테일러 급수

에 관한 일련의 기사들 중 일부
미적분학.
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값 정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능의 총 컨셉트 미분표기호 이계도함수 암묵적 분화 대수분화 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 호스피탈의 통치 역 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분 규칙 정의들 유도체 적분(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 포탄 대체(삼각법, 접선 반각, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 축약식 적분 기호 아래에서 미분하기 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술 기하학적) 하모닉 교대 힘 이항법 테일러 수렴시험 합산한계(항검정) 비 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 결로 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린스 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 겉감 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선분적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센인
고급. 유클리드 공간의 미적분학 일반화함수 분배한도
특화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 전발굴절 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준분석
v t

수학에서 테일러 급수(Taylor series) 또는 테일러 확장(Taylor expansion)은 한 점에서 함수의 도함수로 표현되는 항들의 무한한 합입니다.대부분의 일반적인 함수의 경우, 이 점 근처에서 함수와 테일러 급수의 합이 같습니다.테일러 시리즈는 1715년에 그것들을 소개한 브룩 테일러의 이름을 따서 지어졌습니다.테일러 급수는 18세기 중반에 테일러 급수의 특별한 경우를 광범위하게 사용한 콜린 매클로린의 이름을 따 0이 도함수가 고려되는 점일 때 매클로린 급수라고도 불립니다.

테일러 급수의 첫 번째 n + 1 항으로 이루어진 부분 합은 n차 다항식으로 함수의 n번째 테일러 다항식이라고 합니다.테일러 다항식은 함수의 근사치로, n이 증가할수록 일반적으로 더 정확해집니다.테일러 정리는 그러한 근사치를 사용함으로써 발생한 오차에 대한 정량적인 추정치를 제공합니다.함수의 테일러 급수가 수렴하는 경우, 그 합은 테일러 다항식의 무한 순서의 극한입니다.함수는 테일러 급수가 수렴하더라도 테일러 급수의 합과 다를 수 있습니다.함수가 x를 포함하는 열린 구간(복소 평면의 열린 디스크)에서 테일러 급수의 합과 같으면 점 x에서 분석됩니다.이는 함수가 간격(또는 디스크)의 모든 지점에서 분석적임을 의미합니다.

정의.

실수 또는 복소수 a에서 무한히 미분 가능한 실수 또는 복소수 함수 f(x)의 테일러 급수는 멱급수입니다.

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f""(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'"(a)}{3!}(x-a)^{3}+\cdots,}$

여기서 n!은 n의 계승을 나타냅니다.더 콤팩트한 시그마 표기법에서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

여기서⁽ⁿ⁾ f(a)는 점 a에서 평가된 n번째 도함수 f를 나타냅니다. (차수 0 off의 도함수는 f 그 자체로 정의되고 (x - ⁰a)와 0!은 모두 1로 정의됩니다.)

= 0의 Maclaurin 시리즈는 다음과 같은 형태를 가집니다.

${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}}x+{\frac {f"(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'""(0)}{3!}}x^{3}+\cdots,}$

또는 콤팩트 시그마 표기법:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}x^{n}}$

예

모든 다항식의 테일러 급수는 다항식 자체입니다.

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion, .mw-parser-output .sfrac.tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac.den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em}.mw-parser-output .sfrac.den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr 전용{border:0;clip:rect(0,0,0,0); height:1px;margin:-1px;overflow:숨김;padding:0;위치:절대;width:1px}/1 - x는 기하급수입니다

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots.}$

따라서 x를 1 - x에 대입함으로써 a = 1에서 1/x의 테일러 급수는

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots.}$

위의 매클로린 급수를 적분하여 ln(1 - x)의 매클로린 급수를 구하며, 여기서 ln은 자연 로그를 나타냅니다.

${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots.}$

a = 1에서 ln x의 테일러 급수는

${\displaystyle(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots,}$

보다 일반적으로 임의의 0이 아닌 점 a에서 ln x의 테일러 급수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \lna+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{{2}}}+\cdots.$

지수함수^x e의 매클로린 급수는

${\displaystyle {\display{aligned}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}$

위의 확장은 x에^x 대한 e의 도함수도 e이고^x0 e는 1이기 때문에 성립합니다.그러면 분자의 항 (x - 0)ⁿ과 무한합의 각 항의 분모에 n!이 남게 됩니다.

역사

고대 그리스 철학자 엘레아의 제노는 유한한 결과를 얻기 위해 무한급수를 합하는 문제를 고려했지만 ^[2]불가능하다고 거부했습니다. 그 결과가 제노의 역설이었습니다.나중에 아리스토텔레스는 역설의 철학적 해결책을 제안했지만, 수학적인 내용은 명백히 아르키메데스에 의해 채택될 때까지 해결되지 않았습니다. 전제정치의 원자론자 데모크리토스에 의해 아리스토텔레스 이전에 그랬던 것처럼 말입니다.아르키메데스의 소진법을 통해 무한한 수의 점진적인 세분화를 수행하여 유한한 ^[3]결과를 얻을 수 있었습니다.류휘는 몇 세기 ^[4]후에 독자적으로 비슷한 방법을 사용했습니다.

14세기에, (일반적인 방법은 아니지만) 특정 테일러 급수의 초기 예는 상암그라마의 ^[5][6]마다바에 의해 제시되었습니다.그의 업적에 대한 기록은 남아있지 않지만, 케랄라 천문학과 수학 학교의 그의 추종자들의 글은 그가 사인, 코사인, 아크탄젠트의 삼각함수에 대한 테일러 급수를 찾았다고 암시합니다(마다바 급수 참조).이후 2세기 동안 그의 추종자들은 더 많은 시리즈 확장과 합리적인 근사를 발전시켰습니다.

1670년 말, 제임스 그레고리는 존 콜린스가 보낸 몇 개의 매클로린 계열(sin ⁡ x, {\textstyle \sin x,} cos ⁡ x, {\textstyle \cos x,} 아크신 ⁡ x, {\textstyle \arcsin x,} 및 x cot ⁡ x {\textstyle x\cot x})의 편지에 나타나 뉴턴이 함수를 직렬로 확장하는 일반적인 방법을 개발했다고 말했다.뉴턴은 사실 계열의 긴 분할과 기간별 통합을 수반하는 번거로운 방법을 사용했지만 그레고리는 그것을 알지 못했고 자신을 위한 일반적인 방법을 발견하기 위해 나섰습니다.1671년 초 그레고리는 일반적인 매클로린 급수와 같은 것을 발견하고 콜린스에게 아크탄 ⁡ x, {\textstyle \arctan x,} tan ⁡ x, {\textstyle \tan x,} ln sec x, {\textstyle \sec x,} ln sec x (tan {\displaystyle \tan }의 적분), ln tan ⁡ 12 (12 π + x ) {\textstyle \ln \,\tfrac {1}{2}}{{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr}}}(초의 적분, 역 구더만 함수), arcsec ⁡ (2 x ), {\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl(}{\sqrt {2}e^{x}{\bigr )}, 2 아크탄 ⁡ x - 1 2 π {\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }(구더만 함수).그러나 그레고리는 뉴턴에 의해 방법을 재개발한 것일 뿐이라고 생각하고, 어떻게 이 시리즈들을 얻었는지를 기술한 적이 없으며,^[7] 1671년부터 다른 편지의 뒷면에 낙서한 흠집내기 작업을 조사함으로써 일반적인 방법을 이해했음을 짐작할 수 있을 뿐입니다.

1691-1692년, 아이작 뉴턴은 그의 작품 De Quadratura Curvarum의 출판되지 않은 버전에 테일러와 매클로린 시리즈의 명백한 진술을 적었습니다.그러나 이 작업은 결코 완성되지 않았고 1704년 Tractatus de Quadratura Curvarum이라는 제목으로 출판된 부분에서 관련 부분이 생략되었습니다.

1715년이 되어서야 이들이 존재하는 모든 함수에 대해 이들 급수를 구성하는 일반적인 방법이 브룩 ^[8]테일러에 의해 마침내 발표되었고, 그의 이름을 따서 이 급수들에 이름이 붙여졌습니다.

매클로린 시리즈는 18세기 중반 테일러 결과의 특별한 사례를 발표한 에든버러의 교수 콜린 매클로린의 이름을 따서 지어졌습니다.

분석함수

f (x)가 복소평면(또는 실선의 간격)에서 b에 중심을 둔 열린 디스크에서 수렴 멱급수로 주어지면 이 영역에서 분석적이라고 합니다.따라서 이 영역의 x에 대하여 f는 수렴 멱급수에 의하여 주어집니다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}(x-b)^{n}}$

위의 공식을 x로 n번 미분한 다음 x = b를 설정하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

그래서 멱급수 확장은 테일러 급수와 일치합니다.따라서 함수는 b에 중심을 둔 열린 디스크에서 분석됩니다. 이 함수는 테일러 급수가 디스크의 각 점에 있는 함수의 값으로 수렴하는 경우에만 분석됩니다.

f (x)가 복소 평면에 있는 모든 x에 대한 테일러 급수의 합과 같으면 전체라고 합니다.다항식, 지수 함수^x e, 삼각 함수 사인 및 코사인은 전체 함수의 예입니다.전체 함수가 아닌 함수의 예로는 제곱근, 로그, 삼각 함수 접선, 역 아크탄 등이 있습니다.이러한 함수의 경우 x가 b에서 멀리 떨어져 있으면 테일러 급수가 수렴하지 않습니다.즉, x와 b 사이의 거리가 수렴 반경보다 크면 테일러 급수는 x에서 발산합니다.테일러 급수는 모든 점에서 함수의 값과 모든 도함수의 값이 알려진 경우 모든 점에서 전체 함수의 값을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

분석 기능에 대한 테일러 급수의 용도는 다음과 같습니다.

1. 급수의 부분합(Taylor 다항식)을 함수의 근사치로 사용할 수 있습니다.충분히 많은 항이 포함되어 있는 경우 이러한 근사치가 좋습니다.
2. 전력 시리즈의 차별화 및 통합은 기간별로 수행될 수 있으므로 특히 용이합니다.
3. 분석 함수는 복소 평면의 열린 디스크에서 유일하게 동형 함수로 확장됩니다.이를 통해 복잡한 분석의 기계를 사용할 수 있습니다.
4. 함수 값을 수치적으로 계산하기 위해 (흔히 다항식을 체비셰프 형태로 재캐스팅하고 클렌쇼 알고리즘으로 평가함으로써) (잘린) 시리즈를 사용할 수 있습니다.
5. 대수 연산은 멱급수 표현에 대해 쉽게 수행할 수 있습니다. 예를 들어 오일러의 공식은 삼각 함수와 지수 함수에 대한 테일러 급수 확장을 따릅니다.이 결과는 고조파 분석과 같은 분야에서 기본적으로 중요합니다.
6. 테일러 급수의 처음 몇 개의 항을 사용하는 근사치는 제한된 영역에서 해결할 수 없는 문제를 발생시킬 수 있습니다. 이 접근법은 물리학에서 자주 사용됩니다.

근사 오차 및 수렴

그림은 x = 0 지점을 중심으로 sin x의 정확한 근사치입니다.분홍색 곡선은 차수 7의 다항식입니다.

${\displaystyle \sin {x}\displayx-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

이 근사치의 오차는 x / 9!에 지나지 않습니다.원점(-θ < x < θ) 중심의 전체 주기의 경우 오차가 0.08215보다 작습니다.특히 -1 < x < 1의 경우 오차가 0.000003보다 작습니다.

반대로, 는 자연 로그 함수 ln(1 + x)과 a = 0 주변의 테일러 다항식의 일부 그림이기도 합니다.이러한 근사치는 -1 < x ≤ 1 영역에서만 함수에 수렴합니다. 이 영역 이외의 영역에서는 고차 테일러 다항식이 함수에 대한 더 나쁜 근사치입니다.

n차 테일러 다항식으로 함수를 근사할 때 발생하는 오차를 잔차 또는 잔차라고 하며 함수_n R(x)로 표시합니다.테일러 정리는 나머지의 크기에 대한 경계를 구하는 데 사용될 수 있습니다.

일반적으로 테일러 급수는 수렴할 필요가 전혀 없습니다.그리고 사실 수렴 테일러 급수를 갖는 함수들의 집합은 매끄러운 함수들의 프레셰 공간에 있는 미미한 집합입니다.그리고 함수 f의 테일러 급수가 수렴하더라도 그 극한은 일반적으로 함수 f (x)의 값과 동일할 필요는 없습니다.예를 들어, 함수는

${\displaystyle f(x)={\text{case}e^{-1/x^{2}}&{\text{if}}x\neq 0\[3mu]0&{\text{if}}x=0\end{case}}$

는 x = 0 에서 무한히 미분 가능하며, 모든 도함수가 0입니다.따라서 x = 0에 대한 f (x)의 테일러 급수는 동일하게 0입니다.그러나 f(x)는 영함수가 아니므로 원점 주위의 테일러 급수와 동일하지 않습니다.따라서 f(x)는 비분석 평활 함수의 한 예입니다.

실제 분석에서 이 예제는 테일러 급수가 수렴하더라도 f (x)와 같지 않은 무한히 미분 가능한 함수 f (x)가 있음을 보여줍니다.대조적으로, 복소 분석에서 연구된 동형 함수는 항상 수렴 테일러 급수를 가지며, 특이점을 가질 수 있는 테일러 급수조차도 함수 자체와 다른 값으로 수렴하지 않습니다.그러나 복소 함수^−1/z2 e는 z가 허수 축을 따라 0에 접근할 때 0에 접근하지 않으므로 복소 평면에서 연속적이지 않으며 테일러 급수는 0에서 정의되지 않습니다.

더 일반적으로 실수나 복소수의 모든 수열은 실수선에 정의된 무한 미분 가능 함수의 테일러 급수에서 계수로 나타날 수 있으며, 이는 보렐의 보조정리의 결과입니다.결과적으로 테일러 급수의 수렴 반경이 0이 될 수 있습니다.심지어 테일러 급수가 모든 ^[9]곳에 수렴 반경이 0인 실선에 정의된 무한히 미분 가능한 함수도 있습니다.

함수는 특이점을 중심으로 하는 테일러 급수로 쓸 수 없습니다. 이 경우 변수 x의 음의 거듭제곱을 허용하면 급수 확장을 달성할 수 있습니다. 로랑 급수를 참조하십시오.예를 들어 f (x) = e는 로랑 급수로 쓸 수 있습니다.

일반화

그러나 유한 차분의 미적분을 사용하여 (0,ω)의 어떤 유계 연속 함수에 대한 함수 자체의 값으로 수렴하는 테일러 급수의 일반화가^[10][11] 있습니다.구체적으로, 아이나르 힐(Einar Hille)에 의해, 임의의 t > 0에 대하여, 다음과 같은 정리가 있습니다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}}{n!}}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t)}$

여기서 Δ는ⁿ
_h 단계 크기 h의 n번째 유한 차분 연산자입니다.시리즈는 정확히 테일러 시리즈입니다. 단, 미분 대신 분할된 차이가 나타난다는 것을 제외하면 시리즈는 뉴턴 시리즈와 공식적으로 유사합니다.함수 f가 a에서 분석적이면, 급수의 항들은 테일러 급수의 항들로 수렴하고, 이러한 의미에서 일반적인 테일러 급수를 일반화합니다.

일반적으로 임의의 무한 수열_i a에 대해 다음과 같은 거듭제곱 항등식이 성립합니다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {u^{n}}{n!}}\델타 ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty}{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}}$

그래서 특히.

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty}f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}{j!}}.}$

오른쪽의 열은 f(a + X)의 기대 값이며, 여기서 X는 확률이^−t/h e·(t/^jh)/j!인 값 jh를 취하는 포아송 분포 랜덤 변수입니다.이런 이유로,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty}^{\infty}f(a+x)dP_{t/h,h}(x)}$

큰 수의 법칙은 정체성이 ^[12]성립함을 암시합니다.

맥라우린 계열의 몇 가지 일반적인 함수 목록

몇 가지 중요한 Maclaurin 시리즈 확장이 뒤따릅니다.^[13]이 모든 확장은 복잡한 인수 x에 유효합니다.

지수함수

지수 $함수{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {ex}^{}}${\$displaystyle$ e$^{x}}($기본 e 포함)에 Maclaurin 영상 시리즈가 있습니다.

$⋯$$}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!$$}}+{\frac {x^{3}}{3!$$}}+\cdots$

모든 x에 대하여 수렴합니다.

벨 수들의 지수 생성 함수는 지수 함수의 이전의 지수 함수입니다.

${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$

자연로그

자연 로그(기저 e 포함)는 매클로린 급수를 갖습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}-\cdots,\\n(1+x)&={{n=1}^{\n+1}{\frac {x^{n}}{{n}}}=x-{\frac {x^{2}}}+{\frac {x^{3}}}-\cdots .\end{aligned}}$

은x <1 {\$displaystyle$x < $1$에 수렴합니다. (또한 ln(1 - x)에 대한 시리즈는 x = -1에 수렴하고 ln(1 + x)에 대한 시리즈는 x = 1에 수렴합니다.)

기하급수

기하급수와 그 도함수들은 맥라우린 급수를 가지고 있습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty}}x^{n}\{\frac {1}^{2}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\{\frac {1-x}^{3}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$

x< ${\displaystyle$x < $1$에 모두 수렴합니다.이들은 다음 절에 제시된 이항 급수의 특수한 경우입니다.

이항급수

이항 급수는 검정력 급수입니다.

계수가 일반화 이항 계수인 경우

(n = 0인 경우, 이 제품은 빈 제품이며 값이 1입니다.)임의의 실수 또는 복소수 α에 대해x < ${\displaystyle$x < $1}$에 대해 수렴합니다.

α = -1일 때, 이것은 본질적으로 앞 절에서 언급한 무한 기하급수입니다.특수한 경우 α = 1/2 및 α = -1/2는 제곱근 함수와 그 역함수를 제공합니다.

선형 항만 유지되는 경우 이항 근사치로 단순화됩니다.

삼각함수

일반적인 삼각함수와 그 역수는 다음과 같은 매클로린 급수를 갖습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &{\text{모두에 대하여}}x\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &{\text{모든 것에 대하여}}x\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &{\text{ for }}x<{\frac {\pi}{2}}\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &{\text{for}}x<{\frac {\pi}{2}}\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(2n))!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &{\text{f}}x \leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}-\frac {\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&={\frac {\pi}{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}-\cdots &{\text{f}}x \leq 1\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}x^{2n+1}}&=x-{\frac {x^{3}}}+{\frac {x^{5}}-\cdots &{text{for}}x \leq 1, x\neq \pm i\end{align}}$

모든 각도는 라디안으로 표현됩니다.탄크의 확장에 나타나는 숫자_k B는 베르누이 숫자입니다.sec x의 확장에서 E는_k 오일러 수이다.

쌍곡선함수

쌍곡 함수에는 해당 삼각 함수에 대한 시리즈와 밀접한 관련이 있는 매클로린 시리즈가 있습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}&=x+{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &{\text{모두에 대하여}}x\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &{\text{모두에 대하여}}x\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{{{}}}+\cdots &{\text{f}}x<\frac {\pi}{2}}\[6pt]\operatorname {arsinh}x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &{\text{for}x \leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh}x&=\sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {x^{2n+1}}&=x+{\frac {x^{3}}}+{\frac {x^{5}}+\cdots &\text{for}x \leq 1,\neq \pm 1\end{aligned}}}x \leq 1,\neq \pm 1,\end{aligned}}}x\frac {x\n+1}.$

tanh x에 대한 시리즈에 나타나는 숫자_k B는 베르누이 숫자입니다.

다항식 함수

폴리로그람은 다음과 같은 정의적 아이덴티티를 갖습니다.

${\displaystyle {\text{Li}}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}x^{n}}$

${\displaystyle {\text{Li}}_{3}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{3}}x^{n}}$

레전드레치 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}}$

${\displaystyle \chi _{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}}x^{2n+1}}$

그리고 아래에 제시된 공식을 역접합 적분이라고 합니다.

${\displaystyle {\text{Ti}}_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}}$

${\displaystyle {\text{Ti}}_{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}}x^{2n+1}}$

통계적 열역학에서 이 공식들은 매우 중요합니다.

타원함수

제1종 K와 제2종 E의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}:{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

자코비 세타 함수는 타원 모듈 함수의 세계를 설명하며 다음과 같은 테일러 급수를 갖습니다.

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}}$

${\displaystyle \vartetha _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}^{n^{2}}}$

정규 파티션 번호 시퀀스 P(n)에는 다음과 같은 생성 함수가 있습니다.

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\farc {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}}$

엄격한 파티션 번호 시퀀스 Q(n)에는 다음과 같은 생성 기능이 있습니다.

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\farc {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}}:$

테일러 급수 계산

많은 수의 함수의 테일러 급수를 계산하기 위한 몇 가지 방법이 있습니다.테일러 급수의 정의를 사용하려고 시도할 수 있지만, 이를 위해서는 쉽게 나타나는 패턴에 따라 계수의 형태를 일반화해야 하는 경우가 많습니다.또는 테일러 급수가 멱급수이므로 표준 테일러 급수의 치환, 곱셈 또는 나눗셈, 덧셈 또는 뺄셈과 같은 조작을 사용하여 함수의 테일러 급수를 구성할 수 있습니다.경우에 따라서는 부품별 적분을 반복 적용하여 테일러 급수를 도출할 수도 있습니다.테일러 급수를 계산하기 위해 컴퓨터 대수 시스템을 사용하는 것이 특히 편리합니다.

첫번째 예시

함수에 대한 7차 Maclaurin 다항식을 계산하기 위해

${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ) $=$ $⁡$ ( ${\displaystyle c\mathrm{os}}$ ⁡${\displaystyle x}$)${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in (}$ - ${\displaystyle \pi }$2${\displaystyle ,}$ $π$2 )$${\$displaystyle$ $(x$)=\$ln(\cos$ x$),\ln$ x$\in \l$ (-{\$frac${\$pi$}{$2},$ {\$frac${\$pi }{2}},\right)},$

먼저 다음과 같이 함수를 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle 1}$+ ( ${\displaystyle c\mathrm{os}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }${\$displaystyle$ $(x$)=\$ln${\$bigl (}1+(\cos x-1){\bigr$ $)\}\backslash !\}$

자연 로그에 대한 테일러 급수는 (큰 O 표기법 사용)

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!}$

코사인 함수에 대해서는

$=$$O}\left(x^{8}\right$

후자의 급수 확장은 0의 상수항을 가지며, 이것은 우리가 두 번째 급수를 첫 번째 급수로 대체하고 큰 O 표기법을 사용함으로써 7번째 차수보다 높은 차수의 항을 쉽게 생략할 수 있게 해줍니다.

${\displaystyle {\display{aligned}f(x)&=\ln {\bigl(}1+(\cos x-1){\bigr )}\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}(\cos x-1)^{3}+{O}\left(((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left){\frac {x^{2}}}+{\frac {x^{4}}{{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}\left){\frac {x^{2}}+O\left(x^{4}\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\&=-{\frac {x^{2}}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}-{\frac {x^{4}}-{\frac {x^{8}}-{\frac {x^{6}}-{{48}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8})\right)\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{aligned}}\!}$

코사인은 짝수 함수이므로 모든 홀수 거듭제곱 x, x³, x⁵, x, x⁷,...0이어야 합니다.

두번째 예시

우리가 함수의 0에 테일러 급수를 원한다고 가정합니다.

${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}}.\!}$

우리는 지수 함수를 가지고 있습니다.

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!}$

첫번째 예처럼

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!}$

멱급수가 다음과 같다고 가정합니다.

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!}$

그런 다음 분모를 사용한 곱셈과 코사인 산출물 시리즈의 치환

${\displaystyle {\display{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1)}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\&=\left(c_{0}+c_{1)}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{align}}\!}$

최대 4차까지 조건 수집

${\displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!}$

${\displaystyle {ci}_{}}${\$displaystyle c_{i$$}}$의 값은$$ {\$displaystyle e^{x$에 대한 계수와 비교하여 알 수 있으며 다음을 산출합니다.

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots.\!}$

세번째 예시

여기서 우리는 주어진 함수를 확장하기 위해 "간접 확장"이라고 불리는 방법을 사용합니다.이 방법은 알려진 지수 함수의 테일러 확장을 사용합니다.x에서 테일러 급수로 (1 + x)e를^x 확장하기 위해 알려진 테일러 급수 함수^x e를 사용합니다.

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}+\cdots.}$

따라서,

${\displaystyle {\display{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n+1}}{n!}}\&=1+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty}\lefty\frac {1}{n!}}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\&=1+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}$

정의로서의 테일러 급수

고전적으로 대수적 함수는 대수적 방정식에 의해 정의되며 초월 함수(위에서 논의된 것 포함)는 미분 방정식과 같이 이를 유지하는 일부 성질에 의해 정의됩니다.예를 들어, 지수 함수는 모든 곳에서 자신의 도함수와 동일한 함수이며 원점에서 값 1을 가정합니다.그러나 분석 함수를 테일러 열로 동일하게 잘 정의할 수 있습니다.

테일러 급수는 수학의 다양한 영역에서 함수와 연산자를 정의하는 데 사용됩니다.특히 함수의 고전적인 정의가 깨지는 부분에서는 더욱 그렇습니다.예를 들어, 테일러 급수를 사용하면 분석 함수를 행렬 집합 및 연산자(예: 행렬 지수 또는 행렬 로그)로 확장할 수 있습니다.

공식 분석과 같은 다른 영역에서는 멱급수 자체와 직접 작업하는 것이 더 편리합니다.따라서 미분 방정식의 해를 멱급수로 정의할 수 있으며, 이는 원하는 해의 테일러 급수임을 증명하고자 합니다.

여러 변수의 테일러 급수

또한 테일러 급수는 다음과 같은 두 개 이상의 변수의^[14][15] 함수로 일반화될 수 있습니다.

${\displaystyle{aligned}T(x_{1},\ldots,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{1}!\cdots n_{d}!},\left({\frac {\cdots ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}{\cdots \cdots \cdots x_{1}^{n_{d}}}\right)(a_{1},\ldots,a_{d})\&=f(a_{1},\ldots,a_{d}+\sum _{j=1}^{{d}}{\frac {\cdots }}(x_{j}-a_{j})+{\frac {2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\ldots ^{2}f(a_{1},\ldots,a_{d}}{\ldots,a_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k})\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\cdots ^{3}f(a_{1}},\ldots,a_{d}}{\cdots x_{j}\cdots x_{k}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{align}}$

예를 들어, x와 y의 두 변수에 의존하는 $함수{\displaystyle }$f (${\displaystyle x,y)}$ ${\displaystyle$f ($x,y)}$의 경우 점 (a,b)에 대한 2차 순서로 테일러 급수를

${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yyy}(a,b){\Big )}}}$

여기서 첨자는 각각의 부분 도함수를 나타냅니다.

여러 변수의 이차 테일러 급수

두 개 이상의 변수에 대한 스칼라 값 함수의 2차 테일러 급수 확장은 다음과 같이 압축적으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle T(\mathbf {x})=f(\mathbf {a})+(\mathbf {x} -\mathbf {a})^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a})+{\frac {1}{2!}}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a})\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots,}$

여기서 Df (a)는 x = a에서 평가된 기울기 f이고 Df (a)는 헤센 행렬입니다.여러 변수에 대한 테일러 급수의 다중 지수 표기법을 적용하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{ \alpha \geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha !}}\left''\mathrm {\alpha }^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a}),}$

이는 본 단락의 첫 번째 방정식의 더욱 축약된 다중 지수 버전으로 이해되어야 하며, 단일 변수의 경우에 대한 완전한 비유입니다.

예

함수의 점 (a, b) = (0, 0)을 중심으로 2차 테일러 급수 확장을 계산하려면

${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$

먼저 필요한 모든 부분 도함수를 계산합니다.

${\displaystyle {\display{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\[6pt]f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\[6pt]f_{y}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}$

원점에서 이들 도함수를 평가하면 테일러 계수를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}f_{x}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xx}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1입니다.\end{aligned}}$

이 값들을 일반 공식에 대입하기

${\displaystyle{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\&{}+{\frac {1}{2!}}\left(((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yyy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$

생산품

${\displaystyle{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big(}0(x-0)^{2}+2(x-0)+2(-1)^{2}{\big)}+\cdots \&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}+\cdots \end{align}}$

ln(1 + y)는 y < 1에서 분석적이므로 다음을 갖습니다.

${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots,\qquady <1.}$

푸리에 급수와의 비교

삼각 푸리에 시리즈는 주기 함수(또는 닫힌 구간 [a,b]에 정의된 함수)를 삼각 함수(사인 및 코사인)의 무한 합으로 표현할 수 있습니다.이런 의미에서 푸리에 급수는 테일러 급수와 유사한데, 후자는 함수를 무한한 거듭제곱의 합으로 표현할 수 있기 때문입니다.그럼에도 불구하고 두 시리즈는 몇 가지 관련 문제에서 서로 다릅니다.

• 점 x = a에 대한 f (x)의 테일러 급수의 유한 절단은 모두 fata와 정확히 같습니다.반대로, 푸리에 급수는 전체 구간에 걸쳐 적분하여 계산되므로, 급수의 모든 유한 절단이 정확한 지점은 일반적으로 없습니다.
• 테일러 급수의 계산은 점의 임의의 작은 이웃에 대한 함수에 대한 지식이 필요한 반면, 푸리에 급수의 계산은 전체 도메인 간격에 대한 함수에 대한 지식이 필요합니다.어떤 의미에서 테일러 급수는 "로컬"이고 푸리에 급수는 "글로벌"이라고 말할 수 있습니다.
• 테일러 급수는 한 점에 무한히 많은 도함수를 갖는 함수에 대해 정의되는 반면, 푸리에 급수는 모든 적분 가능한 함수에 대해 정의됩니다.특히 함수는 어디에서도 미분할 수 없습니다. (예를 들어, f (x)는 Weiersstrass 함수일 수 있습니다.)
• 두 영상 시리즈의 수렴은 매우 다른 속성을 갖습니다.테일러 급수가 양의 수렴 반경을 갖더라도 결과적인 급수는 함수와 일치하지 않을 수 있지만 함수가 분석적이면 급수는 함수에 점 방향으로 수렴하고 수렴 구간의 모든 콤팩트 부분 집합에서 균일하게 수렴합니다.푸리에 급수와 관련하여 함수가 제곱 적분 가능하다면 급수는 2차 평균으로 수렴되지만 점별 또는 균일한 수렴을 보장하기 위해 추가적인 요구 사항이 필요합니다(예를 들어 함수가 주기적이고 클래스¹ C의 경우 수렴이 균일합니다).
• 마지막으로, 실제로는 각각 테일러 다항식 또는 삼각 급수의 부분 합과 같이 유한한 수의 항으로 함수를 근사화하려고 합니다.테일러 급수의 경우 오차가 계산된 지점 근처에서는 매우 작은 반면 먼 지점에서는 매우 큰 오차가 발생할 수 있습니다.푸리에 영상 시리즈의 경우 오차는 함수의 도메인을 따라 분포됩니다.

참고 항목

• 점근적 팽창
• 함수생성
• 로랑 급수
• 마드하바 계열
• 뉴턴의 미분내삽법
• 파데 근사
• 푸이쇠 시리즈
• 시프트 오퍼레이터

메모들

참고문헌

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1
• Roy, Ranjan (2021) [1st ed. 2011]. Series and Products in the Development of Mathematics. Vol. 1 (2nd ed.). Cambridge University Press.

외부 링크

• "Taylor series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.