해석 역학에서 일반화된 좌표라는 용어는 일부 기준 구성에 상대적인 시스템구성을 설명하는 매개변수를 가리킨다. 이러한 매개변수는 기준 구성에 상대적인 시스템 구성을 고유하게 정의해야 한다.[1] 이 작업은 단일 차트로 수행할 수 있다고 가정하여 수행된다. 일반화된 속도는 시스템의 일반화된 좌표의 시간 파생물이다.
일반화된 좌표의 예로는 원 위에서 움직이는 점을 찾는 각도를 들 수 있다. 형용사 "일반화"는 이러한 매개변수를 데카르트 좌표를 참조하기 위한 용어 좌표의 전통적인 사용과 구별한다. 예를 들어, x와 y 좌표를 사용하여 원의 점 위치를 설명한다.
물리적 시스템에 대해 일반화된 좌표에 대한 많은 선택사항이 있을 수 있지만, 시스템 구성의 명세서 및 동작 방정식의 해답을 쉽게 만드는 파라미터는 대개 선택된다. 이러한 매개변수가 서로 독립적일 경우, 독립적 일반화된 좌표의 수는 시스템의 자유도에 의해 정의된다.[2][3]
2D 경로에 대한 일반화된 좌표(자유도 1도) 1개. 곡선에서 위치를 고유하게 지정하려면 일반화된 좌표 하나만 있으면 된다. 이 예제에서 그 변수는 호 길이 s 또는 각도 θ이다. x 또는 y는 곡선의 방정식에 의해 다른 좌표와 연관되기 때문에 데카르트 좌표(x, y)를 둘 다 가질 필요는 없다. 또한 s 또는θ에 의해 매개변수가 지정될 수 있다.
곡선 경로 F(x, y) = 0. 경로가 있는 반지름의 다중 교차점.
닫힌 곡선 경로 C(x, y) = 0. 경로의 자체 절편.
곡선을 따라가는 호 길이의 s는 위치가 고유하게 결정되기 때문에 합법적으로 일반화된 좌표지만, θ 각도는 θ의 단일 값에 대해 복수의 위치가 있기 때문에 그렇지 않다.
일반화된 좌표는 보통 시스템의 구성을 정의하는 최소한의 독립 좌표수를 제공하기 위해 선택되는데, 이는 라그랑주의 운동 방정식의 공식화를 단순화한다. 그러나 유용한 일반화된 좌표 집합이 종속적일 수 있으며, 이는 하나 이상의 제약 조건 방정식에 의해 관련됨을 의미한다.
홀로노믹 제약조건
열린 곡선 표면 F(x, y, z) = 0
닫힌 곡선 표면 S(x, y, z) = 0
두 개의 일반화된 좌표, 두 개의 자유도, 3D로 곡선 표면에. 곡선의 점을 지정하려면 두 개의 숫자(u, v)만 필요하며, 각 사례에 대해 하나의 가능성이 표시된다. 어떤 두 개라도 곡선의 방정식에 따라 세 번째 좌표(x, y, z)를 결정하므로 전체 세 개의 데카르트 좌표(x, y, z)는 필요하지 않다.
위치 벡터는 k = 1, 2, ..., N이 입자에 라벨을 붙이는 r로k 나타낼 수 있다. 홀로노믹 제약조건은 입자 k에[4][nb 1] 대한 형태의 제약조건 방정식이다.
그 입자의 3개의 공간 좌표를 서로 연결해서 독립적이지 않아 제약조건은 시간에 따라 변할 수 있으므로 시간 t는 제약조건 방정식에 명시적으로 나타날 것이다. 언제라도 다른 좌표(예k: x와 z가k 주어진 경우)에서 하나의 좌표가 결정된다. y도k 그렇다. 하나의 제약조건 방정식이 하나의 제약조건으로 간주된다. C 제약조건이 있으면 각각 방정식이 있기 때문에 C 제약조건 방정식이 있을 것이다. 각 입자에 대해 반드시 하나의 제약조건 방정식이 있을 필요는 없으며, 시스템에 제약조건이 없다면 제약조건 방정식이 없다.
지금까지 시스템의 구성은 3N 수량으로 정의되지만, C 좌표는 각 제약 방정식에서 하나의 좌표로 제거될 수 있다. 독립 좌표의 수는 n = 3N - C이다(D 치수에서 원래 구성에는 ND 좌표가 필요하며, 제약조건에 의한 감소는 n = ND - C를 의미한다). 시스템의 제약을 이용하면서 전체 시스템의 구성을 정의하는 데 필요한 최소한의 좌표수를 사용하는 것이 이상적이다. 이 수량은 qj(t)로 표시된 이 맥락에서 일반화된 좌표로 알려져 있다. 그것들을 n투플로 모으는 것이 편리하다.
시스템 구성 공간의 한 지점. 그들은 모두 서로 독립적이며, 각각은 시간의 함수다. 기하학적으로 직선을 따라가는 길이 또는 곡선을 따라가는 호 길이 또는 각도가 될 수 있다. 반드시 데카르트 좌표 또는 기타 표준 직교 좌표가 될 필요는 없다. 자유도에는 각각 하나씩 있으므로 일반화된 좌표의 수는 자유도와 같다. n. 자유도는 예를 들어 진자의 각도나 철사를 따라 구슬에 의해 가로지르는 호 길이와 같은 시스템의 구성을 바꾸는 한 가지 양에 해당한다.
자유도가 있는 만큼 독립변수를 제약조건에서 찾을 수 있다면 일반화된 좌표로 사용할 수 있다.[5] 입자 k의 위치 벡터 r은k 모든 n 일반화된 좌표(그리고 이들을 통해 시간)의 함수다.[6][7][8][5][nb 2]
Lagrangian L이 일부 좌표 q에i의존하지 않는 경우, Euler-Lagrange 방정식에서 해당 일반화된 모멘텀이 보존된 양이 된다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 시간 파생상품은 모멘텀이 운동의 상수를 의미하기 때문이다.
예
철사 위의 구슬
비드는 마찰이 없는 와이어 위에서 움직일 수 밖에 없다. 전선은 비드에 반응력 C를 작용시켜 전선에 유지한다. 이 경우에 비이상력 N은 중력이다. 와이어의 초기 위치는 다른 움직임으로 이어질 수 있다는 점에 유의하십시오.
2d 공간의 중력에 의해서만 무찰 와이어에서 미끄러지는 비드의 경우, 비드의 구속조건은 f(r) = 0 형식으로 나타낼 수 있으며, 여기서 비드의 위치는 r = (x), y(s)로 쓸 수 있으며, s는 매개변수로서 와이어의 어떤 지점에서 곡선을 따라 호 길이가 s이다. 이것은 시스템에 대한 일반화된 좌표의 적절한 선택이다. 비드의 위치는 하나의 숫자, s로 파라미터화할 수 있고 제약 조건 방정식은 두 좌표 x와 y를 연결하기 때문에 두 좌표 중 하나는 다른 좌표로부터 결정되기 때문에 두 좌표 대신에 하나의 좌표만 필요하다. 구속력은 와이어가 비드에 가하기 위해 와이어가 비드에 가하는 반작용력이며, 비결정적인 작용력은 비드에 작용하는 중력이다.
와이어가 시간에 따라, 구부러짐으로써 모양을 바꾼다고 가정합시다. 그러면 제약조건 방정식과 입자의 위치는 각각 다음과 같다.
현재 둘 다 시간 t에 의존하고 있는데, 이는 와이어의 모양이 바뀌면서 좌표 변화로 인해 시간 t에 의존한다. 알림 시간은 좌표를 통해 암묵적으로 표시되며 제약 조건 방정식에 명시적으로 나타난다.
단순진자
단순진자 로드는 강성이므로 bob의 위치는 f(x, y) = 0 등식에 따라 구속되므로 구속력 C는 로드 내의 장력이다. 다시 이 경우에 비기존적인 힘 N은 중력이다.
단순 진자의 동적 모델.
기계적 시스템의 움직임을 특성화하기 위한 일반화된 좌표와 데카르트 좌표 사이의 관계는 단순한 진자의 제한된 역학 관계를 고려함으로써 설명할 수 있다.[12][13]
단순한 진자는 회전 지점에 매달린 질량 M으로 구성되어 있어 반경 L의 원 위에서 움직일 수 밖에 없다. 질량의 위치는 y가 수직 방향에 있도록 원의 평면에서 측정한 좌표 벡터 r=(x, y)로 정의된다. 좌표 x와 y는 원의 방정식에 의해 연관된다.
M의 움직임을 제약하는 것. 이 방정식은 또한 속도 구성요소에 대한 구속조건을 제공한다.
이제 수직 방향에서 M의 각도 위치를 정의하는 파라미터 θ을 소개한다. 다음과 같이 x와 y 좌표를 정의하는 데 사용할 수 있다.
이 계통의 구성을 정의하기 위해 θ을 사용하면 원의 방정식에 의해 제공되는 제약을 피할 수 있다.
일반화된 좌표의 이점은 이중 진자의 분석으로 명백해진다. 두 질량 m에i 대해, i=1, 2, ri=(xi, yi), i=1, 2는 그들의 두 궤적을 정의한다. 이 벡터는 두 개의 제약 조건 방정식을 만족시킨다.
그리고
이 시스템에 대한 라그랑주 방정식의 공식화는 4개의 카르테시아 좌표 xi, y ii=1, 2와 두 개의 라그랑주 승수 λi, i=1, 2에서 6개의 방정식을 산출한다.
이제 수직 방향에서 이중 진자의 각 질량의 각도 위치를 정의하는 일반화된 좌표 θi i=1,2를 소개한다. 이 경우 우리는 다음과 같은 조치를 취하였다.
대중에게 작용하는 중력의 힘은,
여기서 g는 중력의 가속이다. 따라서 궤적을 따라가면서 두 대중이 가지고 있는 가상의 중력 작용, ii=1,2는 다음과 같이 주어진다.
변동 Δri i=1, 2는 다음과 같이 계산될 수 있다.
따라서 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.
일반화된 세력은
이 시스템의 운동 에너지를 계산할 것
오일러-라그랑주 방정식은 알려지지 않은 일반화된 좌표에서 2개의 방정식을 산출한다 θi i=1, 2, 주어지는 공식은 다음과[14] 같다.
그리고
일반화된 좌표 θi i=1, 2의 사용은 이중 진자의 역학을 데카르트식으로 공식화하는 대안을 제공한다.
구형진자
구형 진자: 각도와 속도.
3d 예제의 경우, 일정한 길이 l의 구형 진자가 중력에 노출되는 어떤 각도 방향에서도 자유롭게 흔들릴 수 있으며, 진자 밥에 대한 구속조건은 형태로 나타낼 수 있다.
진자 봅의 위치를 기록할 수 있는 곳
그 안에서 (,, ))는 구면 표면에서 단발이 움직이기 때문에 구면 극각이다. 위치 r은 여기서 점 입자로 취급되는 고정점을 따라 밥까지 측정된다. 동작을 설명하는 일반화된 좌표의 논리적 선택은 각도( (, φ)이다. 밥의 위치는 두 숫자로 매개변수를 지정할 수 있고, 제약 방정식은 세 좌표 x, y, z를 연결하기 때문에 세 개의 좌표 중 어느 하나라도 나머지 두 개에서 결정되기 때문에 세 개의 좌표만 있으면 된다.
일반화된 좌표 및 가상 작업
가상 작업 원칙은 시스템이 정적 평형 상태에 있을 경우 적용된 힘의 가상 작업은 이 상태에서 시스템의 모든 가상 이동, 즉 }에 대한 =0에 대해 0이 된다고 명시한다.[15] 일반화된 좌표 측면에서 공식화했을 때, 이는 모든 가상 변위에 대한 일반화된 힘이 0, 즉 Fi=0이라는 요구 조건과 동등하다.
시스템의 힘을 Fj, j=1, ..., m을 데카르트 좌표 rj, j=1, ..., m으로 하고 평형 위치에서 가상 변위에 의해 생성되는 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.
여기서 Δrj, j=1, ...m은 신체의 각 지점의 가상 변위를 나타낸다.
이제 각 Δr이j 일반화된 좌표 qi, i=1, ..., n, 그리고 나서 Δr에 따라 다르다고 가정하자.
그리고
n 용어
시스템에 작용하는 일반화된 힘이다. 케인은[16] 이러한 일반화된 힘이 시간 파생상품의 비율에 따라 공식화될 수 있다는 것을 보여준다.
여기서 v는j 힘 F의j 적용 지점의 속도다.
임의의 가상 변위에 대해 가상 작업이 0이 되려면, 일반화된 각각의 힘은 0, 즉 0이 되어야 한다.
^어떤 저자는 어떤 제약 조건 방정식(예: 진자)을 가지고 편의를 위해 제약 조건 방정식을 상수로 설정하고, 다른 저자는 그것을 0으로 설정한다. 상수를 빼서 방정식의 한쪽 면에 0을 줄 수 있기 때문에 차이가 없다. 또한 라그랑주의 제1종 방정식에서는 파생상품만 있으면 된다.
^일부 저자(예: Hand & Finch는 여기에 표시된 것처럼 입자 k에 대한 위치 벡터의 형태를 그 입자에 대한 제약조건이 홀로노믹이 되는 조건으로서 취한다.
^Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN0-03-063366-4.
^T. R. 케인과 D. A. 레빈슨, 다이내믹스: 이론과 응용, 뉴욕 맥그로우 힐, 1985년