유한차이

유한차이는 f(x + b) - f(x + a) 형식의 수학적 표현이다. 유한차이를 b - a로 나누면 차등지수가 나온다. 유한차이에 의한 파생상품의 근사치는 미분방정식, 특히 경계값 문제에 대한 유한차이방법의 중심적 역할을 한다.

일반적으로 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$으로 표시된 차이 연산자는 함수 f를 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$[ f ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Delta [f]}$에 의해 정의된$$ 함수 Δ[${\displaystyle f}$]에 매핑하는 연산자다.

${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$

차이 방정식은 유한 차이 연산자를 파생상품과 동일한 방법으로 포함하는 함수 방정식이다. 차이 방정식과 미분 방정식은 특히 해결 방법에서 많은 유사점이 있다. 일정한 재발관계는 반복 표기법을 유한차이로 대체함으로써 차이 방정식으로 쓸 수 있다.

수치해석에서는 유한차이가 근사파생상품에 널리 사용되고 있으며, "최종차이"라는 용어는 "파생상품의 최종차이 근사치"^[1][2][3]의 약어로 자주 사용된다. 유한 차이 근사치는 위에서 채택한 용어의 유한 차이 인용이다.

유한차이는 1715년 브룩 테일러에 의해 도입되었으며, 조지 불(1860), L. M. 밀네 톰슨(1933), 카롤리 요르단(1939)의 작품에서도 추상적인 자기 서열 수학 대상으로 연구되어 왔다. 유한한 차이는 그들의 기원을 조스트 뷔르기의 알고리즘 중 하나(1592년)c.로 거슬러 올라가며 아이작 뉴턴을 포함한 다른 사람들에 의해 작용한다. 유한차이의 형식 미적분은 인피니티미탈의 미적분학의 대안으로 볼 수 있다.^[4]

기본형식

세 가지 기본 유형이 일반적으로 고려된다: 전방, 후방 및 중심 유한 차이.^[1][2][3]

함수 f의 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \Delta _{h}[f],}$로 표시된 전방 차이는 다음과 같이 정의된 함수다.

${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$

용도에 따라 간격 h는 가변적이거나 일정할 수 있다. 생략할 경우 h는 1로 간주된다. 즉,

${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$

후진 차이는 x + h 및 x의 값 대신 x와 x - h의 함수 값을 사용한다.

${\displaystyle \nabla _{h](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$

마지막으로 중심적인 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle \delta _{h](x)=f(x+{\tfrac{h}{h}{2}}:-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f]+\nabla _{h/2}[f](x)}).}$

파생상품과의 관계

유한차이는 흔히 파생상품의 근사치로 사용되며, 일반적으로 수적으로 분화된다.

점 x에서 함수 f의 파생상품은 한계에 의해 정의된다.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

h가 0에 접근하는 대신 고정된 (0이 아닌) 값을 갖는 경우, 위의 방정식의 오른쪽이 기록될 것이다.

${\displaystyle {\f(x+h)-f(x)}{h}={{h}={\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}}.}$

따라서 h로 나눈 전방 차이는 h가 작을 때 파생상품에 가깝다. 이 근사치의 오차는 테일러의 정리에서 도출할 수 있다. f가 두 배나 다를 수 있다고 가정하면,

${\displaystyle {\frac {\delta_{h}[f](x)}{h}-f'=O(h)\to 0\quad {\text{as }to.}$

동일한 공식은 후진 차이를 나타낸다.

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}(x){h}-f'=O(h)\to 0\quad{\text{}as }o.}$

그러나 중심(중심이라고도 함) 차이가 더 정확한 근사치를 산출한다. 만약 f가 3배 차이가 난다면

${\displaystyle {\frac {\property_{h}[f](x)}{h}-f'(x)=O\왼쪽(h^{2}\오른쪽).}$

그러나 중심 차이 방법의 가장 큰^{[citation needed]} 문제는 진동 함수가 파생상품 0을 산출할 수 있다는 것이다. f(nh)가 n 홀수의 경우 1이고, f(nh)가 n의 짝수인 경우 2인 경우, 중심 차이 체계로 계산된 경우 f ((nh) = 0이다. 이것은 특히 f의 영역이 별개라면 골칫거리다. 대칭 파생 모델 참조

유한 차이 근사치가 유한 차이 근사치를 의미하는 저자는 (이전 절에서 주어진 정의를 채택하는 대신) 이 절에 주어진 인용구로 전방/후방/중심 차이를 정의한다.^[1][2][3]

고차

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "완료 차이점" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2018년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

유사한 방법으로, 고차파생상품과 차등사업자에 대한 유한차근 근사치를 구할 수 있다. 예를 들어, f′를 위한 위 중심 차분 수식을 사용하여(x+.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:0.0.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}h/2)x에서 f′()− h/2)와 f의 도함수에 대한 중심 차분 공식′, 우리는 두번째의 중심 차분 근사를 얻게 된다. f의 도함수:

2차 중앙

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

마찬가지로 우리는 다른 차이점 보관 공식을 반복적으로 적용할 수 있다.

2차 주문 포워드

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

두 번째 순서는 뒤로

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

보다 일반적으로 n번째 순서는 전진, 후진, 중심 차이에 의해 각각 주어진다.

앞으로

${\displaystyle \Delta \{h}^{n}{h}^{n}(x)=\sum _{n=0}^{n-i}{n}{n}}{bigl (}x+ih{\bigr )}}},}$

또는 h = 1에 대해,

${\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n}-1}-1)^{n-k}f(x+k)}$

후진

${\displaystyle \h}^{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n1}-1)^{{n}{binom {n}{n}{i}f(x-ih),}}$

중앙

${\displaystyle \i1}^{h}^{n}{n}=\sum _{i=0}^{n1}-1)^{{n}{n}{n}{n}f\좌측(x+\좌측){n}{n}{2}}-i\우측)h\우측).}$

이러한 방정식은 ()ⁿ
_i로 표시된 합계 부호 뒤에 이항 계수를 사용한다. 파스칼 삼각형의 각 행은 i의 각 값에 대한 계수를 제공한다.

홀수 n의 경우 중심 차이가 비정수자에 h를 곱한다는 점에 유의하십시오. 이것은 종종 탈피 간격을 바꾸는 것에 해당하기 때문에 문제가 된다. Δⁿ[ f ](x - h/2) 및 Δⁿ[ f ](x + h/2)의 평균을 취하여 문제를 해결할 수 있다.

시퀀스에 적용되는 전방 차이는 시퀀스의 이항 변환이라고도 하며, 여러 가지 흥미로운 결합 특성을 가지고 있다. 전방 차이는 Nörlund-Rice 적분을 사용해 평가할 수 있다. 이러한 유형의 시리즈에 대한 적분 표현은 흥미로운데, 이는 적분들은 종종 점근 확장 또는 안장 지점 기법을 사용하여 평가할 수 있기 때문이다. 반대로, 전방 차이 시리즈는 큰 n에 대해 이항 계수가 빠르게 증가하기 때문에 수적으로 평가하기가 매우 어려울 수 있다.

각 파생상품과 이러한 고차이의 관계는 간단하다.

${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).}$

또한 더 나은 근사치를 구성하기 위해 고차 차이를 사용할 수 있다. 위에서 언급한 바와 같이, 1차적 차이는 1차적 파생상품과 최대 1차적 파생상품과 거의 일치한다. 하지만, 그 조합은

${\displaystyle {\frac{\f](x)-{\frac{1}{1}:{h}{{h}^{2}[f](x)}{h}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+f)+3f(x)}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

약 f ′(x)는 주문 h의² 기간까지이다. 이는 테일러 시리즈에서 위의 표현을 확장하거나, 아래에 설명한 유한차이의 미적분학을 사용하여 증명할 수 있다.

필요한 경우, 유한차이는 전방, 후방, 중심차이를 혼합하여 어떤 점에도 중심을 맞출 수 있다.

임의 크기 커널

선형대수를 사용하면 임의의 수의 좌점을 이용하는 유한한 차이 근사치를 구성할 수 있으며, 임의의 순서 파생상품에 대해 평가점 우측에 (아마도 다른) 점 수를 이용할 수 있다. 여기에는 평가 지점 주변의 점수 합계의 테일러 확장이 원하는 파생 모델의 테일러 확장에 가장 근접한 선형 시스템을 해결하는 것이 포함된다. 그러한 공식은 육각형 또는 다이아몬드 모양의 그리드에 그래픽으로 표현될 수 있다.^[5]

이것은 그리드의 가장자리에 접근할 때 한쪽 면에 있는 점의 수가 점점 줄어들어야 하는 그리드에서 함수를 구별하는 데 유용하다.

자세한 내용은 이 주석에 요약되어 있다.

유한 차이 계수 계산기는 임의의 스텐실 및 원하는 파생상품 순서가 주어지는 비표준(및 심지어 비정수) 스텐실에 대한 유한 차이 근사치를 구성한다.

특성.

• 모든 양의 k와 n에 대해

${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$

• 라이프니츠 규칙:

${\displaystyle \Delta \{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{k}}}\Delta _{h}^{n-k}(f,x)\Delta _{n-k}(g,x+kh).}$

미분 방정식에서

유한차이의 중요한 적용은 수치해석에 있으며, 특히 일반 미분방정식과 부분 미분방정식의 수치해결을 목표로 한다. 이 개념은 미분방정식에 나타나는 파생상품을 그에 근접한 유한차이로 대체하는 것이다. 그 결과로 생기는 방법을 유한차이법이라고 한다.

유한 차이 방법의 일반적인 적용은 열 공학, 유체 역학 등과 같은 계산 과학 및 공학 분야에 있다.

뉴턴 시리즈

뉴턴 시리즈는 아이작 뉴턴의 이름을 딴 뉴턴 포워드 차이 방정식의 용어로 구성된다. 본질적으로 뉴턴 보간 공식으로 1687년 그의 프린세스 매머티카에서 처음 출판된 뉴턴 보간 공식,^[6] 즉 연속 테일러 팽창의 이산 아날로그,

이는 모든 다항 함수 f와 많은 (전부는 아니지만) 분석 함수들을 보유한다(f가 지수 유형 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$일 때는 유지되지 않는다$.$ 이는 사인 함수가 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}의 정수 배수에서 사라지므로 쉽게 알 수 있으며$,$ 해당 뉴턴 시리즈는 모든 유한 차이와 동일하게 0이다.이 경우 s는 0이다. 그러나 분명히 사인 함수는 0이 아니다. 여기, 그 표현은

${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$

이항계수로서

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}$

빈 제품(x)₀은 1로 정의되는 반면, "하위 요인" 또는 "하위 요인"이다. 이 특별한 경우에, 아래 일반화의 x, h = 1 값 변동에 대한 단위 단계의 가정이 있다.

이 결과의 공식적 대응과 테일러의 정리를 주목하라. 역사적으로, 이것은 추-반데르몽드 정체성과 더불어,

${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{n}}{k}}}{n-k}\, (y)_{k}},}$

(그것에서 나온 것으로서, 그리고 이항 정리에 해당)은 탯줄 미적분학 계통에 성숙된 관찰에 포함된다.

뉴턴 시리즈 확장은 양자 스핀(Holstein-Primakoff_transformation 참조), 보소닉 연산자 함수 또는 이산 계산 통계량과 같은 이산 수량에 적용될 때 테일러 시리즈 팽창보다 우수할 수 있다.^[7]

실제 실천에서 뉴턴의 공식을 어떻게 사용할 수 있는지 설명하려면, Fibonacci 시퀀스 f = 2, 4, ...를 두 배로 증가시키는 처음 몇 개의 항을 고려하십시오. 먼저₀ 차이 표를 계산한 다음 x(밑줄)에 해당하는 차이를 다음과 같은 공식으로 대체함으로써 이러한 값을 재현하는 다항식을 찾을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{행렬}{\begin{배열}{cccc}\hline x&,f=\Delta ^{0}&amp을 말한다.\Delta ^{1}&.\Delta ^{2}\\\hline 1&,{\underline{2}}&&\\&,&{\underline{0}}&\\2&, 2&,&{\underline{2}}\\&,&2&, \\3&, 4&, &, \\\hline \end{배열}}&\quad{\begin{정렬}())&,=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot{\dfrac{(x-x_{0})_{1}}{1!}}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}:{2!}}\cHB(x_{0}=1)\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}+2\dfrac {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\&=2+(x-1)\\end(x-1)\injusted{ned}}}}}}}$

x 값에서 균일하지 않은 단계의 경우, 뉴턴은 분할된 차이를 계산한다.

${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$

일련의 제품들,

${\displaystyle {P_{0}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\오른쪽),}$

그 결과 다항식은 ^[8]스칼라 제품이고

${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle P}$ (${\displaystyle \xi }$) ${\$ $$.

p-adic 숫자로 분석하면서, 말러의 정리는 f가 다항 함수라는 가정은 f가 단지 연속적이라는 가정까지 약화될 수 있다고 기술하고 있다.

칼슨의 정리는 뉴턴 시리즈가 존재한다면 그 시리즈가 독특하기 위해 필요하고 충분한 조건을 제공한다. 그러나 뉴턴 시리즈는 일반적으로 존재하지 않는다.

뉴턴 시리즈는 스털링 시리즈, 셀버그 시리즈와 함께 일반적인 차이 시리즈의 특수한 경우로서, 모두 적절히 스케일링된 전진차이의 관점에서 정의된다.

압축되고 약간 더 일반적인 형태와 등거리 노드에서 공식은 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}}{j=0}^{k-1)^{{k-j}{j}{j}{j}{j}}{j}}{j}}}f(a+jh).}$

유한차이의 미적분학

전방차이는 함수 f를 Δ_h[ f ^[9][10]]에 매핑하는 연산자로, 차이 연산자라고 할 수 있다. 이 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I,}$

여기서 T는_h 스텝 h를 가진 시프트 연산자로, T_h[ f ](x) = f(x + h)로 정의되며, I는 ID 연산자다.

상위 순서의 유한 차이는 Δⁿ
_h Δ Δ(Δ_h^{n − 1}
_h)로 재귀적으로 정의할 수 있다. 또 다른 등가 정의는 Δⁿ
_h = [T_h - I]ⁿ이다.

차이 연산자 Δ는_h 선형_h 연산자로, Δ[αf + βg](x_h) = α Δ[ f ](x_h) + β Δ[g][x)]를 만족한다.

또한 위에 표시된 Δ_h(f (x)g(x)) = Δf (x) g(x+h) + f (x) Δg(_hx)를 만족한다. 유사한 진술이 후방과 중앙의 차이를 나타낸다.

h에 대해 Taylor 시리즈를 공식적으로 적용하면 공식이 산출된다.

${\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e}^{hD}-I,}$

여기서 D는 연속체 파생상품 연산자를 나타내며, f를 그것의 파생상품 f ′에 매핑한다. 팽창은 양쪽이 충분히 작은 h에 대해 분석 기능에 대해 행동할 때 유효하다. 따라서, T_h = e^hD, 그리고 공식적으로 지수 산출량을 반전시킨다.

${\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h}=\delta _{h}-{\tfrac {1}:{1}2}}\delta _{h}^{2}+{{1}}}}}\tfrac _{h}-\cdots.}$

이 공식은 두 연산자가 다항식(다항식)에 적용할 때 동일한 결과를 제공한다는 것을 의미한다.

분석 기능의 경우에도 오른쪽의 영상 시리즈는 수렴이 보장되지 않는다. 점근성 시리즈일 수 있다. 그러나 파생상품에 대한 더 정확한 근사치를 얻기 위해 사용할 수 있다. 예를 들어 시리즈의 처음 두 항을 유지하면 고차 차이 섹션의 끝에 언급된 f ′(x)에 대한 2차 근사치가 나온다.

후진 및 중심 차이 연산자에 대한 유사한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h)\quad {\text{and}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{1}2}}\delta _{h}\오른쪽)}$

유한차이의 미적분은 결합학의 탯줄 미적분과 관련이 있다. 이 눈에 띄게 체계적인 대응은 연속 아날로그에 대한 탯줄 수량의 정류자의 정체성(h → 0 한계)에 기인한다.

함수 f(x)를 포함하는 표준 미적분학의 많은 수의 공식 미분 관계는 f(xT⁻¹
_h)를 포함하는 탯랄 유한 차이 아날로그에 체계적으로 매핑된다.

예를 들어, 단일 x의ⁿ 탯줄 아날로그는 위의 하강 요인(Pochhammer k-symbol)을 일반화한 것이다.

${\displaystyle ~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\오른쪽)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )}}$

하도록

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$

따라서 위의 뉴턴 보간 공식(이러한 기호에서 임의 함수 f(x)의 확장에 있어 계수를 일치시킴) 등.

예를 들어, 탯줄 사인(bumbral sine)은

$\displaystyle \sin \left(x\,T_{h}^{-1}\오른쪽)=x-{\frac {(x)_{3}}{3}}{3!}}}+{\frac {(x)_{5}}{5}{5!}}-{\frac {(x)_{7}{7}}{7!}}}+\cdots }$

연속체 한계에서와 같이 Δ_h/h의 고유함수도 지수함수로서 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

따라서 푸리에의 연속함수의 합계는 탯줄 푸리에 합계에 충실하게 매핑된다. 즉, 이러한 탯줄 지수들에 곱한 동일한 푸리에 계수를 포함한다.^[11] 따라서 이 탯줄 지수란 포하머 기호의 지수 생성 함수에 해당한다.

예를 들어, 디락 델타 함수는 탯줄 통신원, 즉 기본 사인 함수에 매핑된다.

${\displaystyle \ch(x)\mapsto {\frac {\sin \좌측[{\frac {\pi }{2}}\좌측(1+{\frac {h}{h}\우측)}}{\pi (x+h)},},},}$

등등의^[12] 차이 방정식은 종종 미분 방정식을 푸는 것과 매우 유사한 기법으로 해결할 수 있다.

전방 차이 연산자의 역 연산자, 즉 탯줄 적분은 무한 합계 또는 반분 연산자다.

유한차이 연산자의 미적분법 규칙

파생상품을 찾는 규칙과 유사하게 다음과 같은 사항을 제공한다.

• 상수 규칙: c가 상수라면

${\displaystyle \Delta c=0}$

• 선형성: a와 b가 상수인 경우,

$[\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$

위의 모든 규칙은 Δ에 대한 ∇을 포함하여 모든 차이 연산자에게 동등하게 적용된다.

• 제품 규칙:

${\displaystyle {\begin{ligned}\Delta g+g\\Delta g+g\\Delta f\\Delta g\\\nabla g\\\\nabla g&=f\\\nabla f\\\\\naffline}$

• 지수 규칙:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}}$

또는

${\displaystyle \efla\frac {f}{g}\오른쪽)={\frac {g\,\f-f\,\fla g}{g\cdot(g-\\cdla g)}}}}}$

• 요약 규칙:

${\displaystyle {\begin}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(a+1)-f(a-1)\\sum _{n=a}^{n=a}\nabla f(n)&=f(a-1)\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

참조를 참조하십시오.^{[13][14][15][16]}

일반화

• 일반화된 유한차이는 보통 다음과 같이 정의된다.
  $${\displaystyle \Delta _{h}^{h}^{h}}\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}}$$

  
  여기서 μ = (μ₀, …, μ_N)는 계수 벡터다. 무한차이(infinite difference)는 위의 유한 합이 무한 계열로 대체되는 추가적인 일반화다. 일반화의 또 다른 방법은 계수 μ를_k 점 x: μ_k = μ_k(x)에 의존하게 하여 가중 유한 차이를 고려하는 것이다. 또한 step h를 점 x에 의존하게 할 수도 있다: h = h(x) 그러한 일반화는 다른 연속성 계수를 구축하는 데 유용하다.
• 일반화된 차이는 다항 링 R[T_h]으로 볼 수 있다. 그것은 알헤브라를 다르게 만든다.
• 차이 오퍼레이터는 부분적으로 주문한 세트에 대해 뫼비우스 역전을 일반화한다.
• 콘볼루션 운영자로서: 발생 알헤브라의 형식주의를 통해 차이 연산자와 다른 뫼비우스 역전은 뫼비우스 함수 μ라고 하는 포셋에 함수를 가진 콘볼루션으로 나타낼 수 있다. 차이 연산자의 경우 μ는 시퀀스(1, -1, 0, 0, 0, …)이다.

다변량 유한차이

유한차이는 둘 이상의 변수에서 고려할 수 있다. 그것들은 몇 가지 변수에서 부분파생상품과 유사하다.

일부 부분파생상품 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{정렬}}}$

대안적으로 f의 계산이 가장 비용이 많이 드는 단계이며, 첫 번째와 두 번째 파생상품을 모두 계산해야 하는 어플리케이션의 경우, 마지막 경우에 대한 보다 효율적인 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle f_{xy}(x,y)\대략 {\frac(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x,y)+2f(x-h,y)+f(x,y-k)+f(x-h,y-k){2h,}}}}}}$

앞의 네 방정식에 이미 필요하지 않은 유일한 계산 값은 f(x + h, y + k)와 f(x - h, y - k)뿐이기 때문이다.

참고 항목

참조

• 리처드슨, C. H. (1954): 유한차이의 미적분학 소개
• Mickens, R. E. (1991): 차이 방정식: 이론 및 응용(Chapman 및 Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

외부 링크

• "Finite-difference calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 다음을 사용하여 생성된 유용한 유한 차이 공식 표 매스매티카
• D. Gleich (2005), 유한 미적분학: 고약한 합계 해결을 위한 자습서
• 불규칙한 간격의 점으로부터의 이산형 두 번째 파생상품