작용각 좌표

다음에 대한 시리즈 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}={\frac {d}{dt}(m{\textbf {v})}$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교과서
나뭇가지 적용됨 천체 연속체 역학 운동학 키네틱스 통계학 통계적
기초 가속 각 운동량 커플 달랑베르트의 원리 에너지 운동성의 전위적인 힘 기준 틀 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 미사 기계력 기계적인 일 모멘트 모멘텀 공간 속도 시간 토크 속도 가상 작업
공식화 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑기 역학 해밀턴 역학 루스 역학 해밀턴-자코비 방정식 호칭 운동 방정식 콥만-본 노이만 역학
핵심 주제 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 조화 발진기 관성/비내장 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 운동(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체체 역학 관계 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원형 운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반작용의 코리올리스 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속/변위/주파수/속도
과학자들 케플러 갈릴레오 후이겐스 뉴턴 호록스 핼리 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이라우트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 카우치 루스 리우빌 호칭 깁스 콥만 폰 노이만
물리포털 카테고리
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고전역학에서 작용각 좌표는 많은 통합 가능한 시스템을 해결하는 데 유용한 표준 좌표들의 집합이다.동작-앵글 방법은 운동 방정식을 풀지 않고 진동 또는 회전 운동 빈도를 얻는 데 유용하다.작용각 좌표는 주로 해밀턴-자코비 방정식이 완전히 분리될 때 사용된다.(헨스, 해밀턴인은 시간에 따라 명시적으로 의존하지 않는다, 즉 에너지가 보존된다.)작용각 변수는 불변성 토루스를 정의하는데, 작용 상수를 유지하는 것은 토루스의 표면을 규정하는 반면, 각도 변수는 토루스의 좌표를 파라메타하기 때문이다.

파동역학이 등장하기 전에 양자역학을 개발하기 위해 사용된 보어-소머펠트 양자화 조건은 그 작용이 플랑크 상수의 정수 배수가 되어야 한다고 명시하고 있다. 이와 유사하게, EBK 양자화에 대한 아인슈타인의 통찰력과 비통합적 시스템의 정량화 난이도는 액티오의 불변성 토리의 관점에서 표현되었다.n각 좌표

작용각 좌표는 해밀턴 역학의 섭동 이론에서도 유용하며, 특히 부차적 불변성을 결정하는 데도 유용하다.혼돈 이론에서 나온 가장 초기 결과 중 하나는, 자유도가 적은 동적 시스템의 비선형 섭동에 대한 KAM 정리인데, 이것은 불변성 토리가 작은 섭동에서도 안정적이라는 것을 기술하고 있다.

작용각 변수의 사용은 토다 격자의 해결책, 그리고 Lax pairs의 정의, 또는 보다 일반적으로 시스템의 이등관념적 진화의 개념에 중심적이었다.

파생

동작 각도는 생성 함수가 해밀턴의 특성 함수 $W{\displaystyle }$ (${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ W$(\mathbf {q} )}($해밀턴의 주요 함수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이 아님)인 형식 2 표준 변환에서 비롯된다.$$Since the original Hamiltonian does not depend on time explicitly, the new Hamiltonian ${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$ is merely the old Hamiltonian ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ expressed in terms of the new canonical coordinates, which we denote as ${\displayst$$yle \mathbf {w}($일반화된 좌표인 동작 각도) 및 $새로운{\displaystyle \mathbf{}}$ 일반화된 순간 J ${\$ 생성 함수 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 자체를$$ 위해 여기서 해결할 필요는 없을 것이다$.$ 대신, 새 표준 좌표와 오래된 표준 좌표와 관련된 차량으로만 사용할 것이다.

$w{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 직접$$ 정의하는 대신, 원래 일반화된 좌표에 대한 고전적 동작과 유사한 일반화된 모멘텀a를 정의한다.

${\displaystyle J_{k}\equiv \p_{k}\,\mathrm {d}q_{k}}}$

여기서 통합 경로는 상수 에너지 함수 ${\displaystyle E}$= E (${\displaystyle q_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, p ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k$ 실제 동작은 이 통합에 관여하지 않기 때문에 이러한 일반화된 모멘텀a ${\displaystyle J_{}}$k {\$displaysty J_${k$}}}}}}$는 동작의 상수로서$$ 변환된 해밀턴을 암시한다.${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$은(는) ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 결합 일반화된 좌표에 의존하지 않는다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} t}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}}}}{\partial w_}}}}}}}}}{\partial w_}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 형식 2 표준 변환에 대한 일반적인 방정식으로 주어진다$$.

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

따라서 새로운 해밀턴 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle K\mathbf{}}$( J${\displaystyle }$) ${\displaystyle K=K(\mathbf {J}$)는 새로운 일반화된 순간 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에만 의존한다$.$

작용 각도의 역학은 해밀턴 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{d}}{\mathrm {d} t}{k}={\frac {\partial K}{k}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}}}}$

오른쪽은 움직임의 상수($모든{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J$s가 그렇듯이)이다.따라서 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J})t+\beta _{k}}$

여기서 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 통합의 상수다.특히 원래 일반화된 좌표가 $주기{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$의 진동 또는 회전을 겪는 경우$$$,$ ${\displaystyle {해당}_{}}$ 동작 $각도{\displaystyle {}_{}}$ w ${\$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\nu }_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}J\mathbf{}}$) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J}$ )$T$

이 ${\displaystyle {\nu k}_{}}$(${\displaystyle J\mathbf{}}$) ${\displaystyle \nu_{k}(\mathbf {J} )$은 원래 일반화된 좌표 ${\displaystyle q_{}}$ k ${\$${k$$}}}$에 대한 진동/회전 빈도 입니다$.$ 이를 위해 정확히 하나의 완전한 변동(즉, 진동 o)에$$ 대해 w ${\$ o} w {$}$을 통합한다.r 회전) 일반화된 좌표 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \point {\frac {\partial q_{k}}\\mathrm {d}q_{k}=\prac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대한 두 식을 동일하게 설정하면 원하는 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}$

${\$이$($가) 있는 동작 각도는 일반화된 좌표의 독립적인 집합이다$$.따라서 일반적인 경우, 각각의 원래 일반화된 좌표 ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 모든 작용 각도에서 푸리에 시리즈로 표현될 수 있다$$.

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{s\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 1,${\displaystyle {{}_{}{s\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$… ,${\displaystyle {}_{}^{}}$s ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}^{}}$ ${\$는 푸리에 시리즈 계수다$$.그러나 대부분의 실제 사례에서 원래 일반화된 좌표 ${\displaystyle q_{}}$ ${\$$displaystyle q_{k}}$은(는$$) ${\displaystyle {자체}_{}}$ 동작 $각도$에서만 푸리에 시리즈로 표현 가능하다$.$

${\displaystyle q_{k}=\s_{k}=-\infit }^{}^{}A_{s_{k}}^{k^{i2\pi s_{k}w_{k}}}}}}}}}}}}$

기본 프로토콜 요약

일반 절차에는 다음 세 단계가 있다.

1. 새로운 일반화 모멘텀a ${\displaystyle {Jk}_{}}$ ${\$ 계산
2. 이 변수들에 대해 해밀턴의 원작을 전적으로 표현하라.
3. 이러한 모멘텀a와 관련하여 해밀턴계의 파생 모델을 사용하여 주파수 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을 얻으십시오.

퇴보

some${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k\neq$ l$}$에 대해 $\nu {\displaystyle {}_{}}$k = ${\displaystyle l_{}}$ l$${\$displaystyle \nu_{k}=\nu_{l}}}}$과 같이 두 개의 일반화된 좌표의 주파수가 동일한 경우도 있는데$,$ 이 경우 동작을 decorivate라고 한다.

퇴행 동작은 추가적으로 보존된 양이 있음을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제의 주파수가 퇴행되어 라플라스-런지-렌츠 벡터 보존에 해당한다.

퇴행성 운동 또한 해밀턴-자코비 방정식이 둘 이상의 좌표계에서 완전히 분리될 수 있음을 나타낸다. 예를 들어 케플러 문제는 구형 좌표와 포물선 좌표 모두에서 완전히 분리될 수 있다.

참고 항목

• 통합형 시스템
• Tautological 단일 형식
• 초통합 해밀턴식 시스템
• 아인슈타인-브릴루인-켈러법

참조

• L. D. 란다우와 E. M. 리프시츠, (1976년) 메카니즘, 3부 에드, 페르가몬 프레스. ISBN0-08-021022-8(하드커버), ISBN0-08-029141-4(소프트커버)
• H. Goldstein, (1980) Classic Mechanics, 2번 에드 애디슨 웨슬리.ISBN 0-201-02918-9
• G. Sardanashvily, (2015) 통합형 해밀턴 시스템 핸드북, URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
• Previato, Emma (2003), Dictionary of Applied Math for Engineers and Scientists, CRC Press, Bibcode:2003dame.book.....P, ISBN 978-1-58488-053-0