가상 작업

역학에서, 가상적인 일은 기계 시스템의 힘과 움직임의 연구에 최소 작용의 원리를 적용하는 데 발생한다.변위를 따라 이동할 때 입자에 작용하는 힘의 작용은 다른 변위에 따라 다릅니다.가상 변위라고 불리는 입자가 따를 수 있는 모든 가능한 변위 중에서 하나는 그 작용을 최소화할 것이다.따라서 이 변위는 최소 작용 원리에 따른 입자의 변위입니다.가상 변위를 따라 입자에 가해지는 힘의 작용은 가상 작용이라고 합니다.

역사적으로, 가상 작업과 변형에 대한 관련 미적분은 ^[1]강체의 시스템을 분석하기 위해 공식화되었지만, 그것들은 변형 가능한 ^[2]물체의 역학을 연구하기 위해 개발되었다.

역사

가상작업의 원리는 고대부터 정역학의 연구에서 항상 어떤 형태로든 사용되어 왔다.그리스인, 중세 아랍인, 라틴인, 르네상스 이탈리아인에 의해 "^[3]지렛대의 법칙"으로 사용되었다.가상작업의 개념은 갈릴레오, 데카르츠, 토리첼리, 왈리스, 그리고 호이겐스와 같은 17세기의 많은 저명한 물리학자들에 의해 ^[3]정역학의 문제들을 풀 때 다양한 정도의 일반성으로 인용되었다.라이프니츠 개념을 연구하면서 요한 베르누이는 가상 작업 원리를 체계화하고 극소 변위 개념을 명확히 했습니다.그는 유체뿐만 아니라 강체 문제도 해결할 수 있었다.베르누이의 가상 노동 법칙 버전은 1715년 피에르 바리뇽에게 보낸 편지에 나타났고, 이것은 나중에 1725년 바리뇽의 두 번째 책인 누벨 메카니크 유 스타티크에 출판되었다.이 원리의 공식은 오늘날 가상 속도의 원리로 알려져 있으며 일반적으로 현대 가상 작업 ^[3]원리의 원형으로 간주됩니다.1743년 달랑베르는 베르누이의 연구에 기초한 가상 작업의 원리를 역학의 다양한 문제를 해결하기 위해 적용한 그의 다이나믹 특성을 출판했다.그의 생각은 관성력을 ^[4]도입함으로써 역동적인 문제를 정적 문제로 바꾸는 것이었다.1768년, 라그랑주는 일반화된 좌표를 도입함으로써 가상 작업 원리를 보다 효율적인 형태로 제시하고 모든 균형 문제를 해결할 수 있는 역학의 대안 원리로 제시하였다.이 접근방식을 모든 역학에 적용하는 라그랑쥬의 프로그램에 대한 체계적인 설명은, 기본적으로 달랑베르의 원리로, 1788년 ^[3]그의 Mecanique Analytique에서 제시되었다.비록 라그랑주가 이 연구 전에 그의 최소 작용 원리에 대한 그의 버전을 제시했지만, 그는 가상 작업 원리가 주로 더 근본적이라고 인식했는데, 이는 최소 작용이 비보수적인 ^[3]힘을 설명하지 않는다는 현대적 이해와는 달리, 그것이 모든 역학의 기초로서 단독으로 가정될 수 있기 때문이다.

개요

$A지점$ 에서 $A$ $B지점$ 으로 이동할 때 입자에 힘이 작용하면 입자가 통과할 수 있는 궤적마다 경로를 따라 수행된 힘의 총 작업을 계산할 수 있습니다.가상작업의 원리는 이러한 시스템에 적용되는 최소작용의 원리의 형태이며, 실제로 입자가 이어지는 경로는 이 경로를 따른 작업과 다른 인근 경로 간의 차이가 0인 경로(1차까지)라고 명시되어 있다.인근 경로에서 평가된 함수의 차이를 계산하는 공식 절차는 미분적분으로부터 알려진 도함수의 일반화이며, 변분적분이라고 불린다.

점 입자가 점 A $({displaystyle$ A $})$ 에서 점 B $({$ $displaystyle$ B $B$ $\mathbf {r} (t=t_{1})$ $=t_{0})$ 로 $\mathbf {r} (t)$ r $\mathbf {r} (t=t_{1})$ $displaystyle$ \ $mathbf {r})($ $여기$ 서 t $\mathbf {r} (t)$ $t_$ {0 $\mathbf {r} (t=t_{0})$ 에서 점 B(\ $displaystyle$ tyle t $)$ 로 기술된 경로를 따라 이동한다고 가정합니다 $.$ $\mathbf {r} (t=t_{1})$ $파티클$ 이 $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)$ ( t ) + $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)$ ( $r$ ( t ){ $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)$ $displaystyle$ \ $mathbf$ { r $}$ + \ $delta$ \ $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)$ $mathbf$ ${ r$ } ( t ) $\mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)$ $\delta \mathbf {r} (t)$ $t$ \ $displaystyle$ \ $delbf$ { r $}$ ( $t$ ) （ t ）。 $yle \mathbf {r}(t$ 변동 $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ $\delta \mathbf {r} (t)$ r ( $\delta \mathbf {r} (t)$ ) $\delta \mathbf {r} (t)$ { style \ $display$ \ $mathbf { r$ $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ } ( $t$ ) $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ r ( $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ ) $=$ $\delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0$ { $display$ \ display \ display \ display \ display \ displ \ $mathbf { r$ } ( $t_$ { $0$ } = \ displacebline \ $mathbf {$ $r$ } ( $t_ {$ r } ) = $0$ )의 $\delta \mathbf {r} (t)$ 스칼라 성분 $\delta r_{1}(t)$ ）를 만족합니다. $ystyle \displaystyle r_{2}(t)}$ 및 $\delta r_{2}(t)$ $)$ { $displaystyle$ \ $displaystyle \display$ r_ ${$ 3}(t)}은 $\delta r_{3}(t)$ 가상 변위라고 불립니다.이는 일반화 $q_{i}$ $q$ i {{ $i$ $i=1,2,...,n$ $i=1,2,...,n$ , $i=1,2,...,n$ , $i=1,2,...,n$ { $displaystyle$ i $= 1$ , 2, $..., n$ 에 의해 정의된 임의의 기계적 시스템으로 일반화할 수 있습니다. 이 경우 $q_{i}(t)$ $q_{i}(t)$ i ( $q_{i}(t)$ ) \ displaystyle $\delta q_{i}$ $q_{i}(t)$ _ { $i$ } ( $t$ )의 $q_{i}(t)$ 변동은 $\delta q_{i}$ 변위에 의해 $\delta q_{i}$ 됩니다 $.$ $isplaystyle$ \ $displaystyle q_{i$ $i=1,2,...,n$ $i=1,2,...,n$ , $i=1,2,...,n$ , $i=1,2,...,n$ \ $displaystyle$ i $= 1$ , 2, $..., n$

가상작업은 일련의 가상변위를 통해 이동하는 기계시스템에 가해지는 힘과 관성력에 의해 수행되는 총 작업입니다.정적 평형 상태에 있는 물체에 가해지는 힘을 고려할 때, 최소 작용의 원리는 이러한 힘의 가상 작업이 0이 되도록 요구한다.

수학적 처리

힘 F(r(t)가 적용되는 동안 궤도 r(t)를 따라 A 지점에서 B 지점으로 이동하는 입자 P를 생각해 보자.힘 F에 의해 수행된 작업은 적분에 의해 주어진다.

W=\int _{\mathbf {r}(t_{0})=A}^{\mathbf {r}(t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}^{1}\mathbf {F} \cdot {frac {d\mathbf {r}} {dt} ~dt=\int _ {t_{0} {1} \cdf} \mathbf

여기서 dr은 P의 궤적인 곡선의 미분 원소이고, v는 속도이다.워크 W의 값은 궤적 r(t)에 따라 달라진다는 점에 유의해야 한다.

자, 이제 A지점에서 다시 포이트 B로 움직일 때, 그러나 이번에는 그 함께 r(t)에서 ε 스케일링으로 작은 것 h(t0)충족 h(t)은 자의적인 기능 원하는 만들 수 있상수 값이 변화 δr(t))εh(t),에 따라 차이가 가까운 궤도)h(t1)=0를 움직인다. 힘 F(r(t)+εh(t)하는 것이 sa 가정하자 입자 P라고 생각한다.나야.F $(r (t)$ 로 합니다.힘에 의해 수행된 작업은 적분에 의해 주어집니다.

{W}}=\int _{\mathbf {r}(t_{0})=A}^{\mathbf {r}(t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\ilon \mathbf {h})=\int _{t_{0}}\mathbf {F} \cdot {d(\mathbf {r}(t+\ilon \mathbf {h})}{dt}~dt=\int_{0}^{t_{1}}\mathbf {F}\cdot(\mathbf {v} +\ilon {\dot {\mathbf {h}}})~dt.

가상 작업이라고 알려진 이 인근 경로와 관련된 작업 δW의 변동은 다음과 같이 계산될 수 있다.

({displaystyle \mathbf {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}(\mathbf {F}\cdot \ilon {\dot {mathbf {h}}}})~dt.}

P의 움직임에 제약이 없는 경우 t시 P의 위치를 완전히 기술하기 위해서는 3개의 파라미터가 필요합니다.k(k ÷ 3) 구속력이 있는 경우 n = (3 - k) 매개변수가 필요하다.따라서 n개의 일반화 좌표_i q(t)(i = 1, ..., n)를 정의하고, 일반화 좌표의 관점에서 r(t)와 $θr$ = $θh ($ t)를 나타낼 수 있다.그것은,

\displaystyle \mathbf {r}(t)=\mathbf {r}(q_{1},q_{2},\display,q_{n};t),}

\displaystyle \mathbf {h}(t)=\mathbf {h}(q_{1},q_{2},\display,q_{n};t).}

그 다음,

변동

δr

=

δh (

t)의 도함수는 다음과 같이 구한다.

{\displaystyle\frac {d}{dt}\mathbf {r}=\sum _{i=1}^{n}{\frac \mathbf {h}{\frac {\frac q_{i}}}\frac {\frac {d}{dt}{dt}{dt}}}{i}}\f},

그럼 우리는

\displaystyle W=\int _{t_{0}^{1}\left(\sum _ {i=1}^{n}\mathbf {F}\cdot {f}{\cdot q_{i}}\ilon {dot {q}_i}{i}\sum}\sum=1\sum}

임의의 변동 $δr (t)$ = $δh (t)$ 에 대해 가상 작업이 0이라는 요건은 일련의 요건과 동일하다.

Q_{i}=\mathbf {F}\cdot {frac\mathbf {h}{\display q_{i}}=0,\display i=1,\ldots,n

용어_i Q는 가상변위θr과 관련된 일반화 힘이라고 불립니다.

정적 평형

정적 평형은 시스템에 작용하는 순 힘과 순 토크가 0인 상태입니다.즉, 시스템의 선형 운동량과 각 운동량이 모두 보존된다.가상 작업의 원리는 적용된 힘의 가상 작업이 정적 평형으로부터 시스템의 모든 가상 이동에 대해 0이라고 말합니다.이 원리는 3차원 회전이 포함되도록 일반화할 수 있다. 즉, 가해진 힘과 가해진 모멘트의 가상 작용은 정적 평형에서 시스템의 모든 가상 이동에 대해 0이다.그것은

\displaystyle \sum W=\sum _{i=1}^{F}_{i}\cdot \mathbf {r}_{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M}_{j}\cdot \mathbf {pi}_{j=0},

여기서_i F, i = 1, 2, ..., m 및_j M, j = 1, 2, ..., n은 각각 가해진 힘 및 가해진 모멘트를 나타내고, δr_i, i = 1, 2, ..., m 및 δr_j, j = 1, 2, ..., n은 각각 가상 변위 및 가상 회전입니다.

시스템이 N개의 입자로 구성되어 있고 f(f ≤ 6N)의 자유도를 가지고 있다고 가정합니다.f 좌표만 사용하여 시스템의 움직임을 완전히 설명하면 충분하므로 f 일반화 좌표_k q, k = 1, 2, ..., f는 이러한 일반화 좌표의 관점에서 가상 이동을 표현할 수 있도록 정의됩니다.그것은,

{\displaystyle\delta \mathbf{r}_ᆪ(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},),\quad i=1,2,\dots ,m.}.

{\displaystyle \delta \phi_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},),\quad j=1,2,\dots ,n.}.

그 가상한 다음 일반 좌표로:reparametrized 수 있다.

{\displaystyle \delta W=\sum_{k=1}[\left(\sum_{i=1}^{m}\mathbf{F}_{나는}\cdot{\frac{\partial \mathbf{r}_{나는}}{\partial q_{k}}}+\sum_{j=1}^{n}\mathbf{M}_{j}\cdot{\frac{\partial \mathbf{\phi}_{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}.

여기서 일반화 힘Q는_k 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle Q_{km그리고 4.9초 만}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf{F}_{나는}\cdot{\frac{\partial \mathbf{r}_{나는}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf{M}_{j}\cdot{\frac{\partial \mathbf{\phi}_{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}.

케인은^[5] 이러한 일반화 힘이 시간 파생물의 비율로도 공식화될 수 있다는 것을 보여준다.그것은,

{\displaystyle Q_{km그리고 4.9초 만}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf{F}_{나는}\cdot{\frac{\partial \mathbf{v}_{나는}}{\partial{{q\dot}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf{M}_{j}\cdot{\frac{\partial \mathbf{\omega}_{j}}{\partial{{q\dot}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}.

가상 일의 원칙이 평형 상태에 있는은 가상 시스템에 걸리는 힘 Fi과 모멘트에 의해 행해진 Mj 사라진다 필요로 한다.따라서, Qk 0은 일반화된 힘인 것이다.

{\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{km그리고 4.9초 만}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}.

구속력

이 가상의 원리의 중요한 혜택으로 다가온 시스템은 가상 변위를 통해 움직이작동하는 유일한 힘은 그 시스템의 역학을 결정할 필요가 있다.한 기계적 계에 있는 그것은 그들이 필요 이 분석에 있어 고려해야 하지 않음을 의미하는 가상 변위에 어떤 일도 많다.강체의 두가지 중요한 예로는(나는)내부적인 힘으로 이상적인 접합 부분에서(ii)제약 조건은 힘이다.

Lanczos[1]은:"반응의 힘의 가상 일은 항상 0은 지정된 동역학적 제약 조건과 조화를 이루고 있는 가상 변위."공리 이 영화를 제공한다.그 논쟁은 다음과 같다.가상 일의 원칙은 평형에 있는 병력이 시스템에 적용된 의 가상의 일. 제로가 있다고 설명한다.뉴턴의 법칙은 평형에 적용하는 힘과 반대 반응, 또는 제약 조건 힘과 동일하다.즉, 구속력의 가상 작업도 0이어야 합니다.

레버의 법칙

레버는 지점으로 불리는 힌지 조인트에 의해 접지 프레임에 연결된 견고한 막대로 모델링됩니다.레버는 바의 좌표 벡터_A r에 의해 위치하는 점 A에 입력력_A F를 가하여 작동한다.그런 다음 레버는 r에 의해_B 위치하는 점 B에 출력력_B F를 가합니다.지점 P를 중심으로 한 레버의 회전은 회전각θ로 정의된다.

이것은 1824년 런던에서 발행된 Mechanics Magazine의 판화입니다.

지점을 정의하는 P 지점의 좌표 벡터를 r로 하고_P, 길이를 소개합니다.

{\displaystyle a= \mathbf {r} _{A} - \mathbf {r} ,\display b= \mathbf {r} _{P} ,

이 값은 각각 포인트에서 입력 지점 A 및 출력 지점 B까지의 거리입니다.

이제 지점으로부터 점 A와_B 점 B까지 단위 벡터_A e와 e를 도입합니다.

\mathbf {r} _{A} - \mathbf {r} _{P} = b\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{P} _b} -\mathbf {e} _{B}

이 표기법을 통해 A와 B 지점의 속도를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\mathbf {v}_{A}={A}^{\perp},\display \mathbf {v}_{B}={theta }}b\mathbf {e}_{B}^{\perp }

여기서_A^⊥ e와_B^⊥ e는 각각 e와_B e에_A 수직인 단위 벡터이다.

각도 θ는 레버의 구성을 정의하는 일반화 좌표이므로, 1 자유도 메커니즘에 가해지는 힘에 대해 위의 공식을 사용하여 일반화 힘은 다음과 같이 주어진다.

({displaystyle Q=\mathbf {F}_{A}\cdot {f}_{A}}{\dot {theta}}}}-\mathbf {F}_{B}\cdot {f}_{B}}{dot=})}

이제 반경 세그먼트 PA 및 PB에 수직인 힘의 성분을 F 및 F로_B 나타냅니다_A.이러한 힘은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle F_{A}=\mathbf {F}_{A}\cdot \mathbf {e}_{A}^{\perp},\display F_{B}=\mathbf {F}_{B}\cdot \mathbf {e}_{{B}\perp}.

이 표기법과 가상 작업의 원리는 일반화된 힘에 대한 공식을 산출합니다.

Q=aF_{A}-bF_{B}=0.

입력력_A F에 대한 출력력_B F의 비율은 레버의 기계적 이점이며 다음과 같은 가상 작업의 원리에서 구합니다.

MA=sublicfrac {F_{B}}{F_{A}}=flac {a}{b}}입니다.

이 방정식은 지점으로부터 입력력이 가해지는 지점 A까지의 거리 a가 지점으로부터 출력력이 가해지는 지점 B까지의 거리 b보다 클 경우 레버가 입력력을 증폭한다는 것을 나타냅니다.지점에서 입력점 A까지의 거리가 지점에서 출력점 B까지의 거리보다 작을 경우 레버는 입력력의 크기를 감소시킨다.

이것은 아르키메데스가 기하학적 ^[6]추론을 통해 증명한 지렛대의 법칙이다.

기어트레인

기어열은 기어의 톱니가 맞물리도록 기어를 프레임에 장착함으로써 형성된다.기어 톱니는 맞물린 기어의 피치 원이 미끄러지지 않고 서로 롤링하도록 설계되어 있어 한 기어에서 다음 기어로의 원활한 회전 전달을 제공합니다.이 분석에서는 자유도가 1개인 기어 트레인을 고려합니다. 즉, 기어 트레인에 있는 모든 기어의 각 회전은 입력 기어의 각도로 정의됩니다.

육군복무부대 기계수송훈련(1911년), 그림 112 기어휠에 의한 움직임과 힘의 전달, 복합열차

기어의 크기와 맞물리는 순서에 따라 기어 트레인의 속도비 또는 기어비로 알려진 출력 기어의 각 속도 θ에_B 대한 입력 기어의 각 속도 θ의_A 비율이 정의됩니다.R을 속도비로 합니다.

(\displaystyle\frac_{A}}{\obega_{B}}=R.}

입력 기어_A G에 작용하는 입력 토크_A T는 기어 트레인에 의해 출력 기어_B G에 의해 가해지는 출력 토크_B T로 변환됩니다.기어가 견고하고 기어 톱니의 결합에 손실이 없다고 가정하면 가상 작업의 원리를 사용하여 기어 트레인의 정적 평형을 분석할 수 있습니다.

입력 기어의 각도 θ를 기어 트레인의 일반화 좌표라고 가정하면, 기어 트레인의 속도비 R은 입력 기어의 관점에서 출력 기어의 각 속도를 정의합니다. 즉,

\displaystyle \operate _{A}=\operate, \displaystyle \operate _{B}=\operate /R.}

적용된 토크를 사용한 가상 작업의 원리에 대한 위의 공식은 일반화 힘을 산출합니다.

{\displaystyle Q=T_{A}{\frac\offlac\offer_{A}{\partial\Omega_{B}}{\frac\frac\offer\Omega_{B}}}{\frac\flac\flac\offer_{B}}}{\flash\offer\ofa\ofa\offer\offer_{B}{\ofa}{\ofa\ofa\ofa\ofa_{\ofa\ofer\ofa_{B}{\ofa\

기어 트레인의 기계적 이점은 입력 토크_A T에 대한 출력 토크_B T의 비율이며 위의 방정식은 다음과 같습니다.

MA=syslogfrac {T_{B}}}{T_{A}}=R

따라서 기어 트레인의 속도비 또한 그 기계적 이점을 정의합니다.이는 입력 기어가 출력 기어보다 빠르게 회전할 경우 기어 트레인이 입력 토크를 증폭한다는 것을 나타냅니다.그리고 입력기어가 출력기어보다 느리게 회전하면 기어트레인이 입력토크를 감소시킨다.

강체에 대한 동적 평형

가해지는 힘에 대한 가상 작업의 원리를 강체의 개별 입자에 사용할 경우, 강체에 대한 원리를 일반화할 수 있다.평형 상태에 있는 강체가 가상 호환 변위를 받는 경우, 모든 외력의 총 가상 작용은 0이 되고, 반대로 강체에 작용하는 모든 외력의 총 가상 작용이 0이 되면 물체는 평형 상태에 있게 된다.

시스템이 정적 평형에 있지 않다면 달랑베르는 뉴턴 법칙의 가속도 항을 관성력으로 도입함으로써 이 접근방식이 동적 평형을 정의하기 위해 일반화된다는 것을 보여주었다.그 결과, 달랑베르의 가상 작업 원리는, 강체의 기계적 시스템을 위한 운동 방정식을 도출하는 데 사용됩니다.

표현에 적합한 변위는 입자가 접촉 상태로 유지되고 함께 변위하여 입자 간 작용/반응 힘에 의해 수행된 작업이 취소되는 것을 의미합니다.이 원칙의 다양한 형태는 요한 베르누이 (1667–1748)와 다니엘 베르누이 (1700–1782)에 의해 인정되었다.

일반화 관성력

기계 시스템을 n개의 강체로 구성하고_i, 각 물체에 가해지는 힘의 결과 F와_i T_i, i = 1, …, n으로 한다. 이러한 가해지는 힘은 물체가 연결되는 반력을 포함하지 않는다.마지막으로 각 강체에 대한_i 속도 V와 각속도 θ_i, i=1, …, n이 단일 일반화 좌표 q로 정의된다고 가정한다.이러한 강체 시스템은 어느 정도의 자유도를 가지고 있다고 한다.

결과력 F와 토크 T의 작용에 따라 움직이는 단일 강체를 생각해보자. 결과력에 대한 기준점과 토크가 물체의 질량의 중심이라고 가정하면, 일반화 관성력 Q*는 일반화 좌표 Q와 관련된다.부러움

({displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A})\cdot {f}}}}-([I_{R})]\alpha +\Omega \times [I_{R}\mega}}\cdot \frac\cdot {{v}}{{{{dot {q}}}}}}}}}}{{{{{{{\cdot}}}}}}}}}}}

이 관성력은 강체의 운동 에너지로부터 계산할 수 있다.

T=mathbf {1}{2}}M\mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {{R}}{\cdot [I_{R}}}{\boldsymbol {V}

공식을 사용하여

Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {q}}}-{\frac {\frac T}{\partial q}}\오른쪽).

m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체로 이루어진 시스템은 운동 에너지를 가진다.

T=\sum _{i=1}^{n}\leftfrac {1}{2}M\mathbf {V}_{i}\cdot \mathbf {V}_{i}+{1}{\boldsymbol {i}{i}{i}}{i}{\cd}{boldsymboldsy}{{{{{{{\}}

m의 일반화^[7] 관성력을 계산하는 데 사용할 수 있다.

{\displaystyle Q_{j}^*}=-\left({\frac {d}{dt}}){\frac {\partial {q}_{j}}}-{\frac {\frac {dots}}{{j}}}\right},\frac j=1,\ldots,m}.

달랑베르의 가상 작업 원리 형태

달랑베르의 가상작업 원리의 형태는 적용된 힘과 관성력의 합계의 가상작업이 시스템의 가상변위에 대해 0일 때 강체의 시스템은 동적 평형 상태에 있다고 말한다.따라서, m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체로 이루어진 시스템의 동적 평형은 다음을 요구한다.

\displaystyle \display W=(Q_{1}+Q_{1)}^{*}\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m)}^{*}\sysq_{m}=0,}

모든 가상 변위 µq에_j 대해.이 조건은 m개의 방정식을 생성한다.

Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots,m,

라고도 쓸 수 있다

{\displaystyle {frac {d} {\frac T} {\partial {q} _ {j}} - {\frac T} {\partial q_{j}} = Q_{j},\quad j=1,\ldots,m}.

그 결과 라그랑주 방정식 또는 일반 운동 방정식으로 알려진 강체 시스템의 역학을 정의하는 m개의 운동 방정식 세트가 만들어집니다.

만약 일반화 힘_j Q가 퍼텐셜 에너지 V(q_m, ...,q)로부터₁ 유도될 수 있다면, 이러한 운동 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다.

{\displaystyle {frac {d} {\frac T} {\partial {q} {\frac T} {\partial q_{j}} =-{\frac V} {\frac V} {\partial q_{j},\frac j1,ldots,m}.

이 경우, 라그랑지안, L=T-V를 도입하여 이러한 운동 방정식이

{frac {d} {\frac L} {\partial {q} _ {j}} - {\frac L} {\partial q_{j} = 0 \frac j= 1,\ldots, m.

이것들은 자유도가 m인 시스템에 대한 오일러-라그랑주 방정식 또는 두 번째 종류의 라그랑주 방정식으로 알려져 있습니다.

변형 가능한 신체에 대한 가상 작업 원리

이제 무한히 많은 미분 입방체로 구성된 변형 가능한 물체의 자유체 다이어그램을 생각해 보십시오.본문에 관련 없는 두 개의 상태를 정의합니다.

$상태$ : 외부 표면력 T, 차체력 f 및 내부응력 ${\$ 스타일 {\ $boldsymbol$ {\ $sigma }$ 이 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 평형상태임을 나타냅니다.
【{ $display$ style $}$ - state ${\boldsymbol {\epsilon }}$ 】 : 연속적인 $\mathbf {u} ^{*}$ ${\boldsymbol {\epsilon }}^{*}$ $\mathbf {u} ^{*}$ （ \ $display style$ \ $mathbf {$ u } $^$ { * } ） ${\boldsymbol {\epsilon }}$ $\mathbf {u} ^{*}$ 균주 $（$ \ $display$ style \ bold $symbol$ \ $epsilon$ } ${\boldsymbol {\epsilon }}^{*}$ ^{ * ${\boldsymbol {\epsilon }}^{*}$ } $。$

위 첨자 *는 두 상태가 관련이 없음을 강조합니다.상기의 조건을 제외하고, 어느 쪽의 스테이트가 실제인지 가상인지를 지정할 필요는 없습니다.

이제 국가 $(\$ $displaystyle\boldsymbol\sigma})$ 의 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 힘과 응력이 국가(\ $displaystyle\boldsymbol\epsilon})$ 의 ${\boldsymbol {\epsilon }}$ 변위와 변형을 겪는다고 상상해 보십시오.모든 큐브의 면에 작용하는 모든 힘에 의해 수행된 총 가상(상상) 작업을 두 가지 다른 방법으로 계산할 수 있습니다.

첫째, 개별 공통면에 작용하는 $(\$ 와 $F_{A}$ $F_{A}$ 힘에 의해 수행된 작업을 요약하면 다음과 같습니다(그림 c).재료는 양립 가능한 변위를 경험하기 때문에 이러한 작업은 취소되고 표면력 T(평형상 입방체 면에 가해지는 응력과 동일)에 의해 수행된 가상 작업만 남는다.
둘째, 그림(c)의 1차원 케이스와 같이 개별 큐브에 작용하는 $F_{A}$ A $(\$ $F_{B}$ B $(\$ 와 $F_{B}$ $F_{A}$ 응력 또는 힘에 의해 수행된 순 작업을 계산한다. $F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right}-F_{A}u^{*}\약 {\frac {\frac u^{\frac}\frac {\frac \fac u^{*}{\fac x}{\fac x}dV=\epsilon ^{*}\fV-u^{*}fDV$ 여기서 평형 관계 ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0$ + $=$ 0 {\ $displaystyle$ {\ $frac \display }{\frac$ x $}+f=0}$ 이 ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0$ 사용되고 2차 항이 무시되었습니다.

본체 전체에 걸쳐 통합하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }},dV}

– 체력에 의한 작업 f.

두 결과를 동일시하면 변형 가능한 신체에 대한 가상 작업의 원리로 이어집니다.

디스플레이 스타일외부 가상 작업의 합계}=\int _{V}{\boldsymbol {\symbol {\symbilon }}^{*T}{\boldsymbol\sigma}}dV}

(d)

여기서 외부 가상 작업의 총계는 T와 f에 의해 수행됩니다.따라서,

\displaystyle \int _{S}\mathbf {u}^{*T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u}^{*T}\mathbf {f}dV=\int _{V}{\boldsymbol {\symbilon }}^{*T}{\boldsymbol\sigma}}dV}

(e)

(d,e)의 오른쪽에 있는 것을 내부 가상 작업이라고 부릅니다.가상 작업의 원칙은 다음과 같습니다.외부 가상 작업은 평형된 힘과 응력이 무관하지만 일관된 변위 및 변형을 겪을 때 내부 가상 작업과 동일합니다.내부 가상 작업이 0인 특수한 경우로서 강체에 대한 가상 작업의 원리를 포함한다.

가상작업의 원리와 평형방정식의 동등성 증명

먼저 지정된 변형 과정을 거치는 차체의 표면 트랙션에 의해 수행된 총 작업을 살펴봅니다.

\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot \boldsymbol \mathbf {n} dS}

우측에 발산 정리를 적용하면 다음과 같이 산출됩니다.

\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u}\cdot \boldsymbol {u}\right)dV}

이제 파생하기 쉽도록 지시 표기로 전환합니다.

\displaystyle\begin{aligned}\int_{V}\nabla\cdot\left(\mathbf {u}\cdot\boldsymbol\sigma}}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\frac}{\frac x_{j}}\left(u_{i}\fright)dV\&=\int _{V}\left({\frac {\frac x_{j}}\frac {ij}+u_{i}}{\frac {\frac \frac \frac _ {ij}}{\frac x_{j}}}\right)dV\end {aligned}}

연산을 계속하기 위해 평형 방정식 ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ ∂ ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ j ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ + ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ i ${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0$ (\ $displaystyle$ \ $frac \ display$ style _ { $ij}$ { \ $displaystyle$ x $_$ { $j}$ + $f$ _ { i } $= 0$ )으로 대체한다.그리고나서

\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{j}})\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial x_{j}}}\frac {\partial x_{j}}\right}\sigmaV=\int _{V}\left({\frac {\frac u_{i}}{\frac x_{j}}\f_{i}\right)dV}

오른쪽 첫 번째 항은 다음과 같이 대칭 부분과 스큐 부분으로 분할해야 합니다.

\displaystyle \begin { aligned } \ int _ { V } \ left ( { \ frac \ partial u _ { i } } \ sigma _ { i } - u _ { i } f _ { i } \ right ) dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\frac\frac {\frac x_{j}}+{\frac {\frac x_{j}}}+\frac {\frac x_{i}}}+\frac \frac {\frac {\frac u_i} {\fright}V\\&=int _{V}\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left\frac {\frac u_{i}}-{\frac {\frac x_{j}}-{\frac x_{j}}-{\frac x_i}\fright}_{\fright}_i}_i}_pac {\fright}_i}V\\&=\int_{V}\left(\epsilon_{ij}\f_{i}\right)dV\\&=int_{V}\left({\boldsymbol\symbol\silon}}:\boldsymbol\symbol {u}-\mathbf {u}\cdot \mathbf {f}\right)dV\end {aligned}}

여기서

{\boldsymbol {\epsilon }}

(\

displaystyle

{\

boldsymbol

{\

silon }})

는

{\boldsymbol {\epsilon }}

지정된 변위 필드에 일치하는 변형률입니다.두 번째에서 마지막까지의 등식은 응력 행렬이 대칭이고 스큐 행렬과 대칭 행렬의 곱이 0이라는 사실에서 비롯됩니다.

재점검해 주세요.우리는 위의 도출을 통해 다음과 같은 것을 보여주었다.

\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}:{\boldsymbol {\cdot }dV-\int _{V}\mathbf {f} dV}

방정식의 오른쪽에 있는 두 번째 항을 왼쪽으로 이동합니다.

\displaystyle \int _{S} \mathbf {u} \mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV = \int _ {V} {\boldsymbol {\cdilon }:\boldsymbol {u} dV}

위의 방정식의 물리적 해석은 평형된 힘과 응력이 무관하지만 일관된 변위 및 변형을 겪을 때 외부 가상 작업은 내부 가상 작업과 동일하다는 것입니다.

실용적인 응용 프로그램의 경우:

실제 응력과 힘에 평형을 부여하기 위해 가상 작업 방정식에서 일관된 가상 변위 및 변형을 사용합니다.
일관된 변위 및 변형을 가하기 위해 가상 작업 방정식에서 평형화된 가상 응력과 힘을 사용합니다.

이러한 두 가지 일반적인 시나리오는 종종 언급되는 두 가지 변동 원칙을 야기한다.그들은 물질적 행동에 관계없이 유효하다.

가상 변위의 원리

목적에 따라 가상 업무 방정식을 전문화할 수도 있습니다.예를 들어, 지원 대상 물체의 변동 표기법에서 가상 변위의 원리를 도출하기 위해 다음을 지정한다.

실제 변위 및 변형의 변이로서 가상 변위 및 변형률( $예$ : \ $\delta \mathbf {u}$ \ $equiv$ $\$ $mathbf {u}$ $\delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}$ ^{*}) $\delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}$ \ $displaystyle \delta \bold sypolsymb$ 등 $)$
가상변위는 규정된 변위가 있는 표면 부분의 0이므로 반응에 의한 작업은 0이 된다.동작하는 $S_{t}$ $S_{t}$ t $\$ 에는 $S_{t}$ 외부 표면력만 남아 있습니다.

가상 작업 방정식은 가상 이동의 원리가 됩니다.

\displaystyle \int _{S_{t}\delta \mathbf {u}^{T}\delta \mathbf {u}^{T}\mathbf {f}dV=\int_{V}\delta {u}{delboldsymbolon}^{{v}}}}}}T}{\boldsymbol\sigma}}dV}

(f)

이 관계는 변형 가능한 물체의 미분 요소에 대해 작성된 평형 방정식 세트뿐만 아니라 표면의 $S_{t}$ S $S_{t}$ t ${\displaystyle S_{$ t $S_{t}$ }}의 응력 경계 조건과 동일합니다.반대로 ( $f$ )는 $S_{t}$ 의 미분평형식 및 응력경계조건에서 시작하여 (a $)$ 및 (b $S_{t}$ 와 같이 진행함으로써 (b)에 도달할 수 있다.

가상 변위는 연속적인 단일값 함수로 표현될 때 자동으로 호환되기 때문에 변형과 변위 간의 일관성 필요성만 언급하는 경우가 많다.가상 작업 원칙은 큰 실제 변위에 대해서도 유효하지만, Eq.(f)는 응력과 변형률의 보다 복잡한 측정을 사용하여 작성될 것이다.

가상 힘의 원리

여기에서는, 다음과 같이 지정합니다.

실제 힘과 응력의 변화로서의 가상 힘과 응력.
가상력은 지정된 힘을 가진 표면의 S $S_{t}$ {\ $displaystyle S_{t}$ $S_{t}$ 에 $S_{t}$ 0이므로 $S_{u}$ {\ $displaystyle S_{u}($ 변위가 규정된 부분)에 $S_{u}$ 표면(반작용)력만 작용한다.

가상 작업 방정식은 가상 힘의 원리가 됩니다.

\displaystyle \int _{S_{u}\mathbf {u}^{T}\delta \mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \mathbf {f} dV =\int _{V} {\boldsyol {u} {u}^{V} } } ^{{tilon} } } } } }

(g)

이 관계는 변형률 적합성 방정식 및 $S_{u}$ $S_{u}$ \ displaystyle $S_{u$ 의 변위 경계 조건과 동등하며, 상호보완 가상작업의 원리라는 다른 명칭이 있다.

대체 양식

가상력 원리의 전문화는 단위 더미력법으로서 구조계에서의 변위 계산에 매우 유용하다.달랑베르의 원리에 따르면 관성력을 추가 체력으로 포함하면 동적 시스템에 적용할 수 있는 가상 작업 방정식이 제공됩니다.보다 일반적인 원칙은 다음과 같이 도출할 수 있습니다.

모든 수량의 변형이 가능합니다.
라그랑주 승수를 사용하여 경계 조건을 부과하거나 두 상태에 지정된 조건을 완화한다.

이러한 내용은 일부 참고 자료에 설명되어 있습니다.

구조 역학의 많은 에너지 원리 중 가상 작업 원리는 구조 해석, 고체 역학 및 구조 역학의 유한 요소 방법에서 강력한 응용으로 이어지는 일반성으로 인해 특별한 위치를 차지할 가치가 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

가상 작업 원칙의 적용 예

참고 문헌

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