그룹액션

수학에서, 공간에 대한 군 작용(群動, )은 주어진 군을 공간의 변환들의 군으로 만드는 군 동형 사상입니다.마찬가지로, 수학적 구조에 대한 그룹 작용은 구조의 오토모피즘 그룹으로 그룹을 동형화하는 것입니다.그 그룹은 공간이나 구조물에 대해 행동한다고 합니다.그룹이 구조물에 대해 작업을 수행하는 경우 일반적으로 해당 구조물에서 구축된 개체에도 작업을 수행합니다.예를 들어, 유클리드 등방성의 그룹은 유클리드 공간과 그 안에 그려진 도형에 작용합니다.예를 들어, 모든 삼각형 집합에 적용됩니다.마찬가지로, 다면체의 대칭 그룹은 다면체의 꼭짓점, 모서리 및 면에 작용합니다.

벡터 공간에 대한 군 작용을 군의 표현이라고 합니다.유한 차원 벡터 공간의 경우, $필드$ K에 대한 $차원$ n의 가역 행렬의 그룹인 GL $(n,$ $K)$ 의 하위 그룹을 가진 많은 그룹을 식별할 수 있습니다.

대칭 $그룹 n$ S는 집합의 원소를 순열함으로써 n개의 원소를 $갖는$ 임의의 집합에 작용합니다.집합의 모든 순열의 그룹은 형식적으로 집합에 따라 다르지만, 그룹 작업의 개념을 사용하면 동일한 카디널리티를 가진 모든 집합의 순열을 연구하는 단일 그룹을 고려할 수 있습니다.

정의.

좌군작용

$만약$ G가 항등 $원소$ e를 갖는 군이고, $X$ 가 집합이라면, X에 $대한$ $G$ 의 (왼쪽) 군 $작용$ α는 함수입니다.

\alpha \colon G\times X\to X,

다음 두 ^[1]개의 공리를 만족합니다.

아이덴티티:	$\alpha (e,x)=x$
호환성:	$\alpha \left(g,\alpha \left(h,x\right))\right)=\alpha \left(gh,x\right)$

(α $(g,$ $x)$ 의 $경우$ , 고려되는 작용이 문맥상 명백할 때, $종종$ $gx$ 또는 $g$ ⋅ x로 단축됨):

아이덴티티:	$e\cdot x=x$
호환성:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

$모든$ $g$ 와 $g$ 와 x의 $모든$ x에 대하여.

$그룹$ G는 (왼쪽부터) X에 $작용$ 한다고 합니다.G의 $작용$ 과 함께 $집합$ X를 (왼쪽) G 집합이라고 합니다.

이 두 개의 공리로부터, $G$ 에서 임의의 $고정$ g에 대하여, x를 $g$ ⋅ $x$ 로 $매핑하는$ $X$ 에서 그 자신으로의 함수는 편향이며, 역방향 편향은 $g$ 에 대응하는 지도입니다.따라서, $X$ 에 대한 $G$ 의 군 작용을 $G$ 에서 ^[2] $자신$ 으로의 모든 사영의 $대칭군 Sym ($ X)으로의 군 동형으로 동등하게 정의할 수 있습니다.

오른쪽 그룹 작업

마찬가지로, X에 $대한$ G의 우군 작용은 함수입니다.

\alpha \colon X\times G\to X,

다음과 같은 유사한 ^[3]공리를 만족시키는.

아이덴티티:	$\alpha (x,e)=x$
호환성:	$\alpha \left(x,g\right),h\right)=\alpha \left(x,gh\right)$

(α $(x,$ $g)$ 의 경우, 고려되는 작용이 문맥상 명백할 때, $종종$ $xg$ $또는$ x ⋅g로 단축됨)

아이덴티티:	$x\cdote=x$
호환성:	$(x\cdot g)\cdot th=x\cdot (gh)$

$모든$ $g$ 와 $g$ 와 x의 $모든$ x에 대하여.

왼쪽과 오른쪽 동작의 차이는 $x$ 에 $gh$ 가 작용하는 순서입니다. 왼쪽 동작의 경우 h가 먼저 작용하고 $g$ 가 두 번째로 $작용$ 합니다.올바른 행동을 $위해서$ 는 g가 먼저 행동하고, $h$ 가 두 번째 행동입니다.공식 ( $gh)$ = $hg$ 때문에, 그룹의 역연산으로 구성함으로써 오른쪽 동작으로부터 왼쪽 동작을 구성할 수 있습니다.또한 그룹 $G$ 의 X에 대한 오른쪽 작용은 반대 $그룹 op$ G의 $X$ 에 대한 왼쪽 작용으로 간주될 수 있습니다.

따라서 그룹 작업의 일반적인 속성을 설정하려면 왼쪽 작업만 고려하면 됩니다.하지만 이것이 불가능한 경우가 있습니다.예를 들어, 그룹의 곱셈은 그룹 자체에 왼쪽 작용과 오른쪽 작용, 즉 왼쪽과 오른쪽에 각각 곱셈을 유도합니다.

작업의 주목할 만한 속성

G ${\displaystyle$ G $}$ 을 $G$ (를) $집합$ X ${\displaystyle$ X $X$ 에 대해 동작하는 그룹이라고 $G$ 합니다.모든 $x\in X$ ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x $\in$ X $}$ 에 대해 g ⋅ $g\cdot x=x$ = $g\cdot x=x$ ${\displaystyle$ g $\cdot$ x=x}이 $($ 가) $g=e_{G}$ = e G {\ $displaystyle$ g= $e_{G$ 을 의미하는 $g\cdot x=x$ 작업을 충실 또는 유효라고 합니다. 이와 동일하게 G{\ $displaystyle$ G $}$ 에서 작업에 대응하는 X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 사영 그룹으로의 형태는 주입적입니다.

일부 $x\in X$ ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x $\in$ X $}$ 에 대해 g ⋅ $g\cdot x=x$ = $g\cdot x=x$ ${\displaystyle$ g $\cdot$ x= $x}$ 라는 문이 이미 g = $g=e_{G}$ $g=e_{G}$ {\ $displaystyle$ g= $e_{G$ 을 암시하는 경우 이 동작을 free(또는 반규칙 또는 고정점 fixed-point free)라고 합니다. 즉, G ${\displaystyle$ G $}$ 의 비선택 요소는 X ${\displaystyle$ X $X$ 의 점을 고정하지 않습니다.이것은 충실함보다 훨씬 더 강한 속성입니다.

예를 들어, 왼쪽 곱셈에 의한 임의의 그룹 자체의 작용은 자유롭습니다.이 관측은 어떤 군이든 대칭군에 포함될 수 있다는 케일리의 정리를 의미합니다.유한 그룹은 자신의 카디널리티보다 훨씬 작은 크기의 집합에 대해 충실하게 행동할 수 있습니다(그러나 그러한 행동은 자유로울 수 없습니다).예를 들어, 아벨리안 2-그룹 $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ / 2 $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ ) $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ n {\ $displaystyle (\mathbb {Z}$ / $2\mathbb$ {Z $} )^{n$ }( $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ $2^{n}$ $2^{n}$ n $2^{n}$ {\ $displaystyle$ 2 $^{n$ 중)은 $2n$ 2 $2n$ {\ $displaystyle 2n$ 의 집합에 대해 제대로 작동합니다.예를 들어 순환 $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ Z / $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle {Z}$ / $2^{n}\mathbb$ {Z $}}$ 은 $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ (는) $2^{n}$ ${\$ 2 $^{n$ 보다 $2^{n}$ 크기의 집합에서 제대로 작동할 수 없습니다.

일반적으로 충실한 동작을 정의할 수 있는 가장 작은 집합은 동일한 크기의 그룹에 따라 크게 달라질 수 있습니다.예를 들어, 크기가 120인 세 그룹은 대칭 $S_{5}$ $S_{5}$ 5 $S_{5}$ {\ $displaystyle$ S_ ${5$ 정이십면체 $A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ A $A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ × $A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle A_{5}\$ times $\mathbb$ {Z} / $2\mathbb$ {Z $},$ $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ 그룹 $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {Z $}$ / $120\mathbb$ {Z $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ 입니다. 이 그룹들에 대해 충실한 동작을 정의할 수 있는 가장 작은 집합은 크기가 5입니다., 7, 16.

트랜지션

X{\ $displaystyle$ X $}$ 에서 G{\ $displaystyle$ G $}$ 의 작업은 G ⋅ $g\cdot x=y$ $x,y\in X$ = $g\cdot x=y$ ${\displaystyle$ x $,y\in$ X} 두 $x,y\in X$ 에 $g\in G$ g $g\in G$ ∈ $g\in G$ = y $g\cdot x=y$ {\ $displaystyle$ g $\$ $cdot$ x y $g\cdot x=y$ y $g\cdot x=y$ 이(가 $)$ 존재하면 transitive라고 합니다.

동작이 일시적이고 자유로운 경우에는 단순히 일시적(또는 급격하게 일시적 또는 규칙적)입니다.이것은 x $x,y\in X$ $x,y\in X$ ∈ $x,y\in X$ ${\displaystyle$ x $,y\in$ X $}$ 가 주어졌을 때 $transitivity의 정의$ 에서 {\displaystyle g $}$ $g$ 가 고유하다는 것을 의미합니다. $X$ {\ $displaystyle$ X $}$ 이 $X$ (가) $그룹$ G{\ $displaystyle$ G $}$ 에 $G$ 의해 단순 과도적으로 작용하면 G ${\displaystyle$ G $}$ 또는 $G$ $G$ ${\displaystyle$ G $}$ -torsor에 $G$ $대한$ 주동형 공간이라고 합니다.

$n\geq 1$ n $n\geq 1$ {\ $displaystyle$ n $\geq$ 1 $n\geq 1$ 의 경우,X {\ $displaystyle$ n $X$ } $개$ 이상의{\ $displaystyle$ n $}$ 개 요소가 있고, 임의의 $쌍$ 의 {\ $displaystyle$ n $}$ 개의 {\displaystyle n}개의 $n$ $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ x $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ ), $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ ( $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ ) $≥$ $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ n ${\displaystyle (x_{1},\ldots, x_{$ n}), $(y_{$ 1},\ldots $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}$ , y_ ${n}\in X^{n}$ 쌍으로 구분되는 항목이 있는 경우 $X$ 은 n{\ $displaystyle$ n $}$ -transient입니다 $n$ .( $x_{i}\not =x_{j}$ , $x_{i}\not =x_{j}$ ≠ $x_{i}\not =x_{j}$ j $x_{i}\not =x_{j}$ {\ $displaystyle x_{i}\not$ = $x_{j$ $y_{i}\not =y_{j}$ ≠ $i\not =j$ ${\$ $displaystyle$ $y_{i}\not$ = ${j$ $i\not =j$ 일 때, g ∈ $g\cdot x_{i}=y_{i}$ $g\in G$ {\ $displaystyle$ $i\not =j$ g $\in$ G $}$ 가 $g\cdot x_{i}=y_{i}$ 하므로, i = $i=1,\ldots ,n$ …, $i=1,\ldots ,n$ n {\ $displaystyle$ i $g\cdot x_{i}=y_{i}$ = $1,\ldots$ n}.즉, 반복되는 항목이 없는 튜플의 $X^{n}$ n $X^{n}$ {\ $displaystyle$ X $^{n$ $X^{n}$ 집합에 대한 작업은 경과적입니다.n = $n=2,3$ $n=2,3$ {\ $displaystyle$ n = $2,3}$ 의 경우, 이를 각각 3중 전이라고 합니다.2-transitive group(즉, 작용이 2-transitive인 유한 대칭 그룹의 부분군)과 일반적으로 다중 transitive group의 클래스는 유한 그룹 이론에서 잘 연구됩니다.

$X^{n}$ {\ $displaystyle$ X $^{n}$ 에서 $X^{n}$ 반복 항목이 없는 튜플에 대한 작업이 급격하게 과도적인 경우 작업은 $n$ 하게 ${\displaystyle$ n $}$ 입니다 $n$ .

예

X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 대칭 그룹의 작업은 경과적이며, $실제로$ n{\ $displaystyle$ n $}$ - X{\ $displaystyle$ X $X$ 의 카디널리티까지 $n$ {\ $displaystyle$ n}에 $n$ $n$ 대해 경과적입니다. $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 에 $X$ 카디널리티 $n$ , ${\displaystyle n,$ $}$ 교대 $n,$ 그룹의 작업은 ( $(n-2)$ $(n-2)$ $)$ {\ $displaystyle (n-1$ )} -transient이지만 $(n-2)$ $(n-1)$ ( $(n-1)$ $(n-1)$ $(n-1)$ {\ $displaystyle (n-1)}$ -transient입니다 $(n-1)$ $(n-2)$

영이 아닌 벡터의 $V\setminus \{0\}$ V ∖ { $V\setminus \{0\}$ $V\setminus \{0\}$ {\ $displaystyle$ V $\setminus \{0\}$ 에 대한 벡터 $V$ V{\ $displaystyle$ V $}$ 의 일반 선형 그룹의 동작은 경과적이지만 2개의 경과적이지 않습니다(v{\ $displaystyle$ v $}$ 의 차원이 2 이상인 경우 특수 선형 그룹의 동작과 유사함).유클리드 공간의 직교군의 작용은 0이 아닌 벡터에서는 전이적이지 않지만 단위 구에는 있습니다.

원시작용

X{\ $displaystyle$ X $}$ 에 $X$ 대한G {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 동작은 사소한 파티션(단일 조각의 파티션과 이중 파티션, 단일 조각의 파티션)을 제외한 G{\ $displaystyle$ X $}$ 의 $G$ 모든 요소에 의해 보존된 X{\ $displaystyle$ X}의 $X$ 파티션이 없는 경우 프리미티브라고 합니다.

위상속성

X ${\displaystyle$ X $}$ 이 $X$ (가) 위상 공간이고 G {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 동작이 동형 사상에 의한 것이라고 $X$ 합니다.

모든 $x\in X$ ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x $\in$ X $}$ 에 $U$ U ${\$ $displaystyle$ U $}$ 가 있으므로 g ⋅ $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ ≠ $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ ∅ U $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ ∩ {\ $displaystyle$ g\ $in$ G $}$ 가 {\ $displaystyle$ g $\cap$ U $\not$ =\ $emptyset$ 인 경우 작업이 진행되지 않습니다.

$x\in X$ 일반적으로, 점 $x\in X$ ∈ $x\in X$ X {\ $displaystyle x\in$ X $}$ 를 G {\ $displaystyle$ U $\nix}$ 인 열린 $U\ni x$ 집합 U ∋ $U\ni x$ ${\displaystyle$ U\nix}이(가) 존재하여 G ⋅ $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ ≠ $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ ∅ ${\displaystyle$ g $\in$ G} ∈ {\ $displaystyle$ g $\codot$ U $\cap$ U $\not$ =\ $emptyset$ $g\cdot U\cap U\not =\emptyset$ 인 경우 G ${\displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 에 대한 불연속점이라고 합니다.동작의 불연속 영역은 모든 불연속 지점의 집합입니다.이와 동일하게 $G$ ${\displaystyle$ G $}$ - 안정적 열린 $G$ 부분 집합 $\Omega \subset X$ X {\displaystyle $\Omega$ $\Omega$ \ $subset$ X}이므로 $\Omega \subset X$ $\Omega \subset X$ $\Omega$ {\ $displaystyle G$ $}$ 에서 $G$ G{\ $displaystyle$ G}의 $\Omega$ 동작이 ^[5]이동합니다.동적 맥락에서 이것은 떠돌이 집합이라고도 합니다.

모든 콤팩트한 $K\subset X$ 집합 $K\subset X$ ⊂ $K\subset X$ X {\ $displaystyle$ K\ $subset$ X}에 대해 $g\cdot K\cap K\not =\emptyset$ ⋅ $g\cdot K\cap K\not =\emptyset$ ≠ $g\cdot K\cap K\not =\emptyset$ K ∅ {\ $displaystyle g$ \ $in$ G $g\cdot K\cap K\not =\emptyset$ 가 유한하게 $g\in G$ 동작은 적절히 불연속적입니다. 이는 방황보다 엄격합니다. 예를 들어 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ 2 ∖ $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ { ( $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ ) $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ $}$ ${\displaystyle$ \ $mathbb {Z} }$ 에 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ Z ${\displaystyle$ \mathbb {Z} 동작은 $n$ $⋅$ ( $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ ) $=$ ( $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ x $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ - $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ n ) $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ ${\$ $displaystyle$ $n$ $\cdot (x,$ y) $=$ ( $2^{n}x, 2^{-n}y)}$ 이(가) 방황하고 자유롭지만 적절하게 불연속적이지 않습니다.

커버링 공간에서 국소적으로 단순하게 연결된 공간의 기본 그룹의 데크 변환에 의한 작용은 방황하고 자유롭습니다.이러한 동작은 다음 속성으로 특징지을 수 있습니다. $x\in X$ x ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x $\in$ X}에는 $g\in G\setminus \{e_{G}\}$ ∈ $g\in G\setminus \{e_{G}\}$ ∖ $g\in G\setminus \{e_{G}\}$ = ∅ {\ $displaystyle$ g\ $g\in G\setminus \{e_{G}\}$ $\cap$ U =\emptyset $}의 이웃$ U {\ $displaystyle$ g\ $in$ G $g\in G\setminus \{e_{G}\}$ ${\displaystyle$ g $\setin$ G} $\{e_{G$ 에 $g\cdot U\cap U=\emptyset$ 이웃 $U$ ${\$ $displaystyle$ U $}$ 가 있습니다. 이 속성을 가진 동작을 자유 불연속적이라고 부르기도 합니다.그리고 그 작용이 자유롭게 불연속적인 가장 큰 부분집합을 ^[8]자유정규집합이라고 합니다.

국소 콤팩트 $X$ X ${\displaystyle$ X $}$ 에 대한 $그룹$ G {\ $displaystyle$ G $}$ 의 작용을, 만약 X = $X=G\cdot A$ ⋅ $X=G\cdot A$ ⊂ A $X=G\cdot A$ = $G\cdot$ A $X=G\cdot A$ 와 같은 콤팩트 $A\subset X$ 집합 A ∖ $A\subset X$ {\ $displaystyle$ $A\subset X$ A\ $subset$ X $}$ 가 존재한다면, 코콤팩트라고 합니다. 적절히 불연속적인 작용의 경우, 코콤팩트함은 몫 $G\backslash X$ $G\backslash X$ x X ${\displaystyle$ G $\ba$ 의 콤팩트함과 같습니다. $ckslash$ X $G\backslash X$

위상그룹의 동작

이제 G ${\displaystyle$ G $}$ 가 $G$ 위상군이고 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 가 $X$ 동형 사상에 의해 작용하는 위상 공간이라고 $G$ 합니다. $G\times X\to X$ G $G\times X\to X$ X → $G\times X\to X$ ${\displaystyle$ G $\times$ X $\to$ X $}$ 이(가) 제품 토폴로지에 대해 연속이면 작업이 연속이라고 합니다.

( $x$ ) ↦ ( $x, g$ ⋅ $)$ {\ $displaystyle G$ $\times$ X $}$ 에 의해 $(g,x)\mapsto (x,g\cdot x)$ 정의된 $G\times X\to X\times X$ G × $G\times X\to X\times X$ → $G\times X\to X\times X$ {\ $displaystyle$ G\times X\ $to$ $(g,x)\mapsto (x,g\cdot x)$ X\ $times$ X}가 적합한 경우 작업이 적합하다고 합니다.이것은 주어진 콤팩트 $K,K'$ K $,$ $K^{'}$ ${\displaystyle$ K, $K'$ 가 $g\cdot K\cap K'\not =\emptyset$ g ∈ $g\in G$ {\ $displaystyle$ g $\in$ G $}$ $g\in G$ 이고, $g\cdot K\cap K'\not =\emptyset$ $g\cdot K\cap K'\not =\emptyset$ ∩ K $g\cdot K\cap K'\not =\emptyset$ ≠ K ∅ {\ $displaystyle g\codot$ K'\ $cap$ K'\not =\ $emptyset }$ 이 콤팩트하다는 것을 의미합니다.특히 G ${\displaystyle$ G $}$ 이 $G$ (가) 이산 군일 때 $적절한$ 불연속성에 해당합니다.

$e_{G}$ $x\in X$ {\ $displaystyle e_{G}$ 의 $U$ U{\ $displaystyle$ U $}$ 가 있으면 로컬에서 무료라고 합니다 $.$ 모든 x ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x $\in$ X $}$ 에 $g\in U\setminus \{e_{G}\}$ g ⋅ x {\ $displaystyle$ g $\in$ X} 및 g ∈ $g\in U\setminus \{e_{G}\}$ ∖ { ${G$ setinus \}에 $g\cdot x\not =x$ g $g\cdot x\not =x$ ≠ x {\ $displaystyle$ g $\not$ = $x$ $}$ 가 됩니다.

오비탈 $g\mapsto g\cdot x$ g ↦ $g\mapsto g\cdot x$ ⋅ x {\ $displaystyle$ g $\mapsto$ g $\cdot$ x}가 $x\in X$ x ∈ $x\in X$ ${\displaystyle$ x\ $in$ X $x\in X$ 에 대해 연속이면 동작은 강력하게 연속적이라고 합니다. 이름이 암시하는 것과 달리 이것은 동작의 연속성보다 약한 특성입니다.

G ${\displaystyle$ G $}$ 이(가) $그룹$ 이고 X {\ $displaystyle$ X $}$ 이(가) 미분 가능한 다양체인 경우, 맵 $g\mapsto g\cdot x$ ↦ $g\mapsto g\cdot x$ ⋅ $g\mapsto g\cdot x$ ${\displaystyle$ x $\$ $mapsto$ g $\cdot$ x}이(가) 매끄러운 점 $x\in X$ x ∈ X {\ $displaystyle$ x\ $in$ X $}$ 입니다.Lie 집단 행동, 즉 전체 공간에서 매끄러운 행동에 대한 잘 발달된 이론이 있습니다.

선형작용

g{\ $displaystyle$ g $}$ 이 $g$ (가) 공통 링 위의 모듈에서 선형 변환에 의해 동작하는 $경우$ 적절한 $g$ 이 아닌 g{\ $displaystyle$ g $}$ - 불변 $g$ 하위 모듈이 없으면 동작을 줄일 수 없다고 합니다.환원 불가능한 작용의 직접적인 합으로 분해되면 반단순하다고 합니다.

궤도 및 안정화 장치

$집합$ X{\ $displaystyle$ X $X$ 에 작용하는 $그룹$ G{\ $displaystyle$ G $}$ 을 $G$ (를) 생각해 보십시오.X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 의 궤도는 x{\ $displaystyle$ x $}$ 가 G ${\displaystyle$ G $G$ 의 요소로 $G$ 할 수 있는 $x$ {\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 집합입니다. x{\ $displaystyle$ x} 의 $x$ 는 $G\cdot x$ ⋅ x ${\displaystyle$ G $\cdot$ x $G\cdot x$ 로 $G\cdot x$ 됩니다.

G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}

그룹의 정의 속성은 G{\ $displaystyle$ G $}$ $G$ 하에서 X ${\displaystyle$ X $}$ 의 $x$ $X$ 궤도 집합이 X{\ $displaystyle$ X $X$ 의 파티션을 형성함을 보장합니다.G ${\displaystyle$ G $}$ 에 g ${\displaystyle$ g $}$ 이( $g\cdot x=y.$ ) 있고 $g\cdot x=y.$ 가 $g\cdot x=y.$ ⋅ $g\cdot x=y.$ = y인 경우에만 x $x\sim y$ ~ y {\ $displaystyle$ x\simy $}$ 라고 하여 연결된 동등성 관계를 정의합니다. ${\displaystyle$ g $\cdot$ x= $y.}$ $g\cdot x=y.$ 궤도는 이 관계 하에서 동등성 클래스입니다. 두 요소 $x$ {\ $displaystyle$ x $}$ 및 y ${\displaystyle$ y $}$ 는 궤도가 동일한 경우에만, 즉 $G\cdot x=G\cdot y.$ ≥ $G\cdot x=G\cdot y.$ $=$ $G\cdot x=G\cdot y.$ $G\cdot x=G\cdot y.$ 인 경우에만 $동등$ 합니다. {\ $displaystyle$ G\ $cdot$ $x$ = G\ $cdoty}$

그룹 작업은 궤도가 정확히 하나일 경우, 즉 X ${\displaystyle$ X $}$ 에 x{\ $displaystyle$ x $}$ 이( $G\cdot x=X.$ ) $x$ 하고 G ≥ x = $G\cdot x=X.$ 인 경우에만 일시적입니다 $.$ {\ $displaystyle$ G $\cdot x$ = X $.$ $}$ X ${\$ $displaystyle$ X $}$ 의 $x$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 에 대해 G $⋅$ $G\cdot x=X$ $=$ $G\cdot x=X$ {\ $displaystyle$ G $\cdot$ x $=$ $X$ }인 $G\cdot x=X$ 에만 해당됩니다(X {\ $displaystyle$ X $}$ 이( $X$ ).

G ${\displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 하에 있는X {\ $displaystyle$ X}의 모든 궤도의 집합을 $X/G$ X / $X/G$ {\ $displaystyle X/$ G}(또는 빈도수는 G ∖ $G\backslash X$ ${\displaystyle$ G $\backslash$ X})로 $G\backslash X$ 작용의 몫이라고 합니다.기하학적 상황에서는 궤도 공간이라고 할 수 있지만, 대수적 상황에서는 동전 변이의 공간이라고 할 수 있으며, $X^{G}$ ${\$ X_ ${G}$ 라고 $X^{G}$ 되는 불변량(고정된 점)과 대조적으로 $X_{G},$ XG $,$ {\ $displaystyle$ $X^{G}$ X_ ${$ G $X^{G}$ 로 $X_{G},$ $X_{G},$ 됩니다. : 동전 변이는 몫이고 불변량은 부분집합입니다.코인바이어트 용어와 표기법은 특히 그룹 코호몰로지 및 그룹 호몰로지에서 사용되며, 이들은 동일한 위첨자/서브스크립트 규칙을 사용합니다.

불변 부분집합

Y가 X의 부분 집합이면 $G\cdot Y$ ⋅ $G\cdot Y$ ${\displaystyle$ G $\cdot$ Y $}$ 는 집합 $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ { $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ ⋅ $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ : $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ ∈ G $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ ∈ $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ 를 나타냅니다. ${\displaystyle$ \{ $g\cdoty:g\in$ G ${\text{ and$ }} $y\in$ Y $\}$ $\{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.$ 부분 집합 Y는 G $G\cdot Y\subseteq Y$ $G\cdot Y=Y$ $=$ $G\cdot Y=Y$ ${\displaystyle$ G $\cdot$ Y = $Y$ } (G $G\cdot Y\subseteq Y$ $G\cdot Y\subseteq Y$ ⊆ $G\cdot Y\subseteq Y$ {\ $displaystyle$ G $\cdot$ Y $\subseteq$ Y $}$ 와 동치임)이면 G 아래에서 불변하다고 합니다.그 경우 G도 Y에 대한 동작을 Y로 제한하여 Y에 대해 동작합니다.부분 집합 Y는 모든 g G와 y의 ally에 대해 $g\cdot y=y$ ⋅ $g\cdot y=y$ = $g\cdot y=y$ ${\displaystyle$ g $\cdoty$ = $y}$ 아래에서 고정이라고 합니다.G 아래에서 고정된 모든 부분집합은 G 아래에서도 불변하지만, 반대로 변하지는 않습니다.

모든 궤도는 G가 전이적으로 작용하는 X의 불변 부분 집합입니다.반대로, X의 불변 부분 집합은 궤도의 결합입니다.모든 원소가 동등한 경우에만 X에 대한 G의 작용은 전이적이며, 이는 오직 하나의 궤도만이 존재한다는 것을 의미합니다.

모든 $g\in G.$ ∈ $g\in G.$ 에 대하여 g ⋅ $g\cdot x=x$ = $g\cdot x=x$ {\ $displaystyle$ g $\cdot$ x= $x}$ 가 $g\cdot x=x$ X의 G 불변 요소는 x ∈ $x\in X$ {\ $displaystyle$ g\ $in$ X $}$ 입니다 $.$ {\ $displaystyle$ g $\in$ $G$ $.}$ 이러한 모든 x의 집합을 $X^{G}$ G ${\displaystyle$ X $^{G}$ 라고 $X^{G}$ X의 G 불변이라고 합니다.X가 G-모듈일 때, X는^G X에 계수가 있는 G의 0번째 코호몰로지 그룹이고, 더 높은 코호몰로지 그룹은 G-불변 함수의 유도된 함수입니다.

고정점 및 스태빌라이저 부분군

g ⋅ $g\cdot x=x,$ = $g\cdot x=x,$ , $g\cdot x=x,$ {\ $displaystyle$ g $\cdot$ x = $x,}$ 인 X에서 g와 x를 주면 "x는 g의 고정된 점" 또는 "g는 x를 고정한다"고 합니다.X의 모든 x에 대하여, x에 대한 G의 안정화 부분군(등방성 그룹 또는 작은^[10] 그룹이라고도 함)은 x를 고정하는 G의 모든 원소의 집합입니다.

G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}

이것은 일반적으로 정규군은 아니지만 G의 부분군입니다.X에 대한 G의 작용은 모든 안정기가 사소한 경우에만 자유롭습니다.대칭군

G\to \operatorname {Sym} (X),

→

G\to \operatorname {Sym} (X),

⁡ (

G\to \operatorname {Sym} (X),

G\to \operatorname {Sym} (X),

{\

displaystyle

G

\to

\

operatorname {Sym}

(

X),}

인 동형 사상의 커널 N은 X의 모든 x에 대한 안정화자 G의 교집합에 의해 주어집니다.N이 사소하다면, 그 작용은 충실한(또는 효과적인) 것이라고 합니다.

x와 y를 X의 두 요소라고 하고, g{\ $displaystyle$ g $}$ 을 y = $y=g\cdot x.$ ⋅ $y=g\cdot x.$ 가 $y=g\cdot x.$ 그룹 요소라고 $g$ . ${\displaystyle$ y = $g\cdot$ x $.}$ $y=g\cdot x.$ 그러면 두 안정기 $G_{x}$ $G_{x}$ x ${\displaystyle$ G_ ${x},$ $G_{y}$ {\ $displaystyle$ G_ ${y}}$ 는 Gy $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ x $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ - 1 $.$ {\ $displaystyle G_$ {y $}$ = $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ $gG_$ ${x}g^{-$ 1}} 증명: $h\in G_{y}$ , $h\in G_{y}$ $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ ( $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ $⋅$ $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ ) = $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ ⋅ $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ . ${\displaystyle$ h $\$ $cdot (g\cdot$ x) = $g\cdot$ x $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ .} 양변에 $g^{-1}$ - 1 $g^{-1}$ {\ $displaystyle$ g $^{-1}$ 을 $g^{-1}$ 합니다.s의 결과 ( $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ g ) $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ ⋅ $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ = $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ ; $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ {\ $displaystyle \left(g^{-1}hg\right)\cdot$ x = $x;},$ 즉 $g^{-1}hg\in G_{x}.$ - $g^{-1}hg\in G_{x}.$ $g^{-1}hg\in G_{x}.$ g ∈ $g^{-1}hg\in G_{x}.$ . $g^{-1}hg\in G_{x}.$ {\ $displaystyle$ g $^{-1}hg\in$ G_ ${x}}$ 인 경우에도 마찬가지입니다. 반대 포함은 h ∈ $h\in G_{x}$ x $h\in G_{x}$ {\ $displaystyle$ h $\in$ G_ ${x}$ 를 취하고 x = $x=g^{-1}\cdot y.$ - $x=g^{-1}\cdot y.$ ⋅ $x=g^{-1}\cdot y.$ . $x=g^{-1}\cdot y.$ {\ $displaystyle$ x = $g^{-1}\cdot$ y}인 경우에도 마찬가지입니다 $.$

위는 동일한 궤도에 있는 원소들의 안정화제가 서로 결합되어 있다고 말합니다.따라서 각 궤도에 G의 부분군(즉, 부분군의 모든 부분군의 집합)의 공액 클래스를 연관시킬 수 있습니다.( $(H)$ ${\displaystyle(H)}$ 이 $(H)$ H의 컨쥬게이트 클래스를 나타내도록 합니다 $(H)$ 그러면 O의 일부/어떤 x의 $G_{x}$ $G_{x}$ x $G_{x}$ {\ $displaystyle$ G_ ${x}$ 가 $G_{x}$ ( $(H)$ {\ $displaystyle(H$ 에 $(H)$ 속한다면, O 궤도는 타입 $(H)$ {\ $displaystyle(H)}$ 을 $(H)$ 갖습니다. 최대 궤도 타입은 종종 주 궤도 타입이라고 불립니다.

궤도 안정화 정리와 번사이드의 보조정리

궤도와 안정기는 밀접한 관련이 있습니다.X에 있는 고정 x의 경우 $f:G\to X$ f $f:G\to X$ $f:G\to X$ → $f:G\to X$ {\ $displaystyle$ f $:$ $G\to$ X $}$ 는 g $↦$ g $⋅$ $g\mapsto g\cdot x.$ {\ $displaystyle$ g\ $mapsto$ g\ $cdot$ x $.}$ 정의에 따라 이 지도의 $f(G)$ f ( $f(G)$ {\ $displaystyle$ f $(G)}$ 는 $G\cdot x.$ G $⋅$ $G\cdot x.$ {\ $displaystyle$ G $\cdot$ x $.}$ $G\cdot x.$ 두 요소가 동일한 이미지를 갖는 조건은

f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\ing G_{x}

즉

,

g {\

displaystyle

g

}

및

h {\

displaystyle

h

}

이(가) 안정화

G_{x}.

Gx에 대해 동일한 코셋에 있는 경우에만

f(g)=f(h)

f (

f(g)=f(h)

)

f(g)=f(h)

=

f(g)=f(h)

h

)

{\

displaystyle

f(

g

=

f(

h)}입니다

.

{\

displaystyle G_{

x}}

G_{x}.

따라서 G·x의 임의의 영역에 걸쳐 f - 1

f^{-1}(\{y\})

{\

displaystyle

f

^{-1}(\{y\})}

off인

f^{-1}(\{y\})

f^{-1}(\{y\})

는 이러한 코셋에 포함되며, 이러한 모든 코셋도 파이버로 발생합니다.따라서 f는

gG_{x}\mapsto g\cdot x

부분군에 대한

G/G_{x}

G /

G/G_{x}

x

G/G_{x}

{\

displaystyle

G

/G_{x}

의 코셋과 G

gG_{x}\mapsto g\cdot x

⋅ g ↦

gG_{x}\mapsto g\cdot x

{\

displaystyle

G

\cdot

x}의

G\cdot x,

G ⋅ x

gG_{x}\mapsto g\cdot x

x x {\displaystyle

gG_{x}\map

을 g

\cdot

x

gG_{x}\mapsto g\cdot x

로

gG_{x}\mapsto g\cdot x

궤도 G x

G\cdot x,

x,

G\cdot x,

{\

displaystyle

G\cdot x

}

사이의 편향을 유도합니다.이 결과는 궤도 안정화 정리로 알려져 있습니다.

G가 유한하다면 궤도 안정화 정리는 라그랑주 정리와 함께 다음을 제공합니다.

G\cdot x = [G\,:\,G_{x}]= G / G_{x},

즉, 궤도의 길이 x배의 안정기의 차수는 군의 차수입니다.특히 그것은 궤도 길이가 그룹 순서의 분배임을 암시합니다.

예제: G를 k개의 원소를 갖는 집합 X에 작용하는 소수의 그룹이라고 가정합니다.각 궤도는 1개 또는 p개의 요소를 가지므로 길이 1의 최소

k{\bmod {p}}

k{\bmod {p}}

p

k{\bmod {p}}

{\

displaystyle

k

{\bmod {p}}

개의

k{\bmod {p}}

궤도가 G 불변 요소입니다.

이 결과는 변수를 계산하는 데 사용할 수 있기 때문에 특히 유용합니다(일반적으로 X가 유한한 상황에서도 사용할 수 있습니다).

예:우리는 궤도 안정화 정리를 사용하여 그래프의 자기 형태를 셀 수 있습니다.그림과 같은 입체 그래프를 고려하고, G가 자신의 오토모피즘 그룹을 나타내도록 합니다.그러면 G는 꼭짓점 {1, 2, ..., 8}의 집합에 작용하고, 이 작용은 정육면체의 중심을 중심으로 회전을 구성하는 것에서 알 수 있듯이 경과적입니다.따라서 궤도 안정화 정리에 의해

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

=

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

=

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

1

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.

{\

displaystyle

G =

G\cdot

1

G_{

1}

= 8

G_{1}.

이제 이 정리를

G_{1},

G

G_{1},

에 적용하면

G_{1},

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

1 = (

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

1

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

≥

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

(

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

1 )

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

를

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.

수 있습니다.

G_{1

= (

G_{1})\cdot

2 (

G_{1}_{2}.

} 1을 고정하는 G의 임의의 요소는 2, 4 또는 5 중 하나로 2를 보내야 합니다.예를 들어, 1과 7을 통한 대각선 축 주위의

2\pi /3

을 2

2\pi /3

π / 3

2\pi /3

{\

displaystyle

2

\pi /3}

순열하고 1과 7을 고정하는 것을 고려합니다.따라서

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.

(

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.

1

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.

⋅

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.

=

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.

{\

displaystyle \left (G_{1})\cdot

2

\right

=

3.}

이 정리를 세 번째 적용하면 (

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

1

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

= (

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

)

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

)

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

⋅

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

( (

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

1

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

)

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

)

|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.

{\

displaystyle \left(G_{1}\right)_{2}

= \

left(G_{1}\right)_{2}\cdot

3 \

left(G_{1}\right)_{3}.

1과 2를 수정하는 G의 모든 요소는 3을 3 또는 6으로 보내야 합니다.. 평면에서 1,2,7,8을 통해 정육면체를 반사시키는 것은 3부터 6까지 보내는 그런 자동 변형이므로

\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2

(

\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2

1 )

\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2

⋅

\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2

=

\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2

{\

displaystyle \left(\left(

G_

{

1}\right)_{2}\right)\cdot

3

\right

=

2

또한

\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}

(

\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}

1

\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}

)

\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}

3 {\

displaystyle

\left

(\

left(

G_{1}\right)_{2}\right)_{

3}이

\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}

가) 동일성 자동 변형으로만 구성됨을 알 수 있습니다.G 고정 1, 2, 3은 또한 1, 2, 3에 대한 인접성에 의해 결정되므로 다른 모든 정점을 고정해야 합니다.앞의 계산을 종합하면, 이제

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

=

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

⋅

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

⋅

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

⋅

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

=

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.

{\displaystyle

G =

8\cdot

3

\cdot

2

\cdot

1 =

48.

}

궤도 안정화 정리와 밀접하게 관련된 결과는 번사이드의 보조정리입니다.

X/G = {\frac {1}{G}}\sum _{g\in G} X^{g},

여기서^g X는 g로 고정된 점들의 집합입니다.이 결과는 G와 X가 유한할 때 주로 사용되며, 다음과 같이 해석할 수 있습니다. 궤도의 수는 그룹 요소당 고정된 평균 점의 수와 같습니다.

군 G를 고정하면 유한한 G 집합의 형식적 차이의 집합은 G의 번사이드 고리라고 불리는 고리를 형성하며, 여기서 덧셈은 분리 결합에 해당하고 곱셈은 데카르트 곱에 해당합니다.

예

임의의 집합 X에 대한 임의의 그룹 G의 사소한 작용은 G의 모든 g와 X의 모든 x에 대해 g⋅x = x로 정의됩니다. 즉, 모든 그룹 요소는 X에 대한 동일성 순열을 유도합니다.
모든 그룹 G에서 왼쪽 곱셈은 G에 대한 G의 작용입니다: G⋅x = Gx의 모든 g, G의 x에 대한 작용입니다.이 작용은 자유롭고 전이적이며(정규), 모든 군이 집합 G의 대칭군의 부분군과 동형이라는 케일리 정리의 빠른 증명의 기초를 형성합니다.
부분군이 H인 모든 그룹 G에서 왼쪽 곱셈은 G의 모든 g,a에 대한 부분군 G/H: g⋅aH = gaH의 집합에 대한 G의 작용입니다.특히 H가 G의 자명하지 않은 정규 부분군을 포함하는 경우 이는 G에서 차수 [G : H]의 순열 그룹의 부분군으로 동형을 유도합니다.
모든 그룹 G에서 컨쥬게이션(conjugation)은 G에 대한 G의 작용입니다: g⋅x = gxg.지수 표기법은 일반적으로 우작용 변형 x = gxg에 사용되며, (x) = x를 만족합니다.
하위 그룹 H를 갖는 모든 그룹 G에서, 컨쥬게이션(conjugation)은 H의 모든 G와 K 컨쥬게이트에 대한 H의 컨쥬게이트에 대한 G의 작용입니다: g⋅K = gKg.
집합 X에 대한 Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathbb {Z}}$ 의 $\mathbb {Z}$ 작용은 고유하게 결정되며, 1의 작용에 의해 주어진 X의 오토모피즘에 의해 결정됩니다.마찬가지로, X에 대한 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathbb {Z}$ / $2\mathbb {Z}}$ 의 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 작용은 X의 해의 데이터와 같습니다.
대칭군_n S와 그 부분군은 {1, …, n} 집합에 대하여 원소를 순열함으로써 작용합니다.
다면체의 대칭군은 해당 다면체의 꼭짓점 집합에 작용합니다.다면체의 면 집합이나 모서리 집합에도 적용됩니다.
기하학적 객체의 대칭 그룹은 해당 객체의 점 집합에 작용합니다.
벡터 공간(또는 그래프, 그룹, 링)의 오토모피즘 그룹은 벡터 공간(또는 그래프, 그룹, 링의 정점 집합)에 작용합니다.
일반 선형 그룹 GL(n, K) 및 그 하위 그룹, 특히 Lie 하위 그룹(특수 선형 그룹 SL(n, K), 직교 그룹 O(n, K), 특수 직교 그룹 SO(n, K) 및 심플렉틱 그룹 Sp(n, K))은 벡터 공간ⁿ K에 작용하는 Li 그룹입니다.그룹 작업은 그룹의 행렬과 K의 벡터를ⁿ 곱하여 제공됩니다.
일반 선형 그룹 GL(n, Z)은 자연 행렬 작용에 의해 Z에ⁿ 작용합니다.그 작용의 궤도는 Z에서 벡터의ⁿ 좌표의 최대 공약수에 의해 분류됩니다.
아핀 군은 아핀 공간의 점들에 대해 과도적으로 작용하고, 아핀 군의 부분군 V(즉,^[13] 벡터 공간)는 이 점들에 대해 과도적이고 자유로운(즉, 규칙적인) 작용을 갖습니다. 실제로 이것은 아핀 공간의 정의를 제공하는 데 사용될 수 있습니다.
투영 선형 그룹 PGL(n + 1, K) 및 그 부분군, 특히 Lie 부분군은 투영 공간ⁿ P(K)에 작용하는 Lie 부분군입니다.이것은 투영 공간에 대한 일반 선형 그룹의 작용의 몫입니다.특히 주목할 만한 것은 PGL(2, K)로, 사선의 대칭은 급격하게 3-transitive이며 교차 비율을 보존합니다. 뫼비우스 그룹 PGL(2, C)은 특히 관심이 있습니다.
평면의 등각은 벽지 패턴과 같은 2D 이미지와 패턴 세트에 작용합니다.이미지 또는 패턴에 의해 의미되는 것을 지정함으로써 정의를 보다 정확하게 만들 수 있습니다. 예를 들어, 색상 집합의 값으로 위치 함수를 지정할 수 있습니다.아이소메트리는 사실 아핀 그룹(작용)^{[dubious – discuss]}의 한 예입니다.
그룹 G에 의해 작용하는 집합은 객체가 G 집합이고 형태론이 G 집합 동형론인 G 집합의 범주로 구성됩니다. 함수 f : X → Y는 G의 모든 g에 대해 g⋅(f(x)) = f(g⋅x)가 되도록 합니다.
필드 확장 L/K의 갈루아 그룹은 L 필드에 작용하지만 하위 필드 K의 요소에는 사소한 작용만 합니다.Gal(L/K)의 하위 그룹은 K를 포함하는 L의 하위 필드, 즉 L과 K 사이의 중간 필드 확장에 해당합니다.
실수 (R, +)의 가군은 고전 역학에서 "잘 행동하는" 계의 위상 공간에 시간 번역에 의해 작용합니다: 만약 t가 R에 있고 x가 위상 공간에 있다면, x는 계의 상태를 설명합니다.t + x는 t가 양수이면 t초 후, t가 음수이면 -t초 전의 시스템 상태로 정의됩니다.
실수 (R, +)의 덧셈 그룹은 (t⋅f)(x)가 f(x + t), f(x) + t, f(x) e, f(x + t) e, 또는 f(xe) + t와 동일하지만 f(xe + t)는 아닙니다.
X에 대한 G의 군 작용이 주어지면, X의 모든 부분 집합 U와 모든 G에 대해 g∈U = {g⋅u : u ⋅ U}를 설정함으로써 X의 거듭제곱 집합에 대한 G의 유도 작용을 정의할 수 있습니다.예를 들어, 24 집합에 대한 큰 마티외 그룹의 작용을 연구하고 유한 기하학의 특정 모델에서 대칭을 연구할 때 유용합니다.
노름 1(versers)을 갖는 4차수는 곱셈군으로서 R에 작용합니다: 임의의 4차수 이온 z = cos α/2 + vs sin α/2에 대하여, 매핑 f(x) = zxz는 단위 벡터 v에 의해 주어진 축에 대한 각도 α를 통해 반시계 방향으로 회전합니다; z는 동일한 회전입니다; 4차수 및 공간 회전을 참조하십시오.쿼터니언 1과 마찬가지로 쿼터니언 -1은 모든 점을 원래 위치에 남겨두기 때문에 이것은 충실한 동작이 아닙니다.
좌 G $X,Y$ X $,$ $Y$ ${\displaystyle$ X $,Y$ 가 주어졌을 때, 원소가 G등가 $\alpha :X\times G\to Y$ α : $\alpha :X\times G\to Y$ × $\alpha :X\times G\to Y$ → $\alpha :X\times G\to Y$ {\ $displaystyle \alpha : X\times$ G $\to$ Y $\alpha :X\times G\to Y$ 인 좌 G $Y^{X}$ $Y^{X}$ X $Y^{X}$ {\ $displaystyle$ Y $^{X},$ g ⋅ $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ = $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ ∘ ( $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ × $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ - $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ ) $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ {\ $displaystyle$ g $\cdot \alpha$ =\ $alpha \circ (id_{X}\times$ -g $)}$ (여기서 $-g$ {\ $displaystyle -g$ 는 오른쪽 곱셈을 g{\ $displaystyle$ g $}$ 로 $g$ .)이 G 집합은 고정점이 등변 맵 $X\to Y$ → $X\to Y$ ${\displaystyle$ X $\to$ Y $X\to Y$ 에 해당하는 속성을 가지며, 일반적으로 G 집합 범주의 지수 객체입니다.

그룹 작업 및 그룹오이드

그룹 액션의 개념은 그룹 액션과 연관된 액션 $G'=G\ltimes X$ G = $G'=G\ltimes X$ ⋉ $G'=G\ltimes X$ ${\displaystyle$ G'= $G\ltimes$ X $}$ 에 의해 인코딩될 수 있습니다.작용의 안정화는 군체의 꼭짓점 그룹이고 작용의 궤도는 그 구성 요소입니다.

G 집합 간의 형태론과 동형

X와 Y가 두 개의 G 집합일 경우, X에서 Y까지의 형태론은 함수 f : X → 모든 G와 X의 모든 x에 대해 f(g⋅x) = g⋅f(x)가 되도록 합니다.G 집합의 형태론은 등변 지도 또는 G-맵이라고도 합니다.

두 형태론의 구성은 다시 형태론입니다.형태론 f가 비사적이면, 그 역 또한 형태론입니다.이 경우 f를 동형이라 하고, 두 G 집합 X와 Y를 동형이라 합니다. 모든 실제적인 목적에서 동형 G 집합은 구별할 수 없습니다.

몇 가지 예시적인 동형 사상:

모든 정규 G 작용은 왼쪽 곱셈에 의해 주어진 G에 대한 G 작용과 동형입니다.
모든 자유 G 작용은 G × S와 동형이며, 여기서 S는 일부 집합이고 G는 첫 번째 좌표에서 왼쪽 곱셈에 의해 G × S에 작용합니다.(S는 궤도 X/G의 집합으로 할 수 있습니다.)
모든 추이적 G 작용은 G의 일부 부분군 H의 왼쪽 여집합들의 집합에서 G만큼 왼쪽 곱셈과 동형입니다. (H는 원래 G 집합의 임의의 원소의 안정화 군이 될 수 있습니다.)

이 형태론의 개념으로, 모든 G 집합의 집합은 범주를 형성합니다. 이 범주는 그로텐디크 토포스(사실 고전적 금속 논리를 가정하면 이 토포스는 부울(Boolean)이 될 것입니다.

변형 및 일반화

우리는 위와 같은 두 개의 공리를 사용하여 집합에서 모노이드의 작용도 고려할 수 있습니다.그러나 이것은 객관적 지도와 동등성 관계를 정의하지 않습니다.세미그룹 액션 참조.

집합에 대한 작용 대신 임의의 범주의 객체 X에서 그룹과 모노이드의 작용을 정의할 수 있습니다. 어떤 범주의 객체 X에서 시작하여 X의 작용을 모노이드 동형으로 정의합니다.만약 X가 기본 집합을 가지고 있다면, 위에 언급된 모든 정의와 사실은 이월될 수 있습니다.예를 들어, 벡터 공간의 범주를 취하면 이러한 방식으로 그룹 표현을 얻을 수 있습니다.

우리는 그룹 G를 모든 형태가 가역적인 단일 객체를 가진 카테고리로 볼 수 있습니다.그러면 (왼쪽) 그룹 작용은 G에서 집합 범주로의 (공변) 함수이고, 그룹 표현은 G에서 벡터 공간 범주로의 함수입니다.그런 다음 G 집합 간의 형태주의는 그룹 작용 함수 간의 자연스러운 변환입니다.비유적으로, 가군체의 작용은 가군체에서 집합의 범주 또는 다른 범주로의 함수입니다.

위상 공간에 대한 위상군의 연속적인 작용 외에도 매끄러운 다양체에 대한 리 군의 매끄러운 작용, 대수적 다양체에 대한 대수적 군의 규칙적인 작용, 그리고 스킴에 대한 군 체계의 작용을 종종 고려합니다.이 모든 것은 각 범주의 개체에 작용하는 그룹 개체의 예입니다.

갤러리

완전한 팔면체 그룹의 작용 하에 있는 기본적인 구면 삼각형(빨간색으로 표시된)의 궤도.
완전한 정이면체 그룹의 작용 하에 있는 기본적인 구면 삼각형(빨간색으로 표시된)의 궤도.

참고 항목

메모들

인용문

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참고문헌

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외부 링크

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[1] Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. p. 144.

[2] 예를 들어, 이 작업은 다음과 같이 수행됩니다.

[3] "Definition:Right Group Action Axioms". Proof Wiki. Retrieved 19 December 2021.

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[Procesi-10] Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations. Springer Science & Business Media. p. 5. ISBN 9780387289298. Retrieved 23 February 2017.

[11] M. 아르틴, 대수학, 명제 6.4 179쪽

[12] Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. p. 145.

[13] Reid, Miles (2005). Geometry and topology. Cambridge, UK New York: Cambridge University Press. p. 170. ISBN 9780521613255.

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