잘 드러난 문제

수학 용어가 잘 표현된 문제는 20세기 프랑스 수학자 자크 하다마드가 내린 정의에서 비롯됐다. 그는 물리적 현상의 수학적 모델은 다음과 같은 특성을 가져야 한다고 믿었다.

1. 해결책이 존재한다.
2. 해답은 독특하다.
3. 해결책의 행동은 초기 조건에 따라 지속적으로 변화한다.

원형이 잘 드러난 문제의 예로는 라플레이스의 방정식에 대한 디리클레트 문제, 그리고 특정한 초기 조건을 가진 열 방정식이 있다. 이러한 문제들에 의해 모델링된 물리적 프로세스가 있다는 점에서 이러한 문제들은 '자연적인' 문제로 간주될 수 있다.

하다마드의 뜻에서 잘 지적되지 않는 문제를 '불협화음'이라고 부른다. 역문제는 흔히 삐뚤어지게 마련이다. 예를 들어, 최종 데이터에서 이전 온도 분포를 추론하는 역열 방정식은 솔루션이 최종 데이터의 변화에 매우 민감하다는 점에서 잘 표현되지 않는다.

연속체 모델은 종종 수치적 해결책을 얻기 위해 탈피해야 한다. 솔루션은 초기 조건에 대해 연속적일 수 있지만, 유한한 정밀도로 해결하거나 데이터에 오류가 있을 때 수치적 불안정성을 겪을 수 있다. 문제가 잘 드러나더라도 여전히 조건이 좋지 않을 수 있는데, 이는 초기 데이터에서 작은 오류가 발생하면 답변에 훨씬 큰 오류가 발생할 수 있다는 것을 의미한다. 비선형 복합 시스템(일명 혼돈 시스템)의 문제들은 불안정의 잘 알려진 예를 제공한다. 조건이 좋지 않은 문제는 큰 조건 번호로 표시된다.

만약 문제가 잘 해결된다면, 그것은 안정적인 알고리즘을 사용하는 컴퓨터에서 해결의 좋은 기회를 갖게 된다. 잘 뾰족하지 않으면 수학적 치료를 위해 재형성할 필요가 있다. 일반적으로 여기에는 솔루션의 부드러움과 같은 추가적인 가정이 포함된다. 이 과정은 정규화라고 알려져 있다. 티코노프 정규화는 선형적인 문제점의 정규화에 가장 많이 사용되는 것 중 하나이다.

에너지법

문제의 진위를 판단하는 방법은 에너지 방법이다. 이 방법은 주어진 문제에 대한 에너지 추정치를 도출하는 것에 기초한다.

예: 균일한 디리클레 경계 조건과 적절한 초기 데이터 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을(를) 가진 선형 부속 방정식을 고려하십시오$.$

${\displaystyle {\case}u_{t}+\cHB u_{x}=0,0(x,0)=f(x)=0,\u(0,t)=0,\u(1,t)=0,\\case{}}}}}$

그런 다음 이 문제에 대한 에너지 방법을 수행하면 방정식에 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$을 곱하고 지정된$$ 간격에 걸쳐 공간에 통합된다.

${\displaystyle \partial _{t}\int _{0}^{1}{\frac {u^{2}}{2}}dx=-\alpha \int _{0}^{1}uu_{x}dx\Rightarrow {\frac {1}{2}}\partial _{t}\ u\ _{2}^{2}=-\alpha {\frac {u^{2}}{2}}{\Big }_{0}^{1}=0}$

그러면 한 개는 시간 내에 통합되고 한 개는 에너지 추정치를 얻는다.

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle u}$(${\displaystyle }$u , t${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}f}$ 2${\displaystyle (}$ f (‖ ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$\ \$u(\cdot ,t)\ _{2}\leq \f(\cdot )\{2}}($p-norm)$$

이 에너지 추정치를 보면 문제가 잘 해결되었다고 결론을 내릴 수 있다.

참고 항목

• 총 흡수 분광학 – 기대-최대화 알고리즘을 통해 해결되는 실제 상황에서 역 문제 또는 잘못된 코 문제의 예

참조

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin. pp. 49–52.
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of ill-Posed Problems. New York: Winston. ISBN 0-470-99124-0.