미세하게 생성된 모듈

수학에서 미세하게 생성된 모듈은 유한 생성 세트를 갖는 모듈이다.링 R에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈을 유한 R 모듈이라고도 하며, R에 대해 유한한 모듈 ^[1]또는 유한 형식의 모듈이라고도 할 수 있다.

관련 개념은 아래에 정의된 세부적인 열병합 발전 모듈, 정밀하게 제시된 모듈, 정밀하게 관련된 모듈 및 일관성 있는 모듈을 포함한다.노메테리아 링을 넘어서면 정교하게 생성되고, 정교하게 제시되며, 일관성이 있는 모듈의 개념이 일치한다.

필드 위에서 미세하게 생성된 모듈은 단순히 유한 차원 벡터 공간이며, 정수 위에서 미세하게 생성된 모듈은 단순히 미세하게 생성된 아벨 그룹일 뿐이다.

정의

왼쪽 R-모듈 M은 a₁, a, ..., a in_2n M이 있는 경우 미세하게 생성되며, M에 있는 모든 x에 대해₁ r, r₂, ..., r이_n R에 있고 x = la₁₁ + la₂₂ + ...가 있다.+ r_na_n.

이 경우 {a₁, a₂, ..., a_n} 집합을 M 생성 집합이라고 한다.유한 발생 집합은 R에 대해 선형적으로 독립적일 필요가 없으므로 기준이 될 필요는 없다.사실: M은 굴절적 R-선형 지도가 있는 경우에만 정밀하게 생성된다.

${\displaystyle R^{n}\to M}$

일부 n에 대해(M은 유한 등급의 자유 모듈의 지수)

만약 세트 S가 미세하게 생성되는 모듈을 생성한다면, S에 포함된 유한 생성 세트가 있다. 왜냐하면 어떤 유한 생성 세트를 표현하기 위해서는 S에서 미세하게 많은 원소만 필요하기 때문이다. 그리고 이러한 미세하게 많은 원소들이 생성 세트를 형성하기 때문이다.그러나 S는 최소 카디널리티의 유한 생성 세트를 포함하지 않는 경우가 발생할 수 있다.예를 들어 {1}과(와) 소수 $집합$은$$Z {\$displaystyle$$$\$mathb$ {$Z$$}($으)로$$보이는 Z {\$displaystyle \mathb${Z$$} -module$)$ 집합을 생성하는 것이지만 소수 집합은 최소 두 개의 요소를 가지고 있다.

모듈 M이 필드 R에 대한 벡터 공간이고 생성 세트가 선형적으로 독립된 경우 n은 잘 정의되어 있으며 M의 치수(잘 정의된 것은 모든 선형 독립 생성 세트가 n 요소를 가지고 있다는 것을 의미함: 이것이 벡터 공간의 치수 정리)라고 한다.

어떤 모듈도 정밀하게 생성된 하위조항들의 지시된 집합의 결합이다.

모듈 M은 유니언 M이 있는 하위절의 증가하는 체인 M이_i 안정화되는 경우에만 정밀하게 생성된다. 즉, M_i = M과 같은 일부 i가 있다.조른의 보조정리기가 있는 이 사실은 미세하게 생성되지 않은 모든 모듈들이 최대 하위종을 인정한다는 것을 암시한다.증가하는 서브모듈 체인이 안정화되면(즉, 서브모듈이 미세하게 생성됨), 모듈 M을 노메트리안 모듈이라고 한다.

예

• 한 요소에 의해 모듈이 생성되는 것을 순환 모듈이라고 한다.
• R은 K와 그 분수분야의 일체형이 되게 하라.그리고 K의 모든 미세 생성 R-하위모듈 I는 분수 이상이다. 즉, R에 rI가 포함되는 R에 0이 아닌 r이 있다.실제로, R은 I의 생성자의 분모의 산물이 될 수 있다.만약 R이 노메테리아라면, 모든 부분적인 이상은 이런 방식으로 생긴다.
• 정수 Z의 링 위에서 정밀하게 생성된 모듈은 정밀하게 생성된 아벨리안 그룹과 일치한다.이것들은 구조 정리에 의해 완전히 분류되어 Z를 주요 이상영역으로 삼는다.
• 디비전 링 위에 미세하게 생성된(say left) 모듈은 정확히 유한 치수 벡터 공간(디비전 링 위)이다.

몇 가지 사실

미세하게 생성된 모듈의 모든 동형상 이미지는 미세하게 생성된다.일반적으로 정밀하게 생성된 모듈의 하위 모델은 정밀하게 생성될 필요가 없다.예를 들어, 모든 다항식의 R = Z[X₁, X₂, ...]를 카운트다운할 수 있는 많은 변수에 고려하십시오.R 자체는 미세하게 생성된 R-모듈(생성 세트로 {1}이(가) 있음)이다.상수 항이 0인 모든 다항식으로 구성된 하위 모듈 K를 고려하십시오.모든 다항식에는 계수가 0이 아닌 항만 미세하게 많이 포함되기 때문에 R-모듈 K는 정밀하게 생성되지 않는다.

일반적으로 모든 서브모듈이 미세하게 생성되면 모듈은 노메테리아라고 한다.노메테리아 링 위에 정밀하게 생성된 모듈은 노메테리아 모듈이다(실제로 이 특성은 노메테리아 링의 특징을 나타낸다).노메테리아 링 위의 모듈은 노메테리아 모듈인 경우에만 정밀하게 생성된다.이것은 힐베르트의 기본 정리처럼 꼭 닮았지만, 노메테리아 링 R을 넘어서는 다항 링 R[X]이 노메테리아라고 기술한 것은 아니다.두 가지 사실 모두 노에테리아 반지를 넘어 미세하게 생성된 교감대수가 다시 노에테리아 반지임을 암시한다.

보다 일반적으로, 정밀하게 생성된 모듈인 대수(예: 고리)는 정밀하게 생성된 대수다.반대로, 만약 정밀하게 생성된 대수학이 (계수 링 위에) 통합되어 있다면, 그것은 정밀하게 생성된 모듈이다.(자세한 내용은 통합 요소를 참조하십시오.)

0 → M′ → M′ → M′′ → 0을 모듈의 정확한 순서가 되도록 한다.그 다음 M,, M′가 미세하게 생성되면 M이 미세하게 생성된다.이것에 대한 부분적인 대화가 있다.M이 미세하게 생성되고 M'이 미세하게 표시되면(세밀하게 생성된 M보다 강력함, 이하 참조) M′가 미세하게 생성된다.또한 M은 노메테리아(resp)이다.아르티니아어) 만약 M′, M′가 노메테리아어(resp)이다.아르티니아어).

B를 링으로 하고 A의 서브링을 A로 하여 충실하게 평평한 오른쪽 A-모듈로 한다.그 다음 B-모듈 B _Afin F가 미세하게 생성되는 경우(정확하게 표시)에만 왼쪽 A-모듈 F가 미세하게 생성된다(정확하게 표시됨).^[2]

정류 링을 통해 미세하게 생성된 모듈

교감 링 R을 통해 정밀하게 생성된 모듈의 경우 나카야마의 보조정리기가 기본이다.때때로 보조정리기는 정밀하게 생성된 모듈에 대한 유한 치수 벡터 공간 현상을 증명할 수 있게 한다.예를 들어, f : M → M이 정밀하게 생성된 모듈 M의 굴절적 R-endomphism이라면, f도 주입적이므로 M의 자동형이다.^[3]이것은 단순히 M이 홉피안 모듈이라고 말한다.마찬가지로 아르티니아 모듈 M은 coHopfian이다: 어떤 주입성 내형성 f도 역시 허탈성 내형성이다.^[4]

모든 R-모듈은 정밀하게 생성된 R-하위모듈의 유도 한계다.이는 유한한 경우에 대한 가정을 약화시키는 데 유용하다(예: Tor functor를 사용한 평탄도의 특성화).

유한 생성과 적분 원소 사이의 연결의 예는 교호작용 알제브라에서 찾을 수 있다.교대수 A가 R보다 정밀하게 생성된 고리라고 하는 것은 G와 R을 포함하는 A의 가장 작은 서브링 자체가 A일 정도로 A의 원소 G = {x₁, ..., x}의_n 집합이 존재한다는 것을 의미한다.원소를 결합하는 데 링 제품을 사용할 수 있기 때문에 G 원소의 R-선형 조합 이상의 것이 생성된다.예를 들어 다항 링 R[x]은 {1,x}에 의해 링으로 미세하게 생성되지만 모듈로는 생성되지 않는다.A가 R에 대한 (단일성을 갖는) 교환 대수인 경우, 다음 두 문장이 동등하다.^[5]

• A는 정밀하게 생성된 R 모듈이다.
• A는 R 위로 미세하게 생성되는 링이자 R의 일체형 확장이다.

일반 순위

M은 분수 K의 필드가 있는 통합 영역 A에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈이 되도록 한다.그러면 치수 ${\displaystyle {딤}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$) ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$을(를) A에 대한 M의 일반 순위라고 한다$$.이 숫자는 M에서 최대 A-선형 독립 벡터의 수와 동일하거나 M.의 최대 자유 서브모듈의 순위(cf. rank of abelian group)와 동등하게 동일하다.$({\displaystyle M}$/ ${\displaystyle F{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{M}}_{}}$( 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{F}}_{}}$( ${\displaystyle 0{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{0)=$$0{\displaystyle }$$\},$ M${\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M/F}$는 비틀림 모듈이다.A가 노메테리아인 경우, 일반적인 자유도에 의해, $M{\displaystyle }$[ f -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]}$이${\displaystyle (}$가) $무료{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$ [ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ A$[f^{-1}]}$ -module이$$ 되는$$ (M에 따라) 요소가 있다.그렇다면 이 자유 모듈의 등급은 M의 일반 등급이다.

Now suppose the integral domain A is generated as algebra over a field k by finitely many homogeneous elements of degrees ${\displaystyle d_{i}}$. Suppose M is graded as well and let ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum \operatorname {dim} _{k}(M_{n})t^{n}}$ be the Poincaré series of M.힐베르트-세레 정리에는 ${\displaystyle {\mathrm{P}}^{}}$ ${\displaystyle M{}_{}}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= F${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{t}}$) ${\displaystyle \prod }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle {i_{}}^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$와 같은 다항식 F가 있다$.$그러면 $F{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle$ F$(1)}$이(가) M의 일반 순위다$$.^[6]

주요 이상영역 위에 정밀하게 생성된 모듈은 비토션(torsion)이것은 주요 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리의 결과로서, PID에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈은 비틀림 모듈과 자유 모듈의 직접적인 합이라고 하는 기본 형태다.그러나 그것은 또한 다음과 같이 직접적으로 보여질 수 있다: M은 PID A를 통해 토션 없는 미세하게 생성된 모듈이고 F는 최대 자유 하위 모듈이다.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle fM\subset F}$와 같은 A에 있도록 한다. 그러면$$f $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle fM}$은(는) 무료 모듈의 하위 모듈이고 A는 PID이기 때문에 무료다$$.그러나 이제 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle f}$ M ${\displaystyle f:$$M\to fM}$은(는) 비틀림이 없기 때문에 이형이다.

위와 같은 논거에 의해, 디데킨드 영역 A(또는 더 일반적으로 반열 고리)에 대해 정밀하게 생성된 모듈은 투과성이 있는 경우에만 투과성이 없다. 결과적으로, A보다 정밀하게 생성된 모듈은 토션 모듈과 투과 모듈의 직접적인 합이다.노메테리아 적분영역 위에 정밀하게 생성된 투영 모듈은 일정한 순위를 가지며, 따라서 A보다 정밀하게 생성된 모듈의 일반 순위는 투영 부분의 순위다.

등가 정의 및 정밀하게 통합된 모듈

다음 조건은 M이 미세하게 생성되는 것과 동등하다(예:

• For any family of submodules {N_i i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$, then ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$ for some finite subset F of I.
• ${\displaystyle \underset{}{M}}$의 모든 하위 모듈 체인 {${\displaystyle \underset{}{\mathrm{N_i}}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ I${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle I_{}}$ = M ${\$인 경우, I의_i 일부 I에 대해 N = M.
• If ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ is an epimorphism, then the restriction ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$ is an epimorphism for some finite subset F of I.

이러한 조건에서 미세하게 생성되는 것이 모리타 동등성에 의해 보존된 재산임을 쉽게 알 수 있다.이 조건들은 또한 정밀하게 열병합 발전된 모듈 M의 이중 개념을 정의하기에 편리하다.다음 조건은 모듈이 정밀하게 열병합 발전(f.cog).

• For any family of submodules {N_i i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, then ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$ for some finite subset F of I.
• M의 모든 하위 모듈 체인 {N_i I ∈ I${\displaystyle {}_{}}$에 대해, $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}\underset{}{}}$= { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$in I}{$i}=\{0\},$ 그리고$$I의 일부 I에 대해_i N = {0}.
• If ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ is a monomorphism, where each ${\displaystyle N_{i}}$ is an R module, then ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$ is a monomorphism for some finite subset F of I.

f.g.모듈과 f.cog.모듈 모두 노메트리안과 아르티니아모듈, 그리고 모듈의 Jacobson radical J(M)와 소클 SOC(M)와 흥미로운 관계를 맺고 있다.다음의 사실들은 두 조건 사이의 이중성을 보여준다.모듈 M의 경우:

• M의 모든 서브모듈 N이 f.g일 경우에만 M은 노메테리아다.
• 모든 지수 모듈 M/N이 f.cog인 경우에만 M이 Artinian이다.
• M은 만약 J(M)가 M의 불필요한 서브모듈이라면 F.g이고, M/J(M)은 F.g.
• M은 만약 Soc(M)이 M의 필수 하위 모듈이라면, 그리고 Soc(M)이 F.cog이다.
• 만약 M이 (어떤 모듈 N에 대한 soc(N)과 같은) 반이행 모듈이라면, 그것은 f.cog의 경우와 f.cog의 경우에만 해당된다.
• M이 F.g.이고 0이 아닌 경우 M은 최대 하위 모듈을 가지며 모든 지수 모듈 M/N은 F.g.
• 만약 M이 f.cog.이고 nonzero라면, M은 최소 서브모듈을 가지고 있고, M의 모든 서브모듈 N은 f.cog이다.
• N과 M/N이 f.g라면 M도 마찬가지다.f.g.를 f.cog로 대체해도 마찬가지다.

미세하게 열병합발전된 모듈은 한정된 균일한 치수를 가져야 한다.이는 미세하게 생성된 필수 소클을 사용하여 특성화를 적용하면 쉽게 알 수 있다.다소 비대칭적으로, 정밀하게 생성된 모듈들이 반드시 유한한 균일한 치수를 가지는 것은 아니다.예를 들어, 0이 아닌 링의 무한 직접 생산물은 그 자체로 정밀하게 생성된 (순환!) 모듈이지만, 0이 아닌 하위조종의 무한 직접 합을 분명히 포함하고 있다.정밀하게 생성된 모듈도 반드시 유한한 동일 통일 치수를 가지는 것은 아니다. R/J(R)가 반실행 링이 아닌 것처럼 단결을 가진 모든 링 R은 ceremisimaterexample이다.

정밀하게 표시되고, 정밀하게 연관되며, 일관성이 있는 모듈

또 다른 공식은 다음과 같다: 미세하게 생성된 모듈 M은 다음과 같이 R을^k M에 매핑하는 인식형성이다.

f : R^k → M.

자, 이제 깨달음 현상이 나타난다고 가정해봅시다.

φ : F → M.

모듈 M 및 자유 모듈 F의 경우.

• φ의 낟알이 미세하게 생성되면 M을 finally 관련 모듈이라고 한다.M은 F/ker(f/ker)에 대해 이형성이므로, 이는 기본적으로 M을 자유 모듈을 취하여 F(ker(ker)의 발전기) 내에서 미세하게 많은 관계를 도입함으로써 얻는다는 것을 나타낸다.
• φ의 커널이 미세하게 생성되고 F가 유한한 순위(즉, F=R^k)를 갖는 경우, M은 미세하게 표시되는 모듈이라고 한다.여기서 M은 미세하게 많은 발전기(F=R의^k k 발전기 이미지)와 미세하게 많은 관계(커(ker) 발전기)를 사용하여 지정된다.무료 프레젠테이션을 참조하십시오.정밀하게 제시된 모듈은 R-modules 범주 내에서 추상적인 속성으로 특징지어질 수 있다. 그들은 정확히 이 범주에서 콤팩트한 객체들이다.
• 일관성 있는 모듈 M은 정밀하게 생성된 하위 모형이 정밀하게 표시되는 정밀하게 생성된 모듈이다.

모든 링 R에 걸쳐 일관성 있는 모듈이 정밀하게 제시되며, 정밀하게 제시된 모듈은 정밀하게 생성되고 정밀하게 연관된다.노메테리아 링 R의 경우 정밀하게 생성되고 정밀하게 표시되며 일관성이 있는 것은 모듈에서 동등한 조건이다.

투사형 또는 플랫 모듈에서 일부 교차 현상이 발생한다.정밀하게 생성된 투영 모듈은 정밀하게 제시되며, 정밀하게 연관된 평면 모듈은 투영적이다.

또한 링 R에 대해 다음과 같은 조건이 동등한 것도 사실이다.

1. R은 오른쪽 논리 정연한 고리다.
2. 모듈 R은_R 일관성 있는 모듈이다.
3. 모든 정밀하게 제시된 우측 R 모듈은 일관성이 있다.

일관성은 정밀하게 생성되거나 정밀하게 제시되는 것보다 더 거추장스러운 조건처럼 보이지만, 일관성이 있는 모듈의 범주는 아벨의 범주인 반면, 일반적으로 정밀하게 생성되거나 정밀하게 제시된 모듈들은 아벨의 범주를 형성하지 않기 때문에 그것들보다 더 좋다.

참고 항목

• 적분요소
• 아르틴-리즈 보조정리
• Countably 생성 모듈
• 유한대수학

참조

교과서

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• 부르바키, 니콜라스, 정류 대수학. 1장 7절프랑스어에서 번역되었다.1989년 영어 번역본의 재인쇄.수학의 요소(베를린).1998년 베를린 스프링거-베를라크.xxiv+625 페이지ISBN 3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
• Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0
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