해밀턴 역학

윌리엄 로완 해밀턴 경

해밀턴 역학은 1833년에 라그랑지안 역학의 재구성으로 나타났다.William Rowan Hamilton 경에 의해 도입된 해밀턴 역학은 라그랑지안 역학에 사용되는 ${\dot {q}}^{i}$ $($ 를 ${\dot {q}}^{i}$ 모멘타(일반화)두 이론 모두 고전 역학의 해석을 제공하고 동일한 물리적 현상을 기술합니다.

해밀턴 역학은 기하학(특히 심플렉틱 기하학과 포아송 구조)과 밀접한 관계를 가지고 있으며 고전 역학과 양자 역학 사이의 연결고리 역할을 한다.

개요

위상 공간 좌표(p,q) 및 해밀턴 H

$(M,{\mathcal {L}})$ $(M,{\mathcal {L}})$ , $(M,{\mathcal {L}})$ ) $(M,{\mathcal {L}})$ { $display style$ ( $M$ , { \ $mathcal$ { $L$ $(M,{\mathcal {L}})$ } ) be $(M,{\mathcal {L}})$ 、 $M$ 이 $M$ { \ $displaystyle$ M $M$ }이고 매끄러운 ${\mathcal {L}}.$ L . ${\mathcal {L}}.$ { $displaystyle$ { L ${\mathcal {L}}.$ } } $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ $stylestyle$ stylestyle stylestylestylestylestylestyle stylestyle stylestylestylestyle （ \ style （ \ $bold symbold$ { symbold { symbol ））） $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ with with with with with with let let with with with with $with$ with ${\displaystyle$ M $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ ( $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ q $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ i , $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ ) $=$ def $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ L / $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ i \ $displaystyle p_i$ （ { \ $boldsymbol {$ q $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ } } , { \ $boldsymbol$ { dot { $q}$ }} , t ) ~ { \ $stackrel$ { { \ t } { \ t } {\ cal } {\ $cal$ } { } } } } { } } } { } } } 。 모멘타 및 표준 모멘타). $t,$ $(\$ L})의 ${\mathcal {L}}$ L(\ $displaystyle$ t $,})$ 의 L(\displaystyle { $mathcal$ {L $})$ 의 L(\displaystyle {q}) 변환은 $맵$ , $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ q $},$ $)$ { $displaystyle(\boldsymbol {q},$ { $p})$ 로 정의됩니다. $e$ ( $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ , $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ q ) $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ ( $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ , q $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ ) $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ ) $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ . { $displaystyle$ ( \ $boldsymbol$ { $p$ } , { \ $boldsymbol { q }$ ) ({ ({ ({ $。$ } 자유도가 $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ $n{style$ n $n$ }인 $n$ 의 경우, Lagrangian 역학은 에너지 기능을 정의합니다 $.$

{displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}}, {\boldsymbol {q}, t}, {\stackrel {def}}{=}, {\sum _i=1}{n}{\dot {q}{i}{i}{\frac {\mathcal {q}}}}{{{{{{{\cal}}}}}}}}}{dotal}}{{{{doti}}}}}}}}}{{}

L $(\$ 의 ${\mathcal {L}}$ Legendre 변환의 역수는 $(\$ $displaystyle$ $E_{\$ $mathcal {L$ $})$ 를 $E_{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ Hamiltonian으로 알려진 ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ H $($ , $)$ 로 $E_{\mathcal {L}}$ 합니다.해밀턴족은 다음을 만족시킨다.

{\mathcal {H}}\left(\frac {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},{\boldsymbol {q},t\right}=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {q}},t})

그것은 을 암시하는 것은

{\displaystyle {mathcal {H}}({\boldsymbol {p},{\boldsymbol {q},t)=\sum _{i=1}^{n_i}-{\mathcal {L}({\boldsymbol {q})},{dt},

여기

서

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

q

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

(

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

1 ,

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

,

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

n

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

) {

displaystyle

{

dot

{ q }

= dot

{q} {

n

}

\

ldots

, {

display

n

} - dimensional

{\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})

) 방정식

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

l

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

/

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

style \

syle \ syle \

sylbold

syle

\

syle

q

{\boldsymbol {\dot {q}}}.

q q q q

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

sol sol

sol

、 ) 、

2n

({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})

） ( ( 、 ( 、

q ）

( ( ( ( ( ( ( ( (

（

\ display style

2n

） ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( （ \ display

\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}

style

2n

）

({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})

n

2n

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( { p （ \ display

syle

） ( ( ( ( { p

({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})

）

({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})

（ \ display syle ）}

dim

( ((표준 좌표도 포함).

오일러-라그랑주 방정식에서 해밀턴 방정식으로

$({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$ $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$ , $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$ q $),$ {\ $displaystyle({\boldsymbol {p},$ {\ $boldsymbol {q}),$ $n$ {\ $displaystyle$ n $}$ -차원 $n$ ) 오일러-라그랑주 방정식

{\frac {\mathcal {L}} {\frac {d} {dt}} {\frac {d} {\frac {d} {\frac {D} {\frac {L} {\frac} {\frac} {\boldsymbol {q}} =0

(스타일 2n)

차원의 해밀턴 방정식이 됩니다.

${\frac {\mathmbol {q}} {\mathrm {d} = partial {\frac {\boldsymbol {p}}, \frac {\mathrmbol {p}} = {\calfrac$

고정 작용 원리에서 해밀턴의 방정식으로

${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ a ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ $)$ { $displaystyle {P}(a, b,$ {\ $boldsymbol {x}}_{a},$ {\ $boldsymbol {x}_{b})}}$ 을 ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ 스무스 ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ 의 세트라고 합니다 ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ : ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ [ ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ , b ] $→$ ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ {\ $displaystyl$ { $bol$ {q ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ } : [ a } : [ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ } : [ $to$ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ } $}$ $.$ } ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ : ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ( ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ , b , ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ a , ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ) ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ → ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ { $style$ { $mathcal$ { S } : \ $mathcal$ { P } （ a , $b$ , \ $bold symbol$ { x } } _ { $a$ , { \ $bold symbol$ { $x }$ } } } \ $to$ \ $mathbbr$ } ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ $via$ via $。$

{\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t}, {\dot {\boldsymbol {q}}(t}), {\dt=\int _{a}^{p}{n}{{n}{{{n}}}}}{{\}}{\}{{\}}}{\mathc}}{p}}{{{{\}}}}}}}}{

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

서

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

q (

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

)

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

, {

style {boldsymbol {q}

=

{\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),

q} (

t

및

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

/

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

q

{\

{

displaystyle

{

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

p} = \

mathcal

{

L}

/ \

partial

{

boldsymbol

{ dot

{q}}

{\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}

} （））。

경로

q

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

P (

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

,

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

,

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

, x

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

) {

displaystyle

\ bold

symbol

{

q

} \

in

\

mathcal

{ P }

（ a

,

b

, { \

bold symbol { x } _

{ b

}

} a

{\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})

a a

{\mathcal {S}}

S \

displaystyle

{ x cal {

symb}}

운동의 정지점입니다.

위상

공간 좌표의 mbol

{p}(t

), {\

boldsymbol {q}}(t)}}}

은

({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))

(는) 해밀턴 방정식을 따릅니다.

기본적인 물리적 해석

해밀턴 역학의 간단한 해석은 $질량$ m의 하나의 입자로 구성된 1차원 시스템에 그것의 적용에서 비롯된다.해밀턴의 H $H(p,q)$ q $)$ 값 $displaystyle$ H $(p,q)}$ 은 $H(p,q)$ 시스템의 총 에너지, 즉 운동 에너지와 위치 에너지의 합(기존에는 각각 T, $V$ 로 $표시$ 됨)입니다. $여기$ 서 p는 $운동량$ $mv$ 이고 q는 공간 좌표입니다.그리고나서

{Mathcal {H}}=T+V\quad,\display T=sqfrac {p^{2}}{2m}\display,\display V=V(q)

T

는

p

만의

함수

이고, V는

q

만의 함수이다(즉,

T

와 V는 경화).

이 예에서 $운동량$ p의 시간 도함수는 뉴턴의 힘과 같으며, 따라서 첫 번째 해밀턴 방정식은 힘이 위치 에너지의 음의 구배와 같다는 것을 의미합니다.q의 $시간$ 도함수는 속도이며, 따라서 두 번째 해밀턴 방정식은 입자의 속도가 운동량에 대한 운동 에너지의 도함수와 같다는 것을 의미합니다.

예

구면 진자는 구면에서 마찰 없이 움직이는 질량 m으로 구성된다.질량에 작용하는 유일한 힘은 구와 중력으로부터의 반응이다.구면 좌표는 질량의 위치를 (r, θ, θ)로 나타내는데, $여기$ 서 r은 고정되며, $r$ = $l$ 이다.

구면 진자: 각도와 속도.

이 시스템의^[1] 라그랑지안은

L=mglfrac {1}{2}ml^{2}\left\dot {\theta }^{2}+\sin ^{2}\theta \(\dot {\phi }}^{2

따라서 해밀턴인은

\displaystyle H=P_{\theta}{\dot {\theta}}+P_{\phi}{\dot {\phi }}-L}

어디에

P_{\theta } = partial {\dot {\theta }} =ml^{2} {\dot {\theta }

그리고.

P_{\phi}=partial {\dot {\phi }}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot\phi }.

좌표와 모멘타의 관점에서, 해밀턴의 글은

H=\underbrace(왼쪽[{\frac {1}{2})ml^{2}+{\frac {1}{2}ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }^{2}\right]_{T}+\underbrace {\Big [}-mgl\cos \theta {\theta } {{2}}_{V}=secfrac {P_{\theta }{2}+{\frac {\f} } ^{2} } } ^2} ^2}

해밀턴 방정식은 4개의 1차 미분 방정식에서 좌표와 공역 모멘타의 시간 진화를 제공한다.

{\theta }= {P_{\theta} \over ml^{2}

({displaystyle {dot {phi }}={P_{\phi }\over ml^{2}\sin ^{2}\theta })

{P_{\theta}}={P_{\phi}^{2}\over ml^{3}\theta}\cos \theta - mgl\sin \theta

{P_{\phi }}=0.

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

z

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

× m l sin

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

⁡

L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}

\

displaystyle

P

_

{ \

phi }

）의 수직성분에 해당하는

P_{\phi }

P

P_{\phi }

{ \ displaystyle

L

_ { z }

= l

\

sin

\

times

ml \

sin

\

sin

\ theta 、 { \

dot

\

phi }

} }는 운동량 상수이다.그것은 수직축 주위에 있는 시스템의 회전 대칭의 결과입니다.해밀턴에 존재하지 않는

(\displaystyle\phi)

는

\phi

순환 좌표이며, 이는 공역 운동량의 보존을 의미한다.

해밀턴 방정식 도출

해밀턴의 방정식은 Lagrangian 나는{\displaystyle{{나는\mathcal}과 계산에 의해}}, 일반화된 위치의 효과, 일반화된 속도 q̇i, 제가 거기 정도 1,…, n자 off-shell 일하고, q,q ˙ 나는,({\displaystyle q^{나는},{\dot{q}}^{나는},t}는데 의미 .[2]{\displaystyle i=1,\ldots ,n}파생될 수 있다.eind위상공간의 상좌표, 운동방정식을 따르도록 구속되지 않는다( $특히$ q ${\$ ${\dot {q}}^{i}$ { $display$ style { $dot$ { q}^{ $i}$ 는 ${\dot {q}}^{i}$ $q^{i}$ i { $display style$ q $^{i}}$ 의 도함수가 아니다).라그랑지안의 전체 차이는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathcal {L}=\sum _{i}\leftfrac {\partial q^{i}}\mathrm {d} q^{i} + {\frac {\partial {dotcal {L} } {d}

일반화 운동량 좌표는 p

p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}

p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}

p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}

L /

p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}

q

p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}

i {

displaystyle p_{i

} = \

spartial

\

mathcal

{

L}

/ \ dot

{q}^{i}

} 로 정의되었으므로 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

{\displaystyle{\begin{배열}{rcl}\mathrm{d}{{나는\mathcal}}&=&,\displaystyle \sum _ᆭ\left({\frac{\partial{{L}}}{\partial q^{나는}}}\mathrm{d}q^{나는}+p_{나는}\mathrm{d}{{q}}^{나는\dot}\mathcal \right)+{\frac{\partial{{나는\mathcal}}}{\partial지}}\mathrm{d}t\\&, =&,\displaystyle \sum _{나는}\left({\frac{\partial{{나는\mathcal}}}{\partial q^.{나는}}}\mathrm{d}q^{i}+\mathrm {d}(p_{i}{\dot {q}^{i})-{\mathrm {d} p_{i}\right}+{\frac {\partial t}}\mathrm {d} t,\end {array}}

재배치 후 다음을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i} p_{i} {\dot {q}) = \sum _{i} - {\mathcal {L}} \frac {\frac {\frac {\mathcal {L}} {d} {d} {d} {dot} q} q} q} ={i}

왼쪽 괄호 안의 용어는 ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ H $=$ ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ q ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ - ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ L (\ $textstyle$ {\ $mathcal {H$ }}=\ $sum p_{i}{q}-{\mathcal {L}})$ 입니다 ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ . 따라서 다음과 같이 정의됩니다.

\mathcal {H}=\sum _{i}\leftfrac {\partial q^{i}}\mathrm {d}q^{i}+{\dot {q}\mathrm {d}p_i}-frAC {i

$q^{i},p_{i},t$ 좌표 $q^{i},{\dot {q}}^{i},t$ $,$ t ${\displaystyle q^{$ $i$ }, $p_{i$ }, t $q^{i},{\dot {q}}^{i},t$ 대신 $q^{i},p_{i},t$ q $q^{i},p_{i},t$ $i$ , t에 대한 $해밀턴$ $H$ $(\$ displaystyle ${q}^{i$ $})$ 의 ${\mathcal {H}}$ 총 미분도 계산할 수 있다.

\displaystyle \mathcal {H}=\sum _{i}\leftfrac {\partial q^{i}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial p_i} p_i}

이제 d $(\$ d ${\mathcal {H}),$ $(\$ H $(\$ 의 두 식을 사용할 수 있습니다.

\sum _{i}\frac {\partial q^{i}+{\dot {q}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\mathcal {L}\frac {\mathcal {i} t}iight)+{\frac {\mathcal {H}}{\partial t}}\mathrm {d} t\.

이러한 계산은 오프셸이므로 양쪽에서 $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ i $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ p $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ , $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ ${\displaystyle \mathrm {$ d $} q^{i},\mathrm$ {d $} p_i},\mathrm {d}$ t}의 $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ 각 계수를 동등하게 할 수 있습니다.

displaystyle partial q ^ {i} = - frac （ partial q ） 。

즉, 위상 공간의 궤적을 ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ q ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ i ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ t $q$ i ( $t$ ) { t } { $t }$ { $textstyle$ { d $t }$ { d $t q q$ } { t ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ } { t = $parametric 함수$ $q^{i}=q^{i}(t)$ $i （$ $t$ ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ $）$ 、 t $q^{i}=q^{i}(t)$ 。

{\displaystyle {\mathrm {d} {\mathrm {d} {\mathcal {L}} {\frac {\dot {q} {i}} - {\frac {\mathcal {L}} = 0 .

$p_{i}=p_{i}(t)$ $p_{i}=p_{i}(t)$ $=$ $p_{i}=p_{i}(t)$ ( t $p_{i}=p_{i}(t)$ ) { $displaystyle p_{i$ }= $p_{i}(t)}$ 의 $p_{i}=p_{i}(t)$ 관점에서 정렬 및 쓰기는 다음을 제공합니다.

(\displaystyle\frac\partial q^{i})=점 {p}_{i}\ .}

따라서 라그랑주 방정식은 해밀턴 방정식과 동등합니다.

{\frac {\partial q^{i}}=-{\dot {p}_{i}\frac {\partial p_{i}}=partial p_{i}=partial,\frac {\frac {\mathcal {h}}{partial }

시간에 ${\mathcal {H}}$ 않는 ${\mathcal {H}}$ H(\ $displaystyle {$ $H$ 및 L(\displaystyle {\ $mathcal {$ L ${\mathcal {L}}$ 의 경우, $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ , $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ H / $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ L / $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ $= 0(\displaystyle$ \displaystyle { $H$ { $0})$ T범위의 방정식은 n개의 2차 방정식으로 $구성$ 됩니다.해밀턴의 방정식은 보통 명시적 해법을 찾는 어려움을 줄이지 않지만, 좌표와 모멘타가 거의 대칭적인 역할을 하는 독립 변수이기 때문에 그것들로부터 중요한 이론적 결과를 도출할 수 있다.

해밀턴 방정식은 라그랑주 방정식보다 또 다른 장점이 있다: 시스템이 대칭을 가지고 있어서 일부 $q_{i}$ $qi(즉$ , 주기 좌표)가 $q_{i}$ 해밀턴에서 발생하지 않는 경우, 대응하는 운동 $p_{i}$ pi(\ $displaystyle p_{$ i $p_{i}$ })는 각 궤적을 따라 보존되고, 그 좌표도 유지된다.네이트는 세트의 다른 방정식에서 상수로 축소될 수 있습니다.이는 문제를 n개의 $좌표$ 에서( $n - 1$ )개의 좌표로 효과적으로 줄여줍니다. 이것이 기하학에서 심플렉틱 감소의 기초가 됩니다.라그랑지안 프레임워크에서는 운동량 보존이 즉시 이루어지지만, 모든 일반화 ${\dot {q}}_{i}$ q ${\dot {q}}_{i}$ i $(\displaystyle {q}_{i$ })는 ${\dot {q}}_{i}$ 여전히 라그랑지안에서 발생하며, n개 $좌표$ 의 방정식 계통은 여전히 ^[3]풀어야 한다.

라그랑지안과 해밀턴의 접근방식은 고전역학의 보다 깊은 결과를 위한 토대를 제공하며, 양자역학에서의 유사한 공식화: 경로 적분 공식과 슈뢰딩거 방정식을 제안합니다.

해밀턴 H의 특성

Hamiltonian $(\$ 의 ${\mathcal {H}}$ 값은 에너지 $E_{\mathcal {L}}$ $E_{\mathcal {L}}$ L $(\$ 이 $E_{\mathcal {L}}$ 동일한 특성을 갖는 경우에만 시스템의 총 에너지입니다. ${\mathcal {H}}).$ 의 정의를 참조 $).\style {\mathcal {H}}.$ $}$
${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ H ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ \ $displaystyle$ \ $frac { dh}$ { $dt}$ = $ph$ ( $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ ) , $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ ( $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ t $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ ) , \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $p$ } ( $t$ ) , \ $mathbf { q$ } ( $t$ $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ $)$ 의 ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ 해밀턴 방정식을 형성하는 $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$
${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ d ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ d ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ p ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ p ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ + ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ ∂ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ + ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ , $H$ ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ , { textstyle ${ frac$ { d { $mathcal$ { H } } { $dt$ } $= frac$ { $mathcal$ { $H$ } { $pcdmbold symbol$ { $p$ } } { $pcdot$ } { p } { pcdot } { pcdot } { $pcdot$ } } } } } } } ${q}}+{\frac {\mathcal {H}}{\partial$ t $}},$ 마지막 ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ 항을 제외한 모든 것이 취소됩니다.
$(\$ 는 ${\mathcal {H}}$ 점 변환 시 변경되지 않습니다. 즉, 부드러운 변화 ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ q ${\$ {\ $displaystyle {boldsymbol {q}\leftarrow {boldsymbol {q'}}}$ 공간 ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ 좌표를 나타냅니다. (에너지 $E_{\mathcal {L}}$ $E_{\mathcal {L}}$ L {\ $displaystyle E_{\$ mbal {\mathcal ${q}}$ 의 $E_{\mathcal {L}}$ 불변환점}의 불변화에 따른 것입니다.)ns. $E_{\mathcal {L}}$ 의 불변성(\ $displaystyle E_{\mathcal {L}})$ 은 $E_{\mathcal {L}}$ 직접 설정할 수 있다.
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ ∂ ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ - ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ $t$ . ( $displaystyle { frac$ { $mathcal$ { H } } { \ $partial$ t} = - { \ $frac$ { L } { \ $partial$ t ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ } ) (해밀턴 방정식 도출 참조).
$-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ i $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ p $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ ∂ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ i $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ . { $displaystyle$ - { \ $frac$ { \ $fartial q$ } = $spartial$ dot { p} = $spartial frac$ { $L}$ = $spartial$ q ^ { $i$ } $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ = $sp$ } ac frac { p $}$ ac ac ac acacacac ac ac $ac$ - - - - - - ac ac ac ac - - - - - - - - - ^ ^ ^ - - - -
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ H ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ q i $=$ $0$ (\ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ $displaystyle$ \ $frac {$ \ $partial q$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ ^ { i } $=$ 0 ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ . $displaystyle \ frac$ \ $mathcal$ { L ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ } ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ 0 . ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ \ $displaystyle$ \ $frac$ { l $} =$ 0 인 ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$ 만 $해당$ 됩니다 ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ $}$
마지막 방정식이 유지되는 좌표를 순환(또는 무시할 수 있음)이라고 합니다.모든 주기 $q^{i}$ $(\$ $displaystyle$ q $^{i})$ 는 $q^{i}$ $1,$ 자유도를 $1,$ 1 $1,$ 시키고 $,$ $이$ 에 대응하는 $p_{i}$ $(\$ 를 $p_{i}$ 보존하여 해밀턴 방정식을 쉽게 풀 수 있도록 합니다.

전자장 하전 입자의 해밀턴

해밀턴 역학의 충분한 설명은 전자장에서의 하전 입자의 해밀턴에 의해 제시된다.데카르트 좌표에서 전자기장 내 비상대론적 고전 입자의 라그랑지안은 (SI 단위) 다음과 같다.

{mathcal {L}}=\sum _{i}{{2}m 도트 {x}_{i}^{2}+\sum _{i}qdot {x}_{i}A_{i}-q\varphi

여기

서 q는 입자의 전하,

θ

는 스칼라 전위,

A

는_i 자기 벡터 전위의 성분으로 모두

(\

t

t

(\displaystyle

t

t

에 따라

x_{i}

수 있습니다.

이 라그랑지안은 오일러-라그랑지 방정식과 결합되어 로렌츠 힘 법칙을 생성한다.

({displaystyle mmathbf {x}}=q\mathbf {E} +qdot {mathbf {x}}}\times \mathbf {B} , , )

최소 결합이라고 합니다.

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜의 값은 게이지 ^[4]변환 중에 변화하고, 라그랑지안 자체도 여분의 항을 집어 들 것입니다; 그러나 라그랑지안의 추가 항은 스칼라 함수의 총 시간 도함수를 더하므로, 오일러-라그랑지 방정식을 바꾸지 않습니다.

표준 모멘타는 다음과 같습니다.

{displaystyle p_{i}=parential {dot {x}_{i}}=m(dot {x}_{i}+qA_{i})

표준 모멘타는 게이지 불변성이 아니며 물리적으로 측정할 수 없습니다.단, 운동량은 다음과 같습니다.

P_{i}\equiv mµdot {x}_{i}=p_{i}-qA_{i

게이지 불변성이며 물리적으로 측정할 수 있습니다.

따라서 라그랑지안의 레전드르 변환으로서 해밀토니안은 다음과 같다.

{\mathcal {H}=\left\{i}{\dot {x}_{i}_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{frac {left(p_{i}-qA_{i}\right)^2}+qvari }

이 방정식은 양자역학에서 자주 사용된다.

언더 게이지 변환:

\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}},}

여기

서 f

(r,

t)

는 시공간 스칼라 함수이며, 앞에서 언급한 라그랑지안, 표준 모멘타 및 해밀턴 변환은 다음과 같다.

(\displaystyle L'=L+q{\frac {df}{dt}},\display \mathbf {p'} \rightarrow {p} +q\sq\sqla f,\display H'=H-{q\frac}, {p} f'},\display \mathbf {p})

여전히 같은 해밀턴 방정식을 만들어냅니다.

좌측에 전시합니다.({frac H}{\partial {x_{i}}}}}\오른쪽 _{p'_{i}}\=왼쪽).({frac {x_{i}}}: 오른쪽 {p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-왼쪽).({frac L} {\partial {x_{i}}}}} {p'_{i}} \ = - \ left 。(\frac {partial L} {\partial {x_{i}}}}}\오른쪽 _{p'_{i}}-q\왼쪽).{\frac {x_{i}}}\right _{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\&={\frac {d}{dt}}\left(\left){\frac {\partial {{\dot {x}_{i}}}}\오른쪽 _{p'_{i}}+q\왼쪽.\frac {\frac {x_{i}}}\right _ {p'_{i}\right}\&=-{\dot {p}'_{i}\end {aligned}}}

양자역학에서 파동함수는 게이지 변환 중에 로컬 U(1) 그룹^[5] 변환도 거칩니다. 이는 모든 물리적 결과가 로컬 U(1) 변환에서 불변해야 함을 의미합니다.

전자기장의 상대론적 하전 입자

입자(정지 $질량$ m $\displaystyle$ m $)$ 및 $m$ $전하$ q\ $displaystyle$ q\displaystyle q $q$ 에 대한 상대론적 라그랑지안은 다음과 같이 구한다.

{{displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{-{\frac {1-{\dot {x}}{{c^{2}}}}}+qdot {{mathbf {x}}}}(t)\cdot \mathbf {A}, {x}(t})

따라서 입자의 표준 운동량은

({displaystyle \mathbf {p} (t) = partial {\mathbf {L}} } = parential {\mathbf {x}} = parential {\mathbf {x}} } = parential {mathbfrac {mathbf} {mathbf} {1-{c} } } } } } } } } } {\ frac {{{{\c} } } } } } } } } }

즉, 운동 운동량과 잠재 운동량의 합이다.

속도를 위해 해결하면

{dot {mathbf {x}}(t)=parc frac {mathbf {p} -q\mathbf {A} } {\sqrt {m^2} + {\frac {c^{2}} {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}

그래서 해밀토니안은

{mathbf {H}}(t)=\cdot \mathbf {p} - {\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}+q\varphi

이것은 힘 방정식을 낳는다(오일러-라그랑주 방정식과 동일)

(\displaystyle {\mathbf {p}}=-{\frac {\partial \mathbf {x}}=q(\boldsymbol {x}})\cdot(\boldsymbol {A})-q(\boldsymathbf {A}) =phi)

거기서 얻을 수 있는

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{m{\dot{\mathbf{x}}}}{\sqrt{1-{\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&, ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})={\dot{\mathbf{p}}}-q{\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial지}}-q({\dot{\mathbf{x}}}\cdot \nabla)\mathbf.{A}\\&=boldsymbol {\dot \mathbf {x}}}{\cdot \mathbf {A}}-qboldsymbol \varphi -qfrac {\cdot t-q}}{\cdot t-q}\cdotsymathbf {A}}}}}\cdot \cdotsymathbf {A}}\cdot\cdotsymbf {\cdot}\cdothbf {\cdf {A}}}

위의 도출은 벡터 미적분 항등식을 이용한다.

{tfrac {1}{2}}\cdla \left(\mathbf {A} \right)=\mathbf {A}\mathbf {J}_{\mathbf {A} =\mathbf {A} \cd(\la\mathbf {A})

상대론적(물리) 운동량의 함수로서 해밀턴에 대한 동등한 $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ 은 P $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ m $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ ( $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ ) $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ - $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ A $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ { $displaystyle \mathbf {P}$ = \ $dot { mathbf {x} =$ \ $mathbf {p}$ - q\ $mathbf {A$ $}$ ,

{\displaystyle {Mathcal {H}}(t)=\cdot \mathbf {P}(t)+{\frac {mc^{2}}{\frac }}+q\varphi(\mathbf {x}(t)=\mathbfi mcf mc^{2}+q\varphi}{\fi}(t}) {pi}(t})

이는 $\mathbf {P}$ P $(\$ 는 $\mathbf {P}$ 실험적으로 측정할 수 있는 반면 표준 $\mathbf {p}$ p(\ $displaystyle \mathbf {p})$ 는 $\mathbf {p}$ 측정할 수 없다는 장점이 있다.해밀턴(총 에너지)은 상대론적 에너지(rest+rest), $E=\gamma mc^{2}$ $=$ $E=\gamma mc^{2}$ c $E=\gamma mc^{2}$ ({ $displaystyle$ E=\ $gamma$ mc $^{2$ $V=q\varphi$ 와 잠재적 $V=q\varphi$ $V=q\varphi$ $= q ®$ {\ $displaystyle$ V= $q\$ varphi}의 합으로 볼 수 있습니다.

심플렉틱 기하학에서 해밀턴의 방정식으로

해밀턴 시스템의 기하학

해밀토니안은 매끄러운 짝수 차원 $다양체 2 n$ M에 여러 가지 동등한 방법으로 심플렉틱 구조를 유도할 수 있으며,^[6] 가장 잘 알려진 것은 다음과 같다.

폐색성 비퇴화 심플렉틱 2-형식 δ.Darboux의 정리에 따르면, $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ 위의 $어떤$ 점 주변의 작은 근방에 적절한 국소 $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ $p1$ q1, $qn, qn{$ }, $q_{1},$ \ $cdots, q_{$ n}( $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ 원어 또는 심플렉틱 좌표)가 있으며, 여기서 심플렉틱 좌표는 다음과 같이 된다.

\obega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\displaydq_{i},

형태

\omega

(\

displaystyle \obega)

는

\omega

코탄젠트 공간과의 탄젠트 공간의 자연스러운 동형성을 유도한다.

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

M

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

T

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

M

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

. {

displaystyle

T

_ {

x } M

.\

cong

T _ {

x

}{ * }

M

} 이것은

T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.

\xi \in T_{x}M

\xi \in T_{x}M

T

M

\xi \

in

T

_ {

x }

M

\xi \in T_{x}M

을 1-폼

\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,

T_

{ x

\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,

에 매핑함으로써 이루어집니다

.

(i

)

)는

\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )

모든

\omega ,

\eta \in T_{x}M.

T x M

\eta \in T_{x}M.

. {

displaystyle

\eta

\

in T_{x }

M . ,

\omega ,

, {

displaystyle \dim

T_

\omega ,

{x }의

\eta \in T_{x}M.

쌍선형성 및 비균형성 및 dim

\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,

\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,

\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,

=

\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,

T_{x

} T, {

dim

} T_{x }의 점으로 인해 사용됩니다.동형성에 가깝습니다.이 동형상은

M

의 좌표변경에 따라 변하지 않는다는 점에서 자연스럽다

.\displaystyle

M

M.

.,\displaystyle

x\in M

,

x\in M,

x

x\in M,

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

M,\displaystyle x

\

in

M에 걸쳐

x\in M,

반복하다 보면

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

-

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

:

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

( M )

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

(

J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)

M ) {

displaystyle

J^ { 1 - { 1 - { 1 \ contextm （

Text

M } { \ textm } { textm } { textm } { texte } { texte }

}

매끄러운 벡터 필드의 e와 매끄러운 1-형태의 e.

모든

f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )

f,

f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )

C

f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )

f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )

f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )

） \

displaystyle

f ,

g

\

in

C^ { \

infty

} （

M

, \

mathbb { R

\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),

）

\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),

, , , 、

\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),

\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),

\

displaystyle \xi

, \

eta

\

in

\ text {

Vect }

（

M

）。

\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta)=fJ^{-1}(\xi)+gJ^{-1}(\eta)}

(대수적 용어로 C $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ ( $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ , R ) { $displaystyle$ C^ { \ $infty }$ ( M , \ $mathbb$ { R $}$ ) - $Vect$ ( ${\text{Vect}}(M)$ M ) \ $displaystyle$ $\$ $^$ ( $\Omega ^{1}(M)$ M )는 ${\text{Vect}}(M)$ $\Omega ^{1}(M)$ $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 이라고 할 수 있습니다.H $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ C $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ ( $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ × $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ , $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ ) , $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ {\ $displaystyle$ H $\in$ C $^{\infty$ }( $M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R})$ 인 $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ , 고정 $t\in \mathbb {R} _{t},$ $t\in \mathbb {R} _{t},$ 마다 $t\in \mathbb {R} _{t},$ \ $displaystyle$ $dH\in \Omega ^{1}(M),$ tyle t $\in \mathbbb$ { $t\in \mathbb {R} _{t},$ $dH\in \Omega ^{1}(M),$ } $dH\in \Omega ^{1}(M),$ $},$ ( $M)}$ $J(dH)$ $J(dH)\in {\text{Vect}}(M).$ $J(dH)$ ( $J(dH)$ H $){$ $displaystyle$ J $(dH)}$ 는 $J(dH)$ 해밀턴 벡터 필드라고 불립니다 $.$ M에 $대한$ 각 미분 방정식 {\ $displaystyle$ M $}$

{x}}=J(dH)(x)

해밀턴 방정식이라고 합니다.

x=x(t)

서 x

x=x(t)

x=x(t)

(

){style

x

= x

(

t

)

J(dH)(x)\in T_{x}M

J (

J(dH)(x)\in T_{x}M

)(

J(dH)(x)\in T_{x}M

)

J(dH)(x)\in T_{x}M

T

J(dH)(x)\in T_{x}M

M (

displaystyle

J (

dH )\in

T_

{x }M

J(dH)

J(dH)(x)\in T_{x}M

은

x\in M.

X

x\in M.

에서

x\in M.

J(dH)

J (

J(dH)

H

J(dH)

)\

display style

J (

D

)의 (시간 의존) 값입니다

.

해밀턴 시스템은 $시간 tθR$ 에서의 $위치공간$ 으로서_t $시간$ R에 걸쳐 $섬유다발$ E로 이해할 수 있다.따라서 라그랑지안은 $제트다발$ J $over$ E의 함수이다.라그랑지안의 광섬유 Legendre 변환을 취하면 시간이 지남에 따라 이중다발에 대한 함수가 생성된다. $t$ 에서 섬유는 자연 심플렉틱 형식을 갖춘 코탄젠트 $공간 * t$ TE이며, 후자의 함수는 해밀턴이다.라그랑지안과 해밀턴 역학의 대응은 반복론적 일종으로 이루어진다.

심플렉틱 다양체상의 매끄러운 실수치 함수 H는 해밀턴 시스템을 정의하기 위해 사용될 수 있다.함수 H는 "해밀턴" 또는 "에너지 함수"로 알려져 있습니다.심플렉틱 다양체는 위상 공간이라고 불립니다.해밀토니안은 심플렉틱 다양체에 해밀토니안 벡터장으로 알려진 특별한 벡터장을 유도합니다.

해밀턴 벡터장은 다지관에 해밀턴 흐름을 유도한다.이것은 다양체의 변환의 단일 매개 변수 패밀리이다(곡선의 매개 변수는 일반적으로 "시간"이라고 불린다). 즉, 동일성부터 시작하는 심플렉토피(symphelectomorphism)의 아이소토피이다.Liouville의 정리에 따르면, 각각의 심플렉토모형은 위상 공간상의 체적 형태를 보존한다.해밀턴의 흐름에 의해 유도되는 심플렉토모형의 집합은 일반적으로 해밀턴 시스템의 "해밀턴 역학"이라고 불립니다.

심플렉틱 구조는 포아송 괄호를 유도합니다.포아송 괄호는 다양체의 함수 공간을 리 대수의 구조로 제공합니다.

$F$ 와 G가 $M$ 의 평활함수인 $경우$ 평활함수 $δ 2$ ( $IdG,$ $IdF)$ 가 적절히 정의되어 있으며, $F$ 와 $G$ 의 포아송 괄호라고 하며 { $F,$ $G}$ 로 표기되어 있다.포아송 브래킷에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

이중선성
반대칭성
라이프니츠 규칙 $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ { $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ 1 $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ 2, G $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ { $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ , $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ + $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ 2 { $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$ , G $}$ ({ $style$ \ { $F_{1}\$ cdot $F_{2},$ G\} = $F_{1}\{F_{$ 2}\ $F_2})$
Jacobi ID $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ { { $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ , $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ , $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ + $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ { $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ , G $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ , H $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ + $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ { $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ G , $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ , $F$ } $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ 0 $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ 0 0 0 \ { \ $displaystyle$ \ { \ { \ { $H$ , $F$ \ , G \ } + { \ { \ { F , G \ } + \ { \ { F \ } + \ { F \ { H \ } \ { F , G } \ { H } \ { H $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$ } \ { $H$ } } \ { F , \ { F } } } } } \ } \ {
non-degeneracy: M $위$ 의 $점x$ 가 F 에 대해 $중요$ 하지 않은 경우, { $\{F,G\}(x)\neq 0$ F , G $\{F,G\}(x)\neq 0$ } $\{F,G\}(x)\neq 0$ ( $\{F,G\}(x)\neq 0$ ) ${\$ 0 \ $display \$ { F , G \ $}$ ( x )\ $neq$ 0 $\{F,G\}(x)\neq 0$ that that $g$ 0 g g g g 0 $\{F,G\}(x)\neq 0$ 。

$함수$ f가 주어지다

{\mathrm {d}{\mathrm {d}f=f+\left\{f},{\mathcal {H}}\right\

확률분포가 존재한다면 (위상공간속도

({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})

q

){displaystyle({\dot {p}_{i},{\dot {q}_{i})}

은

({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})

0의 발산성을 가지며 확률은 보존된다) 그 대류도함수는 0으로 보여질 수 있다.

{\frac t}\rho =-\left\rho, {\mathcal {H}}\right

이것은 리우빌의 정리라고 불린다.심플렉틱 다양체 위의 모든 $매끄러운$ 함수 G는 심플렉틱 동형의 단일 매개 변수 패밀리를 생성하며, 만약 { $G,$ H}= $0이면,$ $G$ 는 보존되고 심플렉틱 동형은 대칭 변환이다.

해밀턴 인은 복수의 $보존량 i$ G를 가질 수 있다.심플렉틱 다양체가 $차원$ 2n을 가지며 기능적으로 독립적인 $보존량 i$ G가 $n개$ (즉, { $G i,$ $G j}$ = $0$ ) 있다면, 해밀토니안은 리우빌 적분 가능이다.Liouville-Arnold 정리에 따르면, 국소적으로, 모든 Liouville 적분 가능 해밀토니안은 보존된 $양 i$ G를 좌표로 하는 새로운 해밀토니안으로 변환될 수 있다. 새로운 좌표를 작용-각도 좌표라고 한다.변환된 해밀턴식은 $G$ 에만_i 의존하며, 따라서 운동 방정식은 간단한 형태를 가진다.

{G}_{i}=0\quad,\dot {varphi}}_{i}=F_{i}(G)

기능

^[7]F에 대해서.전체 분야는 KAM 정리에 의해 지배되는 통합 가능한 시스템으로부터의 작은 편차에 초점을 맞추고 있습니다.

해밀턴 벡터장의 적분성은 미해결 문제이다.일반적으로 해밀턴 시스템은 혼란스럽다; 측정, 완전성, 통합성 및 안정성의 개념은 잘 정의되지 않는다.

리만 다양체

중요한 특별한 경우는 2차 형식인 해밀턴인, 즉 다음과 같이 쓸 수 있는 해밀턴인들로 구성됩니다.

({displaystyle {H}}(q,p)=tfrac {1}{2}}\sqle p,p\rangle _{q})

여기서

,, ⟩ q

는 섬유상의 매끄럽게 변화하는 내부 제품이다.

TQ * q

, 구성 공간 내

q

지점까지의 코탄젠트 공간. 혜성이라고도 합니다.이 해밀턴어는 전적으로 운동 용어로 구성되어 있다.

만약 리만 다양체 또는 의사-리만 다양체를 고려한다면, 리만 메트릭은 탄젠트와 코탄젠트 다발 사이의 선형 동형성을 유도한다.(음악 동형 참조).이 동형성을 사용하면 혜성을 정의할 수 있다(좌표에서 혜성을 정의하는 행렬은 메트릭을 정의하는 행렬의 역행렬이다).이 해밀턴 방정식에 대한 해밀턴-야코비 방정식의 해는 다양체의 측지학과 동일하다.특히 이 경우 해밀턴 흐름은 측지선 흐름과 동일합니다.이러한 솔루션의 존재와 솔루션 세트의 완전성은 측지학 관련 기사에서 자세히 논의된다.해밀턴 흐름의 측지학도 참조하십시오.

서브리만 다양체

혜성이 퇴화되면, 그것은 되돌릴 수 없다.이 경우 메트릭이 없기 때문에 리만 다양체가 없다.하지만, 해밀턴 인은 여전히 존재한다. $구성공간다양체$ $Q$ 의 점q마다 혜성이 퇴화하여 혜성의 랭크가 $다양체$ Q의 치수보다 작을 경우 서브리만다양체를 가진다.

이 경우 해밀턴을 하위 리만 해밀턴이라고 합니다.그러한 해밀턴인들은 혜성을 고유하게 결정하며, 그 반대도 마찬가지이다.이것은 모든 하위 리만 다양체가 하위 리만 해밀턴에 의해 고유하게 결정되고, 그 반대가 참임을 암시한다: 모든 하위 리만 다양체는 고유한 하위 리만 해밀턴을 가진다.하위 리만 측지학의 존재는 초-라셰프스키 정리에 의해 주어진다.

연속적인 실수치 하이젠베르크 그룹은 하위 리만 다양체의 간단한 예를 제공합니다.하이젠베르크 그룹의 경우, 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

({displaystyle {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y}\right)=tfrac {1}{2}\left(p_{x}+p_{y}^2}\right).}

p

는_z 해밀턴에 관여하지 않습니다.

푸아송 대수

해밀턴 시스템은 다양한 방법으로 일반화될 수 있다.단순히 심플렉틱 다양체에 대한 매끄러운 함수의 대수학을 보는 대신, 해밀턴 역학은 일반 교환적 일탈 실수 포아송 대수에 공식화될 수 있다.상태는 포아송 대수(적절한 위상을 갖춘)의 연속 선형 함수이며, 대수의 $요소$ A에 $대해 2$ A는 음이 아닌 실수에 매핑된다.

남부역학에 의해 한층 더 일반화된다.

포아송 괄호를 통한 양자역학의 일반화

위에 있는 해밀턴의 방정식은 고전 역학에서는 잘 작동하지만 양자 역학에서는 그렇지 않다. 논의된 미분 방정식은 입자의 정확한 위치와 운동량을 동시에 지정할 수 있다고 가정하기 때문이다.그러나 $p$ 와 q에 $걸친$ 푸아송 대수의 모얄 괄호 대수에 대한 변형을 통해 방정식을 확장하여 양자역학뿐만 아니라 고전역학에도 적용할 수 있다.

구체적으로, 해밀턴 방정식의 더 일반적인 형태는 다음과 같다.

{\frac {d} {\mathrm {d} t} = \left \ {f, {\mathcal {H}} + {\frac {\frac f} {\frac f} {\fright

여기

서 f는

p

와

q

의 함수이고 H는 해밀턴 함수이다.미분 방정식에 의존하지 않고 포아송 괄호를 평가하는 규칙을 알아보려면 라이 대수를 참조하십시오. 포아송 괄호는 포아송 대수의 라이 괄호 이름입니다.이 포아송 괄호는 힐브랜드 J. 그로네월드에 의해 증명되었듯이 부등식 라이 대수에 대응하는 모얄 괄호로 확장될 수 있으며, 따라서 위상 공간에서의 양자 역학적 확산을 설명할 수 있다(위그너 공식 및 위그너 참조).Weyl 변환).이 보다 대수적인 접근방식은 궁극적으로 위상공간의 확률분포를 위그너 준확률분포까지 확장할 수 있을 뿐만 아니라, 단순히 포아송 괄호 고전적인 설정에서는 시스템 내에서 관련된 보존량을 분석하는 데 더 많은 힘을 제공한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 란다우 & 리프시츠 1976, 33-34페이지
^ 이 도출은 Arnol'd 1989, 페이지 65–66에 제시된 대로이다.
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^ Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (2008-12-04). "Gauge invariance". Scholarpedia. 3 (12): 8287. Bibcode:2008SchpJ...3.8287Z. doi:10.4249/scholarpedia.8287. ISSN 1941-6016.
^ Arnol'd, Kozlov & Neshshtadt 1988, 3파운드.해밀턴 역학.
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추가 정보

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Abraham, R.; Marsden, J.E. (1978). Foundations of mechanics (2d ed., rev., enl., and reset ed.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353.
Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988). "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics". Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. Vol. 3. Anosov, D. V. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140.
Arnol'd, V. I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352.
Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311.
Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B A (1977-08-31). "The structure of Hamiltonian mechanics". Russian Mathematical Surveys. 32 (4): 177–243. Bibcode:1977RuMaS..32..177V. doi:10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN 0036-0279. S2CID 250805957.

외부 링크

Binney, James J., Classical Mechanics (lecture notes) (PDF), University of Oxford, retrieved 27 October 2010
Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes), University of Cambridge, retrieved 27 October 2010
Hamilton, William Rowan, On a General Method in Dynamics, Trinity College Dublin

[1] 란다우 & 리프시츠 1976, 33-34페이지

[2] 이 도출은 Arnol'd 1989, 페이지 65–66에 제시된 대로이다.

[Goldstein-3] Goldstein, Pool & Safko 2002, 347–349페이지

[4] Srednicki, Mark (January 2007). Quantum Field Theory. Cambridge Core. doi:10.1017/cbo9780511813917. ISBN 9780511813917. Retrieved 2020-05-08.{{cite book}}: CS1 maint :url-status (링크)

[5] Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (2008-12-04). "Gauge invariance". Scholarpedia. 3 (12): 8287. Bibcode:2008SchpJ...3.8287Z. doi:10.4249/scholarpedia.8287. ISSN 1941-6016.

[FOOTNOTEArnol'dKozlovNeĩshtadt1988§3._Hamiltonian_mechanics-6] Arnol'd, Kozlov & Neshshtadt 1988, 3파운드.해밀턴 역학.

[7] 아르놀드, 코즐로프 & 네슈타트 1988

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목차

개요

위상 공간 좌표(p,q) 및 해밀턴 H

오일러-라그랑주 방정식에서 해밀턴 방정식으로

고정 작용 원리에서 해밀턴의 방정식으로

기본적인 물리적 해석

예

해밀턴 방정식 도출

해밀턴 H의 특성

전자장 하전 입자의 해밀턴

전자기장의 상대론적 하전 입자

심플렉틱 기하학에서 해밀턴의 방정식으로

해밀턴 시스템의 기하학

리만 다양체

서브리만 다양체

푸아송 대수

포아송 괄호를 통한 양자역학의 일반화

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기본적인 물리적 해석

예

해밀턴 방정식 도출

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전자장 하전 입자의 해밀턴

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