

서 e는 특정 내부 에너지라고도 알려진 단위 질량당 열역학적 에너지입니다. 따라서 일정한 내부 에너지

e

e

의 경우 방정식은

e

비압축성 흐름 형태로 줄어듭니다.

우변의 상수는 종종 베르누이 상수라고 불리며 $b$ 로 표시됩니다. 추가적인 에너지 공급원이나 흡수원이 없는 일정한 비점진 단열 흐름의 경우 $b$ 는 주어진 유선을 따라 일정합니다. $보다$ 일반적으로 b가 유선을 따라 변화할 수 있는 경우에도 유체의 "머리"와 관련된 유용한 파라미터를 증명합니다(아래 참조).

ψ의 변화를 무시할 수 있는 경우 이 수식의 매우 유용한 형태는 다음과 같습니다.

{\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}

여기

서₀ 총 엔탈피입니다. 이상적인 기체와 같이 열량적으로 완벽한 기체의 경우 엔탈피는 온도에 정비례하며, 이는 총 온도(또는 정체)의 개념으로 이어집니다.

충격파가 존재할 때 충격이 정지하고 흐름이 일정한 기준 프레임에서 베르누이 방정식의 많은 매개변수는 충격을 통과하는 데 급격한 변화를 겪습니다. Bernoulli 매개변수는 영향을 받지 않습니다. 이 규칙의 예외는 복사 충격이며, 이는 베르누이 방정식으로 이어지는 가정, 즉 추가적인 싱크 또는 에너지원의 부족을 위반합니다.

불안정전위흐름

압축성 유체의 경우, 바로트로픽 상태방정식을 사용하여, 비안정 운동량 보존 방정식

{\frac {\partial {\v}}{\partial t}+\왼쪽 ({\vc {v}}\cdot \nbla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}

비회전 가정을 사용하면 유속은 속도 전위 φ의 구배 ∇φ으로 설명할 수 있습니다. 불안정한 운동량 보존 방정식은

{\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nbla \left ({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}

이로 인해

{\frac {\partial \phi}{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}

이 경우 등방성 흐름에 대한 위의 방정식은 다음과 같습니다.

{\frac {\partial \phi}{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi}{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}

도함수

비압축성 유체에 대한 베르누이 방정식

비압축성 유체에 대한 베르누이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙을 통합하거나 에너지 보존 법칙을 적용하여 점성, 압축성, 열 영향을 무시하고 유도할 수 있습니다.

뉴턴 운동 제2법칙의 적분을 통한 유도

가장 간단한 유도는 먼저 중력을 무시하고 벤추리 효과에서 볼 수 있듯이 직선인 파이프의 수축과 팽창을 고려하는 것입니다. $x축$ 을 파이프의 축 아래로 향하게 합니다.

단면적이 $A$ 이고, 소포의 길이는 $dx$ 이며, $소포$ 의 부피는 A $dx$ 입니다. $질량$ 밀도가 ρ인 경우, 소포의 질량은 밀도에 $부피$ m = ρA dx를 곱한 것입니다. 거리 $dx$ 에 따른 압력 변화는 $dp$ 이고 $유속$ v = $dx$ /dt입니다.

뉴턴 운동 제2법칙(힘 = 질량 × 가속도)을 적용하고 유체 소포에 대한 유효한 힘은 $-A$ $dp임$ 을 인식합니다. 압력이 파이프의 길이를 따라 감소하면 $dp$ 는 음이지만 흐름을 발생시키는 힘은 $x축$ 을 따라 양입니다.

{\begin{aligned}m{\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}&=F\\rho A\mathrm {d} x{\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}&=-A\mathrm {d} p\\rho {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}\end{aligned}

정상 흐름에서는 속도장이 $시간$ 에 대해 일정하므로 v 자체는 $시간$ t의함수가 아닙니다. $v$ = v(x) = v(x(t)). 소포가 $x$ 를 통과할 때 비로소 단면적이 변합니다. $v$ 는 단면적 $위치$ x $(t$ )를 통해서만 $t$ 에 의존합니다 $.$

{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}={\mathrm {d} x}v={\frac {\mathrm {d} x}\left ({\frac {v^{2}}{2}}\right}

밀도 ρ 상수를 사용하면 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}}{2}}+p\right)=0

x

에 대하여 적분함으로써

{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C

여기서

C

는 상수, 때로는 베르누이 상수라고 합니다. 그것은 보편적인 상수가 아니라 특정 유체 시스템의 상수입니다. 감점은 속도가 큰 경우 압력이 낮고 그 반대의 경우입니다.

위의 도출에서는 외부 작업-에너지 원리가 적용되지 않습니다. 오히려 베르누이의 원리는 뉴턴 제2법칙의 단순한 조작에 의해 유도되었습니다.

오른쪽으로 이동하는 유체의 흐름관입니다. 압력, 고도, 유속, 거리( $s$ ) 및 단면적이 표시됩니다. 이 그림에서 고도는 $z$ 로 표시된 텍스트와 반대로 $h$ 로 표시됩니다.

에너지 절약을 이용한 도출

비압축성 흐름에 대한 베르누이의 원리를 도출하는 또 다른 방법은 에너지 보존을 적용하는 것입니다.^[19] 일-에너지 정리의 형태로 다음과^[20] 같이 기술합니다.

시스템의 운동 에너지

E kin

변화는 시스템에서 수행한 네트워크 $W$ 와 같습니다.

{\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.

그러므로,

유체 내의 힘이 하는 일은 운동 에너지의 증가와 같습니다.

이 시스템은 처음에는 $단면 1$ $A$ 와₂ A 사이에 있는 유체의 부피로 구성됩니다. 시간 간격에서는 처음에 유입 $단면$ $A$ 에서 δ $t$ 유체 요소가 $거리$ s = v δt에 걸쳐 이동하는 반면 유출 단면에서는 유체가 거리 $s$ = v δt에 걸쳐 단면 A에서 멀어집니다. 유입 및 유출 시 변위되는 유체 부피는 각각 $As 11$ 및 $As$ 입니다₂₂. $관련$ 된 변위된 유체 질량은 ρ이 유체의 질량 밀도일 때 밀도 시간 부피와 $동일$ 하므로 ρAs 및 ρAs입니다. 질량 보존에 의해, $시간$ 간격 δt에서 변위된 이 두 질량은 동일해야 하며, 이 변위된 $질량$ 은 δm으로 표시됩니다.

{\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{align}}

병력이 수행하는 작업은 두 부분으로 구성됩니다.

$A 1$ , A $부위$ 에₂ 작용하는 압력에 의한 작업 $W_{\text{압력}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$
중력에 의해 수행되는 일: 부피 $As$ 의₁₁ 중력 퍼텐셜 에너지는 $손실$ 되고₂₂ 부피 As의 유출량에서 얻어집니다. 따라서, δ $t$ 시간 $간격$ 에서 중력 퍼텐셜 에너지 δE의 변화는

\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.

이제 중력에 의한 일은 위치 에너지의 변화인

W

= - δE와 반대입니다. 중력은 음의 z direction에 있지만, gravity 힘의 고도 변화는 양의 고도 변화 δ에 대해 음의 값을 가질 것입니다. negative z = z - z는 양의 고도 변화이지만, 그에 상응하는 위치 에너지 변화는 양의 값을 가질 것입니다. 그래서.

W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.

따라서

이 시간 간격에서 δ트가 수행한 전체 작업은

{\displaystyle W=W_{\text{압력}}+W_{\text{gravity}}.

운동에너지의 증가는

\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.

이들을 종합하면 일-kinetic 에너지

정리

W = δE는 다음을 제공합니다.

\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}

아니면

{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.

질량

δ

M

= ρ

Av

δt = ρAv δt로 나눈 후 결과는 다음과 같습니다.

{\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}

또는 제1항에 명시된 바와 같이:

{\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}=C

(Eqn. 1, 식 (A)이기도 함)

$g$ 로 더 나누면 다음과 같은 방정식이 나옵니다. 각 항은 길이 치수(미터 등)로 설명할 수 있습니다. 베르누이의 원리에서 파생된 머리 방정식은 다음과 같습니다.

{\frac {v^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}=C

(Eqn. 2a)

중간 $용어$ 인 z는 기준면에 대한 유체의 고도로 인한 위치 에너지를 나타냅니다. $이제$ z를 입면 머리라고 하고 $z$ 라는_elevation 이름을 붙입니다.

(진공에서) $고도$ z > $0$ 에서 자유 낙하하는 질량은 속도에 도달합니다.

v={\sqrt{2g}{z}},

고도

z

=

0

에 도달할 때 또는 머리로 재배열될 때:

h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}

v 2 / 2g

라는 용어는 길이 측정으로 표현되는 속도 헤드라고 합니다. 움직임으로 인한 유체의 내부 에너지를 나타냅니다.

정수압 p는 다음과 같이 정의됩니다.

p=p_{0}-\rho gz,

기준 0

압력을 사용하거나 헤드로 재배열된 경우:

{\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rhog}}.

p /

ρg라는 용어는 길이 측정으로 표현되는 압력 헤드라고도 합니다. 용기에 가해지는 압력으로 인한 유체의 내부 에너지를 나타냅니다. 유동속도에 의한 헤드와 기준면 이상의 표고와 결합된 정압에 의한 헤드, 속도헤드, 표고헤드 및 압력헤드를 이용하여 비압축성 유체에 유용한 간단한 관계를 얻는 방법.

h_{v}+z_{\text{elevation}}+\psi =C

(Eqn. 2b)

유체의 밀도에 Eqn. 1을 곱하면 다음과 같은 세 가지 압력 항을 갖는 방정식이 얻어집니다.

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gz+p=C

(Eqn. 3)

이 형태의 베르누이 방정식에서 계의 압력은 일정하다는 것을 주목하십시오. 시스템의 정압(세 번째 항)이 증가하고 상승으로 인한 압력(중간 항)이 일정하면 동적 압력(첫 번째 항)이 감소해야 합니다. 즉, 유체의 속도가 감소하고 고도 차이 때문이 아니라면 흐름에 저항하는 정압의 증가 때문임에 틀림없습니다.

세 방정식은 모두 시스템의 에너지 균형을 단순화한 버전에 불과합니다.

압축성 유체에 대한 베르누이 방정식

압축성 유체의 유도도 유사합니다. 다시 말해서, 유도는 (1) 질량 보존과 (2) 에너지 보존에 달려 있습니다. 질량 보존은 위 그림에서 시간 $간격$ δt에서 $영역$ A에 의해 정의된 경계를 통과하는 질량의 양이 $영역$ A에 의해 정의된 경계를 통과하는 질량의 양과 같다는 것을 의미합니다.

0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.

에너지 절약은 다음과 유사한 방식으로 적용됩니다.

A

와₁

A

로₂ 경계를 이루는 스트림 튜브의 부피 에너지 변화는 전적으로 이 두 경계 중 하나 또는 다른 경계를 통해 들어가거나 나가는 에너지 때문이라고 가정합니다. 분명히 방사선과 결합된 유체 흐름과 같은 더 복잡한 상황에서는 그러한 조건이 충족되지 않습니다. 그럼에도 불구하고 이 경우를 가정하고 에너지의 순변화가 0이 되도록 흐름이 안정적이라고 가정하면,

\Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0

여기

서 δE와 δE는 각각 A를 통해

들어오는

에너지와 A를 통해 나가는 에너지입니다.

A

를₁ 통해 들어오는 에너지는 들어오는 운동 에너지, 유체의 위치 중력 에너지의 형태로 들어오는 에너지, 들어오는 질량 단위당 유체

열역학적 1

내부 에너지, 그리고 기계적

pdV

일의 형태로 들어오는 에너지의 합입니다.

\Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t

여기서 ψ = gz는 지구

중력

에 의한 힘 퍼텐셜, g는

중력

에 의한 가속도, z는 기준면 이상의 고도입니다. δ

E

에 대한 유사한 표현은 쉽게 구성될 수 있습니다. So now setting

0 = Δ E 1 - Δ E 2

:

0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t

다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t

이제 이전에 질량 보존에서 얻은 결과를 사용하여 이것을 간단히 얻을 수 있습니다.

{\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}\equiv b

압축성 흐름에 대한 베르누이 방정식입니다.

이와 동등한 표현은 유체 엔탈피( $h$ )로 표현할 수 있습니다.

{\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b

적용들

현대의 일상 생활에서는 베르누이의 원리를 적용하여 성공적으로 설명할 수 있는 많은 관찰이 있습니다. 비록 실제 유체는 완전히 불투명하지 않으며,^[22] 작은 점도가 종종 흐름에 큰 영향을 미칩니다.

Bernoulli의 원리는 포일 근처에서 유체 흐름의 거동을 알고 있다면 에어 포일에 대한 양력을 계산하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 항공기 날개의 윗면을 지나는 공기가 아랫면을 지나는 공기보다 더 빠르게 움직인다면, 베르누이의 원리는 날개 표면의 압력이 아래보다 위로 내려갈 것임을 암시합니다. 이러한 압력 차이로 인해 위쪽으로 들어올리는 힘이 발생합니다.^[d]^[23] 날개의 윗면과 아랫면을 지나는 속도의 분포가 알려질 때마다 상승력은 베르누이의 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다.^[24] 베르누이는 최초의 인공 날개가 비행을 목적으로 사용되기 1세기 전에 확립되었습니다.

많은 왕복 엔진에 사용되는 카뷰레터는 벤추리를 포함하여 압력이 낮은 영역을 만들어 카뷰레터에 연료를 끌어들이고 유입되는 공기와 완전히 혼합합니다. 벤투리 목의 낮은 압력은 베르누이의 원리로 설명할 수 있습니다. 좁은 목에서 공기는 가장 빠른 속도로 움직이고 따라서 가장 낮은 압력에 있습니다.
증기 기관차 또는 정적 보일러의 인젝터.
항공기의 피토 튜브와 정적 포트는 항공기의 속도를 결정하는 데 사용됩니다. 이 두 장치는 항공기를 통과하는 공기 흐름의 동적 압력을 결정하는 공기 속도 표시기에 연결되어 있습니다. Bernoulli의 원리는 공기 속도 표시기가 동적 압력에 적합하도록 표시된 공기 속도를 표시하도록 보정하는 데 사용됩니다.^[1]^{: § 3.8}
드 라발 노즐은 추진제 연소로 발생하는 압력 에너지를 속도로 전환하여 힘을 만드는 베르누이의 원리를 이용합니다. 그러면 뉴턴의 운동 제3법칙에 의해 추력이 발생합니다.
유체의 유속은 Venturi 미터나 오리피스 플레이트와 같은 장치를 사용하여 측정할 수 있으며, 이 장치는 관로에 넣어 흐름의 직경을 줄일 수 있습니다. 수평 장치의 경우, 연속성 방정식은 비압축성 유체의 경우 직경 감소가 유체 흐름 속도를 증가시킨다는 것을 보여줍니다. 그 후 베르누이의 원리는 감소된 직경 영역에서 압력의 감소가 있어야 함을 보여줍니다. 이 현상을 벤투리 효과라고 합니다.
바닥에 구멍이나 탭이 있는 탱크의 최대 배수 속도는 Bernoulli의 방정식에서 직접 계산할 수 있으며 탱크 내 유체 높이의 제곱근에 비례하는 것으로 나타났습니다. 이것이 바로 토리첼리의 법칙으로 베르누이의 원리와 양립할 수 있는 것입니다. 점도가 높아지면 배수율이 낮아집니다. 이 배수율은 레이놀즈 수와 오리피스 형태의 함수인 토출 계수에 반영됩니다.^[25]

베르누이 그립은 이 원리에 따라 표면과 그리퍼 사이에 비접촉 접착력을 만듭니다.
크리켓 경기 동안, 볼러들은 공의 한쪽 면을 지속적으로 연마합니다. 어느 정도 시간이 지나면 한쪽은 꽤 거칠고 다른 한쪽은 여전히 매끄럽습니다. 따라서 공이 공을 던져 공기를 통과할 때 한쪽의 속도가 다른 쪽보다 빨라져 양쪽의 압력 차이가 발생하고, 이로 인해 공이 공기를 통과하면서 회전("스윙")하여 볼러에게 유리하게 작용합니다.

오개념

에어포일 리프트

공기역학적 양력에 대한 가장 일반적인 잘못된 설명 중 하나는 공기가 날개의 위와 아래 표면을 동일한 시간 동안 횡단해야 한다고 주장하며, 이는 위 표면이 더 긴 경로를 나타내기 때문에 공기가 바닥보다 날개의 위를 빠르게 이동해야 함을 의미합니다. 그 다음 베르누이의 원리를 인용하여 날개 위의 압력이 아래보다 낮아야 한다는 결론을 내립니다.^[26]^[27]

그러나 공기가 같은 시간에 상하면을 횡단해야 하는 물리적 원리는 없습니다. 실제로 이론적 예측과 실험을 통해 공기가 바닥면을 통과하는 시간보다 짧은 시간에 정상면을 통과한다는 사실을 확인할 수 있으며, 동일한 통과 시간을 기준으로 한 이 설명은 거짓입니다.^[28]^[29]^[30] 이 설명은 거짓이지만, 이 원리가 잘 확립되어 있기 때문에 거짓인 것은 베르누이 원리가 아닙니다. 베르누이 방정식은 공기역학적 양력의 일반적인 수학적 처리에 올바르게 사용됩니다.^[31]^[32]

일반적인 강의실 시연

베르누이의 원리로 잘못 설명되는 교실 시연이 몇 가지 있습니다.^[33] 하나는 종이를 아래로 떨어뜨리도록 수평으로 잡고 그 위에서 바람을 쐬는 것입니다. 시위자가 종이 위로 불자 종이가 올라갑니다. 이어 "더 빠르게 움직이는 공기는 압력이 더 낮기 때문"이라고 주장합니다.^[34]^[35]^[36]

이 설명의 한 가지 문제점은 종이의 바닥을 따라 부는 것으로 볼 수 있습니다: 만약 더 빠르게 움직이는 공기로 인해 편향이 발생했다면, 종이는 아래로 편향되어야 하지만, 종이는 더 빠르게 움직이는 공기가 위에 있든 아래에 있든 관계없이 위로 편향됩니다.^[37] 또 다른 문제는 공기가 시위자의 입에서 나올 때 주변 공기와 같은 압력을 가지고,^[38] 공기가 움직인다고 해서 압력이 낮아지는 것이 아니라 시위자의 입에서 나오는 공기의 정압이 주변 공기의 압력과 같다는 것입니다.^[39]^[40] 세 번째 문제는 위와 아래의 공기는 서로 다른 흐름장이고 베르누이의 원리는 흐름장 내에서만 적용되기 때문에 베르누이의 방정식을 이용하여 논문의 두 면의 흐름을 연결하는 것은 거짓이라는 것입니다.^[41]^[42]^[43]^[44]

원칙의 문구가 의미를 변경할 수 있으므로 원칙을 정확하게 명시하는 것이 중요합니다.^[45] 베르누이의 원리가 실제로 말하는 것은 일정한 에너지의 흐름 안에서 유체가 더 낮은 압력의 영역을 통해 흐를 때 속도가 빨라지고 그 반대의 경우도 발생한다는 것입니다.^[46] 따라서 베르누이의 원리는 흐름장 내에서 속도의 변화와 압력의 변화에 관한 것입니다. 다른 흐름 필드를 비교하는 데 사용할 수 없습니다.

종이가 상승하는 이유에 대한 올바른 설명은 기둥이 종이의 곡선을 따라가고 곡선 유선이 흐름 방향에 수직인 압력 구배가 발생하고 곡선 내부에 압력이 더 낮아진다는 것을 관찰할 수 있습니다.^[47]^[48]^[49]^[50] 베르누이의 원리는 압력의 감소가 속도의 증가와 관련이 있다고 예측합니다. 즉, 공기가 종이 위를 지나갈 때 속도가 빨라지고 시위자의 입을 떠날 때보다 더 빠르게 움직입니다. 그러나 이것은 시연에서 분명하지 않습니다.^[51]^[52]^[53]

두 개의 매달린 구 사이에 불거나, 큰 가방을 부풀리거나, 공기 흐름에서 공을 매달아 놓는 것과 같은 다른 일반적인 교실 시연은 때때로 "더 빠르게 움직이는 공기는 압력이 더 낮습니다"라고 말함으로써 비슷하게 오해의 소지가 있는 방식으로 설명됩니다.^[54]^[55]^[56]^[57]^[58]^[59]^[60]^[61]

참고 항목

토리첼리의 법칙
코앤 ă 효과
오일러 방정식 - 유체의 흐름에 대한
유압 – 액체에 적용되는 유체 역학
Navier-Stokes 방정식 – 점성 유체의 흐름에 대한
찻주전자효과
유체역학 용어

메모들

^ 입자의 압력이 변화하는 영역(x 방향의 사라지지 않는 압력 구배)에 있고 입자의 $크기$ 가 유한한 경우 입자의 앞쪽은 뒤쪽과 다른 압력을 '보고' 있을 것입니다. 좀 더 정확하게 말하면, 압력이 x 방향( $dp / dx$ < $0$ )으로 떨어지면 후방의 압력이 전방보다 더 높아져서 입자가 (양의) 알짜 힘을 경험합니다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 이 힘은 가속을 일으키고 입자의 속도는 유선을 따라 이동할 때 증가합니다. 베르누이의 방정식은 이것을 수학적으로 설명합니다(부록의 완전한 유도 참조).^[7]
^ 공기의 가속도는 압력 구배에 의해 발생합니다. 압력이 내려가면 공기는 속도 방향으로 가속됩니다. 따라서 압력의 감소는 더 높은 속도의 원인입니다.^[8]
^ 이 개념은 소포가 유선형을 따라 이동할 때 압력이 더 높은 지역으로 이동할 때 전방에 압력이 더 높아지게 되고 이것이 소포에 힘을 주어 속도를 늦춘다는 것입니다. 반대로 소포가 더 낮은 압력의 영역으로 이동하는 경우에는 뒤쪽에 더 높은 압력(앞쪽 압력보다 더 높은 압력)이 발생하여 속도가 빨라집니다. 언제나 그렇듯이, 불균형한 힘은 뉴턴의 운동 법칙에 의해 요구되는 운동량(및 속도)의 변화를 일으킬 것입니다.^[9]
^ "공기 흐름이 비행기 포일을 지나갈 때, 비행기 포일 주위의 속도에 국소적인 변화가 있고, 결과적으로 베르누이의 정리에 따라 정압의 변화가 있습니다. 압력의 분포에 따라 에어포일의 양력, 투구 모멘트 및 형태 항력, 압력 중심의 위치가 결정됩니다."^[1]^{: § 5.5}

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^ "에어포일 꼭대기 위의 실제 속도는 "긴 경로" 이론에 의해 예측된 것보다 훨씬 빠릅니다. 그리고 꼭대기 위를 이동하는 입자들은 에어포일 아래를 이동하는 입자들이 후미에 도착하기 전에 후미에 도착합니다."
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^ Anderson, David; Eberhardt, Scott. "How Airplanes Fly". How Airplanes Fly: A Physical Description of Lift. Archived from the original on January 26, 2016. Retrieved 26 January 2016. There is nothing wrong with the Bernoulli principle, or with the statement that the air goes faster over the top of the wing. But, as the above discussion suggests, our understanding is not complete with this explanation. The problem is that we are missing a vital piece when we apply Bernoulli's principle. We can calculate the pressures around the wing if we know the speed of the air over and under the wing, but how do we determine the speed?
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^ Raskin, Jef (February 2003). "Coanda Effect: Understanding Why Wings Work". karmak.org. Make a strip of writing paper about 5 cm × 25 cm. Hold it in front of your lips so that it hangs out and down making a convex upward surface. When you blow across the top of the paper, it rises. Many books attribute this to the lowering of the air pressure on top solely to the Bernoulli effect. Now use your fingers to form the paper into a curve that it is slightly concave upward along its whole length and again blow along the top of this strip. The paper now bends downward...an often-cited experiment, which is usually taken as demonstrating the common explanation of lift, does not do so...
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^ Eastwell, Peter (2007). "Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity?" (PDF). The Science Education Review. 6 (1). Archived from the original (PDF) on 2018-03-18. Retrieved 2018-03-18. An explanation based on Bernoulli's principle is not applicable to this situation, because this principle has nothing to say about the interaction of air masses having different speeds... Also, while Bernoulli's principle allows us to compare fluid speeds and pressures along a single streamline and... along two different streamlines that originate under identical fluid conditions, using Bernoulli's principle to compare the air above and below the curved paper in Figure 1 is nonsensical; in this case, there aren't any streamlines at all below the paper!
^ Auerbach, David. "Why Aircraft Fly" (PDF). European Journal of Physics. 21: 295 – via iopscience.iop.org. The well-known demonstration of the phenomenon of lift by means of lifting a page cantilevered in one's hand by blowing horizontally along it is probably more a demonstration of the forces inherent in the Coanda effect than a demonstration of Bernoulli's law; for, here, an air jet issues from the mouth and attaches to a curved (and, in this case pliable) surface. The upper edge is a complicated vortex-laden mixing layer and the distant flow is quiescent, so that Bernoulli's law is hardly applicable.
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^ Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. Understanding Flight. p. 229 – via Google Books. 'Demonstrations' of Bernoulli's principle are often given as demonstrations of the physics of lift. They are truly demonstrations of lift, but certainly not of Bernoulli's principle.
^ Feil, Max. The Aeronautics File. Archived from the original on May 17, 2015. As an example, take the misleading experiment most often used to "demonstrate" Bernoulli's principle. Hold a piece of paper so that it curves over your finger, then blow across the top. The paper will rise. However most people do not realize that the paper would not rise if it were flat, even though you are blowing air across the top of it at a furious rate. Bernoulli's principle does not apply directly in this case. This is because the air on the two sides of the paper did not start out from the same source. The air on the bottom is ambient air from the room, but the air on the top came from your mouth where you actually increased its speed without decreasing its pressure by forcing it out of your mouth. As a result the air on both sides of the flat paper actually has the same pressure, even though the air on the top is moving faster. The reason that a curved piece of paper does rise is that the air from your mouth speeds up even more as it follows the curve of the paper, which in turn lowers the pressure according to Bernoulli.
^ Geurts, Pim. "Some simple Experiments". sailtheory.com. Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved April 7, 2022. Some people blow over a sheet of paper to demonstrate that the accelerated air over the sheet results in a lower pressure. They are wrong with their explanation. The sheet of paper goes up because it deflects the air, by the Coanda effect, and that deflection is the cause of the force lifting the sheet. To prove they are wrong I use the following experiment: If the sheet of paper is pre bend the other way by first rolling it, and if you blow over it than, it goes down. This is because the air is deflected the other way. Airspeed is still higher above the sheet, so that is not causing the lower pressure.
^ Bobrowsky, Matt. "Q: Is It Really Caused by the Bernoulli Effect?". Science 101. National Science Teaching Association. The Bernoulli effect is commonly—and incorrectly—invoked to explain: :why two suspended balloons or table tennis balls move toward each other when you blow air between them; :why paper rises when you blow air over it; :why a pitched baseball curves; :why a spoon is drawn toward a stream of water; :why a ball remains suspended in an air jet. Here's the news: None of these phenomena is the result of the Bernoulli effect.
^ Kamela, Martin (September 2007). "Thinking About Bernoulli". The Physics Teacher. American Association of Physics Teachers. 45 (6): 379–381. Bibcode:2007PhTea..45..379K. doi:10.1119/1.2768700. Archived from the original on February 23, 2013. Finally, let's go back to the initial example of a ball levitating in a jet of air. The naive explanation for the stability of the ball in the air stream, 'because pressure in the jet is lower than pressure in the surrounding atmosphere,' is clearly incorrect. The static pressure in the free air jet is the same as the pressure in the surrounding atmosphere...
^ Smith, Norman F. (November 1972). "Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics". The Physics Teacher. 10 (8): 455. Bibcode:1972PhTea..10..451S. doi:10.1119/1.2352317. Asymmetrical flow (not Bernoulli's theorem) also explains lift on the ping-pong ball or beach ball that floats so mysteriously in the tilted vacuum cleaner exhaust...
^ Bauman, Robert P. "The Bernoulli Conundrum" (PDF). introphysics.info. Department of Physics, University of Alabama at Birmingham. Archived from the original (PDF) on February 25, 2012. Retrieved June 25, 2012. Bernoulli's theorem is often obscured by demonstrations involving non-Bernoulli forces. For example, a ball may be supported on an upward jet of air or water, because any fluid (the air and water) has viscosity, which retards the slippage of one part of the fluid moving past another part of the fluid.
^ Craig, Gale M. "Physical Principles of Winged Flight". Retrieved March 31, 2016. In a demonstration sometimes wrongly described as showing lift due to pressure reduction in moving air or pressure reduction due to flow path restriction, a ball or balloon is suspended by a jet of air.
^ Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "The Newtonian Description of Lift of a Wing" (PDF). p. 12. Archived from the original (PDF) on 2016-03-11 – via integener.com. A second example is the confinement of a ping-pong ball in the vertical exhaust from a hair dryer. We are told that this is a demonstration of Bernoulli's principle. But, we now know that the exhaust does not have a lower value of ps. Again, it is momentum transfer that keeps the ball in the airflow. When the ball gets near the edge of the exhaust there is an asymmetric flow around the ball, which pushes it away from the edge of the flow. The same is true when one blows between two ping-pong balls hanging on strings.
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외부 링크

건수의 흐름 - 파인만의 물리학 강의
사이언스 101 Q: 정말 베르누이 효과 때문에 생긴 것일까요?
베르누이 방정식 계산기
Millersville University – 오일러 방정식의 응용
NASA – Wayback Machine에서 보관된 공기역학 입문 가이드 2012-07-15
베르누이 방정식의 잘못된 해석 – Wayback Machine에서 보관된 Weltner and Ingelman-Sundberg 2012-02-08

[8] 입자의 압력이 변화하는 영역(x 방향의 사라지지 않는 압력 구배)에 있고 입자의 $크기$ 가 유한한 경우 입자의 앞쪽은 뒤쪽과 다른 압력을 '보고' 있을 것입니다. 좀 더 정확하게 말하면, 압력이 x 방향( $dp / dx$ < $0$ )으로 떨어지면 후방의 압력이 전방보다 더 높아져서 입자가 (양의) 알짜 힘을 경험합니다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 이 힘은 가속을 일으키고 입자의 속도는 유선을 따라 이동할 때 증가합니다. 베르누이의 방정식은 이것을 수학적으로 설명합니다(부록의 완전한 유도 참조).^[7]

[10] 공기의 가속도는 압력 구배에 의해 발생합니다. 압력이 내려가면 공기는 속도 방향으로 가속됩니다. 따라서 압력의 감소는 더 높은 속도의 원인입니다.^[8]

[12] 이 개념은 소포가 유선형을 따라 이동할 때 압력이 더 높은 지역으로 이동할 때 전방에 압력이 더 높아지게 되고 이것이 소포에 힘을 주어 속도를 늦춘다는 것입니다. 반대로 소포가 더 낮은 압력의 영역으로 이동하는 경우에는 뒤쪽에 더 높은 압력(앞쪽 압력보다 더 높은 압력)이 발생하여 속도가 빨라집니다. 언제나 그렇듯이, 불균형한 힘은 뉴턴의 운동 법칙에 의해 요구되는 운동량(및 속도)의 변화를 일으킬 것입니다.^[9]

[26] "공기 흐름이 비행기 포일을 지나갈 때, 비행기 포일 주위의 속도에 국소적인 변화가 있고, 결과적으로 베르누이의 정리에 따라 정압의 변화가 있습니다. 압력의 분포에 따라 에어포일의 양력, 투구 모멘트 및 형태 항력, 압력 중심의 위치가 결정됩니다."^[1]^{: § 5.5}

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[27] Resnick, R.; Halliday, D. (1960). Physics. New York: John Wiley & Sons. section 18–5. Streamlines are closer together above the wing than they are below so that Bernoulli's principle predicts the observed upward dynamic lift.

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[29] Mechanical Engineering Reference Manual (9th ed.).

[30] Technical education research center (2006). Physics That Works. Kendall Hunt. ISBN 0787291811. OCLC 61918633. One of the most widely circulated, but incorrect, explanations can be labeled the "Longer Path" theory, or the "Equal Transit Time" theory.

[31] Smith, Norman F. (November 1972). "Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics". The Physics Teacher. 10 (8): 451. Bibcode:1972PhTea..10..451S. doi:10.1119/1.2352317. The airfoil of the airplane wing, according to the textbook explanation that is more or less standard in the United States, has a special shape with more curvature on top than on the bottom; consequently, the air must travel over the top surface farther than over the bottom surface. Because the air must make the trip over the top and bottom surfaces in the same elapsed time ..., the velocity over the top surface will be greater than over the bottom. According to Bernoulli's theorem, this velocity difference produces a pressure difference which is lift.^{[영구적 데드링크]}

[32] Babinsky, Holger (2003). "How do wings work?" (PDF). Physics Education. 38 (6): 497–503. Bibcode:2003PhyEd..38..497B. doi:10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792. ...it is often asked why fluid particles should meet up again at the trailing edge. Or, in other words, why should two particles on either side of the wing take the same time to travel from S to T? There is no obvious explanation and real-life observations prove that this is wrong.

[33] "에어포일 꼭대기 위의 실제 속도는 "긴 경로" 이론에 의해 예측된 것보다 훨씬 빠릅니다. 그리고 꼭대기 위를 이동하는 입자들은 에어포일 아래를 이동하는 입자들이 후미에 도착하기 전에 후미에 도착합니다."
Glenn Research Center (Aug 16, 2000). "Incorrect Lift Theory #1". NASA. Archived from the original on April 27, 2014. Retrieved June 27, 2021.

[34] Anderson, John (2005). Introduction to Flight. Boston: McGraw-Hill Higher Education. p. 355. ISBN 978-0072825695. It is then assumed that these two elements must meet up at the trailing edge, and because the running distance over the top surface of the airfoil is longer than that over the bottom surface, the element over the top surface must move faster. This is simply not true. Experimental results and computational fluid dynamic calculations clearly show that a fluid element moving over the top surface of an airfoil leaves the trailing edge long before its companion element moving over the bottom surface arrives at the trailing edge.

[35] Anderson, David; Eberhardt, Scott. "How Airplanes Fly". How Airplanes Fly: A Physical Description of Lift. Archived from the original on January 26, 2016. Retrieved 26 January 2016. There is nothing wrong with the Bernoulli principle, or with the statement that the air goes faster over the top of the wing. But, as the above discussion suggests, our understanding is not complete with this explanation. The problem is that we are missing a vital piece when we apply Bernoulli's principle. We can calculate the pressures around the wing if we know the speed of the air over and under the wing, but how do we determine the speed?

[36] Anderson, John D. (2016). "Chapter 4. Basic Aerodynamics". Introduction to Flight (8th ed.). McGraw-Hill Education.

[37] "베르누이의 법칙과 실험은 흥미롭습니다. 불행하게도 이 실험들 중 일부는 잘못 설명되고 있습니다."

[38] Tymony, Cy. "Origami Flying Disk". MAKE Magazine. Archived from the original on 2013-01-03. This occurs because of Bernoulli's principle — fast-moving air has lower pressure than non-moving air.

[Minnesota-39] "Bernoulli Effects". School of Physics and Astronomy, University of Minnesota. Archived from the original on 2012-03-10. Faster-moving fluid, lower pressure. ... When the demonstrator holds the paper in front of his mouth and blows across the top, he is creating an area of faster-moving air.

[40] "Educational Packet" (PDF). Tall Ships Festival – Channel Islands Harbor. Archived from the original (PDF) on December 3, 2013. Retrieved June 25, 2012. Bernoulli's Principle states that faster moving air has lower pressure... You can demonstrate Bernoulli's Principle by blowing over a piece of paper held horizontally across your lips.

[41] Craig, Gale M. "Physical Principles of Winged Flight". Retrieved March 31, 2016 – via rcgroups.com. If the lift in figure A were caused by "Bernoulli's principle," then the paper in figure B should droop further when air is blown beneath it. However, as shown, it raises when the upward pressure gradient in downward-curving flow adds to atmospheric pressure at the paper lower surface.

[42] Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF). Physics Education. IOP Publishing. 38 (6): 497. Bibcode:2003PhyEd..38..497B. doi:10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792. Retrieved April 7, 2022 – via iopscience.iop.org. In fact, the pressure in the air blown out of the lungs is equal to that of the surrounding air...

[43] Eastwell, Peter (2007). "Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity?" (PDF). The Science Education Review. 6 (1). Archived from the original (PDF) on 2018-03-18. Retrieved 2018-03-18. ...air does not have a reduced lateral pressure (or static pressure...) simply because it is caused to move, the static pressure of free air does not decrease as the speed of the air increases, it misunderstanding Bernoulli's principle to suggest that this is what it tells us, and the behavior of the curved paper is explained by other reasoning than Bernoulli's principle.

[44] Raskin, Jef (February 2003). "Coanda Effect: Understanding Why Wings Work". karmak.org. Make a strip of writing paper about 5 cm × 25 cm. Hold it in front of your lips so that it hangs out and down making a convex upward surface. When you blow across the top of the paper, it rises. Many books attribute this to the lowering of the air pressure on top solely to the Bernoulli effect. Now use your fingers to form the paper into a curve that it is slightly concave upward along its whole length and again blow along the top of this strip. The paper now bends downward...an often-cited experiment, which is usually taken as demonstrating the common explanation of lift, does not do so...

[Babinsky2-45] Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF). Physics Education. IOP Publishing. 38 (6): 497. Bibcode:2003PhyEd..38..497B. doi:10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792. Retrieved April 7, 2022 – via iopscience.iop.org. Blowing over a piece of paper does not demonstrate Bernoulli's equation. While it is true that a curved paper lifts when flow is applied on one side, this is not because air is moving at different speeds on the two sides... It is false to make a connection between the flow on the two sides of the paper using Bernoulli's equation.

[46] Eastwell, Peter (2007). "Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity?" (PDF). The Science Education Review. 6 (1). Archived from the original (PDF) on 2018-03-18. Retrieved 2018-03-18. An explanation based on Bernoulli's principle is not applicable to this situation, because this principle has nothing to say about the interaction of air masses having different speeds... Also, while Bernoulli's principle allows us to compare fluid speeds and pressures along a single streamline and... along two different streamlines that originate under identical fluid conditions, using Bernoulli's principle to compare the air above and below the curved paper in Figure 1 is nonsensical; in this case, there aren't any streamlines at all below the paper!

[47] Auerbach, David. "Why Aircraft Fly" (PDF). European Journal of Physics. 21: 295 – via iopscience.iop.org. The well-known demonstration of the phenomenon of lift by means of lifting a page cantilevered in one's hand by blowing horizontally along it is probably more a demonstration of the forces inherent in the Coanda effect than a demonstration of Bernoulli's law; for, here, an air jet issues from the mouth and attaches to a curved (and, in this case pliable) surface. The upper edge is a complicated vortex-laden mixing layer and the distant flow is quiescent, so that Bernoulli's law is hardly applicable.

[48] Smith, Norman F. (November 1972). "Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics". The Physics Teacher. Millions of children in science classes are being asked to blow over curved pieces of paper and observe that the paper 'lifts'... They are then asked to believe that Bernoulli's theorem is responsible... Unfortunately, the 'dynamic lift' involved...is not properly explained by Bernoulli's theorem.

[49] Denker, John S. "Bernoulli's Principle". See How It Flies – via av8n.com. Bernoulli's principle is very easy to understand provided the principle is correctly stated. However, we must be careful, because seemingly-small changes in the wording can lead to completely wrong conclusions.

[50] Smith, Norman F. (1973). "Bernoulli, Newton and Dynamic Lift Part I". School Science and Mathematics. 73 (3): 181–186. doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x – via wiley.com. A complete statement of Bernoulli's Theorem is as follows: 'In a flow where no energy is being added or taken away, the sum of its various energies is a constant: consequently where the velocity increases the pressure decreases and vice versa.'

[51] Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF). Physics Education. IOP Publishing. 38 (6): 497. Bibcode:2003PhyEd..38..497B. doi:10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID 1657792. Retrieved April 7, 2022 – via iopscience.iop.org. ...if a streamline is curved, there must be a pressure gradient across the streamline, with the pressure increasing in the direction away from the centre of curvature.

[52] Smith, Norman F. (1973). "Bernoulli, Newton and Dynamic Lift Part II". School Science and Mathematics. 73 (4): 3333. doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x – via wiley.com. The curved paper turns the stream of air downward, and this action produces the lift reaction that lifts the paper.

[53] Aeronautics: An Educator's Guide with Activities in Science, Mathematics, and Technology Education (PDF). NASA. p. 26 – via nasa.gov. The curved surface of the tongue creates unequal air pressure and a lifting action. ... Lift is caused by air moving over a curved surface.

[54] Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "The Newtonian Description of Lift of a Wing" (PDF). p. 12. Archived from the original (PDF) on 2016-03-11 – via integener.com. Viscosity causes the breath to follow the curved surface, Newton's first law says there a force on the air and Newton's third law says there is an equal and opposite force on the paper. Momentum transfer lifts the strip. The reduction in pressure acting on the top surface of the piece of paper causes the paper to rise.

[55] Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. Understanding Flight. p. 229 – via Google Books. 'Demonstrations' of Bernoulli's principle are often given as demonstrations of the physics of lift. They are truly demonstrations of lift, but certainly not of Bernoulli's principle.

[56] Feil, Max. The Aeronautics File. Archived from the original on May 17, 2015. As an example, take the misleading experiment most often used to "demonstrate" Bernoulli's principle. Hold a piece of paper so that it curves over your finger, then blow across the top. The paper will rise. However most people do not realize that the paper would not rise if it were flat, even though you are blowing air across the top of it at a furious rate. Bernoulli's principle does not apply directly in this case. This is because the air on the two sides of the paper did not start out from the same source. The air on the bottom is ambient air from the room, but the air on the top came from your mouth where you actually increased its speed without decreasing its pressure by forcing it out of your mouth. As a result the air on both sides of the flat paper actually has the same pressure, even though the air on the top is moving faster. The reason that a curved piece of paper does rise is that the air from your mouth speeds up even more as it follows the curve of the paper, which in turn lowers the pressure according to Bernoulli.

[57] Geurts, Pim. "Some simple Experiments". sailtheory.com. Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved April 7, 2022. Some people blow over a sheet of paper to demonstrate that the accelerated air over the sheet results in a lower pressure. They are wrong with their explanation. The sheet of paper goes up because it deflects the air, by the Coanda effect, and that deflection is the cause of the force lifting the sheet. To prove they are wrong I use the following experiment: If the sheet of paper is pre bend the other way by first rolling it, and if you blow over it than, it goes down. This is because the air is deflected the other way. Airspeed is still higher above the sheet, so that is not causing the lower pressure.

[58] Bobrowsky, Matt. "Q: Is It Really Caused by the Bernoulli Effect?". Science 101. National Science Teaching Association. The Bernoulli effect is commonly—and incorrectly—invoked to explain: :why two suspended balloons or table tennis balls move toward each other when you blow air between them; :why paper rises when you blow air over it; :why a pitched baseball curves; :why a spoon is drawn toward a stream of water; :why a ball remains suspended in an air jet. Here's the news: None of these phenomena is the result of the Bernoulli effect.

[59] Kamela, Martin (September 2007). "Thinking About Bernoulli". The Physics Teacher. American Association of Physics Teachers. 45 (6): 379–381. Bibcode:2007PhTea..45..379K. doi:10.1119/1.2768700. Archived from the original on February 23, 2013. Finally, let's go back to the initial example of a ball levitating in a jet of air. The naive explanation for the stability of the ball in the air stream, 'because pressure in the jet is lower than pressure in the surrounding atmosphere,' is clearly incorrect. The static pressure in the free air jet is the same as the pressure in the surrounding atmosphere...

[60] Smith, Norman F. (November 1972). "Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics". The Physics Teacher. 10 (8): 455. Bibcode:1972PhTea..10..451S. doi:10.1119/1.2352317. Asymmetrical flow (not Bernoulli's theorem) also explains lift on the ping-pong ball or beach ball that floats so mysteriously in the tilted vacuum cleaner exhaust...

[61] Bauman, Robert P. "The Bernoulli Conundrum" (PDF). introphysics.info. Department of Physics, University of Alabama at Birmingham. Archived from the original (PDF) on February 25, 2012. Retrieved June 25, 2012. Bernoulli's theorem is often obscured by demonstrations involving non-Bernoulli forces. For example, a ball may be supported on an upward jet of air or water, because any fluid (the air and water) has viscosity, which retards the slippage of one part of the fluid moving past another part of the fluid.

[62] Craig, Gale M. "Physical Principles of Winged Flight". Retrieved March 31, 2016. In a demonstration sometimes wrongly described as showing lift due to pressure reduction in moving air or pressure reduction due to flow path restriction, a ball or balloon is suspended by a jet of air.

[63] Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. "The Newtonian Description of Lift of a Wing" (PDF). p. 12. Archived from the original (PDF) on 2016-03-11 – via integener.com. A second example is the confinement of a ping-pong ball in the vertical exhaust from a hair dryer. We are told that this is a demonstration of Bernoulli's principle. But, we now know that the exhaust does not have a lower value of ps. Again, it is momentum transfer that keeps the ball in the airflow. When the ball gets near the edge of the exhaust there is an asymmetric flow around the ball, which pushes it away from the edge of the flow. The same is true when one blows between two ping-pong balls hanging on strings.

[64] "Thin Metal Sheets – Coanda Effect". physics.umd.edu. Physics Lecture-Demonstration Facility, University of Maryland. Archived from the original on June 23, 2012. Retrieved October 23, 2012. This demonstration is often incorrectly explained using the Bernoulli principle. According to the INCORRECT explanation, the air flow is faster in the region between the sheets, thus creating a lower pressure compared with the quiet air on the outside of the sheets.

[65] "Answer #256". physics.umd.edu. Physics Lecture-Demonstration Facility, University of Maryland. Archived from the original on December 13, 2014. Retrieved December 9, 2014. Although the Bernoulli effect is often used to explain this demonstration, and one manufacturer sells the material for this demonstration as 'Bernoulli bags,' it cannot be explained by the Bernoulli effect, but rather by the process of entrainment.

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v t 연속체 역학의 주제
사단	고체역학 유체역학 음향학 진동 강체동역학
법과 정의	법칙들 질량 보존 운동량보존 나비에 스톡스 베르누이 포이슈이유 아르키메데스 파스칼 에너지 보존 엔트로피 부등식 정의들 스트레스 코시 응력 스트레스 척도 변형 스몰 스트레인 면전단 대변형 호환성.
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