코커넬

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벡터 공간 f : X → Y의 선형 매핑의 코커넬은 f의 이미지에 의한 f의 코도메인의 지수 공간 Y / im(f)이다.코커넬의 치수는 f의 코랭크라고 불린다.

코커넬은 범주 이론의 커널에 이중적이므로 이름: 커널은 도메인의 하위 개체(그 커널은 도메인에 매핑됨)인 반면, 코커넬은 코도메인의 몫 개체(코도메인으로부터 맵핑됨)이다.

직관적으로, 해결하고자 하는 방정식 f(x) = y가 주어진 경우, 코커넬은 이 방정식이 해결책을 갖기 위해 충족해야 하는 제약조건(솔루션에 대한 장애물)을 측정하는 반면, 커널은 솔루션의 자유도를 측정한다.이것은 직감으로 상세하게 아래에 설명되어 있다.

보다 일반적으로 어떤 범주에서 형태론 f : X → Y의 코커넬(예: 집단 간의 동형상 또는 힐버트 공간 간의 경계 선형 연산자)은 개체 Q와 형태론 q : Y → Q로서 구성 q f는 범주의 제로 형태론이며, 나아가 q는 이 속성에 관하여 보편적이다.종종 지도 q가 이해되고, Q 자체를 f의 코커넬이라고 부른다.

아벨 그룹, 벡터 공간 또는 모듈과 같은 추상 대수학에서 많은 상황에서 동형상 f : X → Y의 코커넬은 f의 이미지에 의한 Y의 몫이다.힐버트 공간 사이의 경계 선형 연산자와 같은 위상학적 설정에서는 일반적으로 인수로 전달하기 전에 이미지를 닫아야 한다.

형식 정의

범주 이론의 일반적인 틀에서 코커넬을 정의할 수 있다.정의가 이치에 맞으려면 해당 범주의 형태는 0이어야 한다.형태론 f : X → Y의 코커넬은 f와 영점 형태론 0_XY : X → Y의 동등분자로 정의된다.

명백하게 이것은 다음을 의미한다.f : X → Y의 코커넬은 도표와 같은 형태론 q : Y → Q와 함께 객체 Q이다.

통근하다또한, 형태론 q는 이 도표에서 보편적이어야 한다. 즉, 다른 q′ : Y → Q′은 고유한 형태론 u : Q → Q′:

모든 보편적 구조와 마찬가지로, 코커넬이 존재한다면, 고유한 이소모르피즘에 따라, 또는 더 정확히 말하면: Q : Y → Q와 Q′ : Y → Q가 f : X → Y의 두 개의 코커넬이라면, Q' = Q = uq의 고유한 이소모르피즘 u : Q → Q가 존재한다.

모든 등가제처럼 코커넬 q : Y → Q는 반드시 경구형이다.반대로 어떤 형태론의 코커넬이라면 인식주의를 정상(또는 요람)이라고 부른다.모든 경구형이 정상인 경우(예: 집단의 범주는 요정이다) 범주를 요정이라고 한다.

예

집단의 범주에서 집단동형주의 f : G → H의 코커넬은 f의 이미지를 정상적으로 클로징하여 H의 몫이다.아벨 그룹의 경우, 모든 부분군이 정상이기 때문에 코커넬은 f:의 이미지로 H modulo일 뿐이다.

${\displaystyle \operatorname {coker}(f)=H/\operatorname {im}(f)}$

특례

가법전 범주에서는 형태론을 더하고 빼는 것이 타당하다.그러한 범주에서, 두 가지 형태변수 f와 g(존재하는 경우)의 동등분자는 그들 차이의 코커넬일 뿐이다.

${\displaystyle \coeq}(f,g)=\coker}(g-f)}$

아벨 범주(특별한 종류의 부가적 범주)에서 형태론 f의 이미지와 코이미지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\regressed}\instame {im}(f)&=\ker(\coker}f),\\\\coim}(f)&=\cockername {coker}(\ker f).\end{정렬}}}$

특히 모든 아벨의 범주는 정상(그리고 요람도 마찬가지)이다.즉, 모든 단모형 m은 어떤 형태론의 알맹이로 쓰여질 수 있다.특히 m은 그 자체 코커넬의 알맹이다.

${\displaystyle m=\ker(\displayname {coker})(m)}$

직감

코커넬은 낟알이 해결의 공간인 것처럼 하나의 방정식이 충족시켜야 하는 제약조건의 공간으로 생각할 수 있다.

형식적으로는 정확한 순서에 의해 지도 T: V → W의 커널과 코커넬을 연결할 수 있다.

${\displaystyle 0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }W\to 0} \operatorname {coker}T\to 0}$

이러한 것들은 다음과 같이 해석될 수 있다: 해결할 선형 방정식 T(v) = w를 주어진다면,

• 커널은 동질 방정식 T(v) = 0에 대한 해법의 공간이며, 그 치수는 T(v) = w에 대한 해법의 자유도(존재하는 경우)이다.
• 코커넬은 방정식이 해결책을 가지려면 충족되어야 하는 w에 대한 제약조건의 공간이며, 그 치수는 방정식이 해결책을 가지려면 충족되어야 하는 독립적 제약조건의 수입니다.

인용 공간 W/T(V)의 치수는 단순히 공간의 치수에서 이미지의 치수를 뺀 것이기 때문에 코커넬의 치수에 이미지(등급)의 치수를 더한 것이다.

간단한 예로서 T(x, y) = (0, y)로 주어진 지도 T: R² → R을² 고려한다.그런 다음 방정식 T(x, y) = (a, b)가 솔루션을 가지려면 a = 0(하나의 제약조건)이 있어야 하며, 그 경우 솔루션 공간은 (x, b) + (x, b), (x, 0), (1 자유도)가 있어야 한다.낟알은 아공간(x, 0) ⊆ V로 표현될 수 있다: x의 값은 해결책의 자유다.코커넬은 실제 가치 지도 W: (a, b) → (a): 벡터 (a, b)를 통해 표현될 수 있으며, a의 값은 해결책이 존재하기 위한 방해물이다.

또한, 코커넬은 커널이 주사제를 "탐지"하는 것과 같은 방법으로 거절을 "탐지"하는 것으로 생각할 수 있다.지도는 그것의 커널이 사소한 경우에만 주입되며, 지도는 그것의 코커넬이 사소한 경우에만 주입되며, 다시 말해 W = im(T)인 경우 및 그 경우에만 주입된다.

참조

• Sunders Mac Lane: 일하는 수학자를 위한 카테고리, Second Edition, 1978, 페이지 64
• Emily Riehl: 맥락에서의 범주 이론, 오로라 현대 수학 원점, 2014, 페이지 82, 페이지 139 각주 8.