벡터 공간의 치수 정리

수학에서 벡터 공간의 치수 정리는 벡터 공간의 모든 기초가 동일하게 많은 원소를 가지고 있다고 말한다.이 원소의 수는 유한하거나 무한할 수 있으며(후자의 경우에는 기수) 벡터 공간의 치수를 정의한다.

형식적으로 벡터 공간의 치수 정리는 다음과 같이 명시한다.

벡터 공간 V를 주어진다면, 어떤 두 베이스라도 동일한 카디널리티를 가진다.

기초는 선형적으로 독립된 생성 집합이므로, 정리는 다음과 같은 정리의 결과로서, 이것도 유용하다.

벡터 공간 V에서 G가 생성 집합이고 내가 선형 독립 집합이라면 I의 카디널리티는 G의 카디널리티보다 크지 않다.

특히 V가 미세하게 생성되면 모든 그 베이스는 유한하며 동일한 수의 원소를 갖는다.

반면 기초의 일반적인 경우에 어떤 벡터 공간의 존재의 증거와 사실 선택의 원리에 해당합니다 소른의 부명제를 요구하면, 그 기준의 카디널리티의 고유성(증거를 아래에 제시된 그러나, 즉, 모든 기본 감각이 없는 trichotomy으로 가정한다 엄격하게 약하다만 ultrafilter lemma,[1]이 필요하다.ers비교가능하며, 또한 선택의 공리와 동등한 진술이다.정리는 불변 기본 번호가 있는 링 R에 대해 임의의 R-모듈로 일반화할 수 있다.

정밀하게 생성된 경우 증명서는 대수학의 기본적인 주장만을 사용하며 선택의 공리나 약한 변형을 요구하지 않는다.

증명

V를 벡터 공간으로, {a_i: i ∈ I}은(는) V의 요소들의 선형 독립 집합이고, {b_j: j ∈ J}은(는) 생성 집합이다.하나는 내가 가진 카디널리티가 J보다 크지 않다는 것을 증명해야 한다.

J가 유한하면, 이것은 슈타이니츠 교환 보조마에서 비롯된다. (사실, 슈타이니츠 교환 보조마사는 I의 모든 유한 부분집합성은 J보다 크지 않은 카디널리티를 가지고 있으므로, 나는 J보다 크지 않은 카디널리티를 가지고 유한하다.) J가 유한하다면 매트릭스 이론에 근거한 증명도 가능하다.^[2]

J가 무한하다고 가정해 보자.내가 유한하다면 증명할 것이 아무것도 없다.따라서, 우리는 나 또한 무한하다고 가정할 수도 있다.나의 카디널리티가 J의 카디널리티보다 크다고 가정해 보자.^{[note 1]} 우리는 이것이 모순으로 이어진다는 것을 증명해야 한다.

조른의 보조정리기에 의해 모든 선형 독립 집합은 최대 선형 독립 집합 K에 포함된다.이 최대성은 K가 V에 걸쳐 있다는 것을 의미하며, 따라서 기초가 된다(최대성은 V의 모든 요소가 K의 원소로부터 선형적으로 종속되므로 K의 원소들의 선형 결합임을 의미한다).K의 카디널리티가 I의 카디널리티보다 크거나 같기 때문에, {a_i: i i I}을(를) K로 대체할 수 있다. 즉, 일반성의 손실 없이 {a_i: i i I}이(가) 기본이라고 가정할 수 있다.

따라서 모든 b는_j 유한한 합으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \textstyle b_{j}=\sum _{i\in E_{j}}\lambda _{i,j}a_{i}}}$

여기서 ${\displaystyle E_{}}$ j ${\$ $E_$${j}$는 $I{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ I$.}$J가 무한하므로$$ $\bigcup {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ J ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$J}$E_{j}}}}}}}}}}}}$은 J와 카디널리티가 같다$$.^{[note 1]}따라서 $\bigcup {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ J ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$은 카디널리티가 I보다 작다$$.따라서 E ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaystyle i_{0}\in I}$에 나타나지$$ 않는 일부 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\$$displaystyle E_{j}$이 있다$.$해당 ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$은(는) $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ $b_{j}$$s$의 유한 선형 조합으로 표현될$$ 수 있으며, 이 조합은 ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$을(는) 포함하지 ${\displaystyle {않고}_{}}$ ${\displaystyle {{i\mathrm{}}_{}}_{}}$$${\$displaysty$}의 유한 선형 조합으로 표현될 수 있다$.$ ${\displaystyle {따라서{}_{}}_{}}$ i 0${\displaystyle a_{i_{0}}}$은(는$)$ 원하는 모순을 제공하는 ${\displaystyle {다른}_{}}$ i {\$displaystyle a_{i}$에 선형적으로 의존한다$$.

벡터 공간의 커널 확장 정리

이 치수 정리의 적용은 때때로 치수 정리라고 불린다.내버려두다

T: U → V

일직선 변환이다그러면

dim(범위(T) + dim(커널(T)) = dim(U)),

즉, U의 치수는 변환 범위의 치수에 커널의 치수를 더한 것과 같다.보다 자세한 논의를 위해서는 순위-nullity 정리를 참조하라.

메모들

참조