오일러 방정식(강체 동역학)

고전역학에서 오일러의 회전 방정식은 강체의 회전을 설명하는 벡터 준선형 1차 상미분 방정식으로, 축이 체에 고정된 각속도 ω을 가진 회전 기준틀을 사용합니다. 그들의 일반적인 벡터 형태는

\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}+{\boldsymbol {\omega}}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}\right)=\mathbf {M}.

여기서 M은 적용 토크이고 I는 관성 행렬입니다. 벡터 ${\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ ω ˙ {\ $displaystyle {\dot$ {\ $boldsymbol {\$ omega}}}는 각가속도입니다. 다시 말하지만, 모든 양은 회전하는 기준 프레임에 정의됩니다.

직교 관성 주축에서 방정식은

{\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}

여기서 M은 가해진 토크의 성분이고, I는 관성 모멘트이고, ω은 각속도의 성분입니다.

적용된 토크가 없는 경우 오일러 탑을 얻습니다. 토크가 중력에 의한 것일 때, 꼭대기의 운동이 적분 가능한 특별한 경우가 있습니다.

파생

관성 기준틀 ("in")에서 오일러의 제2법칙은 각운동량 L의 시간 도함수가 적용된 토크와 같다는 것을 말합니다.

{\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}

내부 힘이 중심 힘이 되는 점입자의 경우, 이는 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 유도될 수 있습니다. 강체의 경우 각운동량과 내가 주어진 관성_in 모멘트 사이의 관계를 다음과 같이 갖습니다.

\mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}} {\boldsymbol {\omega}

관성 프레임에서 미분 방정식은 일반 회전 강체의 운동을 해결하는 데 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 왜냐하면 운동 중에 I와 ω이 모두 변할 수 있기 때문입니다. 대신 관성 텐서의 모멘트가 일정한 회전체에 고정된 좌표 프레임으로 변경할 수 있습니다. 질량 중심에 있는 것과 같은 기준 프레임을 사용하면 프레임의 위치가 방정식에서 떨어집니다. 어떤 회전 기준 프레임에서도 방정식이 다음과 같이 되도록 시간 도함수를 대체해야 합니다.

\left ({\frac {d\mathbf {L}}{dt}}\right)_{\mathrm {rot}}+{\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {L} =\mathbf {M

따라서 교차 곱이 발생합니다. 회전하는 참조 프레임에서 시간 도함수를 참조하십시오. 관성 및 회전 프레임에서 토크의 벡터 $\mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,$ 은 = $\mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,$ ${\displaystyle$ $\mathbf$ {M} _{\text{in}} =\mathbf {Q} \mathbf {M}, 여기서 Q {\displaystyle \mathbf {Q}는 회전 텐서(회전 행렬이 아님), ${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}$ 의 벡터 u에 $대하여$ ˙ × u = Q ω Q - 1 u {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q}}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}에 의한 각속도 벡터와 관련된 직교 텐서. 이제 $\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$ = I $\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$ ω ${\$ displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}이(가) 대체되고 회전 프레임에서 시간 도함수를 취하면서 입자 위치와 관성 텐서가 시간에 의존하지 않는다는 것을 깨달았습니다. 이것은 그러한 틀에서 유효한 오일러 방정식의 일반적인 벡터 형태로 이어집니다.

\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}+{\boldsymbol {\omega}}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}\right)=\mathbf {M}.

방정식들은 또한 결과 토크에 대한 논의에서 뉴턴의 법칙으로부터 유도됩니다.

보다 일반적으로, 텐서 변환 규칙에 의해, 임의의 랭크-2 $\mathbf {T}$ T ${\$ $displaystyle$ $\mathbf {T}$ \ $mathbf$ ${T}$ $}$ 는 $\mathbf {u}$ 의 벡터 u ${\displaystyle \$ $mathbf$ {u}에 대하여, $\mathbf {\dot {T}}$ 의 벡터 u {\displaystyle $\mathbf$ $\mathbf {u}$ u $\mathbf {\dot {T}}$ }에 대하여 $\mathbf {T}$ , $\mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )$ 는 $\mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )$ ˙ u = ω $\mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )$ × (Tu) - T (ω × u ) {\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} = {\boldsymbol {\omega}}\times (\mathbf {T} \mathbf {u})-\mathbf {T} (\boldsymbol {\omega}\times \mathbf {u})}입니다. 이것은 ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$ ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$ d ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$ ( ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$ ω) ${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$ = M. ${\$ displaystyle {\frac {d}{dt}}\left $(\$ mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}\right) =\mathbf {M}을(를) 연결하여 오일러 방정식을 산출합니다.

주축형태

축이 관성 텐서의 주축과 정렬되도록 프레임을 선택할 때 구성 요소 행렬이 대각선이므로 계산이 더욱 간단해집니다. 관성 모멘트 기사에서 설명한 것처럼 각운동량 L은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}

또한 신체에 묶여 있지 않은 일부 프레임에서는 각운동량의 변화율에 대한 간단한 (대각 텐서) 방정식을 얻을 수 있습니다. 그러면 ω은 몸체의 회전 대신에 프레임 축의 회전에 대한 각속도여야 합니다. 그러나 선택한 축은 여전히 관성의 주축이어야 합니다. 오일러 회전 방정식의 결과 형태는 회전의 주요 축 중 일부를 자유롭게 선택할 수 있는 회전 대칭 객체에 유용합니다.

특수한 경우 솔루션

토크 프리 프레셔스

토크 프리 절차는 우측의 토크가 0인 상황에 대한 사소한 해결책입니다. 외부 기준 프레임에서 I가 일정하지 않을 때(즉, 본체가 움직이고 있고 관성 텐서가 일정하게 대각선이 아닐 때) L에 작용하는 도함수 연산자를 통해 I를 끌어낼 수 없습니다. 이 경우 I(t)와 ω(t)는 제품의 도함수가 여전히 0이 되도록 함께 변화합니다. 이 모션은 포인소의 구성으로 시각화할 수 있습니다.

일반화된 오일러 방정식

오일러 방정식은 임의의 단순한 리 대수로 일반화될 수 있습니다.^[1] The original Euler equations come from fixing the Lie algebra to be ${\mathfrak {so}}(3)$ , with generators ${t_{1},t_{2},t_{3}}$ satisfying the relation $[t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{k}$ . 그러면 ${\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}$ ω (t) = ${\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}$ ω a (t) t를 {\displaystyle {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}(t)}(여기서 t {\displaystyle t}는 시간 좌표입니다. 기저 $t_{a}$ 와 혼동하지 마십시오. ${\displaystyle t_{a$ 는 ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}(3)$ - 시간의 값 함수이며, $\mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})$ = $diag$ (I 1, I 2, I 3) {\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1}, I_{2}, I_{3}} (거짓 대수 기저와 관련하여), 그러면 (정렬되지 않은) 원래 오일러 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega}}, {\boldsymbol {\omega}}.

\mathbf {I}

독립적인

\mathbf {I}

방법으로

I {\displaystyle \

mathbf {I}

을(를

)

정의하려면

{\

의 불변 쌍선형 형식에 대해

{\mathfrak {g}}

리 대수 g {\

displaystyle {\

mathfrak

{g}}

의 자기 인접 맵이어야 합니다

{\mathfrak {g}}

이 표현은 단순 리 대수의 표준 분류에서 임의의 단순 리 대수로 쉽게 일반화됩니다.

이는 일반화된 오일러 방정식의 Lax 쌍 공식으로도 볼 수 있으며, 이는 통합 가능성을 시사합니다.

참고 항목

참고문헌

^ Hitchin, Nigel J.; Segal, Graeme B.; Ward, Richard S.; Segal, G. B.; Ward, R. S. (2011). Integrable systems: twistors, loop groups, and Riemann surfaces ; based on lectures given at a conference on integrable systems organized by N. M. J. Woodhouse and held at the Mathematical Institute, University of Oxford, in September 1997. Oxford: Clarendon Press. p. 65. ISBN 9780198504214.

C. A. Truedell, III (1991) 합리적 연속체 역학의 첫 번째 과정. 제1권: 일반개념, 제2판, 학술출판. ISBN 0-12-701300-8. 종파. I.8-10.
C. A. Truedell, III 및 R. A. 투핀 (1960) 고전장론, S. 플뤼게(Ed.) 물리학 백과사전. 제3권/1권: 고전역학과 장이론의 원리, 스프링어-베를라그. 166~168장, 196~197장, 294장.
Landau L.D.와 Lifshitz E.M. (1976) 역학, 3rd. Ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8(하드커버) 및 ISBN 0-08-029141-4(소프트커버).
Goldstein H. (1980) 고전역학, 2nd Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
사이먼 KR. (1971) 역학, 3차. Ed., 애디슨-웨슬리. ISBN 0-201-07392-7

[HSW-1] Hitchin, Nigel J.; Segal, Graeme B.; Ward, Richard S.; Segal, G. B.; Ward, R. S. (2011). Integrable systems: twistors, loop groups, and Riemann surfaces ; based on lectures given at a conference on integrable systems organized by N. M. J. Woodhouse and held at the Mathematical Institute, University of Oxford, in September 1997. Oxford: Clarendon Press. p. 65. ISBN 9780198504214.

[1]

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