각변위

각변위
각변위
	검정 광선에서 녹색 세그먼트까지의 회전 각도는 60°, 검정 광선에서 파란색 세그먼트까지의 회전 각도는 210°, 녹색에서 파란색 세그먼트까지의 회전 각도는 210° - 60° = 150°입니다.중심점을 중심으로 한 완전한 회전은 1tr, 360° 또는 2θ 라디안과 같습니다.
기타이름	회전 변위, 회전 각도
공통기호	θ, ϑ, φ
SI단위	라디안, 도, 회전 등(각도 단위)
SI 기준 단위로	라디안(라디안)

회전각 또는 회전각이라고도 불리는 물리적 물체의 각도 변위(기호 θ, θ, θ)는 물체가 회전축 또는 회전축을 중심으로 회전(회전 또는 회전)하는 각도입니다.각도 변위는 회전 감각(예: 시계 방향)을 나타내는 부호를 붙일 수 있으며, 만회전보다 더 클 수도 있습니다(절대값).

맥락

물체가 축을 중심으로 회전할 때, 원운동에서는 언제든지 속도와 가속도의 변화를 겪기 때문에 운동을 단순히 입자로 분석할 수는 없습니다.몸의 회전을 다룰 때는 몸 자체가 경직된 것으로 간주하는 것이 더 간단해집니다.물체는 일반적으로 모든 입자 사이의 간격이 물체의 운동 내내 일정하게 유지될 때 단단하다고 여겨지는데, 예를 들어 질량의 일부가 날아가지 않습니다.현실적인 의미에서는 모든 것이 변형될 수 있지만, 이러한 영향은 미미하고 무시할 수 있습니다.

예

오른쪽(또는 일부 모바일 버전에서 위)에 표시된 예에서 입자 또는 몸체(P)는 원점(O)으로부터 고정된 거리(r)에 있으며 시계 반대 방향으로 회전합니다.그러면 입자 P의 위치를 극좌표(r, θ)로 나타내는 것이 중요해집니다.이 예에서는 반지름의 값은 그대로 유지되는 반면 θ의 값은 변경됩니다.(직사각좌표(x, y)에서 x와 y 모두 시간에 따라 바뀝니다.)입자가 원을 따라 움직일 때, 입자는 원호 길이를 이동하고, 이는 관계를 통해 각도 위치와 관련이 있습니다.

s=r\theta .

정의 및 단위

각도 변위는 라디안 또는 도 단위로 나타낼 수 있습니다.라디안을 사용하면 원 주위를 이동하는 거리(원호 길이)와 중심으로부터 거리 r(반지름) 사이의 매우 간단한 관계를 얻을 수 있습니다.

\theta = {\frac {s}{r}}\mathrm {rad}

예를 들어, 어떤 물체가 반지름 r의 원을 중심으로 360° 회전한다면, 각변위는 둘레를 따라 이동한 거리(2πr)를 반지름으로 나눈 거리(2πr)로 주어집니다: $\theta =2\pi$ = $\theta =2\pi$ $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ {\ $displaystyle$ $\theta$ = {\ $frac$ $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ { $2\pir$ $}{r$ $\theta =2\pi$ 이는 쉽게 다음과 같습니다 $.$ 따라서, $2\pi$ 은 2 π ${\displaystyle$ 2 $\pi}$ 라디안입니다.

위의 정의는 국제 수량 체계(ISQ)의 일부이며, 국제 표준 ISO 80000-3(공간 및 시간)^[1]에 공식화되어 있으며, 국제 단위 시스템(^[2]^[3]SI)에 채택되어 있습니다.

각도 변위는 회전 감각(예: 시계 방향)^[1]을 나타내는 부호를 붙일 수 있으며, 만회전보다 더 클 수도 있습니다(절대값).ISQ/SI에서 각도 변위는 회전 수 N=π/(2π rad), 차원 1의 비율 유형 수량을 정의하는 데 사용됩니다.

입체적으로

3차원에서 각도 변위는 방향과 크기를 가진 실체입니다.방향은 오일러의 회전 정리에 의해 항상 존재하는 회전축을 지정합니다. 크기는 해당 축에 대한 라디안 단위의 회전을 지정합니다(오른쪽 규칙을 사용하여 방향을 결정합니다).이 개체를 축-각이라고 합니다.

방향과 크기가 있음에도 불구하고, 각변위는 ^[4]덧셈에 대한 교환 법칙을 따르지 않기 때문에 벡터가 아닙니다.그럼에도 불구하고, 무한소 회전을 다룰 때, 2차 무한소는 버려질 수 있고, 이 경우에는 교환성이 나타납니다.

회전행렬

회전 행렬이나 오일러 각도와 같이 회전을 설명하는 몇 가지 방법이 있습니다.기타는 SO(3)의 차트를 참조하십시오.

공간 내의 모든 프레임은 회전 행렬에 의해 설명될 수 있으므로, 그들 사이의 변위는 또한 회전 행렬에 의해 설명될 수 있습니다. $A_{f}$ $A_{0}$ {\ $displaystyle$ A_ ${0}}$ 와 A $A_{f$ 두 행렬일 때, $A_{0}$ 사이의 각변위행렬은 $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ = $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ 0 - $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ {\ $displaystyle \Delta$ A = $A_{f}$ 로 구할 수 있습니다. $A_{0}^{-1$ 두 프레임의 차이가 매우 작으면 동일성에 가까운 행렬을 얻을 수 있습니다.

한계 내에서, 우리는 무한소 회전 행렬을 가질 것입니다.

극소회전행렬

무한소 회전 행렬 또는 미분 회전 행렬은 무한소 회전을 나타내는 행렬입니다.

회전행렬이 $SO(n)$ {\ $displaystyle$ SO $(n)}($ 특수직교군)의 요소를 나타내는 $A^{\mathsf {T}}=-A$ R $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ = $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ - $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ 1 {\ $displaystyle R^{\mathsf$ {T}}= $R^{-1}$ 인 반면, 회전의 미분은 ${\mathfrak {so}}(n)$ ${\mathfrak {so}}(n)$ 의 ${\displaystyle$ A $^{\mathsf {T$ }=- $A}$ ${\displaystyle$ {\ $mathfrak$ } ${so}}(n)}($ 특수 직교 리 대수), 그 자체가 회전 행렬이 아닙니다.

무한소 회전 행렬은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

I+d\theta \,A,

$I$ 서 I{\ $displaystyle$ I $}$ 은(는) 항등식 $d\theta$ 이고, d $d\theta$ θ {\ $displaystyle$ d\ $theta}$ 는 점점 작아지고 $A\in {\mathfrak {so}}(n).$ A ∈ $A\in {\mathfrak {so}}(n).$ ( $).$ $displaystyle$ A $\in$ {\ $mathfrak {so}}(n).$

예를 들어, $A=L_{x},$ = $A=L_{x},$ $A=L_{x},$ x 축에 대한 무한소 3차원 회전을 나타내는 $A=L_{x},$ {\ $displaystyle$ A = $L_{x},$ ${\mathfrak {so}}(3),$ ( ${\mathfrak {so}}(3),$ ${\displaystyle$ {\ $mathfrak {so}},(3),}$

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}

무한소 회전 행렬에 대한 계산 규칙은 2차의 무한소가 일상적으로 떨어지는 것을 제외하고는 평소와 같습니다.이러한 규칙을 사용할 경우, 이러한 행렬은 무한 ^[5]소수점을 일반적으로 처리할 때 일반적인 유한 회전 행렬과 동일한 특성을 모두 만족하지는 않습니다.무한소 회전이 적용되는 순서는 무관한 것으로 밝혀졌습니다.

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b "ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time" (2 ed.). International Organization for Standardization. 2019. Retrieved 2019-10-23.[1(11페이지"ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time" (2 ed.). International Organization for Standardization. 2019. Retrieved 2019-10-23.)
^ Le Système international d’unités [The International System of Units] (PDF) (in French and English) (9th ed.), International Bureau of Weights and Measures, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0
^ Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (2020-03-04) [2009-07-02]. "The NIST Guide for the Use of the International System of Units, Special Publication 811" (2008 ed.). National Institute of Standards and Technology. Retrieved 2023-07-17. [2]
^ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.
^ (Goldstein, Pool & Safko 2002, ≥4.8)

원천

Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (third ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-65702-9
Wedderburn, Joseph H. M. (1934), Lectures on Matrices, AMS, ISBN 978-0-8218-3204-2

[ISO80000-3_2019-1] "ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time" (2 ed.). International Organization for Standardization. 2019. Retrieved 2019-10-23.[1(11페이지"ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time" (2 ed.). International Organization for Standardization. 2019. Retrieved 2019-10-23.)

[SIBrochure_9-2] Le Système international d’unités [The International System of Units] (PDF) (in French and English) (9th ed.), International Bureau of Weights and Measures, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0

[NISTGuide_2009-3] Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (2020-03-04) [2009-07-02]. "The NIST Guide for the Use of the International System of Units, Special Publication 811" (2008 ed.). National Institute of Standards and Technology. Retrieved 2023-07-17. [2]

[4] Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.

[5] (Goldstein, Pool & Safko 2002, ≥4.8)

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