상미분 방정식

미분 방정식
Navier – 장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 기술 천문학 물리 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 카오스 이론 동적 시스템 사회과학 경제학 모집단 역학
분류
종류들 보통의 부분적 미분 대수 적분 미분 프랙셔널 선형 비선형 변수 유형별 종속 및 독립 변수 오토노마스 결합/분리 정확한 동종/비동종 특징들 주문 교환입니다. 표기법
프로세스와의 관계 차이(이산 아날로그) 확률적 확률적 부분 지연
솔루션
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 코시-코왈레프스키 정리
일반적인 토픽 브롱스키안 위상 세로 위상 공간 랴푸노프 / 점근 / 지수 안정성 수렴 속도 시리즈 / 통합 솔루션 수치 적분 디랙 델타 함수
해결 방법 감사 특징의 방법 오일러 지수 반응 공식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한 요소 무한 요소 유한 부피 갤러킨 페트로프갈레르킨 적분 계수 통합 변환 섭동 이론 룽게쿠타 변수 분리 미결정 계수 파라미터의 변동
사람
목록. 아이작 뉴턴 조제프 푸리에 고트프리드 라이프니츠 레온하르트 오일러 에밀 피카르 유제프 마리아 호엔 브론스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 오귀스틴 루이 코시 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 다비드 톨메 룽지 마르틴 쿠타
v t

수학에서, 상미분 방정식(ODE)은 하나의 독립 변수의 하나 이상의 함수와 그 ^[1]함수의 도함수를 포함하는 미분 방정식이다.공통이라는 용어는 ^[2]둘 이상의 독립 변수에 대해 사용될 수 있는 편미분 방정식이라는 용어와 대조됩니다.

미분 방정식

선형 미분 방정식은 미지의 함수와 그 도함수에서 선형 다항식으로 정의되는 미분 방정식이다.

$\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y'+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

${\displaystyle a_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ $a$_ { $0$（ $x$） $、$ ...${\displaystyle {}_{}、}$ ( x ) { $displaystyle$$$a _ { n$$} $b$ b${\displaystyle }$b ($x )$ different${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ arbitrary arbitrary arbitrary arbitrary arbitrary arbitrary 、 y $（ n$） $wherestylestyle$ of of of of of $of$ of 。변수 x.

일반 미분 방정식 중 선형 미분 방정식은 여러 가지 이유로 중요한 역할을 한다.물리학과 응용 수학에서 볼 수 있는 대부분의 기초 및 특수 함수는 선형 미분 방정식의 해이다(홀로노믹 함수 참조).물리적 현상을 비선형 방정식으로 모델링할 경우, 일반적으로 더 쉬운 해법을 위해 선형 미분 방정식으로 근사합니다.명시적으로 해결할 수 있는 몇 가지 비선형 ODE는 일반적으로 방정식을 동등한 선형 ODE로 변환함으로써 해결됩니다(예: Riccati 방정식 참조).

일부 ODE는 알려진 기능 및 통합 측면에서 명시적으로 해결할 수 있습니다.이것이 불가능할 경우, 해법의 테일러 급수를 계산하는 방정식이 유용할 수 있습니다.적용된 문제의 경우, 일반 미분 방정식에 대한 수치적 방법이 해답의 근사치를 제공할 수 있습니다.

배경

상미분방정식(ODE)은 수학, 사회, 자연과학의 많은 맥락에서 발생합니다.변화에 대한 수학적 설명은 미분과 파생물을 사용한다.미분방정식이 동적으로 변화하는 현상, 진화 및 변화를 설명하는 결과물이 되도록 다양한 미분, 미분, 함수가 방정식을 통해 관련된다.종종 수량은 다른 수량의 변화율(예를 들어 시간에 대한 변위 도함수) 또는 수량의 기울기로 정의되며, 이것이 미분 방정식을 입력하는 방법이다.

특정 수학 분야에는 기하학과 해석 역학을 포함한다.과학 분야에는 물리학과 천문학(기상역학), 기상학(기상 모델링), 화학(반응률),^[3] 생물(감염병, 유전자 변화), 생태와 인구 모델링(인구 경쟁), 경제(주식 추세, 금리 및 시장 균형 가격 변화) 등이 포함된다.

뉴턴, 라이프니츠, 베르누이 가족, 리카티, 클레로, 달랑베르, 오일러를 포함한 많은 수학자들이 미분 방정식을 연구하여 이 분야에 기여했습니다.

간단한 예는 뉴턴의 운동 제2법칙이다. 즉, 힘 F 아래의 물체의 변위 x와 시간 t 사이의 관계는 미분 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle m440frac {mathrm {d} ^{2}x(t)} {\mathrm {d} t^{2}} = F(x(t)},$

이는 일정한 질량 m의 입자의 운동을 구속한다.일반적으로 F는 시간 t에서의 입자의 위치 x(t)의 함수이다.미지의 함수 x(t)는 미분방정식의 양쪽에 나타나며 F(x(t))^[4][5][6][7] 표기로 나타납니다.

정의들

다음 예에서 y를 종속 변수, x를 독립 변수, y = f(x)를 x의 미지 함수라고 합니다.미분 표기법은 작성자 및 작업에 가장 유용한 표기법에 따라 달라집니다.이런 맥락에서, Leibniz의 표기법(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac.반면에 라그랑주 표기법(y′, y′′, …, 그건(n)컵을 더 어떤 주문의 계약이 파생 상품을 나타내는 데에 유용하다 .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}dy/dx, d2y/dx2,…, dny/dxn 컵을 더 분화와 통합을 위할 때 유용합니다.Ly,와 뉴턴의 기호({\displaystyle({\dot{y}},{\ddot{y}},{\overset{.$...}{y}}}$는 물리학에서 시간에 대한 낮은 차수의 도함수를 나타내기 위해 자주 사용됩니다.

일반적인 정의

주어진 F, x, y의 함수 및 y의 도함수.그리고 그 형태의 방정식은

$\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

를 ^[8][9]n차수의 명시적 상미분 방정식이라고 합니다.

보다 일반적으로, 순서 n의 암묵적인 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 ^[10]취한다.

$\displaystyle F\left(x,y,y',y',\ldots,\y^{(n)}\right)=0}$

추가 분류가 있습니다.

Autonomous

x에 의존하지 않는 미분방정식을 자율방정식이라고 합니다.

Linear

미분 방정식은 F를 y의 도함수의 선형 조합으로 쓸 수 있는 경우 선형이라고 한다.

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

여기서 a(x)와 r(x)는 ^[8][11][12]x의 연속 함수이다.함수 r(x)는 소스 항이라고 불리며, 다음 두 가지 중요한 ^[11][13]분류로 이어집니다.

Homogeneous

r(x) = 0이면 결과적으로 하나의 "자동" 용액이 사소한 해인 y = 0이다.선형 동질 방정식의 해는 여기서 y로 나타나는_c 상보함수이다.

Nonhomogeneous (or inhomogeneous)

r(x) 0 0인 경우.보완 함수에 대한 추가 해는 여기서 y로 나타나는_p 특정 적분이다.

Non-linear

선형 조합 형식으로 쓸 수 없는 미분 방정식입니다.

ODE 시스템

다수의 결합 미분 방정식이 방정식의 체계를 형성한다.y가 원소들이 함수인 벡터이고, y(x) = [y₁(x₂), y(x), ..., y_m(x)], F가 y와 그 도함수의 벡터 값 함수라면,

$\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ' ,\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)} \right )$

순서 n과 차원 m의 상미분 방정식의 명시적 시스템입니다.열 벡터 형식:

${\displaystyle {pmatrix}y_{1}^{(n)}\vdots\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}=matrix{p}f_{1}\left(x,\mathbf {y},\ldb}, {mathb},y} '',\ldots,\mathbf {y}^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

이것들은 반드시 선형일 필요는 없습니다.암묵적인 아날로그는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\ldots ,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ^{(n)} \right ) = bold symbol {0}$

여기서 0 = (0, 0, ..., 0)은 0 벡터입니다.매트릭스 형식

$\displaystyle {pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y}),\mathbf {y},\ldots,\mathbf {y}^{(n)}\f_{2}(x,\mathbf {y},\mathbf {y},\ldots})$

F${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$${\displaystyle \frac{y\mathbf{}}{}}$ ,${\displaystyle \frac{y\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0\mathbf{}}$\ $displaystyle$\$mathbf${ $F$} \$left$ ( $x$${\displaystyle \frac{}{}}$, \ $mathbf { y$} , \ $mathbf${$y$${\displaystyle \frac{\}}{}}$ = bold $symbol${ $0$} ${\displaystyle \frac{}{}}$ fr displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplayfr$$displayfrdisplayfrdisplaydisplaydisplaypartialdisplaydisplaydisplay displayfrdisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplayfr displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaypartialdisplay$displaydisplaydisplaypartialdisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$}} 이것을 암묵적 ODE[시스템]라고 부르려면 비단수적이어야 한다$.$이 Jacobian 비단수성 조건을 충족하는 암묵적 ODE 시스템은 명시적 ODE 시스템으로 변환할 수 있다.동일한 출처에서 단일 자코비안을 갖는 암묵적 ODE 시스템을 미분 대수 방정식(DAEs)이라고 한다.이 구별은 단순한 용어의 하나가 아닙니다.DAE는 근본적으로 다른 특성을 가지고 있으며 일반적으로 (부정적인) ODE ^[14][15][16]시스템보다 해결에 더 많이 관여합니다.추가 파생 상품 아마도, 헤시 안 행렬 등 또한non-singular 이 scheme,[표창 필요한]에 따라로 추정되고 있다고 하지만 노트는 어떤 ODE의 것보다(그리고가 보통)ODEs는 야코비singularity 기준 충분한 이 분류시키는 첫번째 order,[17]의 시스템으로 다시 쓸 수 있는 더 큰.알에서 포괄적명령이다.

ODE 시스템의 동작은 위상 초상화를 사용하여 시각화할 수 있습니다.

솔루션

주어진 미분 방정식

$\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots,y^{(n)}\right)=0}$

함수 u: I r R → R, 여기서 I는 구간이며, u가 I에서 n배 미분 가능한 경우 F에 대한 해 또는 적분 곡선이라고 불린다.

$(\displaystyle F(x,u,u',\ldots,\u^{(n)})=0\displaystyle x\in I}$

두 개의 해 u: J r R → R 및 v: I r R → R이 주어졌을 때, I j J 및 V의 확장이라고 한다.

${\displaystyle u(x)=v(x)\display x\in I.}$

확장이 없는 솔루션을 최대 솔루션이라고 합니다.모든 R에 정의된 솔루션을 글로벌 솔루션이라고 합니다.

n차 방정식의 일반 해는 n개의 임의의 독립 적분 상수를 포함하는 해이다.특정 솔루션은 상수를 특정 값으로 설정함으로써 일반 솔루션에서 도출되며, 종종 설정된 '초기 조건 또는 경계 조건'^[18]을 충족하도록 선택됩니다.특이해는 일반해에서 ^[19]임의의 상수에 일정한 값을 할당하여 얻을 수 없는 해이다.

선형 ODE의 맥락에서 특정 솔루션이라는 용어는 ODE의 모든 솔루션(초기 조건을 반드시 만족시킬 필요는 없음)을 나타낼 수도 있으며, ODE는 동종 솔루션(동종 ODE의 일반 솔루션)에 추가되어 원래의 ODE의 일반적인 솔루션을 형성합니다.이는 본 기사의 추측 방법 섹션에서 사용되는 용어로, 미결정 계수 및 파라미터의 변동 방법을 논의할 때 자주 사용됩니다.

한정된 기간의 해결책

비선형 자율 ODE의 경우 유한한 ^[20]기간의 솔루션을 개발할 수 있습니다. 즉, 여기서 시스템은 자신의 역학에서 종료 시점에 값 0에 도달하고 그 후 영원히 0에 머무릅니다.이러한 유한 지속 해는 실선 전체로는 해석 함수일 수 없으며, 종료 시 립시츠 함수가 아닌 것이므로 립시츠 미분 방정식의 해답의 고유성을 지지하지 않는다.

예를 들어, 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\displayrt { y }},,,y(0)=1}$

한정된 기간 솔루션을 허용합니다.

${\displaystyle y(x)=paramfrac {1}{4}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left 1-{\frac {x}{2}\right \2}}$

이론들

독특한 솔루션

상미분방정식과 편미분방정식의 특이해 이론은 라이프니츠 시대부터 연구 대상이었지만 19세기 중반부터 특별한 관심을 받았다.이 주제에 관한 가치있지만 거의 알려지지 않은 저작은 Houtain(1854)이다.Darboux는 이론의 리더였고, 이러한 해법의 기하학적 해석에서 그는 다양한 작가들, 특히 카소라티와 케일리에 의해 연구된 분야를 열었다.후자는 1900년경 받아들여진 1차 미분방정식의 특이해 이론(1872)을 제출해야 한다.

직교로 축소

미분 방정식을 다루려는 원시적인 시도는 직교로 축소되었다.18세기 대수학자들이 n차 일반 방정식을 푸는 방법을 찾는 것이 희망이었기 때문에, 분석가들의 희망은 미분 방정식을 적분하는 일반적인 방법을 찾는 것이었다.그러나 가우스(1799년)는 복소수 미분방정식이 복소수를 필요로 한다는 것을 보여주었다.따라서, 분석가들은 함수 연구를 대체하기 시작했고, 따라서 새롭고 비옥한 분야를 열었다.코치는 이 견해의 중요성을 가장 먼저 인식한 사람이다.그 후, 진짜 질문은 더 이상 알려진 함수나 그 적분을 통해 해답이 가능한지 아닌, 주어진 미분방정식이 독립 변수의 함수의 정의에 충분한지, 그리고 만약 그렇다면 특성 특성은 무엇인가였다.

푸치스의 이론

Fuchs의^[21] 두 회고록은 참신한 접근법에 영감을 주었고, 그 후 Thomé와 Frobenius에 의해 상세하게 설명되었다.콜렛은 1869년부터 중요한 공헌자였다.비선형 시스템을 통합하기 위한 그의 방법은 1868년에 베르트랑에게 전달되었다.클렙쉬(1873)는 그의 아벨 적분 이론과 평행한 선을 따라 이론을 공격했다.후자는 유리 변환에서 변하지 않는 기본 곡선의 특성에 따라 분류될 수 있으므로, 클렙시는 미분 방정식에 의해 정의된 초월 함수를 유리 일대일 변환에서 대응하는 표면 f = 0의 불변 특성에 따라 분류할 것을 제안했다.

거짓말의 이론

1870년부터, Sophus Lie의 연구는 미분 방정식의 이론을 더 나은 토대에 올렸습니다.그는 오래된 수학자들의 적분 이론이 리 군을 이용하여 공통의 출처를 참조할 수 있고, 같은 극소 변환을 허용하는 일반적인 미분 방정식이 그에 필적하는 적분 어려움을 야기한다는 것을 보여주었다.그는 또한 접촉의 변혁에 대한 주제를 강조했다.

리의 미분방정식 군 이론은 증명되었다. 즉, (1) 미분방정식을 푸는 것으로 알려진 많은 임시방정식들을 통합하고, (2) 그것은 해답을 찾는 강력한 새로운 방법들을 제공한다는 것이다.그 이론은 상미분 ^[22]방정식과 편미분 방정식 모두에 적용된다.

일반적인 솔루션 접근법은 미분 방정식의 대칭성, 즉 솔루션에 대한 솔루션의 연속적인 극소 변환(거짓말 이론)을 사용합니다.연속군 이론, 리 대수, 미분 기하학은 적분 가능한 방정식을 생성하기 위한 선형 및 비선형(부분적) 미분 방정식의 구조를 이해하고, Lax 쌍, 재귀 연산자, Becklund 변환, 그리고 최종적으로 DE에 대한 정확한 분석 해법을 찾기 위해 사용된다.

대칭법은 수학, 물리학, 공학 및 다른 분야에서 발생하는 미분 방정식에 적용되어 왔다.

스투름-리우빌 이론

스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)은 2차 선형 상미분 방정식의 특별한 유형의 이론이다.이 솔루션은 2차 균질 선형 방정식을 통해 정의된 선형 연산자의 고유값 및 해당 고유 함수를 기반으로 합니다.이 문제는 Sturm-Liouville Problems(SLP)로 식별되며 J.C.F.의 이름을 따서 명명됩니다. 스투름과 J. 리우빌은 1800년대 중반에 이들을 연구했다.SLP에는 무한한 수의 고유값이 있으며, 이에 대응하는 고유함수가 완전한 직교 집합을 형성하므로 직교 확장이 가능합니다.이것은 응용 수학, 물리학,^[23] 공학 분야의 핵심 아이디어입니다.SLP는 특정 편미분 방정식의 해석에도 유용합니다.

솔루션의 존재와 고유성

ODE와 관련된 초기 가치 문제에 대한 해결책의 존재와 고유성을 로컬 및 글로벌하게 확립하는 몇 가지 이론이 있습니다.두 가지 주요 이론은 다음과 같다.

정리	추정	결론
페아노 존재 정리	F 연속	로컬존재만
피카르-린델뢰프 정리	F 립시츠 연속	지역적 존재와 고유성

기본적인 형태에서는 두 이론 모두 국소적인 결과만을 보장하지만, 후자는 예를 들어 그뢰발의 부등식 조건이 충족되면 전역적인 결과를 제공하도록 확장할 수 있다.

또한 위의 Lipschitz와 같은 고유성 이론은 DAE 시스템에 적용되지 않으며, DAE 시스템은 (비선형) 대수 부분에서만 ^[24]발생하는 다중 솔루션을 가질 수 있습니다.

국소적 존재 및 고유성 정리 단순화

그 정리는 다음과 ^[25]같이 간단히 말할 수 있다.방정식 및 초기값 문제의 경우:

닫힌 직사각형에서 F와 F/y가 연속인 경우x-y 평면에서, 여기서 a와 b는 실재하고(기호적으로 a, b r R), ×는 데카르트 곱을 나타내며, 대괄호는 닫힌 구간을 나타내며, 그러면 간격이 있다.위의 방정식과 초기값 문제에 대한 해답을 찾을 수 있는 일부 h µ R에 대해.즉, 해결책이 있고 그것은 독특합니다.F는 선형이어야 한다는 제한이 없기 때문에, 이것은 F(x, y)의 형태를 취하는 비선형 방정식에 적용되며, 방정식 체계에도 적용될 수 있다.

솔루션의 글로벌 고유성 및 최대 도메인

피카르-린델뢰프 정리의 가설이 충족될 때, 국소적 존재와 독특성은 전역적 결과로 확장될 수 있다.보다 정확하게는:^[26]

각 초기 조건(x₀, y₀)에 대해 고유한 최대(아마도 무한) 개방 간격이 존재합니다.

$\displaystyle I_{\max}=(x_{-},x_{+}),x_{\pm}\in \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}}$

따라서 이 초기 조건을 충족하는 솔루션은 $도메인{\displaystyle {}_{}}$ $(\$에서 이 초기 조건을 충족하는 솔루션의 제약이 됩니다.

x${\displaystyle {}_{}}$±${\displaystyle }${\ ± ${\$ {\$pm }$ \$neq \pm \infty$ $\}$인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, 정확히 두 가지 가능성이 있습니다.

• 유한시간 내 폭발: ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ x ${\displaystyle \underset{}{\to {}_{}}}$ ± ${\displaystyle \underset{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle (y}$( x )${\displaystyle \to }$ {\$display${ displaystyle $\limsup$ _${x\to x_{\pm$}}\$y(x)\$to \$infty }$
• $정의$ 영역 탈퇴: ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ x ${\displaystyle \underset{}{\to {}_{}}}$ ±${\displaystyle \underset{}{{}_{}}}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \mathrm{\in }}$ωdisplay ${\displaystyle \omega display\stackrel{}{\mathrm{}}}$ $（$ \ $displaystyle \lim$_ {$x$ \ $to$x _ { \ $pm }y ( x$ ) \ $in \ bar$\$Omega }$ }

$여기$서 δ는 F가 정의되어 있는 오픈세트이며${\displaystyle \mathrm{}\delta }$는 $경계입니다.$

솔루션의 최대 도메인은

• 항상 간격입니다(고유성을 가지기 위해).
• R$(\$보다 작을 수 있습니다$.$
• (x₀, y₀)의 특정 선택에 따라 다를 수 있습니다.

예.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

즉, F(x, y) = y², 즉 C이며¹ 따라서 국소적으로 립시츠 연속이므로 피카르-린델뢰프 정리를 만족한다.

이렇게 간단한 설정에서도 솔루션의 최대 도메인은 $모두{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$이 될 수 없습니다.솔루션은

${\displaystyle y(x)=syslogfrac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

최대 도메인 수:

${\displaystyle {case}\mathbb {R} &y_{0}=0\[4pt]\left\infty,x_{0}+{\frac {1}\y_{0}\right)&y_{0}\left(x_0}+{0}\fracty}{0}},{0}},{0},{\in},\frac},{0},{0},\displaysty},y},y},y},y},y},y,y,y,$

이는 최대 간격이 초기 조건에 따라 달라질 수 있음을 명확하게 보여줍니다.y의 도메인은 R ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$0 $),$ {\$displaystyle \mathbb {R}$ \$setminus (x_{0}+1/y_{0}}}$ 로 간주할 수 있습니다.다만, 이 경우, 도메인은 간격이 아니기 때문에, 초기 조건과는 반대측의 접속이 끊어지기 때문에, 일의로 판별되지 않습니다.

최대 도메인이 R$(\$이 아닙니다.이유는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm}}\y(x)\to \infty ,}$

위의 정리에 따르면 두 가지 가능한 경우 중 하나입니다.

주문의 감소

미분 방정식은 방정식의 순서를 줄일 수 있다면 일반적으로 더 쉽게 풀 수 있습니다.

1차 시스템으로의 환원

차수 n의 명시적 미분 방정식

$\displaystyle F\left(x,y,y',y',\ldots,\y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

알려지지 않은 함수의 새로운 패밀리를 정의함으로써 n개의 1차 미분 방정식의 시스템으로 쓸 수 있다.

$(\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}).\!}$

i = 1, 2, ..., n. 1차 결합 미분방정식의 n차원 시스템은 다음과 같다.

${\displaystyle {array}{rcl}y_{1}'&=y_{2}\y_{3}\\\vdots &=y_{n1}'&=&F(x,y_{1}\y},{2},\y_nots},\y_nots,\nots.\end {array}}$

벡터 표기법에서 보다 간결하게:

$\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F}(x,\mathbf {y})}$

어디에

$\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots,y_{n}),\dots,y_{n}=(y_{2},\ldots,y_{n}),F(x,y_{1},\ldots,y_{n})}$

정확한 해결책의 개요

일부 미분 방정식에는 정확하고 닫힌 형태로 쓸 수 있는 해답이 있습니다.여기에는 몇 가지 중요한 수업이 있다.

아래 표에서 P(x), Q(x), P(y), Q(y) 및 M(x,y), N(x,y)은 x,y,b의 적분 가능한 함수이며 c는 주어진 상수이며₁ C,C₂, ...는 임의의 상수입니다(일반적으로 복소수).미분방정식은 등가 및 다른 형태로, 통합을 통해 해답을 도출합니다.

적분해에서 θ와 θ는 적분의 더미 변수(합계에서 지수의 연속체 유사체)이며, 표기법 ^xθ F(θ) dθ는 단지 θ에 대해 F(θ)를 적분하고, 그 다음 적분치환 θ = x를 추가하지 않고 적분하는 것을 의미한다.

분리 방정식

미분 방정식	솔루션 방법	일반적인 솔루션
1차, x와 y로 구분 가능(일반적인 경우,[27] 특수한 경우 아래 참조) $디스플레이 스타일P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y), {\frac {dy}{dx}}&=0\P_{1}(x)Q_{1}(y),dx+P_{2}(x)Q_{2}(y),dy=0\end{}}}$	변수 분리(PQ로21 나눗셈).	$\displaystyle \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda)}{P_{2}(\frac {Q_{2}(\lambda})}{Q_{1}(\frac {\lambda}}}},d\frac =C}$
1차, x단위로[25] 분리 가능 ${\displaystyle {\frac {dy} {dx}}&=F(x)\dy&=F(x),dx\end{aligned}}$	직접 통합.	$\displaystyle y=\int ^{x}F(\lambda),d\lambda +C}$
1차, 자율, y단위로[25] 분리 가능 ${\displaystyle {\frac {dy} {dx}}&=F(y)\dy&=F(y),dx\end{aligned}}$	변수 분리(F로 나눗셈).	${\displaystyle x=\int ^{y}{\frac {d\lambda}}}+C}$
1차, x와[25] y로 구분 가능 ${\displaystyle {begin{aligned}P(y){\frac {dx}}+Q(x)&=0\P(y),dy+Q(x),dx&=0\end{aligned}}}$	전체를 통합합니다.	$\displaystyle \int ^{y}P(\lambda ), d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda ), d\lambda =C}$

일반 1차 방정식

미분 방정식	솔루션 방법	일반적인 솔루션
1차, 균질[25] ${\displaystyle\frac{dy}{display}}=F\left({\frac {y}{x}}\오른쪽)}$	y = ux로 설정한 다음 u와 x의 변수를 분리하여 해결합니다.	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\clambda}-\clambda }}$
퍼스트 오더, 분리[27] 가능 ${\displaystyle {begin{aligned}yM(xy), {\frac {dy}{dx}}&=0\yM(xy),dx+xN(xy),dy&=0\end{aligned}}}$	변수 분리(xy로 나누기).	$\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda),d\lambda}{\bda [N(\lambda)-M(\lambda)]}}}$ N = M이면 용액은 xy = C입니다.
완전 차동, 1차[25] ${\displaystyle {begin{aligned}M(x,y){\frac {dx}}+N(x,y)&=0\M(x,y),dx&=0\end{aligned}}$ 여기서${\displaystyle \frac{\mathrm{}M}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$N$$ { $displaystyle${ \ $frac$ { \ $partial$ y }$$=$frac {$\ $partial$ x$$}	전체를 통합합니다.	${\displaystyle {begin{aligned}F(x,y)&=int ^{x}M(\lambda,y),d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda ),d\lambda \&=\int ^{y}N(x,\lambda)$ 어디에 $$\displaystyle Y(y)=N(x,y)-{\frac {\frac y}\int ^{x}M(\lambda,y),d\flambda }$$ 그리고. $$\displaystyle X(x)=M(x,y)-{\frac {\frac x}\int ^{y}N(x,\lambda),d\flambda }$$
부정확한 미분, 1차[25] ${\displaystyle {begin{aligned}M(x,y){\frac {dx}}+N(x,y)&=0\M(x,y),dx&=0\end{aligned}}$ 여기서${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$"${\displaystyle \frac{M}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$"${\displaystyle \frac{N}{\mathrm{}}}$y $displaystyle${\$frac$ {\$partial$ x} \ $neq${\$frac${\$partial y}$	적분계수μ(x, y) 만족 $(\displaystyle\frac(\mu M){\partial y}=\frac(\mu N)}{\partial x}}}$	적절한 방법으로 μ(x, y)를 구할 수 있다면, ${\displaystyle {begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu(\lambda,y)M(\lambda,y),d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda)Y(\lambda\lambda \=&\int^{y}\mu\da,y}Mu,da)$ 어디에 $${\displaystyle Y(y)=N(x,y)-{\frac {\frac y}\int ^{x}\mu(\displayda,y)M(\lambda,y),d\displayda }$$ 그리고. $${\displaystyle X(x)=M(x,y)-{\frac {\frac x}\int ^{y}\mu(x,\lambda)N(x,\lambda ),d\fracda }$$

일반 2차 방정식

미분 방정식	솔루션 방법	일반적인 솔루션
2차, Autonomous[28] ${\displaystyle {d^{2}y}{dx^{2}}=F(y)}$	방정식의 양변에 2dy/sq를 $곱하고{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}{}^{}}$x ( ${\displaystyle {d\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{y}{}\frac{x}{}}^{}}$ )$$ { $displaystyle$2d $frac {dy$} ${\frac {dy} {sq$} =$frac {d}$ {$sq}$ {sq} {$sq}$ {$sq$} 、 {sq}} $integright}$。	$\displaystyle x=\pm \int ^{y}{\displayrt {2\int ^{\scapda}}F(\varepsilon}),d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}}}$

n차 방정식에 대한 선형

미분 방정식	솔루션 방법	일반적인 솔루션
1차, 선형, 불균일, 함수 계수[25] ${\displaystyle\frac{dx}}+P(x)y=Q(x)}$	적분 계수: $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}{}^{}}^{}}$x${\displaystyle {}^{}}$P ( ${\displaystyle {)}^{}}$ ) ${\displaystyle d^{}}$ 。{ $displaystyle$ e$^{\int$^{$x}P(\lambda$), $d\lambda$ }$$}	갑옷 공식: $(\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda),d\lambda}\left[\int ^{\int ^{\lambda}),d\varepsilon }Q(\lambda),d\lambda +C\right]$
2차, 선형, 불균일, 함수 계수 ${\displaystyle {d^{2}y}+2p(x){\frac {dy}{flac}+좌(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)}}$	적분 계수: $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x^{}{}^{}}^{}}$x ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ (${\displaystyle {)}^{}}$ ) ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ { $display style$ e^ { \ $int$^ { $x$} $P$( \ $lambda$) ,$d$ \ $lambda$ }$$}	$\displaystyle y={-\int ^{x}P(\lambda), d\lambda}\left[\int ^{\xi}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon}, d\varepsilon }Q(\lambda)\lambda }\xi, d\left, right [\l]$
2차, 선형, 불균일, 상수 계수[29] $({displaystyle {d^{2}y} {display^{2}} + biscfrac {dy} {dy} + cy=r(x)})$	보함수c y: y = e라고αx 가정하고c, 선형 독립 $함수{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {e{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$x {\$displaystyle$ e$^{\alpha$ _${j}x$를 구하기 위해 α에서 다항식을 대입하여 해결한다. 특정 적분p y: 일반적으로 매우 단순한 r(x) 검사에서는 파라미터의 변동 방법이 작동할 [25]수 있습니다.	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}}$ b > 4c일 경우2 $(\displaystyle y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}-4c}}\right(b+{\frac {b^2}-4c}\right)+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}},\left(b-{\frac {x}-4c})\right)}}$ b2 = 4c이면 $\displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2}) e^{-{\frac {bx}{2}}}}$ b가 4c 미만일 경우2 $\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}\left[C_{1}\sin \left(x, {\frac {4c-b^{2}}{2}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x,{\frac {sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right]}$
n차, 선형, 불균일, 상수 계수[29] $\displaystyle \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{display^{j}}=r(x)}$	보함수c y: y = e라고αx 가정하고c, 선형 독립 $함수{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {e{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$x {\$displaystyle$ e$^{\alpha$ _${j}x$를 구하기 위해 α에서 다항식을 대입하여 해결한다. 특정 적분p y: 일반적으로 매우 단순한 r(x) 검사에서는 파라미터의 변동 방법이 작동할 [25]수 있습니다.	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}}$ α는 n차 다항식의 해이므로, $\underset{}{\overset{}{\beta }}$ jj $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}$ (${}_{}$-${}_{}{\alpha }_{}$ j ) $=$ { { $textstyle$\$disples$_ {$j=1}^n}(\alpha$-\$alpha _${j$}=0$이다j. $${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha_{j}x}}$$ k회 반복된j 각 뿌리α에j 대해 $${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right}e^{\alpha _{j}x})$$ 어떤j α 복합체에 대하여, 그리고 나서 α = δj + iθ를j 설정하고, 오일러의 공식을 사용하여, 이전 결과의 일부 항을 다음과 같이 쓸 수 있게 한다. $$(\displaystyle C_{j}e^{\alpha_{j}x}=C_{j}e^{\chi_{j}x}\cos(\cos(\displaystyle_{j}x+\varphi_{j}})}})})$$ 여기서 θ는j 임의 상수(위상 이동)입니다.

추측법

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ODE를 해결하기 위한 다른 모든 방법이 실패했을 때 또는 DE에 대한 솔루션이 어떻게 보일지 직감적으로 알 수 있는 경우 단순히 솔루션을 추측하고 올바른지 검증하는 것만으로 DE를 해결할 수 있는 경우가 있습니다.이 방법을 사용하기 위해서는 단순히 미분 방정식에 대한 해법을 추측하고, 그 해법을 미분 방정식에 삽입하여 방정식을 만족하는지 검증하면 된다.이 경우 DE에 대한 특정 솔루션이 있습니다.그렇지 않으면 다시 시작하고 다른 추측을 시도합니다.예를 들어 DE의 용액은 물리적으로 정현파적으로 동작하는 매우 일반적인 용액이기 때문에 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ t$${\$displaystyle$ y$=Ae^{\alpha$t}}의 형태를 가지고 있다고 추측할 수 있다.

비균질 1차 ODE의 경우 특성 방정식으로 알려진 DE의 동질 부분에 대한 DE 솔루션을 먼저 찾은 다음 추측을 통해 전체 비균질 방정식에 대한 솔루션을 찾아야 합니다.마지막으로 이 두 가지 솔루션을 함께 추가하여 ODE에 대한 토탈 솔루션을 얻습니다.즉, 다음과 같습니다.

${\displaystyle {total solution} = 텍스트 {동종 솔루션} + {\text {특정 솔루션}}$

ODE 해결 소프트웨어

• Maxima, 오픈 소스 컴퓨터 대수 시스템.
• COPASI는 ODE 통합 및 분석을 위한 무료(Artistic License 2.0) 소프트웨어 패키지입니다.
• MATLAB, 테크니컬 컴퓨팅 애플리케이션(MATRIX LABoratory)
• GNU 옥타브, 주로 수치 계산을 위한 고급 언어입니다.
• Scilab은 수치 계산을 위한 오픈 소스 애플리케이션입니다.
• Maple, 기호 계산을 위한 독점 애플리케이션입니다.
• Mathmatica는 주로 기호 계산을 위한 전용 애플리케이션입니다.
• ODE를 상징적으로 해결할 수 있는 Python 패키지 SymPy
• 주로 수치 계산을 목적으로 하는 고급 언어인 Julia(프로그래밍 언어)
• SageMath는 Python과 유사한 구문을 사용하는 오픈 소스 애플리케이션으로 수학의 여러 분기에 걸쳐 광범위한 기능을 제공합니다.
• SciPy는 ODE 통합 모듈을 포함하는 Python 패키지입니다.
• MATLAB에서 작성된 오픈 소스 패키지인 Chebfun은 함수를 15자리 정확도로 계산하기 위한 것입니다.
• GNU R은 주로 통계를 위한 오픈 소스 컴퓨팅 환경이며 ODE 해결을 위한 패키지를 포함합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 경계값 문제
• 미분 방정식의 예시
• 미분 방정식에 적용되는 라플라스 변환
• 동적 시스템 및 미분 방정식 항목 목록
• 행렬 미분 방정식
• 미결정계수법
• 반복관계

메모들

레퍼런스

• Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Physics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• 를 클릭합니다Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• 폴리아닌, A.D. 및 V.F. Zaitsev, 정규 미분 방정식의 정확한 해법 핸드북 (2판), 채프먼 & 홀/CRC 프레스, Boca Raton, 2003.ISBN 1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716
• Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (in French)
• Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303
• Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

참고 문헌

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill.
• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, vol. 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• W. Johnson, 미시간 대학 역사 수학 컬렉션의 정규 및 편미분 방정식에 관한 논문, John Wiley and Sons, 1913
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, 상미분방정식 강연, 도버 출판물, ISBN 0-486-49510-8
• 를 클릭합니다Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• A. D. 폴리아닌, V. F. 자이체프 및 A.Mussiaux, 퍼스트 오더 편미분 방정식 핸드북, Taylor & Francis, London, 2002.ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, 미분방정식 핸드북 (제3판), 보스턴, 학술 출판사, 1997.

외부 링크

• "Differential equation, ordinary", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• EqWorld: 상미분 방정식 목록과 그 해답을 포함하는 수학 방정식의 세계.
• 온라인 노트/미분 방정식 (Paul Dawkins, Lamar University)
• 미분 방정식, S.O.S. 수학.
• South Florida 대학 Hotistic Numerical Methods Institute의 미분 방정식 해석해 입문.
• Gerald Teschl의 일반 미분 방정식과 동적 시스템 강의 노트.
• 차이 Q에 대한 메모: 엔지니어를 위한 미분 방정식 UIUC의 지리 르블이 쓴 미분 방정식에 대한 입문 교과서.
• Scilab을 사용한 ODE 모델링 Openering 팀의 Scilab 표준 프로그래밍 언어를 사용하여 ODE에서 설명하는 물리적 시스템을 모델링하는 방법에 대한 튜토리얼입니다.
• 울프람 알파의 상미분 방정식 풀기