프로베니우스 정상형

선형대수학에서 F 필드에 입력된 정사각형 행렬 A의 프로베니우스 정규 형태 또는 이성적 표준 형식은 F에 대한 변환 가능한 행렬에 의해 결합하여 얻은 행렬의 표준 형식이다.형태는 A에 대해 주기적인 서브 스페이스(즉, A에 따라 어떤 벡터와 그 반복된 영상에 의해 확장되는)로 벡터 공간의 최소 분해를 반영한다.주어진 행렬("캐논어"를 가리킬 때)에서 하나의 정상적인 형태만 도달할 수 있기 때문에, 행렬 B는 A와 동일한 합리적인 표준 형식을 갖는 경우에만 A와 유사하다.특히 다항식을 고려하지 않고 필드 F("합리적")를 확장할 때 변경될 수 있는 연산 없이 이 양식을 찾을 수 있으므로, 이는 필드 확장 시 두 행렬의 유사성이 변하지 않음을 보여준다.이 형태는 독일의 수학자 페르디난드 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 지어졌다.

일부 저자들은 일차적 이성적 규범적 형식이라 불리는 다소 다른 형식에 대해 이성적 규범적 형식이라는 용어를 사용한다.1차 형태는 최소한의 순환 하위공간으로 분해되는 대신 최대 수의 순환 하위공간으로 분해된다.또한 F에 대해 정의되지만 다소 다른 특성을 가지고 있다: 형태를 찾는 것은 다항식의 인자화를 필요로 하며, 그 결과 F의 확장 필드에 걸쳐 동일한 행렬이 고려될 때 일차적합성 표준형식이 변경될 수 있다.이 글에서는 주로 인자화가 필요 없는 형태를 다루고 있으며, 인자화를 사용하는 형태를 의미할 때 "기본"을 명시적으로 언급하고 있다.

동기

두 제곱 행렬 A와 B가 비슷한지 알아내려고 할 때, 한 가지 접근방식은 각각에 대해 벡터 공간을 가능한 한 안정적인 서브스페이스의 직접적인 합으로 분해하여 이들 서브스페이스에 대한 각각의 동작을 비교하는 것이다.예를 들어, 만약 둘 다 대각선으로 할 수 있다면, 우리는 아이겐스페이스로 분해할 수 있다(즉, 스칼라에 의해 동작이 최대한 단순하다), 그리고 나서, 유사성은 고유값과 그들의 승수를 비교하여 결정할 수 있다.실제로 이것은 꽤 통찰력 있는 접근법인 경우가 많지만, 일반적인 방법으로는 다양한 단점이 있다.첫째, 특징적인 다항식의 뿌리라고 할 수 있는 모든 고유값을 찾아야 하지만, 그것들에 대해 명시적인 표현을 하는 것은 불가능할 수 있다.둘째, 완전한 고유값 집합은 1이 작업하고 있는 영역의 확장에만 존재할 수 있으며, 그러면 1은 원래의 영역에 대한 유사성의 증거를 얻지 못한다.마지막으로 A와 B는 이 더 큰 분야에서도 대각선이 가능하지 않을 수 있으며, 이 경우 일반화된 아이겐스페이스로, 그리고 아마도 요르단 블록으로 분해해야 한다.

그러나 그러한 미세한 분해를 얻는 것은 두 행렬이 비슷한지 여부를 결정하는 데만 필요한 것은 아니다.합리적인 표준형식은 가능한 한 큰 안정적 서브스페이스로 직접 합분해(direct sum discusion)를 사용하는 대신, 여전히 그들 각각에 대한 작용에 대한 매우 간단한 설명을 허용하고 있다.이러한 서브스페이스는 단일 비제로 벡터 v와 매트릭스와 연관된 선형 연산자의 반복적인 적용에 의해 생성되어야 한다. 이러한 서브스페이스는 (순환 서브그룹과 유사하게) 순환 서브스페이스라고 불리며, 선형 연산자 아래에서 분명히 안정적이다.이러한 하위 공간의 기본은 선형으로 독립되어 있는 한 v와 그 연속적인 영상을 취함으로써 얻는다.그러한 기준에 관한 선형 연산자의 행렬은 단항 다항식의 동반행렬이다. 이 다항식(순환 부분군의 순서와 유사한 개념인 하위공간에 한정된 연산자의 최소 다항식)은 이항식까지의 주기적 하위공간에 대한 연산자의 작용을 결정하며, 다음과 같다.하위 공간을 생성하는 벡터 v의 선택과 무관하게.

주기적인 하위공간으로의 직접적인 합계 분해가 항상 존재하며, 그 중 하나를 찾으면 다항식을 인수할 필요가 없다.그러나 주기적인 하위공간은 더 작은 주기적인 하위공간(본질적으로 중국의 나머지 정리에 의해)의 직접적인 합으로 분해될 수 있다.따라서, 두 방법 모두에 대해 공간의 일부 분해를 반복 하위공간으로 갖는 것과 그에 상응하는 최소 다항식들을 아는 것 자체만으로는 이들의 유사성을 결정하기에 충분하지 않다.유사한 행렬의 경우 정확히 일치하는 주기적인 하위공간으로 분해되도록 하기 위해 추가 조건이 부과된다. 관련 최소 다항식 목록에서 각 다항식 1은 다음을 분할해야 한다(그리고 0차원의 사소한 주기적인 하위공간을 제외하는 것은 금지된다).다항식의 결과 리스트는 (K[X]-모듈이 정의한) 행렬의 불변 인수라고 불리며, 두 행렬이 동일한 불변 요인 리스트를 가진 경우에만 유사하다.매트릭스 A의 합리적 표준 형식은 연관된 최소 다항식이 A의 불변인자인 주기적 하위공간으로의 분해에 적응한 기초로 표현함으로써 얻는다. 두 행렬은 동일한 합리적 표준 형식을 가진 경우에만 유사하다.

예

Q에 걸쳐 다음 행렬 A를 고려하십시오.

${\displaystyle\scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&, 3&, -1&, 0&, -2&, 0&, 0&, -2\\-1&, -1&, 1&, 1&, -2&, -1&, 0&, -1\\-2&, -6&, 4&, 3&, -8&, -4&, -2&, 1\\-1&, 8&, -3&, -1&, 5&, 2&, 3&, -3\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&a융점, 0&, 2&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 4&, 0&, 1&, 0\end{pmatrix}}.}$

A에는 최소 $다항식{\displaystyle }$ μ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}6}$ - ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$3 + ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2$}+4X^{2$}+4X+1$}가 있으므로 단일 벡터의$$반복 영상에 의해 생성된 아공간 치수는 최대 6이다$.$The characteristic polynomial is ${\displaystyle \chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1}$, which is a multiple of the minimal polynomial by a factor ${\displaystyle X^{2}-X-1}$. There always exist vectors such가 생성되는 순환 하위 공간의 전체 공간과 동일한 최소 다항식을 가지고 있다. 실제로 대부분의 벡터는 이 속성을 가지고 있으며, 이 경우 첫 번째 표준 기준 벡터 E ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$}가 그렇게$$ 된다: 벡터 $A{\displaystyle {}^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1$){\displaystyle A^{k}(e_{1})$는 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ 1 … .${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$ are linearly independent and span a cyclic subspace with minimal polynomial ${\displaystyle \mu }$. There exist complementary stable subspaces (of dimension 2) to this cyclic subspace, and the space generated by vectors ${\displaystyle v=(3,4,8,0,-1$$,0,2,-1)^{\top$}{{\top }과 w${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$4, ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 9,}$- 1,${\displaystyle }$1,${\displaystyle 1}$, -${\displaystyle 2{}^{}}$)${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$⊤ ${\$이 그 예다$$.In fact one has ${\displaystyle A\cdot v=w}$, so the complementary subspace is a cyclic subspace generated by ${\displaystyle v}$; it has minimal polynomial ${\displaystyle X^{2}-X-1}$. Since ${\displaystyle \mu }$ is the minimal polynomial of the whole space, it is clear that ${\displaystyle X^2-X-}$${\displaystyle X^{2}-X-1}$ must divide ${\displaystyle \mu }$ (and it is easily checked that it does), and we have found the invariant factors ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ and ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$ of A.그렇다면 A의 합리적인 표준형식은 해당 동반 행렬을 대각선 블록으로 하는 블록 대각 행렬, 즉

${\displaystyle\scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, -1\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, -4\\0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, -4\\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 2\\0&, 0&, 0&, 0&, 0& 1&0&, 4\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\end{pmatrix}}.}$

위의$$ 벡터 $v{\displaystyle }$, w ${\displaystyle v,w}$에 의해 이 형식이 달성되는 기반이 형성되고, $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$에 대해 A ${\displaystyle k^{}}$( e ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaysty$ A$^{k}(e_{1})}}}}$이 차례로 형성된다$.$ 이는 명시적으로 다음을 의미한다.

$P$$-$aystyle\scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&, 5&, 1&, -1&, 0&, 0&, -4&, 0\\4&, 4&, 0&, -1&, -1&, -2&, -3&, -5\\8&, 5&, 0&, -2&, -5&, -2&, -11&, -6\\0&, 9&, 0&, -1&, 3&, -2&, 0&, 0\\-1&, -1&, 0&, 0&, 0&, 1&, -1&, 4\\0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, -1&, 1\\2&, 1&, 0&, 1&/&-1&, 0&, 2&, -6\\-1&, -2&, 0&, 0&, 1&, -1&, 4&, -2\end{pmatrix}}},

하나는 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$.${\$디스플레이 $스타일 A=PCP^{-1}.$$}$

일반사례 및 이론

베이스 필드 F와 유한 차원 벡터 공간 V를 F에 고정한다.다항식 P ∈ F[X]가 주어질 때, 그것과 연관된 것은 특성 다항식 및 최소 다항식이 모두 P와 동일한 동반행렬 C이다_P.

정리:V는 필드 F 위에 있는 유한 차원 벡터 공간이 되고, A는 F 위에 있는 정사각형 행렬이 되게 하라.그러면 V(A가 준 X의 작용으로 F[X]모듈로 본다)는 F[X]-모듈 이형성을 인정한다.

V ≅ F[x]/f₁ … … ⊕ F[X]/f_k

여기서 f_i ∈ F[X]는 관계를 만족시키는 양의 일항 다항식(F[X]의 비통일)으로 간주될 수 있다.

f_12k … f

여기서 "a b"는 "a dives b"에 대한 표기법이며, 이러한 조건과 함께 다항식 f의_i 목록은 고유하다.

증거 스케치:주요 이상영역을 통해 미세하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리를 V에 적용하여 F[X]-모듈로 본다.구조 정리는 주기적 인자에 대한 분해를 제공하며, 각 인수는 적절한 이상에 의해 F[X]의 몫이다. 결과적인 자유 모듈은 F 벡터 공간으로서 무한 차원일 것이고, V는 유한 차원일 것이기 때문에 제로 이상은 존재할 수 없다.다항식 f에_i 대해 f는 각각의 이상에 대한 고유한 단일 생성자를 취하며, 구조 정리가 선행 이상에 있는 모든 이상에 대한 격납을 보장하므로_i f에 대한 불분명한 조건을 얻는다.자세한 내용은 [DF]를 참조하십시오.

임의의 사각 행렬이 주어지면, 요르단 정상 형태의 구성에 사용되는 기본 구분 기호는 F[X]를 넘어 존재하지 않으므로, 위에 제시된 불변 요인_i f를 대신 사용해야 한다.이러한 요인 f의_k 마지막은 최소 다항식이며, 따라서 모든 불변 인자가 분할되며 불변 인자의 산물은 특성 다항식을 제공한다.이는 최소 다항식이 특성 다항식(본질적으로 케이리-해밀턴 정리)을 분할한다는 것을 의미하며, 특성 다항식의 모든 되돌릴 수 없는 요소도 최소 다항식(아마도 낮은 다항성)을 분할한다는 것을 의미한다.

각 불변인자에 대해 f는_i 동반행렬_fi C를 취하며, 이들 블록에서 형성된 블록 대각행렬은 A의 합리적인 규범적 형태를 산출한다.최소 다항식이 특성 다항식과 동일할 때(사례 k = 1) 프로베니우스 정상 형태는 특성 다항식의 동반 행렬이다.합리적 규범적 형식은 A와 관련된 고유한 불변인자에 의해 고유하게 결정되며, 이러한 불변인자는 근거와는 독립적이기 때문에, 두 제곱 행렬 A와 B가 동일한 이성적 규범적 형식을 가진 경우에만 유사하다는 것이 뒤따른다.

요르단 정상 형태를 일반화하는 합리적인 정상 형태

프로베니우스 정규 형태는 지상 필드 F 위에 존재하더라도 특성 다항식의 어떠한 형태의 인수화 형태도 반영하지 않는다.이는 F가 다른 필드로 대체될 때 불변함을 의미한다(원래 매트릭스 A의 항목을 포함하는 한).반면에, 이것은 프로베니우스 정상 형태를 특징적인 다항식, 특히 대각선 형태(A가 대각선으로 가능한 경우) 또는 보다 일반적으로 요르단 정상 형태(특성 다항식이 선형 인자로 분할되는 경우)의 인자에 의존하는 다른 정상 형태와 다소 다르게 만든다.예를 들어, 뚜렷한 대각선 입력이 있는 대각선 행렬의 프로베니우스 정규 형태는 그 특징적인 다항식의 동반 행렬일 뿐이다.

정상 형태를 정의하는 또 다른 방법이 있는데, 프로베니우스 정규 형태와 마찬가지로 항상 A와 같은 필드 F에 걸쳐 정의되지만, 특성 다항식(또는 동등하게 최소 다항식)을 F에 대한 불가해한 인자로의 가능한 인수화를 반영하고 있으며, 이 인수합병(factorizatio) 시 요르단 정규형식으로 감소한다.n은 선형 요인만 포함한다(유전값에 대한 요인).이 형식을^[1] 일반화된 요르단 정규형식, 또는 일차적인 이성적 표준형식이라고도 한다.이는 벡터 공간을 (lemme des noyau [fr]^[2]에서 명시한 바와 같이) 특성 다항식의 구별할 수 없는 요소 P에 해당하는 안정적 서브스페이스의 직접 합으로 시논적으로 분해할 수 있다는 사실에 근거한다. 여기서 각 하항의 특성 다항식은 해당 P의 힘이다.이러한 요약은 (위의 프로베니우스 정상 형태에 대해 행해지는 것과 마찬가지로) 주기 F[x]-모듈의 직접적인 합으로 더 분해될 수 있으며, 여기서 각 요약의 특성 다항식은 여전히 P의 (일반적으로 더 작은) 힘이다.일차적 이성적 규범적 형태는 그러한 주기적 모듈로의 분해에 해당하는 블록 대각 행렬로, 대각선 블록에 일반화된 요르단 블록이라고 하는 특정 형태가 있으며, 이는 주기적 모듈에 대한 특정 기준의 선택에 해당한다.이 일반화된 요르단 블록은 그 자체가 형태의 블록 행렬이다.

${\displaystyle \begin{pmatrix}C&#0&\cdots &0\\\U&C&\cdots &\ddots &\vdots \\\\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}}}}}}}$

여기서 C는 불가역 다항식 P의 동반 행렬이고 U는 유일하게 0이 아닌 입력이 오른쪽 상단 모서리에 1인 행렬이다.선형 불가역 인자 P = x - λ의 경우, 이러한 블럭은 단일 항목 C = λ, U = 1로 축소되며, 조던 블록을 찾는다.일반화된 Jordan 블록에서 주 대각선 바로 아래의 모든 항목은 1이다.이 형태를 발생시키는 순환 모듈의 근거는 생성 벡터 v(순환 모듈의 최소 다항식이 P인^k 경우^k−1 P(A)에 의해 소멸되지 않는 벡터 v)를 선택하고 이를 기초로 하여 얻는다.

${\displaystyle v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))}$

여기서 d = deg(P)

참고 항목

• 스미스 보통형

참조

• [DF] 데이비드 S.더밋과 리차드 M.발. 추상 대수학.제2판, 존 와일리 & 선즈 442, 446, 452-458. ISBN0-471-36857-1.

외부 링크

• 합리적 표준형식(Mathworld)

알고리즘

• 프로베니우스 정상형태의 O(n³) 알고리즘
• 프로베니우스 정규형태 알고리즘 (pdf)
• 합리적인 표준 형식 알고리즘(pdf)