일반화 좌표

해석 역학에서 일반화된 좌표라는 용어는 일부 기준 구성에 상대적인 시스템 구성을 설명하는 매개변수를 가리킨다. 이러한 매개변수는 기준 구성에 상대적인 시스템 구성을 고유하게 정의해야 한다.^[1] 이 작업은 단일 차트로 수행할 수 있다고 가정하여 수행된다. 일반화된 속도는 시스템의 일반화된 좌표의 시간 파생물이다.

일반화된 좌표의 예로는 원 위에서 움직이는 점을 찾는 각도를 들 수 있다. 형용사 "일반화"는 이러한 매개변수를 데카르트 좌표를 참조하기 위한 용어 좌표의 전통적인 사용과 구별한다. 예를 들어, x와 y 좌표를 사용하여 원의 점 위치를 설명한다.

물리적 시스템에 대해 일반화된 좌표에 대한 많은 선택사항이 있을 수 있지만, 시스템 구성의 명세서 및 동작 방정식의 해답을 쉽게 만드는 파라미터는 대개 선택된다. 이러한 매개변수가 서로 독립적일 경우, 독립적 일반화된 좌표의 수는 시스템의 자유도에 의해 정의된다.^[2][3]

일반화된 좌표는 일반화된 모멘텀a와 쌍을 이루어 위상 공간에 표준 좌표를 제공한다.

구속조건 및 자유도

일반화된 좌표는 보통 시스템의 구성을 정의하는 최소한의 독립 좌표수를 제공하기 위해 선택되는데, 이는 라그랑주의 운동 방정식의 공식화를 단순화한다. 그러나 유용한 일반화된 좌표 집합이 종속적일 수 있으며, 이는 하나 이상의 제약 조건 방정식에 의해 관련됨을 의미한다.

홀로노믹 제약조건

3D 실제 좌표 공간의 N 입자 시스템에 대해 각 입자의 위치 벡터는 데카르트 좌표에서 3-투플로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\,,\quad \mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\,,\ldots \,,\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\,.}$

위치 벡터는 k = 1, 2, ..., N이 입자에 라벨을 붙이는 r로_k 나타낼 수 있다. 홀로노믹 제약조건은 입자 k에^{[4][nb 1]} 대한 형태의 제약조건 방정식이다.

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k}t)=0}$

그 입자의 3개의 공간 좌표를 서로 연결해서 독립적이지 않아 제약조건은 시간에 따라 변할 수 있으므로 시간 t는 제약조건 방정식에 명시적으로 나타날 것이다. 언제라도 다른 좌표(예_k: x와 z가_k 주어진 경우)에서 하나의 좌표가 결정된다. y도_k 그렇다. 하나의 제약조건 방정식이 하나의 제약조건으로 간주된다. C 제약조건이 있으면 각각 방정식이 있기 때문에 C 제약조건 방정식이 있을 것이다. 각 입자에 대해 반드시 하나의 제약조건 방정식이 있을 필요는 없으며, 시스템에 제약조건이 없다면 제약조건 방정식이 없다.

지금까지 시스템의 구성은 3N 수량으로 정의되지만, C 좌표는 각 제약 방정식에서 하나의 좌표로 제거될 수 있다. 독립 좌표의 수는 n = 3N - C이다(D 치수에서 원래 구성에는 ND 좌표가 필요하며, 제약조건에 의한 감소는 n = ND - C를 의미한다). 시스템의 제약을 이용하면서 전체 시스템의 구성을 정의하는 데 필요한 최소한의 좌표수를 사용하는 것이 이상적이다. 이 수량은 q_j(t)로 표시된 이 맥락에서 일반화된 좌표로 알려져 있다. 그것들을 n투플로 모으는 것이 편리하다.

${\displaystyle \mathbf {q}(t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),\ldots,q_{n}(t)}$

시스템 구성 공간의 한 지점. 그들은 모두 서로 독립적이며, 각각은 시간의 함수다. 기하학적으로 직선을 따라가는 길이 또는 곡선을 따라가는 호 길이 또는 각도가 될 수 있다. 반드시 데카르트 좌표 또는 기타 표준 직교 좌표가 될 필요는 없다. 자유도에는 각각 하나씩 있으므로 일반화된 좌표의 수는 자유도와 같다. n. 자유도는 예를 들어 진자의 각도나 철사를 따라 구슬에 의해 가로지르는 호 길이와 같은 시스템의 구성을 바꾸는 한 가지 양에 해당한다.

자유도가 있는 만큼 독립변수를 제약조건에서 찾을 수 있다면 일반화된 좌표로 사용할 수 있다.^[5] 입자 k의 위치 벡터 r은_k 모든 n 일반화된 좌표(그리고 이들을 통해 시간)의 함수다.^{[6][7][8][5][nb 2]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t)\mathbf\}$

일반화된 좌표는 제약조건과 관련된 매개변수로 생각할 수 있다.

q의 해당 시간 파생상품은 일반화된 속도,

${\dot스타일 {\dot}{\mathbf{q}}}}}}{dt}=({\dot{q}_{1}(t), {\dot{q}}}{n}(t)}$

(수량 위의 각 점은 1회 파생상품을 나타낸다.) 속도 벡터 v는_k 시간에 대한 r의_k 총 파생 모델이다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

그래서 일반적으로 일반화된 속도와 좌표에 따라 달라진다. 일반화된 좌표와 속도의 초기값을 별도로 지정할 수 있으므로 일반화된 좌표 q와_j 속도 dq_j/dt는 독립 변수로 취급할 수 있다.

비고형 구속조건

기계적 시스템은 일반화된 좌표와 그 파생상품 모두에 제약을 가할 수 있다. 이러한 유형의 제약조건을 비혼수성으로 알려져 있다. 1차 비혼합성 제약조건은 형태를 가진다.

${\displaystyle g(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q}}}}}}=0\}$

그러한 제약조건의 예로는 속도 벡터의 방향을 구속하는 롤링 휠이나 나이프 에지가 있다. 비혼성 제약에는 일반화된 가속도와 같은 차세대 파생상품도 포함될 수 있다.

일반화 좌표에서의 물리적 수량

운동 에너지

시스템의 총 운동 에너지는 시스템 운동의 에너지로서, 다음과^[9] 같이 정의된다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}2}}\sum _{k=1}^{{N_{k}{\dot {\mathbf {r}}}{k}}}{\dot {\mathbf {}}}}}}\cdot {\mathbf {}}}\cdot {}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ·는 도트 제품이다. 운동에너지는 속도 v의_k 함수일 뿐 좌표 r 자체는_k 아니다. 대조적으로 중요한 관찰은^[10]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

이는 운동 에너지가 일반적으로 일반화된 속도, 좌표 및 시간의 함수로서, 제약 조건 또한 시간에 따라 다르기 때문에 T = T(q, dq/dt, t)를 나타낸다.

입자에 대한 제약조건이 시간 독립적일 경우, 시간과 관련된 모든 부분파생물은 0이며 운동 에너지는 일반화된 속도에서 도 2의 균일한 함수다.

여전히 시간 독립적인 경우, 이 표현은 입자 k의 궤적을 제곱한 선 요소를 취하는 것과 같다.

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

입자 k의 속도 제곱을 얻기 위해 시간 dt에서² 제곱 미분(제곱 미분)으로 나눈다. 따라서 시간 독립적 제약조건의 경우 입자의 운동 에너지를 신속하게 얻기 위해 라인 요소를 아는 것으로 충분하며 따라서 라그랑지안도 충분히 가능하다.^[11]

다양한 극좌표 사례를 2d와 3d로 보는 것은 잦은 외관상 유익하다. 2d 극좌표(r, θ),

${\displaystyle \left\frac {ds}{dt}\오른쪽)^{2}={\dot{r}^{2}+r^{2}}}{\dot {\theta}^{2}\...}$

3d 원통형 좌표(r, θ, z),

${\displaystyle \left\frac {ds}{dt}\오른쪽)^{2}={\dot{r}^{2}+r^{2}}}{\dot{\theta }^{2}+{\dot{z}^{2}\}}$

3d 구형 좌표(r, θ, φ),

${\displaystyle \left\frac {ds}{dt}\오른쪽)^{2}={\dot{r}^{2}+r^{2}}}{\dot{\dot{\theta}{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot{\varphi }}},}$

일반화 운동량

일반화된 운동량 "수평적으로 좌표 q에_i 결합"은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot{q}_{i}}}.}$

Lagrangian L이 일부 좌표 q에_i 의존하지 않는 경우, Euler-Lagrange 방정식에서 해당 일반화된 모멘텀이 보존된 양이 된다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 시간 파생상품은 모멘텀이 운동의 상수를 의미하기 때문이다.

${\daptyle {\p}_{i}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{q}_{i}}={\partial q}{\partial q}}=0\}}}}}$

예

철사 위의 구슬

2d 공간의 중력에 의해서만 무찰 와이어에서 미끄러지는 비드의 경우, 비드의 구속조건은 f(r) = 0 형식으로 나타낼 수 있으며, 여기서 비드의 위치는 r = (x), y(s)로 쓸 수 있으며, s는 매개변수로서 와이어의 어떤 지점에서 곡선을 따라 호 길이가 s이다. 이것은 시스템에 대한 일반화된 좌표의 적절한 선택이다. 비드의 위치는 하나의 숫자, s로 파라미터화할 수 있고 제약 조건 방정식은 두 좌표 x와 y를 연결하기 때문에 두 좌표 중 하나는 다른 좌표로부터 결정되기 때문에 두 좌표 대신에 하나의 좌표만 필요하다. 구속력은 와이어가 비드에 가하기 위해 와이어가 비드에 가하는 반작용력이며, 비결정적인 작용력은 비드에 작용하는 중력이다.

와이어가 시간에 따라, 구부러짐으로써 모양을 바꾼다고 가정합시다. 그러면 제약조건 방정식과 입자의 위치는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle f(\mathbf {r},t)=0\...\mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t)}}$

현재 둘 다 시간 t에 의존하고 있는데, 이는 와이어의 모양이 바뀌면서 좌표 변화로 인해 시간 t에 의존한다. 알림 시간은 좌표를 통해 암묵적으로 표시되며 제약 조건 방정식에 명시적으로 나타난다.

단순진자

기계적 시스템의 움직임을 특성화하기 위한 일반화된 좌표와 데카르트 좌표 사이의 관계는 단순한 진자의 제한된 역학 관계를 고려함으로써 설명할 수 있다.^[12][13]

단순한 진자는 회전 지점에 매달린 질량 M으로 구성되어 있어 반경 L의 원 위에서 움직일 수 밖에 없다. 질량의 위치는 y가 수직 방향에 있도록 원의 평면에서 측정한 좌표 벡터 r=(x, y)로 정의된다. 좌표 x와 y는 원의 방정식에 의해 연관된다.

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

M의 움직임을 제약하는 것. 이 방정식은 또한 속도 구성요소에 대한 구속조건을 제공한다.

${\dot스타일 {\f}(x,y)=2x{\dot{x}+2y{\dot{y}=0.}$

이제 수직 방향에서 M의 각도 위치를 정의하는 파라미터 θ을 소개한다. 다음과 같이 x와 y 좌표를 정의하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta,-L\cos \theta).}$

이 계통의 구성을 정의하기 위해 θ을 사용하면 원의 방정식에 의해 제공되는 제약을 피할 수 있다.

질량 m에 작용하는 중력의 힘은 일반적인 데카르트 좌표로 공식화된다.

${\displaystyle \mathbf {F} = (0,-mg),}$

여기서 g는 중력의 가속이다.

질량 m이 궤적을 따라가면서 질량 m에 가해지는 가상 중력의 작업은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r}$

변동 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ $r$은 좌표 x와 y 또는 매개변수 Δ 단위로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta, L\sin \theta )\delta \delta.}$

따라서 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.

$\deltayle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin \theta \delta.}$

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 계수가 적용된 힘의 y 성분이라는 점에 유의하십시오. 같은 방법으로 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ $\theta$의 계수는 다음과 같이 주어지는 일반화된 좌표 θ을 따라 일반화된 힘이라고 알려져 있다.

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta.}$

분석을 완료하려면 속도를 사용하여 질량의 운동 에너지 T를 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x},{\dot {y})=(L\cos \cos \theta, L\sin \theta ){\dot {\theta},},}$

그렇게

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot{x}^{2}+{\y}^{}}}}}={\frac {1}2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

좌표 x와 y의 관점에서 달랑베르트의 진자에 대한 가상 작업 원리는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

이것은 세 방정식을 산출한다.

${\dapstyle m{\ddot{x}}=\lambda(2x),\quad m{\ddot {y}=-mg+\lambda(2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

미지의 세 가지, x, y, λ에.

이러한 방정식은 변수 θ을 사용하여 형태를 취한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial T}{\partial T}{\partial {\dot {\tea}-{\partial T}{\partial \ta }}}}$

그렇게 되면,

${\displaystyle mL^{2}{\dot {\theta}}=-mgL\sin \theta,}$

또는

${\ddottyle {\dota}+{\frac {g}{L}\sin \theta =0.}$

이 공식은 단일 모수가 있고 제약조건 방정식이 없기 때문에 하나의 방정식을 산출한다.

이는 매개변수 θ이 일반화된 좌표로, 진자를 분석하기 위해 데카르트 좌표 x와 y와 같은 방법으로 사용할 수 있음을 보여준다.

이중진자

일반화된 좌표의 이점은 이중 진자의 분석으로 명백해진다. 두 질량 m에_i 대해, i=1, 2, r_i=(x_i, y_i), i=1, 2는 그들의 두 궤적을 정의한다. 이 벡터는 두 개의 제약 조건 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},y_{2},=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

그리고

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}=(\mathbf {r}_{1}) _{2}-\mathbf {r}\cdot(\mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0).}$

이 시스템에 대한 라그랑주 방정식의 공식화는 4개의 카르테시아 좌표 x_i, y i_i=1, 2와 두 개의 라그랑주 승수 λ_i, i=1, 2에서 6개의 방정식을 산출한다.

이제 수직 방향에서 이중 진자의 각 질량의 각도 위치를 정의하는 일반화된 좌표 θ_i i=1,2를 소개한다. 이 경우 우리는 다음과 같은 조치를 취하였다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

대중에게 작용하는 중력의 힘은,

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

여기서 g는 중력의 가속이다. 따라서 궤적을 따라가면서 두 대중이 가지고 있는 가상의 중력 작용, i_i=1,2는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

변동 Δr_i i=1, 2는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

따라서 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\sin \delta \{1}\delta \{1}-m_{2}gL_{2}\sin \delta _{2}\delta _{2},}}$

일반화된 세력은

${\displaystyle F_{\theta_{1}=-(m_{1}+m_{2}){1}gL_{1}\sin \theta_{1}{1}\sin \theta_{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \ta _{2}.}$

이 시스템의 운동 에너지를 계산할 것

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot{\dot {\theta }}^{1}^{2}+{\frac {1}{1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}^{2}{\dot{\dot {\theta }}}{2}^{2}+m_{2}}}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}{\dot {\theta }{1}{\dot{\tea }}{1}.}$

오일러-라그랑주 방정식은 알려지지 않은 일반화된 좌표에서 2개의 방정식을 산출한다 θ_i i=1, 2, 주어지는 공식은 다음과^[14] 같다.

${\displaystyle(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}}{1}+m_{2}}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}{2}\cos(\theta _{2}-\{1}-\theta _{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddtot {\dtota _{2}}^{2}-{1}-\theta _{2}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

그리고

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{2}{\ddot {\theta }}{2}+m_{2}}{{1}L_{2}{\ddot {\theta }}{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\dtot {\dtota _{1}}^{2}-{1}-\sin(\teta _{2}-\1}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

일반화된 좌표 θ_i i=1, 2의 사용은 이중 진자의 역학을 데카르트식으로 공식화하는 대안을 제공한다.

구형진자

3d 예제의 경우, 일정한 길이 l의 구형 진자가 중력에 노출되는 어떤 각도 방향에서도 자유롭게 흔들릴 수 있으며, 진자 밥에 대한 구속조건은 형태로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\}$

진자 봅의 위치를 기록할 수 있는 곳

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ))y(\theta ,\phi )z(\theta ,\phi )\...}$

그 안에서 (,, ))는 구면 표면에서 단발이 움직이기 때문에 구면 극각이다. 위치 r은 여기서 점 입자로 취급되는 고정점을 따라 밥까지 측정된다. 동작을 설명하는 일반화된 좌표의 논리적 선택은 각도( (, φ)이다. 밥의 위치는 두 숫자로 매개변수를 지정할 수 있고, 제약 방정식은 세 좌표 x, y, z를 연결하기 때문에 세 개의 좌표 중 어느 하나라도 나머지 두 개에서 결정되기 때문에 세 개의 좌표만 있으면 된다.

일반화된 좌표 및 가상 작업

가상 작업 원칙은 시스템이 정적 평형 상태에 있을 경우 적용된 힘의 가상 작업은 이 상태에서 시스템의 모든 가상 이동, 즉 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$ }$$$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ $r$에 대한 $W$=0에 대해 0이 된다고 명시한다.^[15] 일반화된 좌표 측면에서 공식화했을 때, 이는 모든 가상 변위에 대한 일반화된 힘이 0, 즉 F_i=0이라는 요구 조건과 동등하다.

시스템의 힘을 F_j, j=1, ..., m을 데카르트 좌표 r_j, j=1, ..., m으로 하고 평형 위치에서 가상 변위에 의해 생성되는 가상 작업은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \delta W=\sum \{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \delta \mathbf {r} _{j}.}$

여기서 Δr_j, j=1, ...m은 신체의 각 지점의 가상 변위를 나타낸다.

이제 각 Δr이_j 일반화된 좌표 q_i, i=1, ..., n, 그리고 나서 Δr에 따라 다르다고 가정하자.

${\displaystyle \mathbf {r} _{j}={\frac{\frac {r} _{j}{\n1}\mathbf{1}\n1}\dots +{\frac {\mathbf {r}{j}}{j}\mathbf_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.}$

n 용어

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}}{j}}}{partial q_{i}}}}}}}}},\quad i=1,\ldots,n,}$

시스템에 작용하는 일반화된 힘이다. 케인은^[16] 이러한 일반화된 힘이 시간 파생상품의 비율에 따라 공식화될 수 있다는 것을 보여준다.

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}}{j}}{\partial {\q}}}}}{partial i=1,\dots.n,}$

여기서 v는_j 힘 F의_j 적용 지점의 속도다.

임의의 가상 변위에 대해 가상 작업이 0이 되려면, 일반화된 각각의 힘은 0, 즉 0이 되어야 한다.

${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots,n.}$

참고 항목

• 표준 좌표
• 해밀턴 역학
• 가상 작업
• 직교좌표
• 곡선 좌표
• 질량 행렬
• 강성행렬
• 일반화 힘

메모들

참조

인용 참고 문헌 목록

• Ginsberg, Jerry H. (2008). Engineering dynamics (3rd ed.). Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88303-0.
• Kibble, T.W.B; Berkshire, F.H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). River Edge NJ: Imperial College Press. ISBN 1860944248.