유클리드 벡터

수학, 물리학, 공학에서 유클리드 벡터 또는 단순히 벡터(때로는 기하학적^[1] 벡터 또는 공간적[2] 벡터)는 크기와 방향을 가진 기하학적 객체이다.벡터는 벡터 대수에 따라 다른 벡터에 추가될 수 있다.유클리드 벡터는 종종 유향선 세그먼트로 나타내거나 초기 점 A와 종단점 ^[3]B를 연결하는 화살표로 나타내며, A ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ $→$ {\$displaystyle {AB}}$로 표시됩니다.

벡터는 점 A를 점 B로 "반송"하는 데 필요한 것이고, 라틴어 벡터는 "반송자"^[4]를 의미합니다.그것은 ^[5]태양 주위의 행성 혁명을 연구하는 18세기 천문학자들에 의해 처음 사용되었다.벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며 방향은 A에서 B로의 변위 방향을 나타냅니다.덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 부정과 같은 실수에 대한 많은 대수적 연산들은 벡터,^[6] 교환성, 연관성, 그리고 분포성의 친숙한 대수적 법칙을 따르는 연산들에 대해 밀접한 유사점을 가지고 있다.이러한 연산과 관련 법칙은 유클리드 벡터를 단순히 벡터 공간의 요소로 정의되는 벡터의 보다 일반적인 개념의 예로서 한정한다.

벡터는 물리학에서 중요한 역할을 한다: 움직이는 물체의 속도와 가속도 그리고 그것에 작용하는 힘은 모두 ^[7]벡터로 묘사될 수 있다.다른 많은 물리량은 벡터로서 유용하게 생각할 수 있다.이들 대부분은 거리를 나타내지 않지만(예를 들어 위치나 변위 제외), 크기와 방향은 여전히 화살표의 길이와 방향으로 나타낼 수 있습니다.물리 벡터의 수학적 표현은 그것을 기술하는 데 사용되는 좌표계에 따라 달라집니다.물리량을 기술하고 좌표계의 변경에 따라 유사한 방식으로 변환하는 다른 벡터 유사 물체에는 의사 벡터 및 ^[8]텐서가 포함됩니다.

역사

오늘날 우리가 알고 있는 벡터의 개념은 200년 이상에 걸친 점진적인 발전의 결과입니다.약 12명의 사람들이 그것의 ^[9]개발에 중요한 기여를 했다.

1835년, Giusto Bellavitis는 등귀의 개념을 확립하면서 기본 개념을 추상화했다.유클리드 평면에서 일하면서, 그는 같은 길이와 방향을 가진 평행선 세그먼트 쌍을 등가시켰다.본질적으로, 그는 평면 내의 한 쌍의 점(bippoints)에 대한 등가 관계를 깨달았고,^{[9]: 52–4} 따라서 평면 내에 벡터의 첫 번째 공간을 세웠다.

벡터라는 용어는 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 실수 s(스칼라라고도 함)와 3차원 벡터의 합 q = s + v인 사분위수의 일부로 소개되었다.벨라비티처럼, 해밀턴은 벡터를 등가 방향 세그먼트의 클래스의 대표라고 보았다.복소수가 실선을 보완하기 위해 허수 단위를 사용함에 따라 해밀턴은 벡터 v를 ^[10]사분위수의 허수 부분으로 간주했다.

일반적으로 각 결정된 4분의 1에 대해 결정된 길이와 공간의 방향을 갖는 직선 또는 반지름 벡터에 의해 기하학적으로 구성되는 대수적으로 허수 부분은 벡터 부분 또는 단순히 4분의 1의 벡터라고 불릴 수 있다.

아우구스틴 코시, 헤르만 그라스만, 아우구스트 뫼비우스, 생베낭 콤테, 그리고 매튜 오브라이언을 포함한 몇몇 다른 수학자들이 19세기 중반에 벡터 같은 체계를 개발했다.그래스만의 1840년 저서 Theory der Ebbe und Flut (Theory der Ebe und Flut)는 오늘날의 체계와 유사한 최초의 공간 해석 체계로 교차곱, 스칼라 곱, 벡터 미분화에 대응하는 아이디어를 가지고 있었다.그래스만의 작품은 ^[9]1870년대까지 대부분 방치되었다.

피터 거스리 타이트는 해밀턴 다음으로 4인조 기준을 가지고 있었다.그의 1867년 사분원 소논문에는 나블라 또는 델 연산자 ∇에 대한 광범위한 치료가 포함되어 있다.

1878년 윌리엄 킹든 클리포드에 의해 역동성의 요소가 출판되었다.Clifford는 두 벡터의 점곱과 교차곱을 완전한 사분위 곱에서 분리함으로써 사분위 연구를 단순화했다.이 접근방식을 통해 엔지니어들은 벡터 계산을 이용할 수 있게 되었고, 다른 엔지니어들은 3차원으로 작업하면서 4차원에 대해 회의적인 반응을 보였습니다.

James Clark Maxwell의 전기와 자기학 논문을 통해 4원소를 접한 Josiah Willard Gibbs는 독립적으로 치료하기 위해 벡터 부분을 분리했다.1881년에 출판된 깁스의 벡터 분석의 전반부는 근본적으로 벡터 ^[9][6]분석의 현대적 체계를 제시한다.1901년 에드윈 비드웰 윌슨은 벡터 미적분학의 발달에 있어 4원소들에 대한 언급을 배제시킨 깁의 강의를 각색한 벡터 분석을 출판했다.

개요

물리학과 공학에서 벡터는 일반적으로 크기와 방향에 의해 특징지어지는 기하학적 실체로 간주됩니다.이것은 유클리드 공간에서 ^[11]유향선 세그먼트 또는 화살표로 공식적으로 정의됩니다.순수 수학에서, 벡터는 벡터 공간의 모든 요소로 더 일반적으로 정의된다.이 맥락에서 벡터는 크기와 방향에 의해 특징지어질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있는 추상적인 실체이다.이 일반화 정의는 위에서 언급한 기하학적 실체가 유클리드 공간이라고 불리는 특별한 종류의 벡터 공간의 요소이기 때문에 벡터들의 특별한 종류라는 것을 암시한다.

이 기사는 유클리드 공간에서 화살표로 엄격하게 정의된 벡터에 관한 것이다.이러한 특별한 벡터를 순수 수학에서 정의된 벡터와 구별할 필요가 있을 때, 그것들은 때때로 기하학적, 공간적 또는 유클리드 벡터라고 언급된다.

화살표가 되는 유클리드 벡터는 확실한 초기점과 종단점을 가진다.고정 및 단말기 최초 지점을 가진 벡터가 바인딩 된 벡터라고 불린다.[12]그 벡터 문제의 크기와 방향, 특정한 최초 지점 대수롭지 않고, 벡터가 자유 벡터라고 불리는 것이었다.만약 그들이 같은 크기와 방향을 가지고 있다. 따라서 두}}과′B′⟶{\displaystyle{\stackrel{\,\longrightarrow}{A'B의}}}우주에서 구름을 B⟶{\displaystyle{\stackrel{\,\longrightarrow}{AB형입니다}화살:그, 있으면 네모꼴의 ABB′ 그들은 등치 같은 자유 벡터를 나타낸다.A′은 하나의 평행 사변형.만약 유클리드 공간의 선택이 장착되어 있다면, 자유 벡터는 점은 원류가 같은 크기와 방향의 바인딩 된 벡터에 해당합니다.

벡터라는 용어는 또한 더 높은 차원에 대한 일반화와 훨씬 더 광범위한 적용에 대한 더 공식적인 접근방식을 가지고 있습니다.

추가정보

이 섹션은 청소가 필요할 수 있습니다.벡터(수학과 물리학)에서 병합되었습니다.#유클리드 기하학의 벡터.

고전 유클리드 기하학(즉, 합성 기하학)에서 벡터는 (19세기 동안) 등가하등치 등급으로 도입되었다. 두 쌍(A, B)과 (C, D)은 이 순서로 점 A, B, D, C가 평행사변형을 형성할 경우 등가하등치 쌍(A, B)과 (C, D)이 된다.이러한 등가 클래스는 벡터, 더 정확히 말하면 유클리드 ^[13]벡터라고 불립니다.(A, B)의 동등 클래스는 종종 A ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ${\displaystyle \to }$. { $displaystyle$ {$overrightarrow {AB$} 로 $표시$됩니다.$}$

따라서 유클리드 벡터는 동일한 크기(예를 들어 선분 길이(A, B)와 동일한 방향(예를 들어 A에서 ^[14]B까지의 방향)을 가진 방향 세그먼트의 동등성 클래스이다.물리학에서,^[7] 유클리드 벡터는 크기와 방향을 모두 가지지만 방향이 없는 스칼라와는 대조적으로 특정한 장소에 위치하지 않는 물리량을 나타내기 위해 사용된다.예를 들어 속도, 힘 및 가속도는 벡터로 표현됩니다.

현대 기하학에서 유클리드 공간은 종종 선형대수에서 정의된다.보다 정확하게는, 유클리드 공간 E는 실 $E{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ,$${\$displaystyle {E}}$ 및$$ 자유롭고 전이적인 E${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$, {\$displaystyle${\$displaystyle {E}}$의 덧셈 그룹의 유한 차원 내부 곱 공간과 연관된 집합으로 정의된다(디트 공간은 아핀 공간 참조).이 구조의 장점).$E{\displaystyle \stackrel{}{}}$style$\display\overright$ 화살표${E}})$의 요소를$$ 번역이라고 합니다.

유클리드 공간의 두 정의는 동일하며, 등가 하의 등가 클래스는 번역으로 식별될 수 있다는 것이 증명되었다.

때때로 유클리드 벡터는 유클리드 공간에 대한 언급 없이 고려된다.이 경우, 유클리드 벡터는 실수에 대한 유한 차원의 노름 벡터 공간의 요소이거나, 일반적으로 점곱을 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$n $\displaystyle \mathbb${R}$^{n$}의 요소이다.이러한 벡터 공간에서의 덧셈은 벡터 공간 자체에서 자유롭고 횡단적으로 작용하기 때문에 이치에 맞는다.즉, R$$ \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n}$은 유클리드 공간이며, 그 자체가 벡터 공간이고, 도트 곱이 내적이다.

유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n}$은 종종 차원 n의 유클리드 공간으로 나타난다.이것은 차원 n의 모든 유클리드 공간이 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$과 동형이라는 사실에 의해 동기 부여됩니다$.\\style \mathbb {R}$^{$n}$ 보다$$ 정확하게, 그러한 유클리드 공간이 주어진다면, 어떤 점 O도 원점으로 선택할 수 있습니다.그램-슈미트 과정에 의해, 연관된 벡터 공간의 직교 기저를 찾을 수도 있다(두 염기 벡터의 내부 곱이 다르면 0이고 같으면 1이다).그러면 공간의 모든 점 P의 데카르트 좌표가 벡터 $O{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{P}}$ ${\displaystyle \to }$ .$${\$displaystyle$ {$OP}}$의 이 좌표로 정의됩니다. 이러한 선택사항은 주어진 유클리드 공간의 R $,$ \$displaystyle \mathbbb {R} ^{n}$에 $대한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 등형성을 정의하며, n-displaystyle \mathbbbb {R}의 임의의 점에 매핑합니다.좌표와 그 좌표 벡터에 대한 모든 벡터.

1차원의 예

물리학의 힘의 개념은 방향과 크기를 가지고 있기 때문에, 그것은 벡터로 보일 수 있다.예를 들어, 15뉴턴의 오른쪽 방향 힘 F를 고려합니다.양의 축도 오른쪽을 향하면 F는 벡터 15N으로 나타내며, 양의 점이 왼쪽을 향하면 F의 벡터는 -15N이다.어느 경우든 벡터의 크기는 15N이다. 마찬가지로 4m의 변위 δs의 벡터 표현은 방향에 따라 4m 또는 -4m가 되며 그 크기는 4m가 된다.

물리학 및 공학 분야

벡터는 물리학의 기본이다.크기, 방향, 벡터 덧셈의 법칙을 따르는 모든 양을 나타내는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어 속도는 속도이고, 그 크기는 속도입니다.예를 들어, 초당 5m의 속도는 벡터(0, 5)로 나타낼 수 있다(양수 Y축을 '위'로 하여 2차원).벡터에 의해 표현되는 또 다른 양은 힘이다. 왜냐하면 벡터는 크기와 방향을 가지고 있고 벡터 ^[7]덧셈의 법칙을 따르기 때문이다.벡터는 또한 선형 변위, 변위, 선형 가속도, 각도 가속도, 선형 운동량 및 각 운동량과 같은 다른 많은 물리량을 나타냅니다.전기장과 자기장과 같은 다른 물리적 벡터는 물리적 공간의 각 지점에서 벡터의 시스템, 즉 벡터장으로 표현됩니다.크기와 방향이 있지만 벡터 덧셈의 법칙을 따르지 않는 양의 예로는 각 변위와 전류가 있습니다.따라서 이것들은 벡터가 아니다.

데카르트 공간

데카르트 좌표계에서 결합 벡터는 그 초기점과 종단점의 좌표를 식별함으로써 나타낼 수 있다.예를 들어 공간의 점 A = (1, 0, 0) 및 B = (0, 0)는 X 축의 점 x = 1에서 Y 축의 점 y = 1을 가리키는 결합 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{A}}$ $→$ {style ${overrightarrow {AB}}}}$을(를) 결정합니다.

데카르트 좌표에서 자유 벡터는 이러한 의미에서 원점 O = (0, 0, 0)의 좌표를 갖는 대응하는 경계 벡터의 관점에서 생각할 수 있다.그런 다음 이 결합 벡터의 끝점의 좌표에 의해 결정됩니다.따라서 (1, 0, 0)으로 표현되는 자유 벡터는 단위 길이의 벡터로서 양의 x축 방향을 가리킵니다.

이 자유 벡터의 좌표 표현은 그들의 대수적 특징을 편리한 숫자 방식으로 표현할 수 있게 한다.예를 들어, 두 개의 (자유) 벡터(1, 2, 3)와 (-2, 0, 4)의 합은 (자유) 벡터이다.

유클리드 벡터 및 아핀 벡터

기하학적 및 물리적 설정에서는 때때로 길이 또는 크기 및 방향을 벡터에 자연스럽게 연관지을 수 있습니다.또한 방향의 개념은 두 벡터 사이의 각도의 개념과 엄밀하게 관련되어 있다.두 벡터의 도트곱이 정의되면 (두 벡터의 스칼라 값 곱) 길이를 정의할 수도 있습니다. 도트곱은 각도(두 개의 0이 아닌 벡터 사이의 도트곱 함수)와 길이(벡터의 도트곱의 제곱근 자체)의 편리한 대수적 특성을 제공합니다.또한 3차원에서는 2개의 벡터(평행사변형의 변으로 사용)에 의해 정의되는 평행사변형의 공간에서의 영역과 방향의 대수적 특성을 제공하는 교차곱을 정의할 수 있다.어떤 차원(특히 고차원)에서도 외부곱을 정의할 수 있으며, 외부곱은 (특히) n개의 벡터에 의해 정의된 n차원 평행동위원소 공간의 영역과 방향에 대한 대수적 특성을 제공한다.

유사 유클리드 공간에서 벡터의 제곱 길이는 양수, 음수 또는 0일 수 있다.중요한 예는 민코프스키 공간이다.

그러나 벡터의 길이를 정의하는 것이 항상 가능하거나 바람직한 것은 아닙니다.이 보다 일반적인 형태의 공간 벡터는 벡터 공간(자유 벡터의 경우)과 아핀 공간(각각 "점"의 순서 쌍으로 표현되는 결합 벡터의 경우)의 주제이다.한 가지 물리적 예는 열역학에서 비롯되는데, 열역학에서는 길이나 ^[15]각도에 대한 개념이 없는 공간에서 많은 양의 관심사가 벡터로 간주될 수 있습니다.

일반화

수학뿐만 아니라 물리학에서, 벡터는 종종 기저 벡터 집합의 스칼라 계수로 작용하는 성분들의 튜플 또는 숫자들의 목록과 함께 식별된다.예를 들어 회전이나 스트레칭에 의해 베이스가 변환되면 그 베이스에 관한 벡터의 성분도 반대의 의미로 변환됩니다.벡터 자체는 변하지 않았지만 기초는 변했기 때문에 벡터의 성분이 변해야 합니다.벡터는 벡터 성분의 변환이 기저의 변환과 어떻게 관련되어 있는지에 따라 공변량 또는 역변량이라고 불립니다.일반적으로, 반변 벡터는 거리 단위(예: 변위) 또는 거리 곱하기 다른 단위(예: 속도 또는 가속도)를 가진 "규칙 벡터"이며, 공변 벡터는 반면에 구배와 같은 1오버 거리의 단위를 가진다.단위(특수 기준 변경)를 미터에서 밀리미터(1000분의 1)로 변경하면 1m의 변위는 1000mm가 되며 이는 수치 변화에 반하는 것입니다.반대로 1K/m의 기울기는 0.001K/mm가 됩니다. 이는 값의 공변 변화입니다(자세한 내용은 벡터의 공분산 및 반변성 참조).텐서는 이와 같이 동작하는 또 다른 유형의 양입니다. 벡터는 텐서의 한 유형입니다.

순수 수학에서, 벡터는 어떤 필드 위에 있는 벡터 공간의 요소이며 종종 좌표 벡터로 표현된다.이 글에서 설명하는 벡터는 주변 공간에 반하는 것이기 때문에 이 일반적인 정의의 매우 특별한 경우입니다.반변성은 벡터가 "크기와 방향"을 가지고 있다는 생각 뒤에 있는 물리적 직관을 포착한다.

표현

벡터는 보통 u${\$$displaystyle$ \$mathbf {$u$\}\},$$v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf$$${$}$ 및 w ${\displaystyle \mathbf$ {w$\}\}\}$와 같이 소문자 이탤릭체로 표시됩니다(대소문자는 일반적으로 행렬을 나타내기 위해 사용됩니다).기타 표기법으로는 $→(\$style$\display\vec {a})$ 또는 a(특히 필기)가 $있습니다{\displaystyle \stackrel{}{}}$.또는$$~\$display$ {{\$sim}}{a$와 같이 $기호{\displaystyle \underset{}{}}$ 아래에 칠데(~) 또는 물결 모양의 밑줄을 사용하는 경우도 있습니다.이것은 굵은 글씨 표기 규칙입니다.벡터가 점 A에서 점 B까지의 방향 거리 또는 변위를 나타내는 경우($그림$ 참조), A ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ${\$ \ displaystyle \ $stackrel$\ long $rightarrow$} {$AB$$}$ 또는 AB로 $나타낼{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 수도 있습니다.독일 문학에서는 특히 작은 프락터 문자로 벡터를 표현하는 것이 일반적이었습니다($예{\displaystyle \mathfrak{}}$:\$displaystyle\mathfrak {a$

벡터는 보통 그래프나 다른 다이어그램에서 그림에 표시된 것처럼 화살표(유향선 세그먼트)로 표시됩니다.여기서 점 A는 원점, 꼬리, 베이스 또는 초기점이라고 불리며 점 B는 헤드, 팁, 엔드포인트, 종단점 또는 최종점이라고 불립니다.화살표의 길이는 벡터의 크기에 비례하는 반면 화살표가 가리키는 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.

2차원 도표에서는 도표의 평면에 수직인 벡터가 바람직할 수 있다.이러한 벡터는 일반적으로 작은 원으로 표시됩니다.중심에 점이 있는 원(Unicode U+2299 ⊙)은 다이어그램 전면에서 뷰어 쪽을 가리키는 벡터를 나타냅니다.십자가가 새겨진 원(Unicode U+2297θ)은 다이어그램 안쪽과 뒤쪽을 가리키는 벡터를 나타낸다.이것들은 화살의 끝을 정면으로 보고 화살의 비행을 뒤에서 보는 것으로 생각할 수 있다.

벡터로 계산하려면 그래픽 표현이 너무 번거로울 수 있습니다.n차원 유클리드 공간에서의 벡터는 데카르트 좌표계에서의 좌표 벡터로 표현될 수 있다.벡터의 끝점은 n개의 실수(n-tuple)의 순서 목록으로 식별할 수 있습니다.이러한 숫자는 주어진 데카르트 좌표계에 대한 벡터 끝점의 좌표이며, 일반적으로 좌표계의 축에 있는 벡터의 스칼라 성분(또는 스칼라 투영)이라고 불립니다.

2차원의 예(그림 참조)로서, 원점 O = (0, 0)에서 점 A = (2, 3)까지의 벡터는 다음과 같이 간단히 기술된다.

벡터의 꼬리가 원점과 일치한다는 개념은 암묵적이고 쉽게 이해된다.따라서 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{OA}}}$ $→$ (\$displaystyle\overright arrow$ {OA$}})$ 보다$$ 명확한 $표기법$은 일반적으로 필요하지 않은 것으로 간주됩니다(실제로 거의 사용되지 않습니다.

3차원 유클리드 공간(또는³ R)에서 벡터는 3배의 스칼라 성분으로 식별된다.

또 써있네요.

이것은 n차원 유클리드 공간(또는ⁿ R)으로 일반화 될 수 있다.

이러한 숫자는 특히 행렬을 다룰 때 다음과 같이 열 벡터 또는 행 벡터에 배치되는 경우가 많습니다.

n차원에서 벡터를 표현하는 또 다른 방법은 표준 기저 벡터를 도입하는 것입니다.예를 들어, 3차원에는 다음과 같은 3가지 요소가 있습니다.

이들은 각각 데카르트 좌표계의 x축, y축 및 z축을 가리키는 단위 길이의 벡터로 직관적으로 해석됩니다.이러한 관점에서 R의 임의의³ 벡터 a는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

또는

여기서₁ a, a₂, a는₃ 기준 벡터 또는 그에 상응하는 데카르트 축 x, y 및 z(그림 참조)에서 a의 벡터 성분(또는 벡터 투영)이라고 하며, a₁, a는₂₃ 각각의 스칼라 성분(또는 스칼라 투영)이다.

기초 물리학 교과서에서 표준 기저 벡터는 i${\displaystyle ,}$ $,$ $,$ k, \$mathbf {i},$ \$mathbf {j},$ \$mathbf {k}$로 대신 표기됩니다$($ x${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^,}$ ${\displaystyle y\stackrel{}{\mathbf{}}}$^, $^\$ \$mathbf {hat$}).이 경우 스칼라 성분과 벡터 성분은_x 각각_y a, a_z, a_x, a, a_y, a로_z 표시됩니다(굵은 글씨로 표시).따라서,

표기법_i e는 상위 수준의 수학, 물리학 및 공학에서 일반적으로 사용되는 지수 표기법 및 합산 규칙과 호환됩니다.

분해 또는 해결

위에서 설명한 바와 같이, 벡터는 종종 주어진 벡터를 형성하기 위해 합산하는 일련의 벡터 성분으로 설명된다.일반적으로 이러한 구성요소는 서로 수직인 기준 축 집합(기본 벡터)에 대한 벡터의 투영입니다.벡터는 그 집합에 대해 분해 또는 분해된다고 합니다.

벡터를 성분으로 분해하거나 분해하는^[16] 것은 벡터가 투영되는 축의 선택에 따라 달라지기 때문에 고유하지 않습니다.

또한 x${\displaystyle ^,\stackrel{}{\mathbf{}}y\stackrel{}{\mathbf{}}^,}$ $^\$\mathbf {$x},\mathbf {y},\mathbf {z}$의 데카르트 단위 벡터를 벡터를 벡터를 나타내는 기준으로 사용할 필요가 없습니다.벡터는 원통 좌표계($display$ , ${\displaystyle ^}$ , $^$ { $display$$style$ {\$hat$ }} , ${\bold$symbol {\$hat }}$ , \mathbf {${\displaystyle z\stackrel{}{\mathit{}}}$$}}$ ) $또는 구면$ ${\displaystyle \stackrel{\mathbf{(}}{\mathbf{}}}$$r$${\displaystyle ^}$ ,${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^\stackrel{}{\mathbf{}}}$^ $^$ ${\displaystyle style\stackrel{}{\mathit{}}}$ )의 단위 벡터 등 임의의 기준으로도 표현할 수 있습니다.$\mathbf {hat {r},$ {\$boldsymbol {theta }},$ {\$boldsymbol$ {$hat$}}, {\boldsymbol ${hi$}}}.$$후자의 두 가지 선택은 각각 원통형 또는 구형 대칭을 갖는 문제를 해결하는 데 더 편리하다.

기준의 선택은 변환 중인 벡터의 특성이나 동작에 영향을 미치지 않는다.

벡터는 또한 시간 또는 공간의 함수로서 방향을 변경하는 "고정되지 않은" 베이스 벡터에 대해 분할될 수 있습니다.예를 들어 3차원 공간의 벡터는 각각 법선인 2개의 축에 대해 분해되어 표면에 접선할 수 있다(그림 참조).또한 벡터의 반경 및 접선 구성요소는 물체의 회전 반경에 관련된다.전자는 반지름에 평행하고 후자는 ^[17]반지름에 직교한다.

이 경우, 각 구성요소는 고정 좌표계 또는 베이스 세트(예를 들어 전역 좌표계 또는 관성 기준 프레임)에 대해 차례로 분해될 수 있다.

기본 속성

다음 섹션에서는 기저 벡터와 함께 데카르트 좌표계를 사용합니다.

그리고 모든 벡터가 공통 기준점으로 원점을 갖는다고 가정합니다.벡터 a는 다음과 같이 기술됩니다.

평등

두 벡터는 크기와 방향이 같으면 같다고 합니다.마찬가지로 좌표가 같으면 같게 됩니다.그래서 두 벡터는

그리고.같음

반대, 평행 및 반평행 벡터

두 벡터는 크기가 같지만 방향이 반대일 경우 반대입니다.그래서 두 벡터는

그리고.만약의 경우는 반대이다두 벡터는 방향이 같지만 크기가 같지 않으면 평행하고 반대 방향이지만 크기가 같지 않으면 역평행입니다.

덧셈과 뺄셈

a와 b가 반드시 동일한 벡터는 아니지만 크기와 방향이 다를 수 있다고 가정합니다.a와 b의 합은

덧셈은 화살표 b의 꼬리를 화살표 a의 선두에 놓고 a의 꼬리부터 b의 선두까지 화살표를 그리면 그래픽으로 나타낼 수 있다.새로 그려진 화살표는 아래 ^[7]그림과 같이 벡터 a + b를 나타냅니다.

a와 b가 평행사변형의 변을 이루고 a + b가 대각선 중 하나이기 때문에 이 덧셈 방법을 평행사변형 규칙이라고 부르기도 합니다.a와 b가 같은 기준점을 갖는 결합 벡터일 경우 이 점도 a + b의 기준점이 됩니다.a + b = b + a 및 (a + b) + c = a + (b + c)라는 것을 기하학적으로 확인할 수 있다.

a와 b의 차이는

두 벡터의 감산은 다음과 같이 기하학적으로 설명할 수 있습니다. a에서 b를 빼려면 a와 b의 꼬리를 같은 지점에 놓고 b의 머리부터 a의 머리까지 화살표를 그립니다.이 새 화살표는 벡터(-b) + a를 나타내며, (-b)는 b의 반대입니다. 그림을 참조하십시오.그리고 (-b) + a = a - b.

스칼라 곱셈

벡터에 실수 r을 곱하거나 재스케일링해도 좋다.전통적인 벡터 대수의 맥락에서, 이러한 실수는 종종 벡터와 구별하기 위해 (척도에서) 스칼라라고 불린다.벡터에 스칼라를 곱하는 연산을 스칼라 곱셈이라고 합니다.결과 벡터는

직관적으로 스칼라 r을 곱하면 벡터에 r의 계수를 곱하면 늘어납니다.기하학적으로 이것은 (적어도 r이 정수인 경우) 한 벡터의 끝점이 다음 벡터의 시작점이 되는 선에 벡터의 r개의 복사본을 배치하는 것으로 시각화할 수 있다.

r이 음수일 경우 벡터는 방향을 바꾸고 180° 회전합니다.아래에 두 가지 예(r = -1 및 r = 2)가 나와 있습니다.

스칼라 곱셈은 모든 벡터 a와 b 및 모든 스칼라 r에 대해 벡터 덧셈에 대한 분포입니다.r ( a + b ) = ra + rba - b = a + (-1)b라는 것도 알 수 있습니다.

길이

벡터 a의 길이, 크기 또는 노름은 절대값(스칼라 '노름')과 혼동하지 않는 "a" 또는 "a"로 표시됩니다.

벡터 a의 길이는 유클리드 노름으로 계산할 수 있다.

이것은 기초₁ 벡터 e₂, e₃, e가 직교 단위 벡터이기 때문에 피타고라스 정리의 결과이다.

이것은 아래에서 설명하는 도트 곱의 제곱근과 벡터 자체의 제곱근과 같습니다.

단위 벡터

단위 벡터는 길이가 1인 벡터입니다.일반적으로 단위 벡터는 단순히 방향을 나타내기 위해 사용됩니다.임의의 길이의 벡터를 그 길이로 나누어 단위 ^[14]벡터를 작성할 수 있다.이를 벡터 정규화라고 합니다.단위 벡터는 종종 â과 같이 모자로 표시됩니다.

벡터 a = (a₁, a₂, a₃)를 정규화하려면 벡터 길이 θa의 역수로 벡터를 스케일링합니다.즉, 다음과 같습니다.

제로 벡터

0 벡터는 길이가 0인 벡터입니다.좌표로 작성된 벡터는 (0, 0, 0)이며, 일반적으로 0 $→$ ${\displaystyle$ {$0$ 0 또는 단순히 $0$으로 표시됩니다.다른 벡터와 달리, 이것은 임의 또는 불확정 방향을 가지며 정규화할 수 없습니다(즉, 0 벡터의 배수인 단위 벡터는 없습니다).임의의 벡터 a를 갖는 영 벡터의 합은 a(0 + a = a)입니다.

도트 제품

2개의 벡터 a와 b(내부 곱이라고도 함)의 도트곱은 µb로 나타내며 다음과 같이 정의된다.

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도에 대한 측정값입니다(코사인 설명은 삼각함수 참조).기하학적으로 이는 a와 b가 공통의 시작점으로 그려지고, 그 후 a의 길이에 a와 같은 방향을 가리키는 b의 성분의 길이를 곱하는 것을 의미한다.

도트곱은 또한 각 벡터의 성분의 곱의 합으로 정의될 수 있다.

크로스 프로덕트

교차 곱(벡터 곱 또는 외부 곱이라고도 함)은 3차원 또는 7차원에서만 의미가 있습니다.교차곱은 주로 두 벡터의 교차곱의 결과가 벡터라는 점에서 점곱과 다릅니다.a × b로 표시된 교차곱은 a와 b 모두에 수직인 벡터이며 다음과 같이 정의된다.

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도의 측정값이고, n은 a와 b에 수직인 단위 벡터로서 오른손잡이 시스템을 완성한다.a와 b에 수직인 두 개의 단위 벡터, 즉 n과 (-n)가 존재하기 때문에 오른손잡이 구속조건이 필요합니다.

교차곱 a × b는 a, b 및 a × b도 오른손잡이 시스템이 되도록 정의된다(단, a와 b는 반드시 직교할 필요는 없다).이게 오른손 법칙이에요.

a × b의 길이는 a와 b를 변으로 하는 평행 사변형의 영역으로 해석할 수 있다.

교차곱은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

임의의 공간 방향 선택(즉, 왼손 및 오른손 좌표계를 허용)의 경우 두 벡터의 교차곱은 벡터 대신 의사벡터입니다(아래 참조).

스칼라 트리플 곱

스칼라 삼중곱(박스곱 또는 혼합 삼중곱이라고도 함)은 실제로 새로운 연산자가 아니라 다른 두 곱셈 연산자를 세 개의 벡터에 적용하는 방법입니다.스칼라 삼중곱은 때때로 (a b c)로 나타내며 다음과 같이 정의된다.

주로 세 가지 용도가 있습니다.첫째, 박스 제품의 절대값은 3개의 벡터에 의해 정의되는 에지를 가진 평행입방체의 부피이다.둘째, 스칼라 삼중곱은 3개의 벡터가 선형 의존적인 경우에만 0이며, 이는 3개의 벡터가 부피를 만들지 않기 위해서는 모두 같은 평면에 있어야 한다는 점을 고려함으로써 쉽게 증명할 수 있다.셋째, 박스 제품은 3개의 벡터 a, b, c가 오른손잡이일 경우에만 양수이다.

성분(오른손 직교 기준과 관련하여)에서, 세 벡터가 행(또는 열, 그러나 같은 순서)으로 생각되는 경우, 스칼라 삼중곱은 단순히 세 벡터를 행으로 갖는 3-x3 행렬의 결정식이다.

스칼라 삼중곱은 세 가지 항목 모두에서 선형이며 다음과 같은 점에서 반대칭적입니다.

복수 데카르트 기저 변환

지금까지의 모든 예에서는 동일한 기준, 즉 e 기준 {e₁, e₂, e₃}로 표현된 벡터를 다루었다.그러나 벡터는 반드시 서로 정렬되지 않고 여전히 동일한 벡터로 유지되는 임의의 수의 다른 베이스로 표현될 수 있습니다.e베이스에서 벡터 a는 정의상 다음과 같이 표현된다.

e베이스의 스칼라 컴포넌트는 정의상 다음과 같습니다.

e와 반드시 정렬되지 않은 다른 직교 정규 기저 n = {n₁, n₂, n₃}에서 벡터 a는 다음과 같이 표현된다.

n기준의 스칼라 컴포넌트는 정의상

p, q, r 및 u, v, w의 값은 두 경우 모두 벡터 합계가 정확히 동일한 물리 벡터 a가 되도록 단위 벡터에 관련되어 있습니다.서로 다른 베이스의 관점에서 알려진 벡터(예를 들어, 하나는 지구에 고정되고 다른 하나는 움직이는 차량에 고정됨)와 마주치는 것이 일반적이다.이 때, 덧셈이나 뺄셈등의 기본적인 벡터 연산을 실시할 수 있도록, 베이스간의 변환 방법을 개발할 필요가 있다.p, q, r의 관점에서 u, v, w를 표현하는 한 가지 방법은 두 개의 염기에 관련된 정보를 포함하는 방향 코사인 행렬과 함께 열 행렬을 사용하는 것입니다.이러한 표현은 위의 방정식을 대체하여 형성될 수 있다.

도트 곱셈 분포는 다음을 제공합니다.

각 도트 제품을 고유한 스칼라로 대체하면

그리고 이 방정식은 단일 행렬 방정식으로 표현될 수 있다.

이 매트릭스 방정식은 n기준(u, v 및 w)의 스칼라 성분과 e기준(p, q 및 r)의 스칼라 성분을 관련짓습니다.각 매트릭스 요소_jk c는 n~^[18]e에_k 관련된_j 방향 코사인이다.방향 코사인이라는 용어는 두 단위 벡터 사이의 각도의 코사인(dot product)을 나타냅니다.^[18]그러므로,

총체적으로 e2, e기반으로 e3고, n2, n3 n기준으로 n1에 e1를 참조하여 매트릭스 모든 cjk을 포함하는"en까지 변환 매트릭스"또는"en까지 회전 행렬"(때문에 벡터의"회전"로 어느 한 기준에서 다른 상상할 수 있), 또는"en까지 방향 코사인 행렬"[18](b로 알려져 있ecause 그것 co방향 코사인 포함)회전 행렬의 특성은 그 역행렬의 전치 행렬과 같다.즉, "e에서 n으로의 회전 행렬"이 "n에서 e로의 회전 행렬"의 전치임을 의미합니다.

방향 코사인 행렬 C의 속성은 다음과 같습니다.^[19]

• 행렬식은 단일성, C = 1이다.
• 역수는 전치값과 같다.
• 행과 열은 직교 단위 벡터이므로 점곱은 0입니다.

이 방법의 장점은 방향 코사인 행렬은 보통 두 벡터 베이스를 관련짓기 위해 오일러 각도 또는 사분수를 사용하여 독립적으로 얻을 수 있기 때문에 위에서 설명한 모든 도트 곱을 구하지 않고도 기저 변환을 직접 수행할 수 있다는 것이다.

몇 개의 행렬 곱셈을 연속적으로 적용함으로써, 방향 코사인 집합이 연속된 ^[18]베이스와 관련된 것으로 알려진 한, 어떤 벡터가든 표현될 수 있다.

기타 치수

크로스 및 트리플 제품을 제외하고 위의 공식은 2차원 이상의 차원으로 일반화되어 있습니다.예를 들어, 덧셈은 다음과 같이 2차원으로 일반화한다.

4차원으로서

교차곱은 다른 치수에 쉽게 일반화되지 않는다. 그러나 밀접하게 관련된 외부곱이 그러하다. 그 결과 쌍방향성(bivector)이 된다.2차원에서 이것은 단순한 의사 비늘이다.

7차원 교차곱은 그 결과가 두 개의 인수에 직교하는 벡터라는 점에서 교차곱과 유사하지만, 가능한 곱 중 하나를 선택하는 자연스러운 방법은 없다.

물리

벡터는 물리학과 다른 과학에서 많이 쓰인다.

길이 및 단위

추상 벡터 공간에서 화살표의 길이는 무차원 척도에 따라 달라집니다.예를 들어 힘을 나타내는 경우, "척도"는 물리적 치수 길이/힘입니다.따라서 일반적으로 동일한 치수의 수량 간에 스케일 일관성이 있지만, 그 이외의 스케일 비율은 다를 수 있다. 예를 들어 "1 뉴턴"과 "5 m"가 모두 2 cm의 화살표로 표시되는 경우 스케일은 각각 1 m:50 N과 1:250이다.다이어그램이 나타내는 시스템에 고유한 비례 상수가 없는 한 서로 다른 차원의 벡터의 동일한 길이는 특별한 의미가 없습니다.또한 단위 벡터의 길이(길이/힘 등이 아닌 치수 길이)는 좌표계 불변적 유의성이 없습니다.

벡터 값 함수

종종 물리학과 수학 영역에서 벡터는 시간에 따라 진화하는데, 이는 시간 매개 변수 t에 의존한다는 것을 의미합니다.예를 들어 r이 입자의 위치 벡터를 나타내는 경우, r(t)는 입자의 궤적을 파라메트릭으로 나타낸다.벡터 값 함수는 벡터의 성분을 미분 또는 적분함으로써 미분되고 통합될 수 있으며, 미적분으로부터 익숙한 많은 규칙들은 벡터 값 함수의 미분 및 적분에 대해 계속 유지된다.

위치, 속도 및 가속도

3차원 공간에서 점 x = (x₁, x₂, x₃)의 위치는 기준점이 원점인 위치 벡터로 표현될 수 있다.

위치 벡터에는 길이의 치수가 있습니다.

두 점 x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃)이 주어지면 변위는 벡터이다.

x에 대한 y의 위치를 지정합니다.이 벡터의 길이는 x에서 y까지의 직선 거리를 나타냅니다.변위에는 길이의 치수가 있습니다.

점이나 입자의 속도 v는 벡터이며, 그것의 길이는 속도를 나타낸다.등속도의 경우 시간 t에서의 위치는 다음과 같습니다.

여기서₀ x는 시간 t = 0의 위치입니다. 속도는 위치의 시간 미분입니다.치수는 길이/시간입니다.

점의 가속도 a는 속도의 시간 도함수인 벡터이다.치수는 길이/시간입니다².

힘, 에너지, 일

힘은 질량×길이/시간의² 차원을 갖는 벡터이고 뉴턴의 제2법칙은 스칼라 곱셈이다.

일은 힘과 변위의 점곱이다.

벡터, 의사 벡터 및 변환

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유클리드 벡터의 대체 특성화는, 특히 물리학에서, 그것들을 좌표 변환 하에서 특정한 방식으로 작용하는 양의 목록으로 설명한다.역변 벡터는 기저의 변화 하에서 "기준과 반대되는 변환" 요소를 가져야 한다.벡터 자체는 기본이 변환될 때 변경되지 않습니다. 대신, 벡터의 구성요소는 기본의 변화를 상쇄하는 변화를 일으킵니다.즉, 기준축(및 기준축에서 파생된 기준축)이 한 방향으로 회전하면 벡터의 성분 표현은 반대 방향으로 회전하여 동일한 최종 벡터를 생성합니다.마찬가지로 기준 축이 한 방향으로 늘어나면 벡터의 성분이 정확하게 보정되는 방식으로 감소합니다.수학적으로, 기초가 가역행렬 M에 의해 기술된 변환을 거치고, 좌표 벡터 x가 xθ = Mx로 변환된다면, 반변 벡터 v는 vθ =${\displaystyle {}^{}}$M -$$ {\$displaystyle$^{-$1}$ $v$를 통해 유사하게 변환되어야 한다.이 중요한 요건은 반변 벡터를 물리적으로 의미 있는 다른 세 가지 양으로부터 구별하는 것입니다.예를 들어 v가 속도의 x, y 및 z 성분으로 구성되어 있다면 v는 반변위 벡터입니다. 공간의 좌표가 늘어나거나 회전하거나 꼬이면 속도의 성분도 같은 방식으로 변환됩니다.반면 직사각형 상자의 길이, 너비, 높이로 이루어진 3중으로 추상 벡터의 세 가지 구성 요소를 구성할 수 있지만 상자를 회전한다고 상자의 길이, 너비, 높이가 달라지는 것은 아니기 때문에 이 벡터는 반변하지 않습니다.반전 벡터의 예로는 변위, 속도, 전계, 운동량, 힘 및 가속도가 있습니다.

미분기하학 언어에서 벡터의 성분이 좌표 천이의 동일한 행렬에 따라 변환된다는 요건은 반변 벡터를 반변 랭크 텐서로 정의하는 것과 같다.또는 역변 벡터를 탄젠트 벡터로 정의하고 역변 벡터를 변환하는 규칙을 체인 규칙에서 따른다.

일부 벡터는 반변 벡터처럼 변환되지만 거울을 통해 반사될 때 뒤집혀 마이너스 부호를 얻습니다.오른손잡이를 왼손잡이로, 거울처럼 왼손잡이로 바꾸는 변환은 공간의 방향을 바꾼다고 한다.공간의 방향이 바뀌었을 때 마이너스 부호를 얻는 벡터를 의사 벡터 또는 축 벡터라고 합니다.보통 벡터는 의사 벡터와 구별하기 위해 참 벡터 또는 극 벡터라고 불리기도 합니다.의사 벡터는 두 일반 벡터의 교차곱으로 가장 자주 발생합니다.

의사벡터의 한 예는 각속도이다.차를 타고 앞을 보면, 각각의 바퀴는 왼쪽을 가리키는 각속도 벡터를 가지고 있다.만약 세계가 자동차의 왼쪽과 오른쪽을 바꾸는 거울에 비친다면, 이 각속도 벡터의 반사는 오른쪽을 가리키지만, 실제 바퀴의 각속도 벡터는 여전히 마이너스 부호에 해당하는 왼쪽을 가리키고 있다.의사 벡터의 다른 예로는 자기장, 토크 또는 일반적으로 두 개의 (참) 벡터의 교차곱이 있습니다.

벡터와 의사 벡터의 이러한 차이는 종종 무시되지만 대칭 특성을 연구하는 데 있어 중요해진다.패리티(물리학)를 참조하십시오.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

수학적 처리

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• Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
• 를 클릭합니다Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
• 를 클릭합니다Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.
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물리치료

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외부 링크

• "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 온라인 벡터 ID(PDF)
• 벡터 소개 A 개념 소개(응용 수학)