원운동

Circular motion

물리학에서, 원형 운동은 둘레를 따라 물체를 움직이거나 원형 경로를 따라 회전하는 것이다.일정한 각도 회전 속도와 일정한 속도로 균일할 수도 있고 변화하는 회전 속도에 따라 균일하지 않을 수도 있습니다.3차원 물체의 고정 축을 중심으로 회전하는 것은 그 부분의 원형 운동을 수반한다.운동방정식은 물체의 질량중심의 움직임을 묘사한다.원형 운동에서는 물체와 표면의 고정점 사이의 거리가 동일하게 유지됩니다.

원형운동의 예로는 일정한 높이에서 지구를 도는 인공위성, 허브 주위를 도는 천장팬의 날개, 로프에 묶여 원을 그리며 회전하는 돌, 경주 트랙의 곡선을 도는 자동차, 균일한 자기장에 수직으로 움직이는 전자, 그리고 내 안에서 회전하는 기어가 있다.채널리즘

물체의 속도 벡터는 끊임없이 변화하기 때문에 움직이는 물체는 회전 중심 방향으로 구심력에 의해 가속된다.이 가속이 없다면, 그 물체는 뉴턴의 운동 법칙에 따라 직선으로 움직일 것이다.

균일한 원운동

그림 1: 속도 v 및 가속도 a는 각속도 θ에서 균일한 원형 운동으로 동작한다. 속도는 일정하지만 속도는 항상 궤도에 접한다. 가속도는 일정한 크기를 가지지만 항상 회전 중심을 가리킨다.
그림 2: 시간 t와 시간 t + dt에서의 속도 벡터는 왼쪽 궤도에서 오른쪽 꼬리가 일치하는 새로운 위치로 이동한다.속도는 v = r θ에서 크기가 고정되므로 속도 벡터는 각속도 θ에서 원형 경로도 스위프한다.dt 0일 때 가속도 벡터 a는 v에 수직이 되며, 이는 왼쪽 원에서 궤도의 중심을 가리킨다는 것을 의미한다.각도 δ dt는 두 속도 사이의 매우 작은 각도이며 dt 0으로 0이 되는 경향이 있다.
그림 3: (왼쪽) 원형 운동 중인 공 – 구심력이 더 이상 존재하지 않기 때문에 로프가 끊어지고 뉴턴의 관성 법칙에 따라 로프 절단 시 속도와 직선으로 계속됩니다.

물리학에서, 균일한 원형 운동은 일정한 속도원형 경로를 가로지르는 물체의 움직임을 묘사한다.본체는 원형 운동을 나타내기 때문에 회전축으로부터의 거리는 항상 일정하게 유지됩니다.물체의 속도는 일정하지만 속도는 일정하지 않다: 벡터량인 속도는 물체의 속도와 이동 방향에 따라 달라진다.이 변화 속도는 가속도의 존재를 나타냅니다. 이 구심 가속도는 일정한 크기이며 항상 회전 축을 향해 있습니다.이 가속도는 또한 크기가 일정하고 회전 축을 향해 있는 구심력에 의해 생성된다.

경로 반경에 비해 무시할 수 없을 정도로 작지 않은 강체고정 축을 중심으로 회전하는 경우, 물체의 각 입자는 동일한 각속도로 균일한 원운동을 나타내지만 축에 대한 위치에 따라 속도와 가속도가 변화한다.

수식

그림 1: 균일한 원형 운동을 위한 벡터 관계. 회전을 나타내는 벡터 θ는 궤도 평면에 대해 정규이다.

반지름 r의 원에서의 움직임의 경우 원둘레는 C = 2µr이다.1회전 주기가 T이면 각속도라고도 하는 각회전 속도 θ는 다음과 같다.

단위는 라디안/초입니다.

원을 이동하는 물체의 속도는 다음과 같습니다.

시간 t에 쓸려나간 각도 θ는 다음과 같습니다.

입자의 각가속도α다음과 같다.

균일한 원운동의 경우 α는 0이 됩니다.

방향 변경으로 인한 가속도는 다음과 같습니다.

구심력원심력은 가속도를 사용하여 확인할 수도 있습니다.

벡터 관계는 그림 1과 같다.회전축은 궤도 평면에 수직인 벡터 θ로 표시되며, 진폭 θ = / dt로 표시된다.의 방향은 오른쪽 규칙을 사용하여 선택됩니다.회전을 묘사하기 위한 이 규칙에서 속도는 벡터 크로스 곱에 의해 다음과 같이 주어진다.

마찬가지로, 가속도는 θ r(t) 모두에 수직인 벡터이며 궤도에 접선하고 등급 θ r이다.
이 값은 크기 θ v = θ2 r의 θ v(t) 모두에 수직이고 r(t)[1]와 정확히 반대 방향으로 향하는 벡터이다.

가장 간단한 경우 속도, 질량 및 반지름은 일정합니다.

반경 1m의 을 그리며 각 속도초당 1라디안인 1kg의 물체를 생각해보자.

극좌표에서

그림 4: 원형 궤도의 극좌표왼쪽은 단위 ^ R\{{\}}^{\ { 를 나타내는 단위 원입니다. displaystyle \ {\mathbf {u_{\ } \theta} {\displaystyle d\theta }

원운동 중 몸은 원점으로 삼은 궤도의 중심에서 일정한 거리 R로 극좌표계에서 묘사될 수 있는 곡선을 따라 움직이며, 기준 방향에서 각도 θ(t)로 방향을 잡는다.그림 4를 참조해 주세요.변위 r(\ 원점에서 입자 위치까지의 반경 벡터입니다.

^ R() { style \ 시간 t에서 반지름 벡터에 평행하고 원점에서 먼 곳을 가리키는 단위 벡터입니다.u 직교하는 단위 벡터를 도입하는 것이 편리합니다. ^ ^ ^하는 궤도를 따라 이동하는 방향을 가리킵니다.

속도는 변위의 시간 미분입니다.

원의 반지름이 일정하기 때문에 속도의 반지름 성분은 0입니다.단위 ^ R({ { \ } } } {}} if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if시간 dt에서는 R t입니다.\ 단위 원의 호를 나타냅니다.그림 4의 왼쪽에 있는 단위 원을 참조하십시오.이 때문에,

여기서 변경 방향은 ( t ) t )(또는 ^ ( ( t )\displaystyle { utheta }(_{ d t에 수직이어야 합니다. ) { _ { { {\ {{displaystyle displaystyle합니다.부호는 양의 값입니다. 왜냐하면 d implies의 증가는 객체를 의미하고^ ( 가) ^ ( ){{\}(t)의 으로 이동했기 때문입니다. 속도는 다음과 같습니다.

차체의 가속도는 방사형 및 접선형 구성 요소로 나눌 수도 있습니다.가속도는 속도의 시간 미분입니다.

The time derivative of is found the same way as for . Again, is a unit vector and its tip traces a unit circθ/2 + θ인 각도의 le.r ( t){ \ { } ( ) u u u u^( t) \ \ { } { \ ^^ ^ ^ ^ ^ 、 ^ ^ ^ {\은 다음과 같습니다.

서 음의 부호는 ^ ( ^ ^ ^ t ) ^^ ^ ( where where where where ^ ) ( t ) ( t )( t ) ( t ) ( t ) ) () ) ( ) { { {}} _ {) }는 d†의 증가에 따라 감소합니다.그림 4의 왼쪽에 있는 단위 원을 참조하십시오.그 결과 가속도는 다음과 같습니다.

구심 가속도는 방사상으로 안쪽으로 향하는 반경 성분입니다.

접선 성분이 속도의 크기를 변경하는 동안:

복소수 사용

원운동은 복소수를 사용하여 설명할 수 있다.x축을 실제 축으로 하고 으로 합니다차체 위치는 복잡한 "벡터"인z\z로 할 수 있습니다.

여기서 i는 가상의 단위이고, (t) \ )는 시간의 함수로서 복소수의 인수이다.

반지름은 일정하기 때문에:

여기서 점은 시간에 따른 차이를 나타냅니다.

이 표기법을 사용하면 속도는 다음과 같이 됩니다.

가속은 다음과 같습니다.

첫 번째 항은 이전 결과와 마찬가지로 변위 벡터와 반대 방향이고 두 번째 항은 이전 결과와 마찬가지로 변위 벡터에 수직입니다.

속도

그림 1은 궤도의 4개 지점에서 균일한 움직임을 위한 속도 및 가속도 벡터를 보여줍니다.속도 v는 원형 경로에 접하기 때문에 두 개의 속도가 같은 방향을 가리키지 않습니다.물체는 일정한 속도를 가지고 있지만, 그 방향은 항상 변화합니다.이 속도의 변화는 (속도와 같은) 크기가 일정하지만 방향도 항상 변화하는 가속도 a에 의해 발생합니다.가속점은 방사상으로 안쪽으로(구심적으로) 향하며 속도에 수직입니다.이 가속도를 구심 가속이라고 합니다.

반지름 r의 경로에서 각도 θ가 소거되었을 때 궤도 주변으로 이동한 거리는 s = 이다.따라서 궤도를 도는 속도는

여기서 각 회전속도는 θ이다.(재배열 시 θ = v/r)따라서 v는 상수이며 속도 벡터 v도 같은 각속도 θ에서 일정한 진폭 v로 회전한다.

상대론적 원운동

이 경우 3가속도 벡터는 3속도 벡터에 수직이다.

스칼라 불변량으로 표현되는 적절한 가속도의 제곱은 모든 기준 프레임에서 동일하다.
원형운동의 표현이 되고
또는 양의 제곱근을 취하여 3차 가속도를 사용하여 원형 운동에 대한 적절한 가속도에 도달합니다.

액셀러레이션

그림 2의 왼쪽 원은 인접한 두 시간에서의 속도 벡터를 보여주는 궤도이다.오른쪽에서, 이 두 가지 속도는 꼬리가 일치하도록 움직입니다.속도가 일정하기 때문에 오른쪽의 속도 벡터는 시간이 지날수록 원을 스위프합니다.sweep angle dθ = a dt의 경우, v의 변화는 v에 대한 직각 및 규모 v dθ의 벡터이며, 이는 가속도의 크기가 다음과 같이 주어진다는 것을 의미한다.

속도 반지름과 크기의 일부 값에 대한 구심 가속도
v
r
1 m/s
3.6 km/h
2.2mph
2 m/s
7.2 km/h
4.5mph
5 m/s
18 km/h
시속 11마일
10 m/s
36 km/h
22mph
20 m/s
72 km/h
시속 45마일로
50 m/s
180 km/h
110mph
100 m/s
360 km/h
220mph
느린 걸음 자전거. 시티카 곡예 비행
10cm
3.9 인치
실험실.
원심 분리기
10 m/s2
1.0 g
40 m/s2
4.1 g
250 m/s2
25g
1.0 km/s2
100g
4.0 km/s2
410 g
25 km/s2
2500g
100 km/s2
10000g
20cm
7.9 인치
5.0 m/s2
0.51g
20 m/s2
2.0 g
130 m/s2
13 g
500 m/s2
51 g
2.0 km/s2
200 g
13 km/s2
1300g
50 km/s2
5100g
50cm
1.6피트
2.0 m/s2
0.20 g
8.0 m/s2
0.82g
50 m/s2
5.1 g
200 m/s2
20 g
800 m/s2
82g
5.0 km/s2
510g
20 km/s2
2000 g
1미터
3.3피트
놀이터.
회전목마
1.0 m/s2
0.10g
4.0 m/s2
0.41g
25 m/s2
2.5g
100 m/s2
10 g
400 m/s2
41 g
2.5 km/s2
250 g
10 km/s2
1000 g
2미터
6.6 피트
500 mm/s2
0.051g
2.0 m/s2
0.20 g
13 m/s2
1.3 g
50 m/s2
5.1 g
200 m/s2
20 g
1.3 km/s2
130 g
5.0 km/s2
510g
5미터
16피트
200 mm/s2
0.020 g
800 mm/s2
0.082g
5.0 m/s2
0.51g
20 m/s2
2.0 g
80 m/s2
8.2g
500 m/s2
51 g
2.0 km/s2
200 g
10미터
33피트
롤러코스터
수직 루프
100 mm/s2
0.010 g
400 mm/s2
0.041g
2.5 m/s2
0.25g
10 m/s2
1.0 g
40 m/s2
4.1 g
250 m/s2
25g
1.0 km/s2
100g
20미터
66피트
50 mm/s2
0.0051 g
200 mm/s2
0.020 g
1.3 m/s2
0.13g
5.0 m/s2
0.51g
20 m/s2
2 g
130 m/s2
13 g
500 m/s2
51 g
50미터
160피트
20 mm/s2
0.0020 g
80 mm/s2
0.0082g
500 mm/s2
0.051g
2.0 m/s2
0.20 g
8.0 m/s2
0.82g
50 m/s2
5.1 g
200 m/s2
20 g
100미터
330피트
고속도로
온스크린
10 mm/s2
0.0010 g
40 mm/s2
0.0041 g
250 mm/s2
0.025 g
1.0 m/s2
0.10g
4.0 m/s2
0.41g
25 m/s2
2.5g
100 m/s2
10 g
200미터
660피트
5.0 mm/s2
0.00051g
20 mm/s2
0.0020 g
130 m/s2
0.013 g
500 mm/s2
0.051g
2.0 m/s2
0.20 g
13 m/s2
1.3 g
50 m/s2
5.1 g
500미터
1600 피트
2.0 mm/s2
0.00020 g
8.0 mm/s2
0.00082g
50 mm/s2
0.0051 g
200 mm/s2
0.020 g
800 mm/s2
0.082g
5.0 m/s2
0.51g
20 m/s2
2.0 g
1km
3300피트
고속
철도
1.0 mm/s2
0.00010 g
4.0 mm/s2
0.00041 g
25 mm/s2
0.0025 g
100 mm/s2
0.010 g
400 mm/s2
0.041g
2.5 m/s2
0.25g
10 m/s2
1.0 g

균일하지 않다

Nonuniform circular motion.svg

비균일한 원형 운동에서 물체는 다양한 속도로 원형 경로로 움직입니다.속도가 변화하고 있기 때문에 정상 가속 외에 접선 가속이 있습니다.

비균일한 원형 운동에서 순가속도 a는 원 안쪽을 향하지만 중심을 통과하지 않는 δv의 방향을 따른다(그림 참조).순가속도는 접선가속도와 구심가속 또는 방사가속이라고도 하는 일반가속도의 두 가지 요소로 분해될 수 있습니다.접선가속도와 달리 구심가속도는 균일하고 균일하지 않은 원형운동으로 존재한다.

Freebody circular.svg

균일하지 않은 원형 운동에서는 정상 힘이 항상 무게의 반대 방향을 가리키지는 않습니다.다음 예에서는 오브젝트가 직선 경로로 이동한 후 루프를 다시 직선 경로로 루프하는 방법을 보여 줍니다.

Freebody object.svg

이 다이어그램은 무게의 반대 방향이 아닌 다른 방향을 가리키는 정상적인 힘을 보여줍니다.법선력은 사실 반지름력과 접선력의 합입니다.중량력의 구성요소는 여기서 접선력에 책임이 있습니다(마찰력을 무시했습니다).방사력(구심력)은 앞서 설명한 속도 방향의 변화에 기인한다.

균일하지 않은 원형 운동에서는 정상적인 힘과 무게가 동일한 방향을 가리킬 수 있습니다.두 힘 모두 아래로 향할 수 있지만, 물체는 똑바로 아래로 떨어지지 않고 원형 경로로 유지됩니다.먼저 왜 정상적인 힘이 처음부터 아래로 향하는지 알아보자.첫 번째 그림에서 물체가 평면 안에 앉아 있는 사람이라고 가정하면 두 힘은 원의 꼭대기에 도달할 때만 아래쪽을 가리킵니다.그 이유는 수직력이 접선력과 구심력의 합이기 때문이다.접선력은 상단에서 0입니다(동작이 가해지는 힘의 방향에 수직인 경우 작업이 수행되지 않으므로).여기서 무게 힘은 원의 꼭대기에 있는 물체의 운동 방향에 수직이며 구심력은 아래를 가리키며, 따라서 정상적인 힘도 아래를 가리키게 됩니다.논리적인 관점에서 보면, 비행기를 타고 여행하는 사람은 원의 맨 위에 거꾸로 서게 될 것이다.그 순간, 그 사람의 의자가 실제로 그 사람을 누르고 있는 것이 정상적인 힘이다.

Normal and weight.svg

아래쪽으로만 힘을 가했을 때 물체가 떨어지지 않는 이유는 간단하다.물체가 던져진 후에도 무엇이 물체를 지탱하는지 생각해 보세요.일단 물체가 공중으로 던져지면, 그 물체에 작용하는 지구 중력의 하강력만이 존재한다.그것은 일단 물체가 공중에 던져지면 즉시 낙하한다는 것을 의미하지 않는다.그 물체가 공중에 뜨게 하는 것은 속도이다.뉴턴의 첫 번째 운동 법칙은 물체의 관성이 물체의 움직임을 유지하며, 공기 중의 물체는 속도를 가지고 있기 때문에 그 방향으로 계속 움직이는 경향이 있다고 말한다.

또한 회전체가 균질한 질량 분포를 가지지 않는 경우에는 원형 경로로 이동하는 물체에 대한 가변 각속도를 얻을 수 있다.불균일한 객체의 경우 다음과 [2]같이 문제에 접근해야 합니다.

적용들

비균일한 원형 운동을 다루는 응용 프로그램을 해결하려면 힘 분석이 필요합니다.균일한 원형 운동으로, 원을 따라 이동하는 물체에 작용하는 유일한 힘은 구심력이다.균일하지 않은 원형 운동에서는 접선 가속도가 0이 아니므로 물체에 작용하는 추가 힘이 있습니다.물체에 작용하는 추가적인 힘이 있지만, 물체에 작용하는 모든 힘의 합계는 구심력과 같아야 합니다.

반경 가속은 총 힘을 계산할 때 사용됩니다.접선 가속은 물체를 원형 경로에 유지하는 역할을 하지 않기 때문에 총 힘을 계산하는 데 사용되지 않습니다.물체가 원을 그리며 계속 움직이게 하는 유일한 가속도는 반경 가속도입니다.모든 힘의 합계는 구심력이므로 구심력을 자유체 다이어그램으로 끌어낼 필요가 없으며 일반적으로 권장되지 않는다.

net F {\ F_}}= 물체에 작용하는 모든 힘을 나열하는 자유체도를 그려 F {하게 설정할 수 있습니다.그 후 알 수 없는 것(질량, 속도, 곡률 반지름, 마찰계수, 법선력 등)을 해결할 수 있습니다.예를 들어, 반원 맨 위에 있는 물체를 나타내는 위의 은 F n + g \ } =으로 됩니다.

균일한 원운동에서 원경로상의 물체의 총가속도는 반경가속도와 같다.균일하지 않은 원형 운동에서 접선 가속도가 존재하기 때문에 더 이상 해당되지 않습니다.균일한 원형이 아닌 물체의 총 가속도를 찾으려면 접선 가속도와 반지름 가속도의 벡터 합을 구하십시오.

반지름 가속도는 여전히 v {\. 접선 가속도는 d t {{t}= frac 의 주어진 지점에서 속도의 파생물일 뿐입니다.별도의 방사 및 접선 가속도의 제곱근 합계는 원형 운동에만 정확합니다. 극좌표 , ) { (, \ )} { c ( ) ( d) \ a { c } \ } { } } 。\ {{해야 합니다 방사 가속은 r - r + 2 { } ={- {{\ {d}} {t}} {t} {t}} {t}} {t} {t} {t} {t} {t}} {t} {t} {t {t}}} {t

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Knudsen, Jens M.; Hjorth, Poul G. (2000). Elements of Newtonian mechanics: including nonlinear dynamics (3 ed.). Springer. p. 96. ISBN 3-540-67652-X.
  2. ^ Gomez, R W; Hernandez-Gomez, J J; Marquina, V (25 July 2012). "A jumping cylinder on an inclined plane". Eur. J. Phys. IOP. 33 (5): 1359–1365. arXiv:1204.0600. Bibcode:2012EJPh...33.1359G. doi:10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID 55442794. Retrieved 25 April 2016.

외부 링크