행각형

선형대수학에서 행렬은 가우스 소거의 결과로 얻어질 수 있다면 행 사다리꼴입니다.특히, 모든 행렬은 일련의 기본 행 연산에 의해 행 사다리꼴 형태로 배치될 수 있습니다.에헬론이라는 용어는 프랑스어 "에헬론"("level" 또는 사다리의 계단")에서 유래되었으며, 행 에헬론 형태의 행렬의 0이 아닌 항목이 거꾸로 된 계단처럼 보이는 것을 나타냅니다.^{[citation needed]}

사각 행렬의 경우 대각선에 0이 아닌 항목이 있는 위쪽 삼각 행렬은 행 사다리꼴이고 행 사다리꼴의 행렬은 (약하게) 위쪽 삼각 행렬입니다.따라서 행 사다리꼴은 직사각형 행렬에 대한 상위 삼각형 형태의 일반화로 볼 수 있습니다.

행렬이 행 사다리꼴인 경우 행렬은 감소된 행 사다리꼴이고, 각 행의 첫 번째 0이 아닌 항목은 1과 같고, 위의 항목은 동일한 열에 있는 0과 같습니다.행렬의 축소된 행 사다리꼴은 고유하며 행렬을 얻는 데 사용되는 기본 행 연산의 순서에 의존하지 않습니다.감소된 행 사다리꼴을 계산하는 가우스 소거법의 변형을 가우스-조르단 소거법이라고도 합니다.

행렬의 전치가 행 사다리꼴인 경우 행렬은 열 사다리꼴입니다.따라서 열 사다리꼴의 모든 속성은 행 사다리꼴의 해당 속성에서 쉽게 추론할 수 있습니다.따라서 기사의 나머지 부분에서는 행 사다리꼴만 고려됩니다.

(일반) 행 사다리꼴

행렬은 다음과 같은 경우 행 사다리꼴입니다.

• 항목이 0개인 모든 행은 하단에 있습니다.^[1]
• 0이 아닌 모든 행의 선두 항목(즉, 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 항목)은 위의 모든 행의 선두 항목의 오른쪽에 있습니다.^[2]

어떤 텍스트는 선행 계수가 1이어야^[3] 한다는 조건을 추가하는 반면, 어떤 텍스트는 감소된 행 사다리 형태에서만 이 조건을 요구합니다.

이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항목이 0임을 의미합니다.^[4]

다음은 행 사다리꼴 형태이지만${\displaystyle \mathrm{축소}}$된 행 사다리꼴 형태는 아닌 4×5 {\displaystyle 4$\times 5}$ 행렬의$$ 예입니다(아래 참조).

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{ccc}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\0&0&2&a_{4}\a_{5}\0&0&0&1&a_{6}\0&0&0&0\end{array}}\right]}$

행렬의 많은 특성은 순위 및 커널과 같은 행 사다리꼴에서 쉽게 추론할 수 있습니다.

감소된 행 사다리꼴

행렬은 다음 조건을 만족하는 경우 감소된 행 에클론 형태(행 표준 형태라고도 함)입니다.^[5]

• 그것은 한 줄 한 줄로 되어 있습니다.
• 0이 아닌 각 행의 선행 항목은 1입니다(선행 항목이라고 함).
• 선행 1이 포함된 각 열은 다른 모든 항목에 0이 있습니다.

행 사다리꼴 형태의 행렬의 경우 마지막 조건은 다음과 같습니다.

• 선행 1이 들어 있는 각 열은 선행 1보다 높은 모든 항목에서 0을 가집니다.

행렬은 여러 개의 에클론 형태를 가질 수 있지만 감소된 에클론 형태는 독특합니다.

감소된 행 사다리꼴 형태의 행렬이 주어지면 i번째 열에서 i번째 행의 선두 1을 갖기 위해 열을 순열하면 형식의 행렬을 얻습니다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\0&0\end{pmatrix}},}$

여기서 I는 항등 행렬이고, X는 I와 같은 수의 행을 갖는 행렬이고, 두 개의 0은 편리한 크기의 영 행렬입니다.그러나 열의 순열은 행 연산이 아니기 때문에 결과 행렬은 일반적으로 동등하지 않습니다.

연립 일차방정식

선형 방정식 체계는 증강 행렬이 행 사다리꼴이라면 행 사다리꼴이라고 합니다.마찬가지로, 선형 방정식 체계는 증강 행렬이 감소된 행 사다리꼴 형태인 경우 감소된 행 사다리꼴 형태 또는 표준 형태라고 합니다.

표준 형태는 선형 시스템의 명시적인 솔루션으로 볼 수 있습니다.사실, 표준 형식의 방정식 중 하나가 0 = 1로 감소하는 경우에만, 즉 상수 항의 열에 선행 1이 있는 경우에만, 시스템은 일관성이 없습니다. 그렇지 않으면, 선행 항을 제외한 모든 방정식의 항을 오른쪽에 다시 그룹화하면, 피벗에 해당하는 변수를 상수 또는다른 변수의 선형 함수(있는 경우).

행 사다리꼴 형태로 변환

가우시안 제거는 모든 행렬을 행 에클론 형태의 행렬로 변환하는 주요 알고리즘입니다.가우스-요르단 제거라고 불리는 변형은 감소된 행 에헬론 형태를 만듭니다.둘 다 기본 행 연산의 유한한 시퀀스로 구성됩니다. m-by-n 행렬의 경우 필요한 기본 행 연산의 수는 최대 mn입니다.^[7]주어진 행렬의 경우 행 사다리꼴이 고유하지 않음에도 불구하고 축소된 행 사다리꼴을 포함한 모든 행 사다리꼴은 동일한 수의 0 행을 가지며 피벗은 동일한 위치에 위치합니다.^[7]

행렬의 왼쪽 부분이 항상 항등 행렬이 아닌 것을 보여 주는 축소 행 사다리꼴 형태의 행렬의 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}\0&b_{1}\0&1&a_{2}\0&0&b_{3}\end{array}}\right]}$

정수 계수를 갖는 행렬의 경우, 에르미트 정규 형태는 유클리드 분할 또는 베주트의 항등식을 사용하여 분모를 도입하지 않고 계산할 수 있는 행 사다리꼴입니다.정수 계수가 있는 행렬의 감소된 에클론 형태는 일반적으로 비정수 계수를 포함하는데, 이는 행 에클론 형태의 각 행을 선행 계수로 나눌 필요가 있기 때문입니다.

행렬의 행 사다리꼴 형태의 비특이성은 일부 기본 행 연산이 행 사다리꼴 형태의 행렬을 행 사다리꼴 형태의 다른 (동등한) 행렬로 변환한다는 사실에서 비롯됩니다.이러한 기본 행 연산에는 행에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것과 위 행 중 하나에 행의 스칼라 배수를 추가하는 것이 포함됩니다.예를 들어,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\end{bmatrix}}{\x직렬 {\text{2행을 1행에 추가}}}{{begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\end{bmatrix}}}$

이 예제에서는 첫 번째 행에서 두 번째 행의 세 배를 빼서 고유한 감소 행 사다리꼴을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\end{bmatrix}}\x직렬 {{text{subtract3}}\text{(2행은 1행부터)}{{text{bmatrix}1&-22\\0&1&7\end{bmatrix}}{\displaystyle {\display{bmatrix}{\text{bmatrix}}{\text{bmatrix}{text{begin3}}\text{bmatrix}{text{1}}\text{bmatrix}{n1}}$

감소된 에코론 형태의 아핀 공간

${\displaystyle 이}$ 절과 다음 절에서는 $k{\displaystyle }$× n ${\displaystyle k\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 연속 행의 선행 항목을 포함하는 열의 위치를 (${\displaystyle {L1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,{Lj}_{}}$ ${\displaystyle$ A}${\displaystyle$ (L_{1},\$dots,L_{j})}$와 같이 축소된 행 사다리꼴 형태로$$ 표시합니다$.$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leqn,}$

여기서 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j\leq k}$는 행렬의 행 공간 차원입니다.The data ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ will be called the shape of ${\displaystyle A}$, which has leading non-zero entries ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$, the entries in the column ${\displaystyle L_{i}}$ above and below it vanish, and so do all those to t그는 > ${\displaystyle i>j}$에 대해 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 있는 모든 항목뿐만 아니라 동일한 행 내에서 항목을 남겼습니다

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for}}i=1,\dots,j,\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for}}l\neqi,\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for}}l<L_{i},\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for}i>j\end{align}}}.$

Since all other entries are arbitrary elements of the base field ${\displaystyle K}$, the set ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ of all reduced echelon form matrices with shape ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ is a K-affine space of dimension^[8][9]

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots,L_{j})=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum_{i=1}^{j}L_{i}}}$

To see this, note that, of the ${\displaystyle nj}$ possible matrix entries within the first ${\displaystyle j}$ rows, ${\displaystyle j^{2}}$ are determined as ${\displaystyle 0}$'s and ${\displaystyle 1}$'s because they are in the columns ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ containing the pivots.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{추가}}}$ ∑ i = 1${\displaystyle {}_{}\underset{}{\overset{}{}}}$ $($Li - 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}도 피벗의 왼쪽에 있으므로 0 {\displaystyle 0}이어야 합니다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

열$({\displaystyle {L1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,{Lj}_{}}$ ${\displaystyle$$L_{1},\dots,L_{j})}$에도 있습니다.따라서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 또는$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$과(와) 동일하도록 고정되지 않은 총 항목 수는 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j= nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}}}$

최대 순위: 슈베르트 세포

If ${\displaystyle j=k\leq n}$, the matrices ${\displaystyle A}$ in${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ are of maximal rank ${\displaystyle k}$, and determine ${\displaystyle k}$-dimensional subspaces ${\displaystyle w\subset V}$ of the free ${\displaystyle K}$-module ${\displaystyle V:=K^{n$$}}$ 스팬으로서

${\displaystyle w={\text{span}}\{W_{1},\dots,W_{k}\}$

선형결합의

${\displaystyle W_{i}:=\sum _{l=1}^{k}A_{il}e_{l},\quadi=1,\dots,k}$

행 벡터와 같은 계수를 갖는 기본 기저 벡터$$(${\displaystyle {e1}_{}}$ …,${\displaystyle {en}_{}}$ ${\displaystyle (e_{1},\$dots$,e_$n}}}.In this case, the affine space ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ is the Schubert cell^[8][9] ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$ of the Grassmannian ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$,$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k} -$정수$ 파티션에 해당하는$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 차원 부분 공간으로 구성됨

${\displaystyle \lambda = (\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)}$

의 비율로

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,}$

완전한 기에 상대적으로

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\하위 집합 V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),}$

어디에

${\displaystyle V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.}$

This means that ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ consists of those ${\displaystyle k}$-dimensional subspaces ${\displaystyle w\subset V}$ whose intersections with the subspaces ${\displaystyle \{V_{L_{i}}\}_{i=1,\dots ,k}}$ have dimensions

${\displaystyle {\text{dim}}(w\cap V_{L_{i})=i,\quadi=1,\dots,k.}$

그러면 해당 치수는 파티션의 무게 λ = ∑ i = 1k λ i {\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}와 같습니다.

${\displaystyle \dim({X_{\lambda}}({\mathcal {V}}) = \lambda .}$

메모들

참고문헌

• Leon, Steven J. (2010), Lynch, Deirdre; Hoffman, William; Celano, Caroline (eds.), Linear Algebra with Applications (8th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-600929-0, A matrix is said to be in row echelon form (i) If the first nonzero entry in each nonzero row is 1. (ii) If row k does not consist entirely of zeros, the number of leading zero entries in row ${\displaystyle k+1}$ is greater than the number of leading zero entries in row k. (iii) If there are rows whose entries are all zero, they are below the rows having nonzero entries..
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8.

외부 링크

• 합리적인 출력이 가능한 대화형 행 에헬론 형태