타원형 원통 좌표

타원형 원통형 좌표는 수직 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$}$ -방향으로$$ 2차원 타원형 좌표계를 투영한 결과 발생하는 3차원 직교 좌표계다. 따라서 좌표면은 공초점 타원과 하이퍼볼레의 프리즘이다. 일반적으로$$ 데카르트 좌표계의 x ${\displaystyle F_{$$1},$ ${\displaystyle F}$$$2 {\$displaystyle F_{2$}}${\displaystyle 개}$의 포커스를 $각각{\displaystyle {}_{}}$ - ${\displaystyle -a}$ 및$$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +a}$로 고정한다$.$

기본정의

타원형 원통형 좌표$({\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ z ${\displaystyle )}$의 가장 일반적인 정의는 {\$displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$이다$.$

$\displaystyle x=a\\cosh \mu \cos \nu }$

$\displaystyle y=a\ \sinh \mu \sin \nu }$

${\displaystyle z=z}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 음이 아닌 실수와${\displaystyle }and$ [${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi$ $]\}.$

이러한 정의는 타원 및 하이퍼볼레에 해당한다. 삼각측량정체성

${\displaystyle {\frac{x^{2}}\cosh ^{2}\cosh ^{2}\mu ^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

쌍곡선 삼각형 ID가 있는 반면, 일정한 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}의 곡선이 타원을 형성한다는$$ 것을 보여준다.

${\displaystyle {\frac{x^{2}}{a^{2}\coses ^{2}\nu }-{\frac {y^{2}}:{a^{2}\nu }}}}}}\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\1}$

상수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}의 곡선이 하이퍼볼레를 형성한다는$$ 것을 보여준다.

척도계수

타원형 원통형 좌표 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ 및$$$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle \nu$}에 대한 스케일 계수는 동일함$$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}}}$

나머지 배율 h $z{\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}1}$ ${\displaystyle$ h_{$z}=1}.$ 따라서 최소 배율 요소는 동일하다$.$

${\displaystyle dV=a^{2}\왼쪽(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

대체 정의

An alternative and geometrically intuitive set of elliptic coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ are sometimes used, where ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ and ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Hence, the curves of constant ${\displaystyle \sigma }$ are ellipses, where상수 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 곡선이 하이퍼볼레이기$$ 때문에 좌표 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 간격 [-1, 1]에 속해야$$ 하는 반면, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 좌표는$$ 1보다 크거나 같아야 한다.

The coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ have a simple relation to the distances to the foci ${\displaystyle F_{1}}$ and ${\displaystyle F_{2}}$. For any point in the (x,y) plane, the sum ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ of its distances to the foci equals ${\displaystyle 2a\sigma }$${\displaystyle 2a\sigma }$, whereas their difference ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ equals ${\displaystyle 2a\tau }$. Thus, the distance to ${\displaystyle F_{1}}$ is ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, whereas the distance to ${\displaystyle F_{2}}$ is ${\displaystyle a(\sigma -\tau }$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$. ($F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle F_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}이$$ ${\displaystyle \mathrm{각각}}$ x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle x=-a}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="x=-a"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9f726a9f4cff586cefe8198e5c628a55d70b5571"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:7.466ex;\; height:2.176ex;">}}$ =${\displaystyle }$+${\displaystystyle x=+a}$에 있음을 상기하십시오$.)$

이러한 좌표의 단점은 데카르트 좌표에 대한 일대일 변환이 없다는 것이다.

$\displaystyle x=a\disma \tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\왼쪽(\ma ^{2}-1\오른쪽)\왼쪽(1-\tau ^{2}\오른쪽)}$

대체 척도 계수

대체 타원 좌표$({\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle z}$)에 대한 스케일 계수는 ${\displaystyle$(\$sigma ,\tau ,z)$이다.

${\displaystyle h_{\proxma }=a{\sqrt {\fractma ^{2}-\tau ^{2}}:{\proxma ^{2}-1}:{2}}:\proxma ^{2}-1}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\\sqrt {\frac {\fracma ^{2}-\tau ^{2}}:{1-\tau ^{2}}:}$

그리고 물론 ${\displaystyle \mathrm{h}}$ ${\displaystyle z_{}}$= 1 ${\displaystyle h_{z}=1$ 따라서 최소 볼륨 요소는

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}-\tau ^{2}}:{\sigma ^{2}-1\right)\좌측(1-\tau ^{2}\오른쪽)}}}}}}}$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}}\오른쪽]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}:$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

적용들

타원형 원통형 좌표의 고전적 적용은 부분 미분 방정식(예: 라플레이스의 방정식 또는 Helmholtz 방정식)을 푸는 데 있으며, 타원형 원통형 좌표는 변수의 분리를 허용한다. 대표적인 예가 폭 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$의 평평한 전도성 플레이트를 둘러싼 전기장이 될 것이다$.$

타원형 원통 좌표로 표현되는 3차원 파동 방정식은 변수의 분리에 의해 해결될 수 있으며, 이는 마티외 미분 방정식으로 이어진다.

타원 좌표의 기하학적 특성도 유용할 수 있다. 일반적인 예에서는 고정 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ r${\displaystyle }$= p = p ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle q\mathbf{}}$ +$q$에 합한$$ 모든$$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ p$${\$displaystyle$\$mathbf$$${$p}$ 및 $}$에 대한 통합이 포함될 수 있으며, 여기서 통합은 벡터 ${\displaystyle 길이\mathbf{}}$ p ${$$dis$${\displaystyle \}}$의 함수였다$.$$laystyle \left \mathbf {p} \right }$ and ${\displaystyle \left \mathbf {q} \right }$. (In such a case, one would position ${\displaystyle \mathbf {r} }$ between the two foci and aligned with the ${\displaystyle x}$-axis, i.e., ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$.) For concretity, r ${\$ $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ $q{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {q}}}$은(t의 제곱 길이에 비례) 입자의 모멘텀을 나타낼 수 있으며$$, 통합은 제품의 운동 에너지를 포함할 수 있다.그는 모멘텀a.

참고 문헌 목록

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 182–183. LCCN 55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 179. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 97. LCCN 67025285.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach(1953년)와 동일하며_k, u를 ξ으로_k 대체한다.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 17–20 (Table 1.03). ISBN 978-0-387-18430-2.

외부 링크

• MathWorld의 타원형 원통 좌표 설명