모듈동형성

대수학에서 모듈 동형성은 모듈 구조를 보존하는 모듈 사이의 함수다.명시적으로, M과 N이 링 R 위에 남아 있는 경우, $f:M\to N$ $f:M\to N$ : $f:M\to N$ → N ${\displaystyle f:$ $M\to N}$ 은 $f:M\to N$ (는) R-모듈 동형성 또는 R-선형 지도라고 불리는데, 만약 어떤 x, y in M, r in R,

[\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)],}

[\displaystyle f(rx)=display(x)]}

즉, f는 스칼라 곱셈으로 통용되는 집단 동형성(기본 첨가제 그룹에 대한)이다.M, N이 우측 R-모듈일 경우, 두 번째 조건은 로 대체된다.

f(xr)=f(x)r.

f 밑에 있는 0 원소의 전상을 f의 커널이라고 한다.M에서 N까지의 모든 모듈 동음이의 집합은 $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ , $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ ) $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ 에 의해 표시된다 $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ 아벨 그룹(지점 추가에서)이지만 R이 공통적이지 않는 한 반드시 모듈인 것은 아니다.

모듈 동형성의 구성은 다시 모듈 동형성이며, 모듈의 ID 맵은 모듈 동형성이다.그러므로, 모든 (좌측이라고 말한다) 모듈들은 그들 사이의 모든 모듈 동형성과 함께 모듈의 범주를 형성한다.

용어.

모듈 동형성은 역동형성을 인정하면 모듈 이형성이라고 불리는데, 특히 그것은 편향이다.반대로, 우리는 비주사적 모듈 동형성이 이형성, 즉 역은 모듈 동형성임을 보여줄 수 있다.특히 모듈 동형성은 기초 아벨리아 집단 사이의 이형성일 경우에만 이형성이다.

이형성 이론은 모듈 동형성을 유지한다.

모듈 M에서 그 자체로 모듈 동형성을 내형성, M에서 그 자체로 이형성이라고 한다.모듈 M 사이의 모든 내형성 집합에 대해 $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ R $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ ⁡ $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ ( M ) $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ = $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ R $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ ( $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ , $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ ) ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\Operatorname {Hom} _{R}(M,$ M $)}$ 을 쓴다.아벨 그룹일 뿐만 아니라 M의 내형성 고리라 불리는 기능구성에 의해 부여된 곱셈이 있는 고리이기도 하다.이 반지의 단위 그룹은 M의 자동 형태 그룹이다.

슈르의 보조정리자는 단순 모듈(비종속 하위 모듈이 없는 모듈) 사이의 동형성은 0이거나 이형이어야 한다고 말한다.특히 단순 모듈의 내형성 링은 디비전 링이다.

범주 이론의 언어에서 주입식 동형주의는 단형주의라고도 하고, 허탈형 동형주의는 경동형주의라고도 한다.

예

모든 원소를 0으로 매핑하는 영도 M → N.
벡터 공간 간의 선형 변환.
$\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ / n $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ , $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ / m $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ ) $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ = $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ / $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ ( $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ , m $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$ ) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathb {Z} /n,\mathb {Z} /m)=\mathb {Z} /\matcd$
정류 링 R과 이상 I, J에 대해서는 표준 식별이 있다.
$\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{R\in RI\subset J\}/J$

f\mapsto f(1)

f\mapsto f(1)

f\mapsto f(1)

(

f\mapsto f(1)

)

{\displaystyle f\mapsto

f

(1)}

이 부여함

f\mapsto f(1)

특히

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

(

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

,

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

)

\operatorname {Hom} _{R}(R/I, R)

은

\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)

I의 전멸기다.

링 R과 요소 r이 지정되면 $l_{r}:R\to R$ : $l_{r}:R\to R$ → R ${\displaystyle l_{r}:$ $R\to R}$ 은 $l_{r}:R\to R$ 왼쪽 곱셈을 r로 나타낸다.그럼 어느 s에서든, t in R,
$l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ ( $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ t $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ ) $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ = $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ = $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ ( $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ s $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ ) $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$ ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}t$ .

즉,

l_{r}

l_{r}

{\

는

l_{r}

오른쪽 R-선형이다.

어떤 반지든,
- $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ R $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ ( $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ ) $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ = R {\ $displaystyle \operatorname {End} _{R}(R$ )=R $}$ 을(를 $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ ) 링으로 지정하여 R을 자체에서 오른쪽 모듈로 볼 때.명시적으로 이 이등형식은 왼쪽 정규 표현 $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ → $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ ~ $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ R $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ ( $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ ) $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ , r $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$ ${\$ R ${{\set{\sim }{\\\}}\operatorname {End} _{R}(R),\r\map l_{r}$ 에 의해 주어진다 $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$
- 마찬가지로, $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ R $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ ( $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ R $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ ) = $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ p ${\$ 은(는) R이 스스로 좌 모듈로 보일 때 링으로 $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ 사용된다.교과서나 다른 참고문헌은 일반적으로 어떤 규약이 사용되는지 명시한다.
- $\operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M$ through $f\mapsto f(1)$ for any left module M.^[1] (The module structure on Hom here comes from the right R-action on R; see #Module structures on Hom below.)
- $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ R $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ , $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ ) $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ 은 $\operatorname {Hom}_{R}(M,R)$ M의 이중 모듈이라 불리며, M이 오른쪽(resp)이면 왼쪽(resp. 오른쪽) 모듈이다.왼쪽) R의 R-액션에서 나오는 모듈 구조를 가진 모듈 오버 R. $∗{\$ M $^{*}$ 로 표시된다 $M^{*}$
교감 고리 R → S-module M의 링 동형성 R → S를 주어, 어떤 f, g in S, g(f g) = f )(g) + )(f) g에 대해 R-선형 지도 →: S → M을 파생이라고 한다.
S, T가 링 R 위에 있는 단이탈적 연관성 알헤브라스라면, S에서 T까지의 대수적 동형성은 R-모듈 동형성(R-module 동형성)이기도 한 링 동형성(R-모듈 동형성(R-module homorphismism).

홈의 모듈 구조

간단히 말해서, Hom은 Hom을 형성하기 위해 사용되지 않았던 링 액션을 계승한다.좀 더 정밀하게, M, N은 R-모듈로 남겨두어라.M이 R-액션과 통근하는 링 S의 올바른 작용을 가지고 있다고 가정하자. 즉, M은 (R, S)-모듈이다.그러면

\operatorname {Hom} _{R}(M,N)

S의 s와 M의 x에 대해 다음과 같이 정의되는 왼쪽 S-모듈의 구조를 가지고 있다.

{\displaystyle(s\cdot f)(x)=f(x)s.}

이후 잘 정의되어 있다(즉, s $s\cdot f$ f ${\displaystyle s\cdot$ f $}$ 은(는 $s\cdot f$ ) R-선형이다).

{\displaystyle(s\cdot f)(rx)=f(rx)=discd(xs)=r(s\cdot f)(x),}

$s\cdot f$ $s\cdot f$ $s\cdot f$ $s\cdot f$ 은 $s\cdot f$ (는) 이후 링 동작임

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

f

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

= f

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

=

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

f

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

=

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

(

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

)

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

= s ⋅

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

( t ) =

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

s

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

⋅ (

(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)

) = s )

{\displaystyle (st\cdot

f

)(xst)=(t\cdot f)=s=s\cdot (x

참고: 오른쪽 S-action 대신 왼쪽 R-action을 사용하면 위의 검증이 "실패"할 수 있다.이런 의미에서 홈은 종종 R 액션을 "소진"한다고 한다.

Similarly, if M is a left R-module and N is an (R, S)-module, then $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ is a right S-module by $(f\cdot s)(x)=f(x)s$ .

행렬 표현

선형 대수에서 행렬과 선형 변환의 관계는 자유 모듈 사이의 동형성을 모듈화하는 자연스러운 방법으로 일반화된다.정확히는, 오른쪽 R-모듈 U를 주어, 아벨 그룹들의 표준 이형성이 있다.

\operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n})U^{\oplus m}{{ij}}{f\mapsto[f_{ij}]}{\underset {\sim }{\\\}}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U)}}}}}}}}}}}

컬럼 벡터로 $U^{\oplus n}$ 된 $U^{\oplus n}$ U $U^{\oplus n}$ ${\$ 을(를) 보고 f를 m × n 행렬로 작성함으로써 얻는다.특히 R을 오른쪽 R-module로 $\operatorname {End} _{R}(R)\simeq R$ $\operatorname {End} _{R}(R)\simeq R$ R $\operatorname {End} _{R}(R)\simeq R$ ( R $) display$ R {\ $displaystyle \operatorname {End}$ _{ $R}(R$ )\ $simeq$ R $}$ 을(를) 사용하는 것은 다음과 같다 $\operatorname {End} _{R}(R)\simeq R$

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

R

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

(

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

n )

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

M

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

R

\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)

) {\

displaystyle \operatorname

{

End} _{R}(R^{n

})\

simeq

M_

{n}(R

이는 링 이형성(구성 요소가 행렬 곱셈에 해당함)으로 판명된다.

위의 이형성은 표준적이며, 선택의 여지가 없다는 점에 유의한다.한편, 유한계급 자유 모듈 사이에 모듈 동형성이 부여되는 경우, 순서 기준의 선택은 이형성 $F\simeq R^{n}$ $F\simeq R^{n}$ $F\simeq R^{n}$ ${\$ 의 선택에 해당한다 $F\simeq R^{n}$ 그런 다음 위의 절차는 그러한 기준의 선택에 관한 행렬을 나타낸다.더 일반적인 모듈의 경우 매트릭스 표현은 고유성이 없거나 존재하지 않을 수 있다.

정의

실제로 흔히 모듈 동형성을 생성 집합에 명시하여 정의한다.더 정확히 말하자면, M과 N은 R-모듈로 남겨두도록 하라.부분 집합 S가 M을 생성한다고 가정합시다. 즉, S와 커널 K에 의해 인덱싱된 기반이 있는 자유 모듈 $F\to M$ 와 함께 $F\to M$ 추론 F $F\to M$ → $F\to M$ [\ $displaystyle F\to$ M $}$ 이(즉, 프리 프리 프리 프리프레젠테이션이 있음).그런 다음 모듈 동형성 $M\to N$ → $M\to N$ ${\displaystyle M\to$ N $}$ 을(를) 부여하는 것은 K를 죽이는 $F\to N$ $F\to N$ F $F\to N$ → N $[\displaystyle F\to N}$ 을(즉, 지도 K to 0) 주는 것이다 $M\to N$ .

운영

$f:M\to N$ : $f:M\to N$ → N ${\displaystyle f:$ $M\to N}$ 및 $f:M\to N$ $g:M'\to N'$ : $g:M'\to N'$ $g:M'\to N'$ → $g:M'\to N'$ $g:M'\to N'$ ${\$ $M'\to N'}$ 은 $g:M'\to N'$ (는) 모듈 동음형이며, 그 직접적인 합은 다음과 같다.

f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,\,(x,y)\mapsto(f(x),g(y)}

그리고 그들의 텐서 제품은

f\displaystyle f\otimes g:M\othes M'\to N',\,x\time y\mapsto f(x)\time g(y)}

$f:M\to N$ : M $f:M\to N$ → N ${\displaystyle f:$ $M\to N}$ 은 $f:M\to N$ (는) 왼쪽 모듈 사이의 모듈 동형상이다.f의 그래프 γ은_f M ⊕ N의 서브모듈이다.

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

=

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

{

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

(

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

,

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

(

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

)

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

)

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}

{\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x)

x

\in M

이것은 모듈 동형상 M → M n N, x → (x, f(x))의 이미지로서 그래프 형태론이라 불린다.

f의 전치사는

f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.

만약 f가 이형성이라면 f의 역의 전이를 f의 역행성이라고 한다.

정확한 순서

모듈 동형성의 순서를 고려하십시오.

\cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .

Such a sequence is called a chain complex (or often just complex) if each composition is zero; i.e., $f_{i}\circ f_{i+1}=0$ or equivalently the image of $f_{i+1}$ is contained in the kernel of $f_{i}$ . (If the numbers increase instead of감소하면 코체인 콤플렉스(예: de Rham complex)라고 부른다.)체인 콤플렉스는 $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ + 1 $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ ) $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ = $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ i $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ ) $\operatorname {im}(f_{i+1})=\operatorname {ker}(f_{i})}$ 이면 정확한 시퀀스라고 불린다 $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$ 정확한 시퀀스의 특별한 경우는 다음과 같다.

0\to A{p}{f}{\}{}B{\to }c\to 0

여기서 $f$ $f$ 은(는) 주입식이고 $f$ $g$ $g$ 의 커널은 f $f$ 의 $f$ 이미지이며 $g$ g ${\displaysty g}$ 은 $g$ (는) 돌출형이다.

임의 모듈 동형상 $f:M\to N$ : $f:M\to N$ → $f:M\to N$ ${\$ 디스플레이 $스타일$ f $:$ $M\to N}$ 은(는) 정확한 시퀀스를 정의함 $f:M\to N$

0\to K\to M{{\\overset {f}{{\}}N\to C\to 0,

여기서 $K$ ${\displaystyle K$ $}$ 은(는 $)$ f {\ $displaystyle$ f}의 $K$ $f$ $C$ 이고 $,$ C {\ $displaystyle$ C $}$ 은 $C$ (는 $)$ f {\ $displaystyle f}$ 의 이미지에 $N$ N ${\displaysty N}$ 의 몫이다 $f$

정류 링 위에 있는 모듈의 경우, 순서는 만약 그것이 모든 최대 이상에 정확하다면 그리고 그것이 모두 순서일 경우에만 정확하다.

0\to A_{\mathfrak{m}{f}{{\\b_{\matfrak{m}}{g}{\c_{\matfrak{m}}}{\matfrak {m}}}{\matfrak {m}}}}}{\m}}}}}}}}}}}}}}}}}\matm}}}}}}}}}

정확하다. 여기서 ${\mathfrak {m}}$ m ${\$ 은(는) 최대 ${\mathfrak {m}}$ m ${\$ 에서 지역화를 의미한다 ${{\mathfrak {m}}}$ ${\mathfrak {m}}$

$f:M\to B,g:N\to B$ : $f:M\to B,g:N\to B$ → $f:M\to B,g:N\to B$ , $f:M\to B,g:N\to B$ : $f:M\to B,g:N\to B$ → $f:M\to B,g:N\to B$ ${\displaystyle f:$ $M\to B,g:$ $N\to B}$ 은 $f:M\to B,g:N\to B$ (는) 모듈 동형상이며, M ×_B N으로 표시된 섬유 정사각형(또는 풀백 정사각형)을 형성한다고 한다.

0\to M\times _{B}N\to M\times N{\\overset {\phi }{\\}{}B\to 0

여기서 $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ ( x $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ , $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ ) $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ = $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ ( x $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ ) $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ - g ( $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$ ) ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x$

예: $B\subset A$ $B\subset A$ A ${\displaystyle B\subset$ A $}$ 을(를) 정류 링으로 하고 $B\subset A$ , 내가 A의 이상적인 B-모듈 A/B의 전멸자가 되게 하라.그런 다음 $A\to A/I,B/I\to A/I$ 지도 A $A\to A/I,B/I\to A/I$ → $A\to A/I,B/I\to A/I$ / I $A\to A/I,B/I\to A/I$ , $A\to A/I,B/I\to A/I$ / $A\to A/I,B/I\to A/I$ → A $A\to A/I,B/I\to A/I$ / $A\to A/I,B/I\to A/I$ ${\displaystyle A\to$ A $/I,B/I\to A$ / $B=A\times _{A/I}B/I.$ $}$ 이(가 $)$ 있는 섬유 정사각형을 형성하고 $A\to A/I,B/I\to A/I$ B $B=A\times _{A/I}B/I.$ = $B=A\times _{A/I}B/I.$ $B=A\times _{A/I}B/I.$ $B=A\times _{A/I}B/I.$ / I / I $B=A\times _{A/I}B/I.$ ${\displaysty B=A\times _{A/I}B/I$ . $}$

미세하게 생성된 모듈의 내형성

$\phi :M\to M$ : $\phi :M\to M$ → $\phi :M\to M$ $\phi :M\to M$ 을(를) 조합형 링 R에 대해 미세하게 생성된 R-모듈 사이의 내형성이 되도록 $\phi :M\to M$ 한다.그러면

$\phi$ $\pi$ 은(는) M의 발생기에 상대적인 특징적인 다항식 때문에 죽는다 $\phi$ . 나카야마의 보조정리#Proof를 참조한다.
$\phi$ $\pi$ 이 $\phi$ (가) 굴절적이라면 주입식이다.^[2]

참고 항목:Herbrand 지수(일부 정밀도 조건이 있는 내형성에 대해 정의할 수 있다.)

변종: 가법 관계

모듈 M에서 모듈 N까지의 첨가 $M\to N$ $M\to N$ M $M\to N$ → $M\to N$ $M\to N$ 은 $M\oplus N.$ $M\oplus N.$ $M\oplus N.$ ${\displaystyle M\oplus$ N $.}$ 의 하위 집합이다. 즉 $M\oplus N.$ ^[3], M의 일부 하위 집합에 정의된 "다중치" 동형이다.f의 $f^{-1}$ 역 $f^{-1}$ - $f^{-1}$ 1 ${\$ 는 서브모듈 $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ { $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ ( $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ , x $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ ) $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ ( $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ , $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ ) $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$ } ${\displaystyle \{(y,x) (x,y)\in f$ 의 서브모듈에서 N의 몫까지 동형성을 결정하는 첨가관계 f.

[\displaystyle D(f)\to N/\{y(0,y)\in f\}}

여기서 $D(f)$ ) $D(f)$ 은(x, y)가 N의 일부 y에 대해 f에 속하도록 M의 모든 요소 x로 구성된다 $D(f)$ .

스펙트럼 시퀀스에서 발생하는 위반은 부가 관계의 예다.

참고 항목

메모들

^ 부르바키, 2장, 제1.14조, 주석 2. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFBourbaki(도움말)
^ 마츠무라, 정리 2.4. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)
^ MacLane, Saunders (2012-12-06). Homology. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642620294.

참조

부르바키, 대수학.제2장.^{[full citation needed]}
S. 맥레인, 호몰로지^{[full citation needed]}
H. 마츠무라, 교감 고리 이론.일본어에서 M이 번역했다.리드, 두 번째 판이요케임브리지 고등수학 연구, 8.

[1] 부르바키, 2장, 제1.14조, 주석 2. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFBourbaki(도움말)

[2] 마츠무라, 정리 2.4. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)

[3] MacLane, Saunders (2012-12-06). Homology. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642620294.

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