Page semi-protected

아르키메데스의 원리

Archimedes' principle

아르키메데스의 원리(아르키메데스의 원리라고도 함)는 유체에 잠긴 몸에 작용하는 상승 부력이 변위하는 유체의 무게와 같다고 말합니다.[1] 아르키메데스의 원리는 유체역학의 기본적인 물리 법칙입니다. 그것은 시라큐스의 아르키메데스에 의해 만들어졌습니다.[2]

설명.

아르키메데스는 "부유체대하여"에서 다음과 같이 제안했습니다.

유체 또는 액체에 완전히 또는 부분적으로 잠기는 모든 물체는 물체에 의해 변위된 유체의 무게와 동일한 힘에 의해 부력됩니다.

아르키메데스의 원리는 유체에 부분적으로 또는 완전히 잠긴 부유 물체의 부력을 계산할 수 있게 해줍니다. 물체에 작용하는 아래쪽 힘은 단순히 물체의 무게입니다. 물체에 작용하는 위로의 힘, 즉 부력은 위의 아르키메데스의 원리에 의해 언급된 힘입니다. 따라서 물체에 작용하는 알짜힘은 부력의 크기와 무게의 차이입니다. 이 알짜 힘이 양이면 물체는 상승하고 음이면 물체는 가라앉으며, 0이면 물체는 중성으로 부력하며, 즉 상승하거나 가라앉지 않고 제자리를 유지합니다. 간단히 말해서, 아르키메데스의 원리는 신체가 부분적으로 또는 완전히 유체에 잠길 때, 신체의 일부에 의해 변위된 유체의 무게와 동일한 명백한 무게 감소를 경험한다는 것입니다.

공식

부유물의 무게 F와p 부력 Fab(본문의 F)의 크기는 같아야 합니다.

유체 속에 잠긴 정육면체의 위와 아래 면은 중력 방향과 직교한다고 가정합니다(입방체의 스트레치에 걸쳐 일정하다고 가정함). 유체는 각 면에 정상적인 힘을 발휘하지만, 위와 아래의 정상적인 힘만이 부력에 기여할 것입니다. 바닥면과 상부면의 압력차는 높이(잠수 깊이 차이)에 정비례합니다. 압력 차이와 면의 면적을 곱하면 정육면체에 알짜 힘(부력)이 주어지는데, 이 힘은 정육면체가 변위한 유체의 무게와 같습니다. 임의로 작은 큐보이드를 충분히 많이 합함으로써 이 추론은 불규칙한 모양으로 확장될 수 있으며, 따라서 물에 잠긴 몸체의 모양이 무엇이든 부력은 변위된 유체의 무게와 같습니다.

변위된 유체의 무게는 변위된 유체의 부피에 정비례합니다(주변 유체의 밀도가 균일한 경우). 유체에 작용하는 힘 때문에 물체의 무게가 감소하는데, 이를 업트러스트라고 합니다. 간단히 말하면, 물체에 대한 부력력(F)은 물체에 의해 변위된 유체의 무게 또는 유체의 밀도( ρ)에 물에 잠긴 부피(V)를 곱한 것과 중력(g)을 곱한 것과 같다는 원리입니다.

우리는 이 관계식을 다음 식으로 표현할 수 있습니다.

는 물에 잠긴 물체에 가해지는 부력, ρdisplaystyle \rho}는 밀도, V V}는 변위된 의 부피 g g}는 중력에 의한 가속도입니다. 따라서 같은 질량을 가진 완전히 물에 잠긴 물체 중 부피가 더 큰 물체는 부력이 더 큽니다.

바위에 중력이 작용하는 진공 상태에서 줄에 매달려 있을 때, 바위의 무게를 10뉴턴으로 측정한다고 가정해 보겠습니다. 바위가 물 속으로 내려올 때 무게 3뉴턴의 물을 교체한다고 가정해보세요. 그리고 매달린 끈에 작용하는 힘은 10뉴턴에서 3뉴턴의 부력을 뺀 3뉴턴(10 - 3 = 7뉴턴)이 됩니다. 부력은 해저로 완전히 가라앉은 물체의 겉보기 무게를 줄여줍니다. 일반적으로 물을 통해 물체를 들어 올리는 것이 물 밖으로 끌어내는 것보다 더 쉽습니다.

완전히 물에 잠긴 물체에 대해 아르키메데스의 원리는 다음과 같이 재구성될 수 있습니다.

그리고 나서 상호 부피에 의해 확장된 무게의 몫에 삽입됩니다.

아래의 공식을 산출합니다. 유체의 밀도에 상대적으로 침지된 물체의 밀도는 부피를 측정하지 않고도 쉽게 계산할 수 있습니다.

( 공식은 예를 들어 측광기의 측정 원리와 정수론적 계량을 설명하는 데 사용됩니다.)

예제: 나무를 물에 빠뜨리면 부력이 계속 떠있을 것입니다.

예제: 움직이는 차 안에 있는 헬륨 풍선. 속도를 높이거나 커브를 달릴 때는 공기가 차의 가속도와 반대 방향으로 움직입니다. 하지만 부력 때문에 풍선이 공중에 떠밀려 '비켜' 차의 가속도와 같은 방향으로 표류하게 됩니다.

물체를 액체에 담그면 액체가 위로 힘을 발휘하는데, 이 힘을 부력이라고 하는데, 이 힘은 변위된 액체의 무게에 비례합니다. 그러면 물체에 작용하는 총 힘은 물체의 무게('아래' 힘)와 변위된 액체의 무게('위' 힘)의 차이와 같습니다. 평형, 즉 중성 부력은 이 두 무게(따라서 힘)가 같을 때 달성됩니다.

힘과 평형

평형 상태에 있는 유체 내부의 압력을 계산하는 식은 다음과 같습니다.

여기서 f는 어떤 외부장이 유체에 작용하는 힘 밀도이고, σ은 코시 응력 텐서입니다. 이 경우 응력 텐서는 항등 텐서에 비례합니다.

여기 δ가 크로네커 삼각주입니다. 이를 사용하면 위의 방정식은 다음과 같습니다.

외력장이 보수적이라고 가정할 때, 그것은 일부 스칼라 값 함수의 음의 기울기로 기록될 수 있습니다.

그러면.

따라서 유체의 열린 표면의 모양은 적용된 외부 보존력 장의 등퍼텐셜 면과 같습니다. z축을 아래로 향하게 합니다. 이 경우 필드는 중력이므로 φ = - ρgz 여기서 g는 중력 가속도, ρ는 유체의 질량 밀도입니다. 표면의 압력을 0으로 취하면 z는 0이고 상수는 0이므로 유체 내부의 압력은 중력에 의해 결정됩니다.

따라서 압력은 액체 표면 아래 깊이에 따라 증가합니다. z는 액체 표면에서 액체로 들어가는 거리를 나타내기 때문입니다. 수직 깊이가 0이 아닌 물체는 위와 아래의 압력이 다르며 아래의 압력이 더 큽니다. 이러한 압력의 차이는 상승 부력을 유발합니다.

유체의 내부 압력을 알기 때문에 물체에 작용하는 부력을 쉽게 계산할 수 있게 되었습니다. 신체에 작용하는 힘은 유체와 접촉하는 신체 표면의 응력 텐서를 적분하여 계산할 수 있습니다.

표면적분가우스 정리의 도움으로 부피적분으로 변환될 수 있습니다.

여기서 V는 유체가 유체 밖에 있는 부분에 힘을 작용하지 않기 때문에 유체와 접촉하는 부피, 즉 물에 잠긴 부분의 부피를 측정한 것입니다.

부력의 크기는 다음과 같은 주장에서 좀 더 이해할 수 있을 것입니다. 액체로 둘러싸인 임의의 모양과 부피 V의 물체를 생각해 보세요. 액체 안에 있는 물체에 액체가 작용하는 힘은 물체의 부피와 같은 부피를 가진 액체의 무게와 같습니다. 이 힘은 중력의 반대 방향, 즉 크기로 작용합니다.

여기서 ρ는 유체의 밀도, V는 액체의 변위된 몸체의 부피, g는 해당 위치에서의 중력 가속도입니다.

이 부피의 액체가 정확히 같은 모양의 고체로 대체된다면 액체가 작용하는 힘은 위와 정확히 같아야 합니다. 즉, 물에 잠긴 물체에 대한 "부력"은 중력과 반대 방향으로 향하고 크기는 다음과 같습니다.

아르키메데스 원리가 적용될 수 있는 유체 정역학적 상황이 되려면 물체에 대한 알짜힘이 0이어야 하며, 따라서 부력과 물체의 무게의 합이 됩니다.

(무절제 및 무동력) 물체의 부력이 무게를 초과하면 상승하는 경향이 있습니다. 무게가 부력을 초과하는 물체는 가라앉는 경향이 있습니다. 가속 기간 동안 물에 잠긴 물체에 대한 상승력 계산은 아르키메데스 원리만으로는 수행할 수 없습니다. 부력을 포함하는 물체의 역학을 고려해야 합니다. 유체 바닥에 완전히 가라앉거나 표면으로 올라와 가라앉으면 아르키메데스 원리를 단독으로 적용할 수 있습니다. 부유 물체의 경우 물에 잠긴 부피만 물을 대체합니다. 가라앉은 물체의 경우, 전체 부피가 물을 이동시키고, 고체 바닥으로부터 추가적인 반응력이 있을 것입니다.

아르키메데스의 원리가 단독으로 사용되기 위해서는 문제의 물체가 평형 상태에 있어야 합니다(물체에 작용하는 힘의 합은 0이어야 합니다).

따라서

떠다니는 물체가 가라앉을 깊이와 그것이 변위할 유체의 부피는 지리적 위치에 관계없이 중력장과 무관함을 보여줍니다.

(참고: 문제의 유체해수경우 모든 위치에서 동일밀도(ρ)를 갖지 않습니다. 이러한 이유로 선박에 플림솔 선이 표시될 수 있습니다.)

단순히 부력과 중력 이외의 힘이 작용하는 경우일 수 있습니다. 물체가 구속되거나 물체가 고체 바닥으로 가라앉는 경우가 이에 해당합니다. 물에 뜨기 쉬운 물체는 완전히 물에 잠겨 있기 위해서 장력 구속력 T가 필요합니다. 가라앉는 경향이 있는 물체는 결국 고체 바닥에 의해 구속력 N이 작용하는 정상적인 힘을 갖게 될 것입니다. 구속력은 유체 내의 무게를 측정하는 스프링 스케일의 장력일 수 있으며, 겉보기 무게를 정의하는 방법입니다.

그렇지 않은 경우 물체가 떠 있을 경우 완전히 물에 잠긴 상태에서 물체를 구속하는 장력은 다음과 같습니다.

가라앉는 물체가 고체 바닥에 안착하면 다음과 같은 정상적인 힘을 경험합니다.

물체의 부력을 계산하는 또 다른 공식은 공기 중에서 특정 물체의 겉보기 무게(뉴턴에서 계산)와 물 속에서 해당 물체의 겉보기 무게(뉴턴에서 계산)를 구하는 것입니다. 이 특정 정보를 사용하여 공기 중에 물체에 작용하는 부력의 힘을 구하려면 다음 공식을 적용합니다.

부력 = 빈 공간에 있는 물체의 무게 - 유체에 잠긴 물체의 무게

최종 결과는 뉴턴으로 측정될 것입니다.

공기의 밀도는 대부분의 고체와 액체에 비해 매우 작습니다. 이러한 이유로 공기 중의 물체의 무게는 진공 중의 실제 무게와 거의 같습니다. 공기 중에서 측정하는 동안 대부분의 물체에 대해 공기의 부력은 보통 오차가 미미하기 때문에(일반적으로 풍선이나 가벼운 거품과 같은 매우 낮은 평균 밀도의 물체를 제외하고는 0.1% 미만) 무시됩니다.

단순화 모형

침지된 입방체에 대한 압력 분포
침지된 정육면체 위의 힘
임의의 부피를 정육면체 그룹으로 근사화

접촉 부위에 대한 압력의 통합에 대한 간단한 설명은 다음과 같습니다.

윗면이 수평인 유체에 잠긴 정육면체를 생각해 보세요.

면의 면적이 동일하고 깊이 분포가 동일하므로 압력 분포도 동일하며, 결과적으로 각 면의 표면의 평면에 수직으로 작용하는 정수압에서 발생하는 총 힘도 동일합니다.

서로 반대되는 두 쌍의 변이 존재하므로 결과 수평력은 직교 방향 모두에서 균형을 이루며, 결과적인 힘은 0입니다.

정육면체의 위 방향 힘은 바닥면의 압력을 면적에 걸쳐 적분한 것입니다. 표면이 일정한 깊이에 있기 때문에 압력이 일정합니다. 따라서 정육면체의 수평 바닥면의 면적에 대한 압력의 적분은 그 깊이의 정수압에 바닥면의 면적을 곱한 것입니다.

마찬가지로 정육면체의 아래쪽 힘은 정육면체의 면적에 대해 적분된 꼭대기 표면의 압력입니다. 표면이 일정한 깊이에 있기 때문에 압력이 일정합니다. 그러므로 정육면체의 수평한 윗면의 면적에 대한 압력의 적분은 그 깊이의 정수압에 윗면의 면적을 곱한 것입니다.

이것이 정육면체이기 때문에 위와 아래의 표면은 모양과 면적이 같고, 정육면체의 위와 아래의 압력 차이는 깊이 차이에 정비례하며, 결과적인 힘 차이는 정육면체가 없을 때 부피를 차지할 유체의 무게와 정확히 일치합니다.

즉, 정육면체의 위 방향 힘은 정육면체의 부피에 맞는 유체의 무게와 같으며, 외부 힘이 없을 때 정육면체의 아래 방향 힘은 무게입니다.

이 비유는 정육면체 크기의 변화에 유효합니다.

두 개의 정육면체가 서로 면이 맞닿아 있는 상태로 나란히 놓이면, 그 면이나 그 부분이 맞닿아 있는 면의 압력과 그에 따른 힘이 균형을 이루므로, 접촉면의 모양, 크기 및 압력 분포가 동일하므로 무시할 수 있습니다. 따라서 접촉하는 두 정육면체의 부력은 각 정육면체의 부력의 합입니다. 이 비유는 임의의 수의 정육면체로 확장될 수 있습니다.

어떤 형태의 물체라도 서로 접촉하는 정육면체의 무리로 근사할 수 있으며, 정육면체의 크기가 작아질수록 근사의 정밀도가 높아집니다. 무한히 작은 정육면체의 극한 경우는 정확한 등가성입니다.

각진 표면은 결과 힘을 직교 성분으로 분할하여 각각 동일한 방식으로 처리할 수 있으므로 비유를 무효화하지 않습니다.

정교화

아르키메데스의 원리는 신체에 작용하는 표면장력을 고려하지 않습니다.[4] 게다가 아르키메데스의 원리는 복잡한 유체에서 분해되는 것으로 밝혀졌습니다.[5]

아르키메데스의 원리 중 바닥(또는 측면)의 경우는 예외입니다. 이것은 물체의 한 측면이 물에 잠긴 용기의 바닥(또는 측면)에 닿아 있고 그 측면을 따라 액체가 스며들지 않을 때 발생합니다. 이 경우 알짜힘은 아르키메데스의 원리와 다른 것으로 밝혀졌는데, 그 이유는 그 쪽에 유체가 스며들지 않기 때문에 압력의 대칭성이 깨지기 때문입니다.[6]

부양원리

아르키메데스의 원리는 유체의 부력과 변위를 보여줍니다. 그러나 아르키메데스의 원리라는 개념은 왜 물체가 뜨는지를 고려할 때 적용될 수 있습니다. 아르키메데스의 '부유체에 관한 논문'의 명제 5는 다음과 같습니다.

떠다니는 물체는 자체 무게의 유체를 대체합니다.

즉, 액체 표면에 떠 있거나(보트와 같이) 유체에 잠기거나(물 의 잠수함이나 공기 중에서 방향을 바꿀 수 있는 것과 같이) 물에 떠 있는 물체의 경우, 변위된 액체의 무게는 물체의 무게와 같습니다. 따라서 물체에 작용하는 부력은 부유하는 특수한 경우에만 물체의 무게와 같게 됩니다. 1톤짜리 단단한 철 덩어리를 생각해 보세요. 철은 물의 8배 가까이 밀도가 높기 때문에 물에 잠기면 1/8톤의 물만 떠내려가기 때문에 물을 떠다니는 데 충분하지 않습니다. 동일한 철제 블록이 그릇 모양으로 만들어졌다고 가정해 보겠습니다. 무게는 여전히 1톤이지만 물에 넣으면 블록일 때보다 더 많은 양의 물을 이동시킵니다. 쇠그릇은 깊이 담길수록 물이 많이 빠지면서 그 위에 작용하는 부력이 커집니다. 부력이 1톤이 되면 더 이상 가라앉지 않습니다.

보트가 자신의 무게와 동일한 무게의 물을 이동시키면 떠납니다. 이것은 종종 "부동의 원리"라고 불립니다: 떠다니는 물체는 자신의 무게와 같은 유체의 무게를 대체합니다. 모든 선박, 잠수함 및 지휘관은 적어도 자체 중량과 동일한 유체 중량을 배출하도록 설계되어야 합니다. 만 톤급 선박의 선체는 만 톤의 물을 빼낼 수 있을 정도로 넓고, 길고, 깊어야만 하고, 가라앉는 것을 막을 수 있을 정도로 물 위에 선체가 남아 있어야 합니다. 그것은 파도와 싸우기 위해 여분의 선체가 필요하고, 그렇지 않으면 그것을 채우고, 그것의 질량을 증가시킴으로써 그것이 잠기게 합니다. 100톤 무게의 선박은 100톤의 공기를 배출해야 합니다. 공중에 떠 있는 선박도 마찬가지입니다. 변위가 많으면 상승하고 변위가 적으면 하강합니다. 장애물이 무게를 정확히 이동하면 일정한 고도에서 맴돌게 됩니다.

그것들은 관련되어 있지만, 부유의 원리와 물에 잠긴 물체가 자신의 부피와 같은 부피의 유체를 대체한다는 개념은 아르키메데스의 원리가 아닙니다. 아르키메데스의 원리는 위에서 언급한 바와 같이 부력과 유체의 무게를 동일시합니다.

아르키메데스의 원리와 관련하여 한[by whom?] 가지 혼란스러운 점은 변위된 부피의 의미입니다. 일반적인 시연에는 물체가 표면에 떠 있을 때 수위가 상승하는 것을 측정하여 변위된 물을 계산하는 것이 포함됩니다. 물에 잠긴 부력 물체에서는 수위 상승이 질량이 아닌 물체의 부피와 직접적인 관련이 있기 때문에(물체의 유효 밀도가 유체 밀도와 정확히 일치하는 경우는 제외) 이 측정 방법은 실패합니다.[8][9][10]

유레카

전하는 바에 따르면, 아르키메데스는 왕관이 불순한 금으로 만들어졌는지를 감지하는 방법을 깨달은 후 "유레카"라고 외쳤다고 합니다. 그는 널리 전해지는 이야기에서 아르키메데스의 원리를 사용하지 않고 오직 왕관의 부피를 측정하기 위해 변위된 물을 사용했지만, 그 원리를 사용하는 대안적인 접근법이 있습니다: 왕관과 순금을 공중에서 저울에 놓고 저울에 넣은 다음 물에 넣는 것입니다. 아르키메데스의 원리에 따르면 왕관의 밀도가 순금의 밀도와 다를 경우 물속에서 저울이 균형을 잃게 됩니다.[11][12]

참고문헌

  1. ^ a b "What is buoyant force?". Khan Academy.
  2. ^ Acott, Chris (1999). "The diving "Law-ers": A brief resume of their lives". South Pacific Underwater Medicine Society Journal. 29 (1). ISSN 0813-1988. OCLC 16986801. Archived from the original on 27 July 2011. Retrieved 13 June 2009.{{cite journal}}: CS1 maint: 잘못된 URL (링크)
  3. ^ "The buoyant force". bu.edu. Retrieved 3 September 2023.
  4. ^ "Floater clustering in a standing wave: Capillarity effects drive hydrophilic or hydrophobic particles to congregate at specific points on a wave" (PDF). 23 June 2005.
  5. ^ "아르키메데스의 원리가 갱신됩니다." R. Mark Wilson, Physics Today 65(9), 15(2012); doi:10.1063/PT.3.1701
  6. ^ Lima, F M S. (2012). "Using surface integrals for checking the Archimedes' law of buoyancy". European Journal of Physics. 33 (1): 101–113. arXiv:1110.5264. Bibcode:2012EJPh...33..101L. doi:10.1088/0143-0807/33/1/009. S2CID 54556860.
  7. ^ "The works of Archimedes". Cambridge, University Press. 1897. p. 257. Retrieved 11 March 2010. Any solid lighter than a fluid will, if placed in the fluid, be so far immersed that the weight of the solid will be equal to the weight of the fluid displaced.
  8. ^ Mohindroo, K. K. (1997). Basic Principles of Physics. Pitambar Publishing. pp. 76–77. ISBN 978-81-209-0199-5.
  9. ^ Redish, Edward F.; Vicentini, Matilde; fisica, Società italiana di (2004). Research on Physics Education. IOS Press. p. 358. ISBN 978-1-58603-425-2.
  10. ^ 개념 증명 carpeastra.co.uk
  11. ^ "The Golden Crown". physics.weber.edu.
  12. ^ "'Eureka!' – The Story of Archimedes and the Golden Crown". Long Long Time Ago. 16 May 2014. Archived from the original on 2 June 2019. Retrieved 30 May 2018.

외부 링크