일치(지오메트리)

기하학에서 두 형상이나 물체는 모양과 크기가 같거나, 한 물체가 다른 물체의 거울 이미지와 모양과 크기가 같으면 합치된다.^[1]

좀 더 형식적으로, 두 점 세트는 만약 한 점이 등측계에 의해 다른 점으로 변형될 수 있다면, 즉, 번역, 회전, 반사의 조합인 경우에만 합치라고 불린다. 이것은 어느 물체가 다른 물체와 정확히 일치하도록 위치를 조정하고 반영할 수 있다는 것을 의미한다. 그래서 종이 위에 있는 두 개의 뚜렷한 평면 형상은 우리가 그것들을 잘라낸 다음 완전히 일치시킬 수 있다면 합치된다. 종이를 뒤집는 것은 허용된다.

기초 기하학에서 일치라는 단어는 종종 다음과 같이 사용된다.^[2] 동등이라는 단어는 종종 이러한 물체에 합치되는 대신에 사용된다.

• 두 개의 선 세그먼트는 길이가 같을 경우 일치한다.
• 두 각도가 같은 척도라면 합치된다.
• 두 개의 원은 같은 직경을 가지고 있으면 합치된다.

이러한 의미에서 두 평면 수치는 해당 측면과 각도뿐만 아니라 해당 대각선, 주변계, 영역까지 포함하는 "동일성" 또는 "동일성"이라는 것을 의미한다.

유사성의 관련 개념은 물체의 모양이 같지만 크기가 반드시 동일하지는 않은 경우에 적용된다. (대부분의 정의는 유사성의 한 형태라고 생각하지만, 소수의 정의는 유사성이라는 조건을 충족시키기 위해 서로 다른 크기를 가져야 한다고 요구한다.)

폴리곤의 결합성 결정

두 개의 다각형이 합치되려면 동일한 수의 변(따라서 같은 수의 정점)을 가져야 한다. n면이 있는 두 개의 다각형은 각각 숫자적으로 동일한 시퀀스(한 다각형의 경우 시계방향으로, 다른 다각형의 경우 시계 반대방향으로)를 갖는 경우에만 일치한다. n측과 n각의 경우.

폴리곤의 조합은 다음과 같이 그래픽으로 설정할 수 있다.

• 먼저 두 그림의 해당 정점을 일치시키고 레이블을 붙인다.
• 둘째, 그림 중 하나의 꼭지점에서 다른 그림의 해당 꼭지점까지 벡터를 그린다. 이 두 꼭지점이 일치하도록 이 벡터로 첫 번째 그림을 번역하시오.
• 셋째, 해당 변의 한 쌍이 일치할 때까지 일치하는 정점에 대해 번역된 그림을 회전시킨다.
• 넷째, 수치가 일치할 때까지 이 일치된 측면에 대해 회전된 수치를 반영한다.

단계를 완료할 수 없는 경우 다각형은 합치되지 않는다.

삼각형 합치

두 삼각형은 각 변의 길이가 같고, 각도의 길이가 같을 경우 합치된다.

만약 삼각형 ABC가 삼각형 DEF에 합치된다면, 그 관계는 수학적으로 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} .}$

많은 경우에 해당 세 부분의 동일성을 확립하고 다음 결과 중 하나를 사용하여 두 삼각형의 합치를 추론하는 것으로 충분하다.

합치성 결정

유클리드 공간에서 두 삼각형 사이의 합치를 위한 충분한 증거는 다음과 같은 비교를 통해 보여질 수 있다.

• SAS(측각 측면): 두 개의 삼각형에서 두 쌍의 면이 길이가 같고, 포함된 각도가 측정에서 동일하면 삼각형이 일치한다.
• SSS(측면): 만약 두 삼각형의 세 쌍의 면이 길이가 같다면, 그 삼각형은 합치된다.
• ASA(각도 측각): 두 개의 삼각형에서 두 쌍의 각도가 측정에서 같고, 포함된 면이 길이가 같으면 삼각형이 일치한다.

ASA 추정은 탈레스 오브 마일투스(그리스어)가 기여했다. 대부분의 공리 시스템에서는 SAS, SSS, ASA의 세 가지 기준이 이론으로 설정된다. 학교 수학 스터디 그룹 시스템에서는 SAS가 22개의 체조 중 1개(#15)로 간주된다.

• AAS(각도 각도 측면): 두 삼각형의 두 쌍의 각도가 측정에서 동일하고, 해당 비인접면의 한 쌍의 길이가 동일하다면, 삼각형은 합치된다. AAS는 두 각도가 주어지면 세 번째 각도도 마찬가지인데, 합계는 180°여야 하기 때문이다. ASA와 AAS는 때때로 단일 조건인 AAcorrS - 임의의 두 각도와 해당 측면으로 결합된다.^[3]
• RHS(우각-하이포텐use-측면), HL(하이포텐use-leg): 직각 삼각형 두 개의 하이포테뉴가 길이가 같고, 한 쌍의 짧은 면이 길이가 같으면 삼각형이 합치된다.

측면 각도

양면과 비포함 각도(ASS 또는 각도 측면이라고도 함)를 지정하는 SSA 조건(측면각)은 그 자체로 합치성을 입증하지 않는다. 조화를 보여주기 위해서는 해당 각도의 측정 및 경우에 따라 두 쌍의 해당 변의 길이와 같은 추가 정보가 필요하다. 몇 가지 가능한 경우가 있다.

두 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 각도의 반대쪽 길이가 인접한 측(SSA 또는 긴 측단 짧은 측각)의 길이보다 크거나 같으면, 두 삼각형이 일치한다. 상대 각도가 급할 때는 반대쪽이 길기도 하지만, 상대 각도가 직설적이거나 둔할 때는 항상 길다. 각도가 직각인 경우, 하이포텐유즈 사이드(HL) 또는 우측 각도-하이포텐유즈 사이드(RHS) 조건이라고도 하며, 피타고라스 정리를 사용하여 제3면을 계산할 수 있으므로 SSS의 가정법을 적용할 수 있다.

두 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 해당 각도가 급성이고 각도의 반대쪽 길이가 각도의 사인 곱한 인접한 면의 길이와 같다면 두 삼각형이 합치된다.

2개의 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 해당 각도가 급성이고 각도의 반대쪽 길이가 각도의 사인(단, 인접한 쪽 길이보다 작음)을 곱한 인접측 길이보다 크면, 두 삼각형이 합치된 것으로 보일 수 없다. 이것은 애매한 경우고 주어진 정보로부터 서로 다른 두 삼각형을 형성할 수 있지만, 그것들을 구별하는 추가 정보는 일치의 증거로 이어질 수 있다.

앵글-각도

유클리드 기하학에서, AAA (또는 단지 AA, 유클리드 기하학에서 삼각형의 각도는 최대 180°를 더하기 때문에) 두 삼각형의 크기에 관한 정보를 제공하지 않으며 따라서 유사성만 입증하고 유클리드 공간에서는 일치되지 않는다.

그러나 구면 기하학 및 쌍곡 기하학(삼각형의 각도의 합이 크기에 따라 변화하는 경우)에서 AAA는 주어진 표면 곡률에 일치하기에 충분하다.^[4]

CPCTC

이 약어는 Congruent Triangles의 해당 부분을 의미하며,^[5][6] Congruent는 Congruent 삼각형 정의의 약어 버전이다.

좀 더 자세히 말하자면, ABC와 DEF의 삼각형이 일치한다면, 즉,

$\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}$

정점 A와 D, B와 E, C와 F에 해당하는 각 쌍과 AB와 DE, BC와 EF, CA와 FD에 해당하는 쌍의 횡방향으로 다음 문장이 참이다.

${\displaystyle {\overline {AB}\cong {\overline {DE}}$

${\displaystyle {\overline {BC}\cong {\overline {EF}}$

${\displaystyle {\overline {AC}\cong {\overline {DF}}$

$[\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}$

$\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}$

$\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}$

삼각형의 합치가 성립된 후 두 삼각형의 부분의 합성에 대한 결론이 필요할 때, 그 진술은 종종 기초 기하학적 증명에서 정당화로서 사용된다. 예를 들어 SSS 기준에 의해 두 개의 삼각형이 합치된 것으로 보여지고 해당 각도가 합치된다는 진술이 입증에 필요한 경우, CPCTC를 이 진술의 정당성으로 사용할 수 있다.

관련 정리는 CPCFC로, "삼각형"을 "그림"으로 대체하여 정리가 응집되는 어떤 쌍의 다면체나 다면체에도 적용되도록 한다.

해석기하에서의 조합의 정의

유클리드 시스템에서는 합성이 기본이다; 그것은 숫자에 대한 평등의 상대다. 분석 기하학에서 일치성은 직관적으로 정의될 수 있다: 첫 번째 매핑에서 두 지점 사이의 유클리드 거리가 두 번째 매핑에서 해당 지점 사이의 유클리드 거리와 동일한 경우에만 하나의 데카르트 좌표계에 대한 두 개의 그림 매핑이 일치한다.

좀 더 형식적인 정의는 유클리드 공간 R의ⁿ 두 하위 집합 A와 B를 f(A) = B를 갖는 등위계 f : Rⁿ → Rⁿ(n)이 존재하는 경우 결합체라고 한다(유클리드 그룹 E(n)의 원소는 동등성 관계다).

응고 원뿔 단면

편심률과 편심 특성을 갖는 다른 하나의 뚜렷한 매개변수가 같을 경우 두 개의 원뿔형 단면이 일치한다. 그들의 편심성은 그들의 모양을 설정하는데, 그 균등성은 유사성을 확립하기에 충분하며, 두 번째 매개변수는 크기를 설정한다. 두 개의 원, 파라볼라 또는 직사각형 하이퍼볼라(특히 원의 경우 0, 파라볼라의 경우 1개, 직사각형 하이퍼볼라의 $경우$ 2 ${\$는 항상 같은 편심성을 가지므로, 두 개의 원, 파라볼라 또는 직사각형 하이퍼볼라에는 하나의 다른 공통 파라미터 값, est, 즉 et.그들이 합치되니, 그 크기가 너무 작다.

응고 다면체

동일한 조합형(즉, 동일한 수의 가장자리 E, 동일한 수의 면 및 해당 면의 동일한 면)을 가진 두 개의 다면에는, 다면체의 결합 여부를 확인할 수 있는 E 측정치가 존재한다.^[7][8] 숫자가 빡빡하여, 다면체(다면체)가 결합형 중 일반적이라면 E 측정치보다 작아도 충분하지 않다는 것을 의미한다. 하지만 특별한 경우에 더 적은 측정치가 효과가 있을 수 있다. 예를 들어, 큐브에는 12개의 가장자리가 있지만, 9개의 측정으로 해당 결합형식의 다면체가 주어진 정규 큐브에 일치하는지 여부를 결정할 수 있다.

구상의 일치 삼각형

평면 삼각형과 마찬가지로, 구면에서는 동일한 각도-측각(ASA) 순서를 공유하는 두 개의 삼각형이 반드시 일치한다(즉, 그들은 동일한 3개의 면과 3개의 동일한 각도를 가지고 있다).^[9] 이는 다음과 같이 볼 수 있다. 정점 중 하나를 주어진 각도로 남극에 놓고 주어진 길이로 주 자오선 위로 달릴 수 있다. 고정된 길이의 세그먼트 양쪽 끝에서 양쪽 각도를 알면 다른 양쪽이 고유하게 결정된 궤적으로 발산되고, 따라서 고유하게 결정된 지점에서 서로 만나게 되며, 따라서 ASA는 유효하다.

합치 이론은 측각(SAS)^[9]과 측각(SSS)도 구를 유지한다. 또한, 두 개의 구형 삼각형이 동일한 각도-각각(AA) 시퀀스를 가질 경우 서로 합치된다(평면 삼각형과 달리).

평면-삼각 일치 정리 각도-각도-측면(AAS)은 구형 삼각형에 대해 고정되지 않는다.^[10] 평면 기하학에서와 같이 측면 각도(SSA)는 조화를 의미하지 않는다.

표기법

일반적으로 합성에 사용되는 기호는 그 위에 있는 틸드와 동등한 기호인 ≅으로 유니코드 문자 '대략 같음'(U+2245)에 해당한다. 영국에서는 3bar 등호 ((U+2261)을 사용하기도 한다.

참고 항목

• 유클리드 평면 등측도법
• 등각도

참조

외부 링크

• Knot의 SSS
• Kotte-Knot의 SSA
• 합금 다각형, 합금 각도, 합금 선 세그먼트, 합금 삼각형(Math Open Reference)을 보여주는 대화형 애니메이션