해밀턴-야코비 방정식

물리학에서, 윌리엄 로완 해밀턴과 칼 구스타프 야코비의 이름을 딴 해밀턴-야코비 방정식은 뉴턴의 운동 법칙, 라그랑주 역학, 해밀턴 역학과 같은 다른 공식과 동등한 고전 역학의 대안적 공식입니다.

해밀턴-자코비 방정식은 입자의 운동을 파동으로 표현할 수 있는 역학의 공식입니다. 이러한 의미에서, 그것은 빛의 전파와 입자의 운동 사이의 유사점을 찾는 이론 물리학의 오랜 목표(적어도 18세기의 요한 베르누이와 연대)를 달성했습니다. 역학적 시스템이 뒤따르는 파동 방정식은 아래에 설명된 바와 같이 슈뢰딩거 방정식과 유사하지만 동일하지는 않습니다. 이러한 이유로 해밀턴-야코비 방정식은 양자역학에 대한 고전역학의 "가장 가까운 접근법"으로 여겨집니다.^[1]^[2] 이 연결의 질적 형태는 해밀턴의 광학-기계적 비유라고 불립니다.

수학에서 해밀턴-자코비 방정식은 변분 연산에서 문제의 일반화에서 극한 기하학을 설명하는 필수 조건입니다. 동적 프로그래밍에서 해밀턴-자코비-벨만 방정식의 특수한 경우로 이해할 수 있습니다.^[3]

개요

해밀턴-야코비 방정식은 1차 비선형 편미분 방정식입니다.

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q},{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}},t\right)}.$

좌표 $\mathbf {q}$ ${\$ 에 있는 입자계의 경우 $\mathbf {q}$ $함수$ H $H$ 는 $H$ 계의 에너지를 제공하는 계의 해밀토니안입니다. 방정식의 해는 오래된 교과서에서 해밀턴의 주요 함수라고 $S$ ^[4]불리는 작용 함수 S ${\displaystyle$ S $}$ 입니다. 이 솔루션은 최소 작용 원리에서 사용되는 형식의 부정적분에 의해 $L$ 시스템 $라그랑지안$ L ${\displaystyle$ L $}$ 과 관련될 수 있습니다.^[5]^{: 431}

S=\int Ldt+{\textrm {constant}}

일정한 작용을 하는 기하학적 표면은 시스템 궤적에 수직이며, 시스템 역학의 파면과 같은 보기를 만듭니다. 해밀턴-자코비 방정식의 이러한 성질은 고전역학을 양자역학과 연결시킵니다.^[6]^{: 175}

수학 공식

표기법

$\mathbf {q}$ ${\$ {q $}과$ 같은 볼드체 변수는 N ${\displaystyle$ N $}개$ 의 일반화된 $N$ 좌표 목록을 나타냅니다 $\mathbf {q}$ .

\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})

변수 또는 목록 위의 점은 시간 도함수를 나타냅니다(뉴턴 표기법 참조). 예를들면,

{\displaystyle {\dot {\mathbf {q}}}={\frac {d\mathbf {q}{dt}}.

좌표 수가 같은 두 개의 목록 사이의 점 곱 표기법은 다음과 같은 해당 성분의 곱의 합을 나타내는 약자입니다.

\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.

작용함수(일명 해밀턴의 주함수)

정의.

${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ 행렬 ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ ( ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ $q$ ˙ ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ t) = ${$ ∂ 2 $L$ / ∂ q ˙ i q ˙ q ∂ j} i {\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q},\mathbf {\dot {q}},t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\dot {q}^{i}\partial {\dot {q}\right\}_{ij}를 반전시킬 수 있습니다. 인관관계

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\dot {q}^{i}}=\sum _{j=1}^{n}\left ({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}{\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}{\dot {q}}^{j}+{\frac {\dot {q}}^{2}{\cal {L}}}{\dot {q}^{j}}{\dot {q}}^{j}}{\dot {q}}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}}{\dot {dot}}} {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,

는 오일러-라그랑주 방정식이 2차 상미분 $n\times n$ 의 $n\times n$ $n\times n$ {\ $display n\times$ n $}$ 시스템을 $n\times n$ 형성한다는 것을 보여줍니다. 행렬 $H_{\cal {L}}$ ${\$ 을(를) 반전시키면 이 시스템이 다음과 같이 변환됩니다 $H_{\cal {L}}$ .

{\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.

구성 공간의 순간 $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ 및 점 $q$ $\mathbf {q} _{0}\in M$ ∈ M ${\displaystyle \mathbf {$ q $}_{$ 0}\in M}을 고정시킵니다. 존재와 유일성 정리는 모든 $\mathbf {v} _{0},$ 에 대하여 $\mathbf {v}_{0$ 임을 보장합니다. $}$ the initial value problem with the conditions $\gamma _{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ and ${\dot {\gamma }} _{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}$ has a locally unique solution $\gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).$ ${\displaystyle \gamma =\gamma(\tau;t_{0},\mathbf {q}_{0},\mathbf {v}_{0})입니다.$ $}$ 또한 $\gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).$ 초기 속도 $\mathbf {v} _{0}$ $\mathbf {v} _{0}$ ${\$ 인 극값이 $M\times (t_{0},t_{1}).$ × $M\times (t_{0},t_{1}).$ ( $M\times (t_{0},t_{1}).$ $M\times (t_{0},t_{1}).$ $M\times (t_{0},t_{1}).$ $(t_{0},t_{1})$ $M\times (t_{0},t_{1}).$ 에서 교차하지 않도록 $(t_{0},t_{1})$ $\mathbf {v} _{0}$ 충분히 작은 시간 간격 $(t$ 0 $(t_{0},t_{1})$ t 1 $(t_{0},t_{1})$ 을 두십시오. ${\displaystyle M\times (t_{0}, t_{1}).$ $}$ The latter means that, for any $\mathbf {q} \in M$ and any $t\in (t_{0},t_{1}),$ there can be at most one extremal ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,$ $\mathbf {q} _{0})}$ for which $\gamma _{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ and $\gamma _{\tau =t}=\mathbf {q} .$ Substituting ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,$ $\mathbf {q}_{0}}$ 를 $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ 작용 함수로 변환하면 해밀턴의 주함수(HPF)가 됩니다.

$S(\mathbf {q},t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\\stackrel {\text{def}{=}\int _{t_{0}}^{\mathcal {L}(\gamma;\cdot),{\dot {\gamma }(\cdot;\cdot),\d\tau,$

어디에

$\gamma =\gamma(\tau;t,t_{0},\mathbf {q},\mathbf {q}_{0}),$
$\gamma _{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$
$\gamma_{\tau =t}=\mathbf {q}.$

운동량에 대한 공식: p(q,t) = ∂S/ ∂q

운동량 $a$ 는 ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ˙ $,$ t) = ∂ L / ∂ q ˙ i로 정의됩니다. {\textstyle p_{i}(\mathbf {q},\mathbf {\dot {q},t)=\partial {\cal {L}}/\dot {q}^{i}입니다. $}$ 이 섹션에서는 HPF가 알려지면 $q$ $˙$ {\ $displaystyle \mathbf {\$ dot ${$ q}}에서 $p_{i}$ $p_{i}$ 의 종속성이 사라짐을 보여줍니다.

실제로, 구성 공간의 $\mathbf {q} _{0}$ 순간 t $t_{0}$ ${\$ 및 점 $t_{0}$ $\mathbf {q} _{0}$ $\mathbf {q} _{0}$ ${\$ 을 고정시킵니다. 매 순간 $t$ $t$ 및 점 $\mathbf {q} ,$ 에 대해 $\mathbf {q},$ γ = $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ γ $($ τ; t, t 0, q, q 0) {\displaystyle \gamma =\gamma(\t, t_{0},\mathbf {q},\mathbf {q}_{0})가 해밀턴의 주 함수 S의 $정의$ 에서 (unique) 극값이라고 합니다. $S.$ Call $\mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}) _{\tau =t}$ the velocity at $\tau =t$ . 그리고나서

${\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\dot {q}^{i}}\right _{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v}\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.$

증명

아래 증명에서는 구성 공간을 $\mathbb {R} ^{n},$ 의 열린 부분 집합으로 가정하지만 $\mathbb {R} ^{n}$ 기본 기법은 $\mathbb {R} ^{n},$ 임의의 공간에도 동일하게 적용됩니다. 이 증명의 맥락에서, 서예 ${\cal {S}}$ S ${\$ cal { $S}}$ 는 행동 함수를 나타내고, 이탤릭체 $S$ $S$ 는 $S$ 해밀턴의 주요 함수를 나타냅니다 ${\cal {S}}$ .

1단계. Let $\xi =\xi (t)$ be a path in the configuration space, and $\delta \xi =\delta \xi (t)$ a vector field along $\xi$ . (For each $t,$ the vector $\delta \xi (t)$ is called perturbation, 점 $\xi (t)$ ξ(t) ${\displaystyle$ \xi(t))에서의 기계 시스템의 무한대 변동 또는 가상 변위. Recall that the variation $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]$ of the action ${\cal {S}}$ at the point $\xi$ in the direction $\delta \xi$ is given by the formula

\delta {\cal {S}}_{\delta \xi}[\xi,t_{1}}t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\좌측 ({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {q}}}-{\frac {d}{dt}}{\partial \mathbf {\dot {q}}}\right)\delta \xi \dt+{\frac {\dot {partial {\cal {L}}}}\partial \mathbf {\dot {q}}}\,\delta \xi {\Biggl }_{t_{0}}^{t_{1}

여기서 오른쪽 편미분을 계산한 후

q^{i}=\xi ^{i}(t)

= ξ

q^{i}=\xi ^{i}(t)

i(t)

{\displaystyle

q^{i}=\xi ^{i}(

{\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)

q ˙

i

= ξ ˙

i

(t) {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}를 대입해야 합니다. (이 공식은 부품에 의한 적분을 통한 Gateaux 도함수의 정의에서 따온 것입니다.)

ξ $\xi$ {\ $displaystyle$ \xi}이(가) 극값이라고 가정합니다. ξ $\xi$ {\ $displaystyle$ \xi}가 이제 오일러-라그랑주 방정식을 만족하므로 적분 항이 사라집니다. ξ $\xi$ {\ $displaystyle$ \ $xi$ $}$ 의 $q$ 0 ${\$ displaystyle $\$ mathbf {q}_{0}}가 고정된 경우 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된 것과 동일한 논리로 δ ξ (t 0) = 0. {\displaystyle \delta \xi (t_{0}) = 0.} 따라서,

\delta {\cal {S}}_{\delta \xi}[\xi,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}}}\right _{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi(t)}\,\delta \xi(t)

2단계. γ = $\gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ γ (τ $,$ $q,$ q 0, t, $\delta \gamma =\delta \gamma (\tau )$ t 0) {\ $displaystyle$ \gamma = $\$ tau(\mathbf {q},\mathbf {q}, {0}_{0}, t, t_{0}}가 HPF, δ γ = δ γ(τ) {\displaystyle \delta =\delta \gamma(\tau)} γ을 따라 벡터 필드 {\displaystyle \gamma, $}$ and $\gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ a variation of $\gamma$ "compatible" with $\delta \gamma .$ In precise terms, $\gamma _{\varepsilon } _{\varepsilon =0}=\gamma ,$ ${\dot {\gamma }}_{\varepsilon } _{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,$ $\gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.$ ${\displaystyle \gamma_{\varepsilon}_{\tau =t_{0}}=\gamma_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q}_{0} 스타일입니다.$ $}$

HPF와 Gateaux 도함수의 정의에 따르면,

\delta {\cal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma,t]{\overset {\text{def}{{}={}}}\left.{\frac {d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right _{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right _{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q}}\,\delta \gamma (t)

여기서 $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ 는 $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ = $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ γ (t; $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ q, $t_{0}$ 0, $t_{0}$ t, t 0) {\displaystyle \mathbf {q} =\ gamma (t;\mathbf {q},\mathbf {q} _{0}, t, t_{0}}와 콤팩트성을 위해 t 0 {\displaystyle t_{0}}을 떨어뜨렸다는 것을 고려했습니다.

3단계. 이제 $\xi =\gamma$ 에서 δ ξ $\xi =\gamma$ = $\delta \xi =\delta \gamma$ ξ $\xi =\gamma$ {\displaystyle \ $\delta \xi =\delta \gamma$ =\gamma $\delta \xi =\delta \gamma$ 및 δ ξ = δ γ {\displaystyle \delta \xi $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]$ =\delta \gamma }를 δ S delta [ξ , t; t 0] {\displaystyle \γ {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi,t;t_{0}]의 식으로 대체하고 결과를 2단계에서 도출된 공식과 비교합니다. $t>t_{0},$ > $t>t_{0},$ $t>t_{0},$ 에 대해 ${\displaystyle t> t_$ ${$ $0}$ 벡터 필드 $\delta \gamma$ δ γ {\ $displaystyle \delta$ \gamma}가 선택되었다는 사실이 임의로 증명을 완료합니다.

공식은

기계 시스템의 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ 해밀턴 H( $q$ $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ $)$ {\ $displaystyle$ H $(\mathbf {q},\mathbf {p},$ t $)}$ 가 주어졌을 때, 해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴의 주함수 $S$ $S$ 에 대한 1차 비선형 편미분 방정식입니다 $S$ ^[7]

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q},{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}},t\right)}.$

파생

극값 ξ = $\xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),$ ξ $\mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}$ t; t 0, q 0, v 0), {\displaystyle \xi =\xi(t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}), 여기서 v 0 = t 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0} = {\dot {\xi } _{t=t_{0}}는 초기 속도입니다(HPF의 정의에 대한 선행 논의 참조),

{\cal {L}}(\xi(t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {ds(\xi(t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}}},\mathbf {\dot {q}},\frac {\partial S}{\partial t},\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {xi }(t)}^{\mathbf {q} =\xi(t)}

$p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)$ = $p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)$ $(q,$ t) {\displaystyle p_{i} = p_{i} (\mathbf {q},t)}에 대한 공식과 해밀토니안의 좌표 기반 정의로부터

H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\cal {L}}(\mathbf {q},\mathbf {\dot {q},t),

with

\mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

satisfying the (uniquely solvable for

\mathbf {\dot {q}} )

equation

{\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\cal {L}}(\mathbf {q} ,

\mathbf {\dot {q}},t)}{\partial

\mathbf

{\dot {q}}}}

을(를) 구합니다.

{\frac {\partial S}{\partial t}}={\cal {L}}(\mathbf {q},\mathbf {\dot {q}},t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\dot {q}}}-\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q},{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}},t\right),

여기서

\mathbf {q} =\xi (t)

=

\mathbf {q} =\xi (t)

ξ

\mathbf {q} =\xi (t)

t)

{\displaystyle \mathbf

{q} =\xi(

t

)} 및

q

˙ = ξ ˙(t)입니다. {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} = {\dot {\xi }}(t).

또는, 아래에 설명된 바와 같이, 고전 해밀턴의 표준 변환을 위한 생성 함수로서 $S$ $S$ {\ $displaystyle$ S $}$ 를 취급함으로써 해밀턴 역학으로부터 해밀턴-자코비 방정식을 유도할 수 있습니다.

H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 $S$ $S$ ${\displaystyle$ S $}$ 의 1차 도함수에 해당합니다.

{\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.

해밀턴-야코비 방정식의 해로, 주 함수는 $N+1$ + 1 $N+1$ 개의 미결정 $N+1$ 상수를 포함하며, 그 중 $N$ 첫 $번째$ N $N$ 은 $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ ${\$ ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ 마지막 제품은 ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ ∂ S ∂ t ${\displaystyle {\frac {\$ partial ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ S}{\partial t}}의 통합입니다.

$\mathbf {p}$ $\mathbf {q}$ 다음 p $\mathbf {p}$ {\ $displaystyle \mathbf$ { $p}$ 과 $\mathbf {p}$ $\mathbf {q}$ q {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $q}$ 사이의 관계는 이러한 운동 상수의 관점에서 위상 공간에서의 궤도를 설명합니다. 게다가, 수량은

\beta_{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha_{k}}},\quad k=1,2,\ldots,N

또한 운동 상수이며, 이러한 방정식을 뒤집어서 $\alpha$ α $\alpha$ 및 $\beta$ ${\displaystyle \$ beta } 상수 및 시간의 함수로 $\mathbf {q}$ $\mathbf {q$ 을 찾을 수 있습니다.

역학의 다른 공식과의 비교

해밀턴-제이코비 방정식은 $N$ ${\displaystyle$ N $}$ 일반화 $N$ 좌표 $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ 1 $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ 2 $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ N ${\$ 및 $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ $시간$ t $t$ 의 함수에 대한 단일 1차 편미분 방정식입니다 $t$ 일반화된 운동량은 고전적인 동작인 $S$ $S$ 의 도함수를 제외하고는 나타나지 않습니다.

비교를 위해 라그랑주 역학의 등가 오일러-라그랑주 운동 방정식에서는 켤레 운동량도 나타나지 않지만, 해당 방정식은 $일반화$ 좌표의 시간 진화에 대한 일반적으로 2차 방정식인 $N$ N ${\displaystyle$ N $} 시스템$ 입니다. 마찬가지로, 해밀턴의 운동 방정식은 일반화 좌표와 그들의 켤레 모멘트 $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ 1 $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ p $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ ${\$ 의 시간 진화를 위한 2N 1차 방정식의 또 다른 시스템입니다 $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$

HJE는 해밀턴의 원리와 같은 적분 최소화 문제의 등가 표현이기 때문에, HJE는 변동 미적분학의 다른 문제, 더 일반적으로 동적 시스템, 단순 기하학 및 양자 혼돈과 같은 수학 및 물리학의 다른 분야에서 유용할 수 있습니다. 예를 들어, 해밀턴-야코비 방정식은 리만 기하학의 중요한 변형 문제인 리만 다양체의 측지학을 결정하는 데 사용될 수 있습니다. 그러나 계산 도구로서 편미분 방정식은 독립 변수를 분리할 수 있는 경우를 제외하고는 풀기가 매우 복잡하며, 이 경우 HJE는 계산적으로 유용합니다.^[9]^{: 444}

표준 변환을 사용한 유도

타입-2 생성 함수 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ ( $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ t $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{2}(\mathbf {q},\mathbf {P},t)$ 를 포함하는 임의의 표준 변환은 관계로 이어집니다 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ .

\mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \mathbf {q},\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P},\quad K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\partial G_{2} \over \partial t}

$\mathbf {P} ,\,\mathbf {Q}$ 새로운 변수 $\mathbf {P} ,\,\mathbf {Q}$ Q ${\$ 에 $\mathbf {P} ,\,\mathbf {Q}$ 대한 해밀턴 $K$ 과새로운 $해밀턴$ K {\displaystyle $K}$ 의 형태는 $K$ 같습니다.

{\dot {\mathbf {P}}}=-{\partial K \over \mathbf {Q}},\quad {\dot {\mathbf {Q}}},=+{\partial K \over \mathbf {P}}입니다.

HJE를 유도하기 위해, 생성 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ P, $)$ {\ $displaystyle G_{2}(\mathbf {q},\mathbf {P}, t)}$ 가 선택되어 새로운 $K=0$ K = $K=0$ {\ $displaystyle K$ = $0$ 이 됩니다. 따라서, 모든 도함수도 0이고, 변환된 해밀턴 방정식은 사소해진다.

{\dot {\mathbf {P}}}={\dot {\mathbf {Q}}}=0

그래서 새로운 일반화 좌표와 운동량은 운동 상수입니다. 상수이기 때문에, 여기서 새로운 일반화된 모멘타 $\mathbf {P}$ ${\displaystyle$ \ $mathbf$ { $P} }$ 는 $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ 으로 $\mathbf {P}$ α 1, $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ , $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ α $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ ${\displaystyle$ \ $alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{N}$ 로 표시됩니다 $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ $P_{m}=\alpha _{m}$ and the new generalized coordinates $\mathbf {Q}$ are typically denoted as $\beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}$ , so $Q_{m}=\beta _{m}$ .

생성 함수를 Hamilton의 주 함수와 동일하게 설정하고 $A$ 에 $임의$ 의 상수 A {\ $displaystyle$ A $}$ 를 더하면 다음과 같습니다 $A$

G_{2}(\mathbf {q},{\boldsymbol {\alpha}},t)=S(\mathbf {q},t)+A,

자동적으로 HJE가 발생합니다.

\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q}}}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}}}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q},{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0

$S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$ $S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$ t $S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$ ${\displaystyle$ S $(\mathbf {q}, {\boldsymbol {\alpha}}, t)}$ 에 대해 풀 때, 이들은 또한 유용한 방정식을 제공합니다 $S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$

\mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }} ={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha}},

또는 명확한 설명을 위해 구성요소로 작성됩니다.

Q_{m}=\beta_{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q},{\boldsymbol {\alpha}},t)}{\partial \alpha_{m}}

이상적으로, 이 N개의 방정식은 ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ α ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ ${\boldsymbol {\alpha}},\,{\boldsymbol {\beta}},$ 및 ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ $t$ {\ $displaystyle t}$ 의 함수로 $\mathbf {q}$ $\mathbf {q}$ 일반화 좌표 q {\displaystyle \ $mathbf {q}$ 을 $t$ 를) 반전시켜 원래 문제를 해결할 수 있습니다.

변수분리

문제가 변수의 추가 분리를 허용하면 HJE는 직접적으로 운동 상수로 이어집니다. 예를 들어, 해밀턴이 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면 시간 t는 분리될 수 있습니다. 이 경우 HJE의 $시간$ 도함수 ∂ S ∂ t {\ $displaystyle {\partial$ S}{\partial t}}는 상수여야 하며 $,$ $-E$ 으로 (-E ${\$ displaystyle -E})로 표시되어야 합니다.

S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et

여기서 시간에 $W(\mathbf {q} )$ 인 함수 W $(q$ ) {\ $displaystyle W(\mathbf$ {q $})}$ 는 $W(\mathbf {q} )$ 때때로 축약 작용 또는 해밀턴의 특성 함수로 불리고 $S_{0}$ S $S_{0}$ ${\$ 라고 적습니다( $S_{0}$ 작용 원리 이름 참조). 그런 다음 축소된 해밀턴-자코비 방정식을 쓸 수 있습니다.

H\left(\mathbf {q},{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}}}\right)=E.

다른 변수에 대한 분리 가능성을 설명하기 위해 특정 일반화된 좌표 $q_{k}$ $q_{k}$ 및 그 ${\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}$ ∂ S ∂ $qk$ ${\displaystyle {\frac {\partial$ S $}{\$ partial q_{k}}}가 단일 함수로 함께 나타나는 것으로 가정합니다.

\psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}\right)}

해밀토니안으로

H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).

이_k 경우 함수 S는 두 개의 함수로 분할될 수 있는데, 하나는 q에만 의존하고 다른 하나는 나머지 일반화 좌표에만 의존합니다.

S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).

이러한 공식을 해밀턴-야코비 방정식에 대입하면 함수 ψ가 상수여야 함을 알 수 있습니다( $\Gamma _{k}$ 서는 γ k ${\displaystyle \$ Gamma_{k $}}$ 로 표시). Sk $(q$ k ), ${\displaystyle$ S_{k}(q_{k}),}에 대한 1차 정규 $S_{k}(q_{k}),$ 을 생성합니다.

\psi \left(q_{k}, {\frac {dS_{k}}}{dq_{k}}\right)=\Gamma _{k}

다행히도 기능 $S$ ${\displaystyle$ S $}$ 은(는) $N$ $N$ 개의 $N$ 기능 $S_{m}(q_{m}),$ $S_{m}(q_{m}),$ $S_{m}(q_{m}),$ 개로 완전히 분리될 $S$ 수 있습니다.

S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.

이러한 경우 문제는 $N$ ${\displaystyle$ N $}$ 개의 $N$ 정규 미분 방정식으로 발전합니다.

S의 분리 가능성은 해밀토니안과 일반화 좌표의 선택 모두에 달려 있습니다. 시간 의존성이 없고 일반화 운동량에서 2차인 직교좌표와 해밀토니안의 경우, 위치에너지가 각 좌표에서 가산적으로 분리 가능하다면 $S$ $S$ 는 완전히 분리 가능할 것입니다 $S$ . 여기서 각 좌표의 잠재 에너지 항에 해밀턴의 해당 운동량 항의 좌표 종속 인자를 곱합니다(스테켈 조건). 예를 들어, 직교 좌표의 몇 가지 예제는 다음 절에서 설명합니다.

다양한 좌표계에서의 예시

구면좌표

구면 좌표에서 보존 퍼텐셜 U에서 움직이는 자유 입자의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).

해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같은 함수가 존재한다면 이 좌표에서 완전히 분리할 수 있습니다. $θ$ $U_{\theta }(\theta ),$ $U$ ${\displaystyle$ U}을 $($ 를) 유사한 형식으로 쓸 수 있도록 $U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )$ $U$ $U_{\phi}(\phi )}$

U(r,\theta,\phi)=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.

완전히 분리된 용액의 치환

S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et

HJE 수익률에

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.

이 식은 $\phi$ ϕ {\displaystyle \phi $}$ 에 대한 식을 시작으로 일반 미분 방정식의 연속적인 적분으로 해결할 수 있습니다.

\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }

여기서 $\Gamma _{\phi }$ γ ϕ ${\displaystyle$ $\phi$ \Gamma _{\phi }}는 해밀턴-제이코비 방정식에서 {\displaystyle \phi } 의존 ϕ를 제거하는 운동 상수입니다.

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E.

다음의 일반 미분 방정식은 $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \theta} 일반화된 좌표를 포함합니다.

\left({\frac {dS_{\theta}}{d\theta}}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }

여기서 $\Gamma _{\theta }$ γ θ ${\displaystyle$ \ $Gamma$ _{\theta }}는 다시 {\displaystyle \theta } 의존성을 제거하고 HJE를 최종 보통 미분 방정식으로 줄이는 운동 상수입니다.

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E

의 통합으로 S ${\displaystyle$ S $}$ 에 대한 솔루션이 완성됩니다 $S$

타원원통좌표

타원형 원통좌표의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu,z)

타원의 초점이 $x$ $x$ - 축에서 $\pm a$ $x$ $\pm a$ ± $\pma$ 에 위치합니다. $U$ $U$ 가 유사한 형태를 가진다면 $U$ , 해밀턴-야코비 방정식은 이 좌표에서 완전히 분리될 수 있습니다.

U(\mu,\n)u ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu}(\n)u )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu}}+U_{z}(z)

여기서 : U $U_{\mu }(\mu )$ ${\displaystyle U_{\mu}(\mu$ $U_{\mu }(\mu )$ $U_{\nu }(\nu )$ ν(ν) ${\$ displaystyle U_{\n $u}(\n$ $u )}$ 과 $U_{\nu }(\nu )$ ( $U_{z}(z)$ $U_{z}(z)$ 은 $U_{z}(z)$ (는) 임의의 함수입니다. 완전히 분리된 용액의 치환

)

u}(\n

u )HJE 수율로 +S_

{z}(z

)-Et}

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu}}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu}(\n)u )\right]=E.

첫 번째 상미분 방정식 분리

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}

(양변을 분모로 재배열하고 곱한 후에) 축소된 해밀턴-야코비 방정식을 산출합니다.

\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu}}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu}(\n)u )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)

그 자체는 두 개의 독립적인 보통 미분 방정식으로 분리될 수 있습니다.

\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }

\left({\frac {dS_{\n)u}}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu}(\n)u )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu}

해결되면 $S$ $S$ 에 대한 완벽한 솔루션을 제공합니다 $S$

포물선 원기둥 좌표

포물선 원기둥 좌표의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).

$U$ $U$ 가 유사한 형태를 가진다면 $U$ , 해밀턴-야코비 방정식은 이 좌표에서 완전히 분리될 수 있습니다.

U(\sigma,\tau,z)={\frac {U_{\sigma}(\sigma)+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)

여기서 $U_{\sigma }(\sigma )$ σ(σ) ${\displaystyle$ $U_{\tau }(\tau )$ $U_{\sigma }(\sigma )$ $U_{\tau }(\tau )$ )}, U $U_{\tau }(\tau )$ τ $($ τ) ${\$ $U_{z}(z)$ U_ ${\tau$ }(\tau )} $및 Uz($ z) {\display U_{z}(z)}는 임의의 함수입니다. 완전히 분리된 용액의 치환

S=S_{\sigma}(\sigma)+S_{\tau}(\tau)+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}

HJE 수익률에

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.

첫 번째 상미분 방정식 분리

{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}

(양변을 분모로 재배열하고 곱한 후에) 축소된 해밀턴-야코비 방정식을 산출합니다.

\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau)= 2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma_{z}\right)

그 자체는 두 개의 독립적인 보통 미분 방정식으로 분리될 수 있습니다.

\left({\frac {dS_{\sigma}}}{d\sigma}}\right)^{2}+2mU_{\sigma}(\sigma)+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma

\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau)+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau

해결되면 $S$ $S$ 에 대한 완벽한 솔루션을 제공합니다 $S$

파도와 입자

광파면 및 궤적

HJE는 궤도와 파면 사이의 이중성을 확립합니다.^[11] 예를 들어, 기하광학에서 빛은 "선" 또는 파동으로 간주될 수 있습니다. 파면은 ${\textstyle t=0}$ = ${\textstyle t=0}$ ${\textstyle$ t= 0 $}$ 에서 방출되는 빛이 t {\textstyle t}에서 도달한 표면 ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$ ${\textstyle {\cal {C}}_{t}$ 라고 정의할 수 있습니다. 광선과 파면은 이중적인데, 하나를 알면 다른 하나를 추론할 수 있습니다.

좀 더 정확히 말하면, 기하광학은 "작용"이 경로를 따라 ${\textstyle T}$ 이동하는 시간 ${\textstyle T}$ ${\textstyle$ T $}$ 인 변동 문제입니다.

T={\frac {1}{c}}\int_{A}^{B}n\,ds

여기서

{\textstyle n}

{\textstyle n}

은

{\textstyle n}

매체의 굴절률이고

{\textstyle ds}

{\textstyle ds}

은

{\textstyle ds}

(는) 극소호 길이입니다. 위의 공식을 통해 오일러-라그랑주 공식을 사용하여 광선 경로를 계산할 수 있고, 대신 해밀턴-야코비 방정식을 풀어서 파면을 계산할 수 있습니다. 하나를 알면 다른 하나를 알 수 있습니다.

위의 이중성은 매우 일반적이며 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 궤적을 계산하거나 해밀턴-야코비 방정식을 사용하여 파면을 계산하는 등 변형 원리에서 파생된 모든 시스템에 적용됩니다.

The wave front at time ${\textstyle t}$ , for a system initially at ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ at time ${\textstyle t_{0}}$ , is defined as the collection of points ${\textstyle \mathbf {q} }$ such that ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$ . If ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ $textstyle S(\mathbf {q},t)}$ 가 ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ 알려져 있으며, 운동량은 즉시 추론됩니다.

{\displaystyle \mathbf {p} = {\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q}}}.

${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle \mathbf {p}$ 이(가 $)$ 알려지면 궤적 $q$ ˙ {\ $textstyle {\mathbf$ {q}}에 대한 접선은 방정식을 풀어서 계산됩니다.

{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q}}}}={\boldsymbol {p}

q

˙ {\

textstyle

{\

dot

{\

mathbf {q}}}에 대해 L {\textstyle {\cal {L}}은 라그랑지안입니다. 그런 다음 궤적은

q

˙ {\

textstyle

{\

dot {\mathbf

q}}}의 지식에서 복구됩니다.

슈뢰딩거 방정식에 대한 관계

함수 $S(\mathbf {q} ,t)$ t $S(\mathbf {q} ,t)$ ${\displaystyle$ S $(\mathbf {q},t)}$ 의 등면은 임의의 시간 t에서 결정될 $S(\mathbf {q} ,t)$ 수 있습니다. $S$ 의 $함수$ 로서 S {\ $displaystyle$ S $}$ -등면의 $S$ 운동은 등면의 $\mathbf {q}$ $\mathbf {q}$ ${\$ 지점에서 시작하는 입자의 운동에 의해 정의됩니다. 이러한 등면의 운동은 파동 방정식을 정확히 따르지는 않지만 $\mathbf {q}$ ${\$ 공간을 $\mathbf {q}$ 통해 이동하는 파동으로 생각할 수 있습니다. 이를 보여주기 위해 S가 파동의 위상을 나타낸다고 하자.

\psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar}

여기서 $\hbar$ ℏ ${\displaystyle$ \hbar}는 지수 인수를 무차원으로 만들기 위해 도입된 상수(Planck's constant)입니다. 파동의 진폭 변화는 S ${\displaystyle$ S}가 복소수가 $되도록$ 함으로써 나타낼 수 있습니다. 해밀턴-자코비 방정식은 다음과 같이 다시 쓰입니다.

{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar}{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}

슈뢰딩거 방정식입니다.

반대로, $\psi$ ψ ${\$ displaystyle $\psi$ \psi }에 대한 슈뢰딩거 방정식과 우리의 안사츠로 시작하여, 다음을 추론할 수 있습니다.

{\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla^{2}S.

위의 슈뢰딩거 방정식의 고전적 한계( ℏ $\hbar \rightarrow 0$ → 0 ${\$ displaystyle \hbar \rightarrow 0})는 해밀턴-야코비 방정식의 다음 변형과 동일합니다.

{\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

적용들

중력장에서의 HJE

형태에서 [13] 에너지-운동량 관계 사용

g^{\alpha \ beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0

곡선 공간에서 이동하는 $m$ 정지 질량 m ${\displaystyle$ $}$ 입자의 경우, $g^{\alpha \beta }$ α $β {\$ g $^{\alpha \beta}}$ 는 $g^{\alpha \beta}$ 아인슈타인 필드 방정식에서 해결된 메트릭 텐서(즉, 역 메트릭)의 반변 좌표이고 c ${\displaystyle$ c $}$ 는 $c$ $빛$ 의 속도입니다. 4모멘트 $P_{\alpha }$ ${\$ 를 액션 $S$ $S$ 의 4구배와 같게 $P_{\alpha }$ 설정하면 $S$

P_{\alpha}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha}}

메트릭 $g$ $g$ 에 의해 결정되는 기하학에서 해밀턴-야코비 방정식을 제공합니다 $g$

g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}{\partial S}{\partial x^{\beta }}-(mc)^{2}=0,

즉, 중력장에서 말입니다.

전자기장에서의 HJE

진공에서 4개의 potential $A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )$ = $A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )$ (ϕ, A) {\ $displaystyle$ A_{i} = (\phi,\mathrm {A})}로 전자기장에서 움직이는 정지 질량 $m$ ${\displaystyle$ $m$ $}$ 및 $e$ ${\displaystyle$ e $}$ 입자의 경우, 미터법 텐서 $g^{ik}=g_{ik}$ = $g^{ik}=g_{ik}$ ${\$ displaystyle g^{ik} = g_{ik}}에 의해 결정되는 기하학의 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}

그리고 해밀턴 주작용 함수 $S$ $S$ 에 $S$ 대해 해결하여 입자 궤적과 운동량에 대한 추가 해를 얻을 수 있습니다.^[14]

x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi,

y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi,

z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}\int(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}})\,d\xi,

\xi = ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}\int(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}})\,d\xi,

eC

A_{x

p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},

=

p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},

-

p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},

, {\displaystyle p_{y}

=

-{\frac {e}{

c}}

A_{y}}

p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}),

{\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}),

where $\xi =ct-z$ and $\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}$ with ${\overline {\mathbf {A} }}$ the cycle average of the vector potential.

원편파

원형편광의 경우,

E_{x}=E_{0}\sin \omega \xi _{1}

E_{0}\sin \omega \xi_{1

E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},

=

E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},

E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},

E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},

⁡ ω ξ

1, {\displaystyle E_{y}

=

E_{0}\cos \omega \xi_{1}}

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

=

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

E

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

0

A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

⁡

ω ξ 1 {\displaystyle

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \

omega

\xi_{1}}

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

Ay = - c

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

E 0 ω 1. {\displaystyle

A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}

_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }\sin \omega \xi_{1}}

이런 이유로

x=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi_{1}

y=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi_{1}

p_{x}=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi_{1}

p_{y}={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi_{1}

여기서 ξ 1 = $\xi _{1}=\xi /c$ ξ / $c$ {\displaystyle \xi_{1} =\xi /c}, 영구 반경 $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ 0 $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ / $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ γ ω 2 ${\$ displaystyle $eE_{0}/\omega ^{2}$ eE_{0}/\gamma \omega ^{2}} 및 자기장 벡터를 따라 향하는 운동량 E 0 / ω 2 {\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}의 불변 값을 갖는 원형 궤적을 따라 움직이는 입자를 의미합니다.

단색 선편광 평면파

축 $y$ $y$ 를 $E$ 따라 $E$ $E$ 필드가 있는 평평한 단색 선편파의 경우

E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi_{1}

A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi_{1}

이런 이유로

x={\text{const}}

y_{0}=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

=

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

0

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

ω

z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},

1 {\displaystyl

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

y = y_{0}\cos \omega \

xi_{

1}}

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

z = Czy 0

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

in

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

ω ξ 1, {\displaystyl

y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}

z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},

z = C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi_{1}

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

=

8

\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},

γ

ω

{\displaystyle

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

_{

z}={\

frac {e_{0}}{

8

\gamma \omega

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

}},

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

γ 2 = m 2 c 2 + e 2 E

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

22 ω 2, {\displayst

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

amma

C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}

^{2}= m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2

}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},}

p_{x}=0,

p_{y,0}={\frac {eE_{0}} {\omega}

p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi_{1}

p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}

전기장 $E$ $E$ 벡터를 $E$ 따라 축을 따라 배향된 입자 그림 8 궤적을 암시합니다.

솔레노이드 자기장을 갖는 전자파

축방향(솔레노이드) 자기장이 있는 전자파의 경우:^[15]

E=E_{\phi}={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi_{1}

A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi_{1}

이런 이유로

x={\text{constant}}

y_{0}=-{\frac {e\rho_{0}B_{0}}{\gamma \omega}

y=y_{0}\cos \omega \xi_{1}

z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi_{1}

C_{z}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},

\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}

p_{x}=0,

p_{y,0}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},

p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi_{1}

p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},

$B_{0}$ 서 B 0 $B_{0}$ 은 유효 반경이 $\rho _{0}$ ρ 0 $displaystyle \rho_$ {0}, $L_{s}$ L {\ $displaystyle$ L_{s}}, $N_{s}$ 수 {\ $displaystyle$ N_{s}, 솔레노이드 권선을 통해 $I_{0}$ 전류 $I_{0}$ $I_{0}$ 0 ${\$ 입자 운동은 솔레노이드 자기장의 축 대칭으로 인해 임의의 방위각 $\varphi$ φ {\displaystyle $\varphi$ \varphi}로 솔레노이드 축에 수직으로 설정된 $yz$ $yz$ 평면에서 그림-8 궤적을 따라 발생합니다.

참고 항목

참고문헌

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해밀턴-야코비 방정식

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목차

개요

수학 공식

표기법

작용함수(일명 해밀턴의 주함수)

정의.

운동량에 대한 공식: p(q,t) = ∂S/ ∂q

공식은

역학의 다른 공식과의 비교

표준 변환을 사용한 유도

변수분리

다양한 좌표계에서의 예시

구면좌표

타원원통좌표

포물선 원기둥 좌표

파도와 입자

광파면 및 궤적

슈뢰딩거 방정식에 대한 관계

적용들

중력장에서의 HJE

전자기장에서의 HJE

원편파

단색 선편광 평면파

솔레노이드 자기장을 갖는 전자파

참고 항목

참고문헌

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