이미지(수학)

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학에서 함수의 이미지는 함수가 생성할 수 있는 모든 출력 값의 집합입니다.

보다 일반적으로 도메인의 특정 $A의$$$각 요소에서 특정 $함수{\displaystyle }$ f${$$displaystyle$ f$}$를 평가하면$f{displaystyle$ f$}$아래(또는 f{$displaystyle$ f})에 $"A\displaystyle$ $A$의 이미지"라고 하는 세트가 생성됩니다. 마찬가지로, 특정 $B$의 역이미지(또는 프리이미지)도 마찬가지입니다.f${\displaystyle }코드메인$의 {\$displaystyle$ f$}$는$$B$.\displaystyle$B의 $멤버$에 매핑되는 도메인의 모든 요소의 집합입니다.$}$

이미지 및 역이미지는 함수뿐만 아니라 일반 이진 관계에도 정의할 수 있습니다.

정의.

"이미지"라는 단어는 세 가지 관련된 방법으로 사용된다.이러한 정의에서 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$는 $집합{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$에서 $집합{\displaystyle }$Y$(\displaystyle$ Y$)$까지의 함수입니다.

요소 이미지

x$(\displaystyle$ x$)$가 X$(\displaystyle$ X$)$의 멤버인 $경우{\displaystyle }$ f$(\displaystyle$$$x$),$ f${\displaystyle (}$${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="f,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.925ex;\; height:2.509ex;">}}$${\displaystyle ),}$$$f(\$displaystyle$ f$($x$)$의 아래에$$$있는{\displaystyle }$ $x$(\$displaystyle$ $x)$의 이미지는$$ f$(\displaystyle$ f$(x)$의 값입니다$.$ly는 $인수{\displaystyle }$x의 f$.\$$displaystyle$ f$.\$$displaystyle$ x$.$의 출력으로 알려져 있습니다$.$

$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ $.$ \$displaystyle$f(x) = y.\displaystyle f$($$x$) = y.\displaystyle f($x$$)$와 $같이{\displaystyle }$ 함수 $영역$에 x$(\displaystyle$$$x$)$가 있는 경우 함수 f(\$displaystyle$ y$)$는 "$값$ y$"$ 또는 "값으로 취한다$.$$isplaystyle$ S$,}$$$$f$${\displaystyle }$ {\$displaystyle$ f$}$ f {\$displaystyle$ s$\}$ f$$ {\$displaystyle$ f} f${\displaystyle }${\$displaystyle$ s} f {\$displaystyle$$$f$(x)\in$ S$.}$$$단$,$ ${\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$는 S$$${\displaystyle .\backslash }$$display style$ S$.$의 모든 값을 $취한다고{\displaystyle }$ $합니다$$.$$yle$f는 S$${$displaystyle$ S$\}$ "로 평가됩니다.즉$,$ f {$displaystyle$ f$\}$ 도메인의 $모든{\displaystyle }$ 점$$x {\$displaystyle$ x$}$에 대해 f${\displaystyle (x)s}$S {\$displaystyle$ f$(x)\in$S를$$ $의미$합니다.

서브셋 이미지

전체적으로${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle X}$ $→$ Y(\$displaystyle f:X\to$ Y$)$를 함수로 $합니다{\displaystyle }$.$X의$$서브셋{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ $A)$의 f${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ f$)$ $아래$의 이미지는 ${\displaystyle A}$의 $모든{\displaystyle }$${\displaystyle }f{\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$f$(a$$)$ 집합입니다$.$ f$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle A]}$、 { $displaystyle$$$f($A)$ 또는$$ f$(a$로 $표시$됩니다$.$ion. set-builder 표기법을 사용하여 이 정의는 다음과 같이 기술할^[1][2] 수 있습니다.

이로 인해 $함수{\displaystyle }$f [ ${\displaystyle ]}$ :${\displaystyle P\mathcal{}}$ (${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \to P\mathcal{}}$ (${\displaystyle Y}$)$$, {\$displaystyle$ f[ , \$cdot$ ,$$}가 유도됩니다.${\mathcal {P}}(X)$ ~ {\$mathcal$${P}}(Y)$ $여기$서${\displaystyle }$P$(\displaystyle {P})(S)$는 $집합{\displaystyle }$S의 멱집합$,$ 즉 S$(\displaystyle$ S$;)$의 모든 부분 집합입니다. 자세한 내용은 for 표기법을 참조하십시오$.$

함수의 이미지

함수의 이미지는 전체 도메인의 이미지이며, 함수의 ^[3]범위라고도 합니다."range"라는 단어는 일반적으로${\displaystyle }$f$.\displaystyle$$f$의 코드메인을 의미하기도 하므로 이 마지막 사용은 피해야 합니다.$}$

이진 관계로의 일반화

R$(\displaystyle$ R$)$이 X${\displaystyle }$× $,$ {\$displaystyle$X\$times$Y}의 임의의 바이너리 관계인 $경우{\displaystyle }$$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 일부X}$의 ${\displaystyle \text{경우}}$ 세트 {$y\in$ Y$:xRy{일부 }}xin$X의 경우 {\$text}}$은${\displaystyle (}$일부 ${\displaystyle \}}$xin X의 경우)의 $이미지{\displaystyle }$ 또는 {\displaystyle}의 $범위$라고 불립니다$.$${\displaystyle\{x\in$X:$xRy{\text{일부$}}$y\in$ Y$\}}}$는${\displaystyle }$R의 $도메인$이라고 불립니다$.{\displaystyle$ R$}$

반전 이미지

f$${\$displaystyle$ f$}$를$$X {\$displaystyle$X}에서${\displaystyle }$Y {\$displaystyle$ Y$}$까지의 함수로 $합니다{\displaystyle }$$.$f$,$ {\$displaystyle$$$f$},$ f${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ [$],$ {\$displaystyle$ f$^-1$}[$B],$ {\displaystyle F^-1$}$의 $서브셋$은 $다음$과 같습니다.y

기타 표기법으로는 f${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle }$B $){$ $displaystyle$ f^ { - $1$( $B$)$및$ f${\displaystyle {}^{}}$- ($).{$ $displaystyle$ f^ { - } ($$$B$ )가 $있습니다{\displaystyle {}^{}}$.$}$ $f$^[4] -${\displaystyle 1}$ [ { y$}$ { $displaystyle$ f^ { - $1$ } [ \ { y \$$}${\displaystyle {}^{}}$} , $f$- ${\displaystyle 1^{}}$[${\displaystyle }$y $]$ , { $displaystyle$$$$f$$$$^$ { - $1$} [$$y$$ , } 로 $나타나는{\displaystyle {}^{}}$ 싱글톤 세트의 역이미지는 섬유 $또는{\displaystyle }$ 섬유 $또는$ 섬유 $또는{\displaystyle }$ y$.display$ style y$.$$$ $Y(\displaystyle$ Y$)$ $요소$의 모든 섬유 세트는 Y$displaystyle$ Y$)$에 의해 $색인화$된 세트 패밀리입니다.

예를 들어 $함수{\displaystyle }$ f$($ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2의$경우$ {$4$$}$ {$displaystyle$ \{$4\}$의${\displaystyle }$역이미지는${\displaystyle \{-2,}$ ${\displaystyle 2\}}$가 됩니다$.{displaystyle \{-2, 2\}}$ 다시$$, 혼동의 위험이 없는 경우${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ [$B]$ {$displaystyle f-{1}$이 됩니다.${-1}(B)$ $및$ f-1({displaystyle f$^{-1})$은 Y$({displaystyle$Y})의 멱집합에서${\displaystyle }$X({$displaystyle$ X$})$의 멱집합으로 생각할 수도 있습니다$.$f$$${\displaystyle {}^{}}$-$$(\$displaystyle$f^{-1}) $표기법$은 b의 일반적인 역함수와 일치하지만 혼동해서는 안 됩니다.f$${\$displaystyle$ f$}$ $아래$의$$$B{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ B$}$의 $반전{\displaystyle }$ 이미지가${\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ . ${\displaystyle$ f$^{-1}$ 아래의 B {\$displaystyle$ B$}$의 $이미지$인 경우.$}$

이미지 및 반전 이미지 표기법

이전 섹션에서 사용한 기존 표기법에서는 원본 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$({$displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$를 세트 이미지 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :P(X)}$ ${\displaystyle \to }$ $)$ {$displaystyle$ f$:{\mathcal {P}}(X)\to$ {$P}(Y)$와 구별하지 않습니다$.$e 반전 이미지 함수(파워셋과 다시 관련됨).올바른 콘텍스트를 지정하면 표기법이 가볍고 일반적으로 혼동을 일으키지 않습니다.그러나 필요한 경우, 대안은^[5] 영상의 명시적 이름을 파워 세트 간의 함수로 지정하는 것입니다.

화살표 표기법

• ${\displaystyle {}^{}}$$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ :${\displaystyle P\mathcal{}}$ (${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \to P\mathcal{}}$ ($Y$ )$$→ { $displaystyle$ f^ { \ $rightarrow$} : { \ $mathcal${$P$} （ $X ）$ \ $to$ {$mathcal$ { P } ${\displaystyle （}$ $Y$） ${\displaystyle \to }$ {${\displaystyle f}$ (${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$ { $displaystyle$ f^ {\ $rightarrow$} ($A$} → { F } } }$$= { displaystylightarrow }
• ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ :${\displaystyle P\mathcal{}}$ (${\displaystyle }$Y ) ${\displaystyle \to P\mathcal{}}$ ( ${\displaystyle X}$)$$→ { $displaystyle$ f^ { \ $left$ arrow } : { \ $mathcal${ $P }$ （ $Y$） \ $to$ { $mathcal${$P$} $=$ { ${\displaystyle a}f$ ${\displaystyle X}$ F ( ${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B}$}$=$ { $display styleftarrow f^$ { \ $}$

별 표기법

• ${\displaystyle {}_{}}$$f$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f\mathcal{}}$ $→$ ${\displaystyle \{\backslash displaystyle\mathcal{}}$ $f^{\rightarrow}}$이 $아닌{\displaystyle {}^{}}$ P${\displaystyle (Y}$)$$→ P$Y$) {\$displaystyle$ f_${\star}:{\$mathcal {$P}(X)\to$$\$mathcal {$P}(Y)}$
• ${\displaystyle {}^{}f\mathcal{}}$ $←$ {$displaystyle$ f$^{\leftarrow}}$이 아닌${\displaystyle }$P($)$ ${\displaystyle \to }$ $X$) {$displaystyle$ f$^{\star}:{\mathcal {P}(Y)\to$ {$P}}(X)}$

기타 용어

• 수리논리 및 집합론에 사용되는${\displaystyle }$f [ $]$ \ $displaystyle$f [ $A$]의 대체 표기법은 f${\displaystyle {}^{}a}$A$$$.\$ $display$ f$'$입니다.$}$^[6][7]
• 일부 텍스트에서는$f의$를${\displaystyle }$f의 $범위$라고^{[citation needed]} 하지만$,$ range라는 단어는 f$.\displaystyle$$f$의 코드메인을 의미하기 때문에 이 사용은 피해야 합니다.$}$

예

1. ${\displaystyle }$${\displaystyle \begin{array}{c}f\end{array}}$${\displaystyle }$:${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, 3 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \to }$ { ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ d $}$ { { $displaystyle$ f$:\{1,$ 2, $3$\ ${\displaystyle \begin{array}{c}\}\end{array}}$ \ $to$\ { $a,$ ${\displaystyle \begin{array}{c}b\end{array}}$$, c$${\displaystyle \begin{array}{c},\end{array}}$ $d$\ }${\displaystyle \begin{array}{c}\end{array}。\begin{array}{}\end{array}}$ { $displaystyle \$ \ { \ $respir${$1$} \ $map,$ \$sto$ \ \ \ sto \ $sto$ \ to \ to \ \ to \ $map$ a , \$$}로$$ ${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{정의}\end{array}}$됩니다.$\$$end{filename}}\right.$$}$
   f$${\$displaystyle$ f$}$ $아래$에 있는${\displaystyle \mathrm{세트}}$ $2$,3$}({$$displaystyle$$\2$$,$3\})의 ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$는${\displaystyle }$f$2$$,$3$={$$displaystyle$ f$}$ =\{$a$$,$$c\}$ 입니다.\$displaystyle$ f$}$의 $이미지$는${\displaystyle }${, ${\displaystyle \}}$ \$c.$${\displaystyle \{1}$, ${\displaystyle 2}$ $}.$ { { $displaystyle$ f^ { - ${\displaystyle 1^{}}$$$}$$$$\ { { { displaystyle \ {$$${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$$$${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$, 2${\displaystyle \}.}$ { { $displaystyle$ f^ { - $1$ ( { a$$$$ , $b$$$} )$=$ { $1$$$}. { displaystyle f$^$ { ${\displaystyle a}$$$} ( { a , b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )$$} } } } } } }${\displaystyle }$。${\}=\emptyset.}$
2. ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$${\displaystyle }$${\displaystyle R\mathbb{}}$ {\${\displaystyle {}^{}}$ f$:\mathbb {R}$ \$to \mathbb {R}$ $f$$$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 .$${\$displaystyle$ f$(x$) =$x^{$$2$} .$}$
   f$${\$displaystyle$ f$}$ $아래$의${\displaystyle }${-${\displaystyle 2}$${\displaystyle ,}$$3\}${$displaystyle$ $\{-$$,3$의 $이미지$는$$f$2$,3$=$ {$displaystyle$ f$}$의 $이미지$는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$$displaystyle$f$}$ {\$mathbb}$$입니다.${4,9}{\displaystyle\와 같이{4,9\}의 f{\displaystyle f}아래의 preimage}− f{\displaystyle f}의 1({4,9})){− 3, − 2,2,3}.{\displaystyle f^{)}(){4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}정해진 N의 preimage){n∈ R:n<0}{\displaystyle N=\{n\in \mathbb{R}:n<, 0\}}은 빈 sf은12월, b왜냐하면 음수는 실수의 집합에 제곱근을 가지고 있지 않기 때문이다.
3. ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {{$style$ f$:\mathbb {R}$^{$2$$}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{}}$ f (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$. { { $displaystyle$f ($x$ , y ) =$x ^{2$} + y$^{$2} } 로 정의됩니다.$}$
   ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$ )$$( { $displaystyle$ f^ { - $1$（ { a \$$} ))는 a> $0$ 0 a$= 0,$ { \ $text$ {$}\ a$(각각각)에 따라 원점, 원점 자체 및 빈 세트를 둘러싼 동심원형입니다.(${\displaystyle 0}$0$$, \ ${\displaystyle \mathrm{display}}$ $a$\ $geq$ 0$$, \ $display$ $style$ f$^$ { - $1$（ { $a$） ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$$ ( x $,$\ $mathbb { R$ }$$$^$ { $}$ )는${\displaystyle }$${\displaystyle {모두}^{}}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ )의 집합이며${\displaystyle {}^{}}$ x + y $style$ 2${\displaystyle {}^{}}$를${\displaystyle \mathrm{만족}}$합니다$.$$.$$$$\}$$$)
4. $M{\displaystyle }${\$displaystyle$ M$}$이 매니폴드이고 θ : ${\displaystyle T}$ M${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle \pi:$$TM\to$M은$$ 접선 $번들{\displaystyle }$ $TM에서$$$$,$ {$displaystyle$$$M$},$ {$displaystyle$M},$${$displaystyle$\pi$}$의 파이버는 x${\displaystyle mM}$의 접선 $공간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$x $($$.$
5. 지수군은 동형상입니다.

특성.

실수 $,$ \$displaystyle \mathbb {R},$ 에 근거한 반례 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$$:\mathbb {R}$ \$to \mathbb {R}$은$($는) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle †}$ x 2, {\$displaystyle$x$\mapsto$ x$^{$2}$$로 정의됩니다. 평등은 일반적으로 필요로 한다는 것을 보여준다 일부 법률에는 적용되지 않습니다.
동일하지 않은 세트를 나타내는 이미지:${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle 、f}$ (${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle 、f}$ (${\displaystyle B}$) .$$\ $displaystyle f$ \ left ($A$ \ $cap$B \$right$ ) \ $subsetneq f$ ( $A$) \ $cap$f ($$$B$ ) 。} $세트$ A${\displaystyle =}$ [${\displaystyle }$- 4${\displaystyle }$, $2$] { $displaystyle$ A$$$=$ [ - ${\displaystyle 4}$ , 2$$ $]$ $및$ $B{\displaystyle =}$ [${\displaystyle }$- 2${\displaystyle }$, 4$$] { $displaystyle$ B = [ - 2 , 4$$$$] { $displaystyle$x$$ }$$- 축 $바로{\displaystyle }$ 아래에 파란색으로 표시된 $반면{\displaystyle }$, $A{\displaystyle {}_{}}$ 3$=$ [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle }$2$$][ 2 ] { $displaystyle$ A $_$ 2 ][ 2$]$는 파란색으로 표시됩니다$.$
$(\displaystyle f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\subsetneq B_{3}).}$
$(\displaystyle f^{-1}\left(f\left(A_{4}\오른쪽)\supsetneq A_{4}).}$

일반

모든 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$ f$:X$$\$$to$Y} 및$$ A {\$displaystyle$ A$\subseteq$ X$}$ $및$ B $displaystyle$ B$\subseteq$ Y$}$에 대해 다음 속성이 유지됩니다.

이미지	프리이미지
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X)=X}$
$\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$ ($B{\displaystyle f}$f (${\displaystyle X}$)$$;{ $displaystyle$B \ $subseteq$f ( X ) ;$$} (예를 들어$$f { $displaystyle$ f$}$가 [8][9]돌출형인 $경우{\displaystyle }$)	$\displaystyle f^{-1}(f(A)\supseteq A}$ (f$$$${\$displaystyle$f}[8][9]가 $주입식$인 경우)
${\displaystyle f(f^{-1)(B)=B\cap f(X)}$	$\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A)\right)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing,{\text{if and only if }}},A=\varnothing}$	$\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing, {\text{ if and only if }},B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B, {\text{이(가) 있는 경우에만}{\text{}C\subseteq A{\text{이(가) 있는 경우}f(C(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A, {\text{if and only if }},f(A)\subseteq B}$
$\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A), {\text{if and only if }},f(A)=f(X)}$	$\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B), {\text{if and only if }},f^{-1}(B)=X}$
$\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[8]
$\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$[10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[10]
${\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$[10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[10]

기타:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing, {\text{ if and only if }},A\cap f^{-1}(B)=\varnothing}$

다기능

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$}$ $및$ g : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ g$:$$서브셋{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$$$A$\subseteq X}$ 및$$ $C{\displaystyle }$ $z},$ {\$displaystyle$ C\$subseteq$ Z$}$의 Y$\to$Z에는$$ 다음 속성이 있습니다.

• $\displaystyle (g\display f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\display f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1)(C)}$

도메인 또는 코도메인의 여러 서브셋

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$ 및$$ 하위 $집합{\displaystyle }$A, ${\displaystyle Bx}$X(\$displaystyle$ A$,B\subseteq$ X$)$ $및$ S${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Ty}$Y$(\displaystyle$ S$,T\subseteq$ Y$)$의 경우 다음 속성을 유지합니다.

이미지	프리이미지
${\displaystyle A\subseteq B, {\text{는 }},f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T,{\text{의미}},f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$[10][11]	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
$\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$[10][11] (f$$$${\$displaystyle$f}가[12] $주입식$인 경우)	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
$\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$[10] (f$$$${\$displaystyle$f}가[12] $주입식$인 경우)	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$[10]
$\displaystyle f\left(A\삼각 B\오른쪽)\supseteq f(A)\삼각 f(B)}$ (f$$$${\$displaystyle$f}가 $주입식$인 경우)	${\displaystyle f^{-1}\left(S\삼각 T\오른쪽)=f^{-1}(S)\삼각 f^{-1}(T)}$

교집합과 결합의 (부울) 대수에 대한 영상과 사전 영상과 관련된 결과는 하위 집합 쌍뿐만 아니라 하위 집합의 모든 컬렉션에 대해 작동한다.

• $\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)$
• $\displaystyle f\left(\displaystyle f\left(\bigcapabit _{s}A_{s}\right)\subseteq \bigcapit _{s}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcape _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcape _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(여기서 S$(\displaystyle$ S$)$는 무한, 셀 수 없을 정도로 무한할 수 있습니다.)

위에서 설명한 부분 집합의 대수에 관해, 역이미지 함수는 격자 동형사상이며, 반면 이미지 함수는 반격자 동형사상일 뿐이다(즉, 항상 교차점을 보존하는 것은 아니다).

「 」를 참조해 주세요.

• 사출, 사출 및 사출 – 수학적 함수의 특성
• 파이버(수학)– 함수 영역 내의 모든 점의 집합으로, 모든 점이 특정 특정 점으로 매핑됩니다.
• 이미지(카테고리 이론)
• 함수의 커널
• Set inversion – 지정된 함수에 의해 특정 범위에 매핑된 집합을 찾는 수학적 문제

메모들

레퍼런스

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• 를 클릭합니다Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

이 문서에는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 Fibre on PlanetMath의 자료가 포함되어 있습니다.