방향(벡터 공간)

왼손 방향은 왼손, 오른손 방향은 오른손 방향이다.

실제 벡터 공간의 방향 또는 단순히 벡터 공간의 방향은 순서가 정해진 베이스가 "긍정적으로" 지향적이고 "부정적으로" 지향적인 임의의 선택이다. 3차원 유클리드 공간에서는 일반적으로 오른손잡이 베이스가 포지티브로 선언되지만, 부정적인 방향도 배정될 수 있기 때문에 선택은 자의적이다. 방향이 선택된 벡터 공간을 방향 벡터 공간이라고 하는데, 방향성이 선택되지 않은 공간을 비방향 벡터 공간이라고 한다.

수학에서 방향성은 2차원에서 사이클이 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 돌 때, 그리고 그림이 왼손 또는 오른손일 때 3차원으로 말할 수 있는 보다 넓은 개념이다. 실수에 대한 선형대수학에서 방향의 개념은 임의의 유한차원에서 타당하며, 단순한 변위를 이용하여 반사하는 것을 불가능하게 만드는 일종의 비대칭이다. 따라서 3차원에서는 변위만을 가하여 사람의 왼손을 형상의 오른손으로 만드는 것은 불가능하지만, 거울에 형상을 비춘다면 가능한 일이다. 그 결과 3차원 유클리드 공간에서는 가능한 두 가지 기본 방향을 오른손과 왼손(또는 오른손-치랄과 왼쪽-치랄)이라고 부른다.

정의

V는 유한차원 실제 벡터 공간이 되고 b와₁ b는₂ V의 순서가 정해진 두 개의 베이스가 되게 한다. b를₁ b로₂ 가져가는 독특한 선형변환 A : V → V가 존재하는 것은 선형대수의 표준결과다. 베이스 b와₁ b는₂ A가 양의 결정요인을 갖는 경우 방향이 같거나(또는 일관되게 지향되어야 함), 그렇지 않은 경우 반대 방향을 갖는다고 한다. 동일한 방향을 갖는 속성은 V에 대해 순서가 지정된 모든 베이스 집합에 동등성 관계를 정의한다. V가 0이 아닌 경우, 이 관계에 의해 결정되는 등가 등급은 정확히 두 개 있다. V에 대한 방향은 1개의 동등성 등급에 +1을, 다른 하나에 -1을 할당하는 것이다.^[1]

모든 순서가 정해진 기본은 한 클래스 또는 다른 클래스에 산다. 따라서 V에 대한 특권적 순서 기준의 선택은 방향을 결정한다: 특권적 기준의 지향 클래스는 양성으로 선언된다.

예를 들어, R에ⁿ 대한 표준기준은 R에ⁿ 대한 표준방향을 제공한다(또한 표준기준의 방향은 표준기준이 구축된 데카르트 좌표계의 방향에 따라 달라진다). V와 R 사이의ⁿ 선형 이형성 선택은 V에 대한 방향을 제공할 것이다.

기본 원소의 순서는 매우 중요하다. 순서가 다른 두 베이스는 순열로 차이가 날 것이다. 그들은 이 순열의 서명이 ±1인지 여부에 따라 같은/반대 방향을 가질 것이다. 순열 매트릭스의 결정요인은 관련 순열의 서명과 동일하기 때문이다.

마찬가지로 A를 벡터 공간 R과ⁿ R의ⁿ 비정규 선형 매핑으로 한다. 이 매핑은 결정 요인이 양수인 경우 방향을 보존한다.^[2] 예를 들어 R에서³ 각 α에 의한 Z Cartesian 축 주위의 회전은 방향을 보존한다.

\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \ 알파 &-\sin \alpha &0\0\&0&1\end{pmatrix}}}cos \알파 &-\cos \alpha &0\0\0&1\end{pmatrix}}}}}}

XY Cartesian 평면의 반사가 방향을 유지하지 못하는 동안:

\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

영차원 케이스

방향의 개념은 0차원 사례에서 퇴보한다. 0차원 벡터 공간은 0 벡터라는 단 하나의 점만 가지고 있다. 따라서 0차원 벡터 공간의 유일한 기본은 빈 집합 $∅{\displaystyle \emptyset$ } $\emptyset$ } 따라서 순서 베이스의 단일 동등성 클래스, 즉 클래스 $\{\emptyset \}$ { $\{\emptyset \}$ {\ $displaystyle \{\emptysset \}$ 이 있으며, 이 $\{\emptyset \}$ 클래스는 유일한 멤버가 빈 집합이다. 0차원 공간의 방향이 함수라는 뜻이다.

\\displaystyle \{\\\\}\{\empt \}\{\pm 1\}}}

따라서 긍정과 부정의 두 가지 다른 방법으로 한 점을 방향화하는 것이 가능하다.

단일 순서 기준 $\emptyset$ basis $\emptyset$ 밖에 없기 때문에, 0차원 벡터 공간은 순서 기준의 0차원 벡터 공간과 동일하다 $\emptyset$ $\{\emptyset \}\mapsto +1$ $\{\emptyset \}\mapsto -1$ { $\{\emptyset \}\mapsto +1$ ↦ + 1 ${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +$ 1 $}$ 또는 $\{\emptyset \}\mapsto +1$ $\{\emptyset \}\mapsto -1$ { $\{\emptyset \}\mapsto -1$ } $\{\emptyset \}\mapsto -1$ - $\{\emptysset \}\mapsto -1$ 을 선택하면 모든 0차원 벡터 공간의 모든 기준으로 방향이 선택된다. 만약 모든 0차원 벡터 공간에 이 방향이 할당된다면, 0차원 벡터 공간들 사이의 모든 이형성은 순서의 기초를 보존하기 때문에, 그들은 또한 방향을 보존한다. 이는 방향성을 선택할 방법이 없는 고차원 벡터 공간의 경우와 달리 모든 이형성 하에서 보존된다.

그러나 다른 점에 다른 방향을 부여하는 것이 바람직한 상황도 있다. 예를 들어, 미적분의 근본적인 정리를 스톡스의 정리 사례로 생각해 보자. 닫힌 간격 $[a,$ $b]$ 은 경계가 있는 1차원 다지관이며, 경계가 { $a,$ $b}$ 집합이다. 미적분학의 기본 정리에 대한 정확한 진술을 얻기 위해서는 $b점$ 을 긍정적으로, $a점$ 은 부정적으로 방향을 잡아야 한다.

일렬로

1차원 사례는 두 방향 중 한 방향으로 통과할 수 있는 선을 다룬다. 동그라미 두 개의 방향이 있듯이 선에도 두 개의 방향이 있다. 선 세그먼트(선의 연결된 부분 집합)의 경우, 가능한 두 방향은 지시선 세그먼트로 나타난다. 방향성 표면은 때때로 표면에 수직인 선의 방향으로 표시되는 선택된 방향을 가진다.

대체 관점

다중선 대수

어떤 n차원 실제 벡터 공간 V에 대해서도 우리는 λV로^k 표시된 V의 k번째 전위력을 형성할 수 있다. 이것은 차원 ${\tbinom {n}{k}}$ k $){\$ 의 실제 벡터 공간인 ${\tbinom {n}{k}}$ thereforeVⁿ(최고 외부 파워라고 함)는 따라서 차원 1을 가진다. 즉, λV는ⁿ 실제 선에 불과하다. 이 라인의 어느 방향이 긍정적일지는 선례가 없다. 오리엔테이션은 그저 그런 선택일 뿐이다. ΛnV에 대한 조금이라도 일차 형식 ω 때 ω())을 그 x이 긍정적인 방향으로;0선언한 것에 의해 V의 오리엔테이션을 결정한다.견해의 베이시스 포인트로 연결하려면 우리는positively-oriented 기반은 있는 것에 ω를 양수(우리가 n벡터의 순서로 정렬된 세트, eleme 것 중에서 그 증거들을 평가할 수 있ω은 n-form로 계산된다고 말한다.R의 nt). Ω형식을 오리엔테이션형이라고 한다. {e_i}이(가) V의 특권적 기반이고 {e_i^∗}이(가) 이중 기반인 경우 표준 방향을 제시하는 방향 양식은 e e₁^∗ e e₂^∗ … ∧ e이다_n^∗.

이것과 결정요인의 관점은 다음과 같다 $T:V\to V$ $T:V\to V$ $T:V\to V$ 의 결정요인 : $T:V\to V$ V → $T:V\to V$ {\ $displaystyle T:$ $V\to V}$ 은(는) 상단 외부 전원에 대한 유도 작용으로 해석할 $T:V\to V$ 수 있다.

거짓말군 이론

B를 V의 모든 주문된 베이스 세트로 하자. 그러면 일반 선형 그룹 GL(V)은 B에 대해 자유롭고 트랜스적으로 작용한다(환상적인 언어에서 B는 GL(V)-토르토르(torsor)이다). 이것은 다지관으로서 B가 GL(V)에 (비카논적으로) 동형체라는 것을 의미한다. 그룹 GL(V)은 연결되지 않고 오히려 변환의 결정요인이 양인지 음인지에 따라 두 개의 연결된 구성요소를 가지고 있다는 점에 유의한다(GL은₀ 사소한 그룹이라 하나의 연결된 구성요소를 가지고 있으며, 이는 0차원 벡터 공간에 대한 표준적 방향에 해당한다). GL(V)의 아이덴티티 구성요소는⁺ GL(V)로 표시되며, 양성 결정 인자를 가진 변환으로 구성된다. B에 대한 GL⁺(V)의 작용은 전이적이지 않다: B의 연결된 구성 요소에 해당하는 두 개의 궤도가 있다. 이 궤도들은 정확히 위에서 언급된 등가 등급이다. B는 구별되는 요소(즉, 특권적 기준)를 가지고 있지 않기 때문에 어느 요소가 양적인지에 대한 자연적인 선택은 없다. 이를 ID의 구성 요소인 권한이 있는 GL(V)과 대조하십시오. B와 GL(V) 사이의 특정 동형성의 선택은 특권적 기준의 선택과 동등하므로 방향을 결정한다.

More formally: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$ , and the Stiefel manifold of n-frames in $V$ is a $\operatorname {GL} (V)$ -torsor, so $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ ( $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ ) $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ / $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ + $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ ) $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}}$ ${\displaystyle$ 을(를) 초과하는 비틀림이며, 그 중 하나를 $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ 선택할 수 있는 점이 오리엔테이션이다.

기하 대수학

동일한 자세, 크기 및 방향을 가진 평행 평면 세그먼트, 모두 동일한 바이벡터 a ∧ b에 해당한다.^[3]

기하대수의 다양한 물체는 태도, 방향, 크기 등 세 가지 속성이나 특징을 가지고 있다.^[4] 예를 들어, 벡터는 그것에 평행한 직선으로 주어진 자세, 그것의 감각으로 주어진 방향(흔히 화살촉으로 나타남)과 그것의 길이로 주어진 크기를 가지고 있다. 마찬가지로, 3차원의 이중 벡터 태도 면 그것으로(아마도 일반적인 시선 이 비행기들에게 공통으로 지정된[5])관련된 가족에 의해 결정되는 오리엔테이션(가끔 굽은 화살에 의해 비행기에서 표시)의 경계(그것의 판매 부수)의 횡단 느낌을 선택 여부를 나타내는 값, 크기는에 의해 제공했다.a 두 ^[6]벡터에 의해 정의된 평행그램의

다지관의 방향

볼륨의 방향은 해당 경계선의 방향, 순환 화살표로 표시하여 결정할 수 있다.

n차원 가변 다지관의 각 p점에는 n차원 실제 벡터_p 공간인 접선 공간 TM이 있다. 이러한 각각의 벡터 공간은 방향을 지정할 수 있다. 어떤 방향은 지점마다 "완만하게" 움직인다. 특정한 위상학적 제약 때문에 이것이 항상 가능한 것은 아니다. 접선 공간에 대한 방향의 원활한 선택을 인정하는 다지관은 방향성이 있다고 한다.

참고 항목

참조

^ W., Weisstein, Eric. "Vector Space Orientation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.
^ W., Weisstein, Eric. "Orientation-Preserving". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.
^ Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd ed.). Morgan Kaufmann. p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. The algebraic bivector is not specific on shape; geometrically it is an amount of oriented area in a specific plane, that's all.
^ B Jancewicz (1996). "Tables 28.1 & 28.2 in section 28.3: Forms and pseudoforms". In William Eric Baylis (ed.). Clifford (geometric) algebras with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. p. 397. ISBN 0-8176-3868-7.
^ William Anthony Granville (1904). "§178 Normal line to a surface". Elements of the differential and integral calculus. Ginn & Company. p. 275.
^ David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (2nd ed.). Springer. p. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

외부 링크

"Orientation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] W., Weisstein, Eric. "Vector Space Orientation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.

[2] W., Weisstein, Eric. "Orientation-Preserving". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.

[Dorst-3] Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd ed.). Morgan Kaufmann. p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. The algebraic bivector is not specific on shape; geometrically it is an amount of oriented area in a specific plane, that's all.

[Jancewicz1-4] B Jancewicz (1996). "Tables 28.1 & 28.2 in section 28.3: Forms and pseudoforms". In William Eric Baylis (ed.). Clifford (geometric) algebras with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. p. 397. ISBN 0-8176-3868-7.

[Granville-5] William Anthony Granville (1904). "§178 Normal line to a surface". Elements of the differential and integral calculus. Ginn & Company. p. 275.

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (2nd ed.). Springer. p. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

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