폴리로가리듬

수학에서 다변량(Alfred Jonquiere의 함수라고도 함)은 순서 s와 인수 z의 특수 함수 Li_s(z)이다. s의 특별한 값에 대해서만 다변량 로그는 자연 로그나 합리적인 함수와 같은 기본적인 함수로 감소한다. 양자 통계에서 다로그아립트 함수는 페르미-디락 분포와 보스-아인슈타인 분포의 폐쇄된 형태의 통합으로 나타나며, 페르미-디락 적분 또는 보스-아인슈타인 적분이라고도 한다. 양자 전자역학에서는 고차 파인만 다이어그램으로 대표되는 공정의 계산에서 양의 정수 순서의 폴리 로가리듬이 발생한다.

폴리로가리템 함수는 허위츠 제타 함수와 동등하며, 두 함수는 다른 함수로 표현될 수 있으며, 두 함수는 레르치 초월성의 특별한 경우다. 다변량 로그는 다변량 함수와 혼동해서는 안 되며, 동일한 표기법을 가지고 있지만 하나의 변수를 갖는 오프셋 로그 적분과 혼동해서는 안 된다.

• 복합 평면에서 다른 다변량 함수의 함수
• 

  리₋₃(z)

• 

  리₋₂(z)

• 

  리₋₁(z)

• 

  리₀(z)

• 

  리₁(z)

• 

  리₂(z)

• 

  리₃(z)

다변량 함수는 z 단위의 파워 시리즈에 의해 정의되며, 또한 s 단위의 디리클레 시리즈:

이 정의는 임의의 복잡한 순서 s와 z < 1이 있는 모든 복잡한 인수 z에 유효하며, 분석적 연속성 과정에 의해 z ≥ 1로 확장될 수 있다. (여기서 분모 n은^s exp(s ln(n))로 이해된다.) 특수경우 s = 1은 일반적인 자연 로그인 Li₁(z) = -ln(1-z)을 포함하며, 특수경우 s = 2와 s = 3은 각각 딜로가림(스펜스의 함수라고도 함)과 3엽합체라고 한다. 함수의 이름은 함수의 반복적 적분으로 정의될 수 있다는 사실에서 유래한다.

따라서 dilogarithm은 로그 등을 포함하는 함수의 적분이다. 비양수 정수 순서 s의 경우 다변량 함수는 합리적인 함수다.

특성.

다각측량 순서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$이(가) 정수인$$ 경우 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}($또는 음수일 경우$$${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n})$으로 표시된다. 그것은 종종 μ을 정의할)ln ⁡(z)은 때때로 ⁡(z){\displaystyle \operatorname{단풍잎}(z)}은 너무− π<>는 복잡한 로그;나는(μ)≤ π ⁡의 ln⁡(z){\displaystyle \ln(z)}이 주요 지점{\displaystyle \mu =\ln(z)}.{\displaystyle -\pi<>\operatorname{ 난}(\mu)\leq \pi.}또한 알 편리하다.나는 exponentation은 z ${\displaystyle s^{}}$= ${\displaystyle \exp }$exp (${\displaystyle }$s ${\displaystyle \ln }$n${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln($z)))로 가정한다.$}$

$순서$의 s$${\$displaystyle s$에 따라 다변량 값이 다중값일 수 있다. Li신규의 주요한 가지 ⁡(z){\displaystyle \operatorname{Li}_ᆫ(z)}z<>가 주어질, 위의 시리즈 정의로 1{\displaystyle z<1}, 상처 z1{\displaystyle z=1}∞{\displaystyle \infty로 이루어져는 긍정적인 진정한 축을 제외하고 연속으로 찍힌다.} 이러한는 축은 z{z\displaystyle}의 하단 절반을 비행기에.μ{\displaystyle \mu}의 측면에서 놓고, 그 − π<>arg ⁡(− μ)≤ π{\displaystyle -\pi<>\operatorname{아그}(-\mu)\leq \pi}.μ{\displaystyle \mu}에 대한 의존성의 polylogarithm의 불연속성이 때때로con 수 있다.혼합.

$실제{\displaystyle }$ 인수 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 경우$,$ ${\displaystyle }$< 1 ${\displaystyle$ $z<1$ 그리고 z {$$1 {\displaystyle z$\geq 1}$에 대한 가상 부분이 (우드 1992, § 3)인 경우 실제 순서 $s{\displaystyle }$ {\$displaysty s}$의 다각형이 현실이다$$.

컷을 통과하여 ε이 무한히 작은 양의 실수인 경우, 다음과 같이 처리한다.

두 가지 모두 약 µ = 0의 Li_s(e^µ)의 시리즈 확장(아래 참조)에서 결론을 내릴 수 있다.

다변량 분석의 파생상품은 정의 권력 시리즈에서 다음과 같다.

제곱 관계는 시리즈 정의에서 볼 수 있으며, 중복 공식과 관련이 있다(Clunie(1954년), Schrödinger(1952) 참조).

쿠머의 기능은 매우 유사한 복제 공식을 따른다. 이것은 모든 양의 정수 p:에 대한 곱셈 공식의 특별한 경우다.

다중 로그의 직렬 정의와 지수 항의 직교성을 사용하여 증명할 수 있다(예: 이산 푸리에 변환 참조).

또 다른 중요한 속성인 반전 공식은 후르비츠 제타 함수 또는 베르누이 다항식 함수를 포함하며, 아래의 다른 함수와의 관계에서 발견된다.

특정 값

특별한 경우, 다변량(polylogarithm)은 다른 기능(아래 참조)으로 표현할 수 있다. 따라서 다항목에 대한 특정 값은 이러한 다른 함수의 특정 값으로도 찾을 수 있다.

1. 다로그순서의 정수 값의 경우, Li₁(z)에 z·limit/limitz를 반복적으로 적용하여 다음과 같은 명시적 표현을 얻는다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over(1-z)^{2}}}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over(1-z)^{3}}}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over(1-z)^{4}}}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2} \over(1-z)^{5}.}$$

   
   따라서 다항식(polylogarithm)은 z의 다항식(polynomials) 비율로 감소하며, 따라서 모든 비양수 정수 순서에 대해 z의 합리적인 함수가 된다. 일반적인 경우는 유한한 합으로 표현할 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\왼쪽(z{\partial \partial z}\오른쪽)^{n}{z \over{1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\왼쪽({z \over {1-z}}\오른쪽)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots )}$$

   
   여기서 S(n,k)는 두 번째 종류의 스털링 번호다. 음의 정수 순서에 적용되는 등가 공식은 다음과 같다(Wood 1992, § 6).
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\왼쪽({{-1} \{1-z}}\오른쪽)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$

   
   및:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1\over (1-z)^{n+1}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n atop k}\rigle z^{n-k}\qquad(n=1,2,3,\ldots)}),})$$

   
   여기서 $⟨{\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$n$\atop k}\right\angle }$은(는) 오일러 숫자다. Li_−n(z)의 모든 루트는 구별되고 실제적이며, z = 0을 포함하며, 나머지는 음수이고 로그 척도에서 z = -1을 중심으로 한다. n이 커짐에 따라 이러한 이성적 표현에 대한 수치적 평가는 점점 취소로 인해 어려움을 겪게 된다(Wood 1992, § 6). 그러나 Hurwitz zeta 함수와의 일반적인 관계를 통해 Li_−n(z)를 계산함으로써 완전한 정확성을 얻을 수 있다(아래 참조).
2. 인수 z의 반정수 값에 대한 일부 특정 표현식은 다음과 같다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{1}{2}}:={\tfrac {1}{12}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{1}{1}{1}{{1}(\ln 2)^{2}}:$$

   
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{1}{1}{6}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{1}}-{12}}\pi ^{2}\tfrac {7}}}}}제타(3),}$$

   
   여기서 ζ은 리만 제타 함수다. 이러한 유형의 공식은 정수 순서가 높은 것으로 알려져 있지 않지만(Lewin 1991, 페이지 2), 예를 들면 다음과 같다(Borwein, Borwein & Girgenson 1995).
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$

   
   2분의 1을 교대로 합쳐서
   $${\displaystyle \jeta({\bar{3},{\bar {1})=\sum _{m>n}0(-1)^{m+n^{-3}n^{-1}.}$$

   
   일반적으로 정수의 순서는 n 2 2 (Broadhurst 1996, 페이지 9):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\제타({\bar {1}, {\bar {{1},\reft\{1\}^{n-2}),}$$

   
   여기서 ζ(s₁, …, s_k)는 다중 제타 함수(예:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta({\bar {1},{1}, 1,1,1)}$$

   
3. 직렬 정의의 직접적인 결과로서, 통합의 p번째 복합적 뿌리에서 다변량 값은 푸리에 합에 의해 다음과 같이 주어진다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p}) _{k=1}\sum _{k=1}e^{p^{2\pi imk/p}\제타(s, {\tfrac {k}{p}}}}})\qquad(m=1,2,\dots,p-1}),}}$$

   
   여기서 ζ은 후르비츠 제타 함수다. Li_s(1)가 유한한 Re(s) > 1의 경우, 관계도 m = 0 또는 m = p로 유지된다. 이 공식은 아래의 다른 기능과의 관계 하에 열거된 허위츠 제타 함수와의 보다 일반적인 관계가 함축된 것만큼 단순하지는 않지만, s의 비음수 정수 값에도 적용할 수 있는 장점이 있다. 평소와 같이 관계를 반전시켜 m = 1, …,_p p를 k = 1, …에 대한 Li의_s^k 푸리에 합으로 표현할 수 있다._p

다른 기능과의 관계

• z = 1의 경우 폴리 로가리듬이 Riemann 제타 함수로 감소함
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\제타(s)\qquad(\operatorname {Re}s)>1.}$$

  
• 폴리로그리듬은 Dirichlet eta 함수 및 Dirichlet 베타 함수와 관련이 있다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta,}$$

  
  여기서 η은 디리클레 에타 함수다. 순수한 상상의 논쟁에 대해 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta(s)\pm i\beta(s),}$$

  
  여기서 β(s)는 디리클레 베타 함수다.
• 폴리로그리듬은 다음과 같이 완전한 페르미-디락 적분과 관련이 있다.
  $${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$

  
• 다로그는 불완전한 다로그 함수의 특별한 경우다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$

  
• 폴리로그리템은 르르흐 초월체의 특별한 경우다(Erdelyi et al. 1981, § 1.11-14).
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi(z,s,1).}$$

  
• 폴리로그리듬은 허위츠 제타 함수에 다음과 같은 방법으로 관련된다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$

  
  그러나 이 관계는 감마함수 γ(1 - s)의 극에 의한 양의 정수 s와 두 제타 함수의 극에 의한 s = 0으로 무효화된다. 이 공식의 도출은 아래의 직렬 표현에 따라 주어진다. Hurwitz zeta 함수에 대한 함수 방정식의 약간의 도움을 받으면, 다변량도 결과적으로 (Jonquiere 1889)을 통해 그 함수와 관련이 있다.
  $${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix}) _{s} _{s}(e^{-2\pi ix}}={(2\pi )^} \over \Gamma(s)\zeta(1-s,x)}),}$$

  
  이 관계는 임(x)이 0일 경우 0 ≤ Re(x) < 1을 유지하고, 임(x)이 0일 경우 0 < Re(x) 1을 유지한다. 모든 복합 s와 복합 z ] ]0;1에 대해 동등하게, 반전 공식은 다음과 같다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$

  
  그리고 모든 복합 s와 복합 z ] ]1;∞[]에 대하여
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$

  
  z ∉ ]0;∞[ 1은 ln(-z) = -ln(-⁄)¹_z을 가지며, 두 식이 모두 일치한다. 이러한 관계는 정의 권력 시리즈의 수렴 z = 1을 넘어 다변량 연속 분석을 제공한다. (Jonquiere (1889, eq. 5)와 Erdelyi 외 연구진 (1981, § 1.11-16)의 해당 방정식은 다로그와 로그의 주요 분기가 동시에 사용된다고 가정할 경우 정확하지 않다.) s가 정수일 경우 단순화된 공식은 다음 항목을 참조하십시오.
• 양의 정수 다변량 명령 s의 경우, Hurwitz zeta 함수 ζ(1-s, x)는 베르누이 다항식, ζ(1-n, x) = -B_n(x) / n으로 감소하며, n = 1, 2, 3 …에 대한 Jonquiere의 반전 공식은 다음과 같이 된다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \overn!}B_{n}(x),}$$

  
  where again 0 ≤ Re(x) < 1 if Im(x) ≥ 0, and 0 < Re(x) ≤ 1 if Im(x) < 0. Upon restriction of the polylogarithm argument to the unit circle, Im(x) = 0, the left hand side of this formula simplifies to 2 Re(Li_n(e^2πix)) if n is even, and to 2i Im(Li_n(e^2πix)) if n is odd. 반면에 음의 정수 순서의 경우, γ의 차이는 다음과 같은 모든 z를 암시한다(Erdelyi et al. 1981, § 1.11-17).
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad(n=1,2,\ldots).}$$

  
  보다 일반적으로 n = 0, ±1, ±2, ±3에 대해 다음을 가진다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}}{n}\왼쪽({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}\}\right)\qquad(z\not \in ]0;1]),}$$

  
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}}{n}\왼쪽({\frac {1}{1}{2}}-{\ln(-1/z) {2\pi i}\\오른쪽)\qquad(z\not \in ~]1;\inflt []),}$$

  
  여기서 두 식이 모두 z ] ]0;∞[]에 동의한다. (Jonquiere(1889, eq. 1)과 Erdelyi 외 연구진(1981, § 1.11-18)의 해당 방정식은 다시 정확하지 않다.)
• 순수한 가상의 μ를 갖는 폴리로그리듬은 클로스겐 함수Ci_s(Ci)와_s Si(Si)의 관점에서 표현될 수 있으며, 그 반대의 경우도 가능하다(Lewin 1958, 7장 1.4, Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8).
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta).}$$

  
• 역접선 적분Ti_s(z) (Lewin 1958, Cha. VII § 1.2)는 다항분석의 단위로 표현할 수 있다.
  $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$

  
  특히 그 관계는 다음을 암시한다.
  $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$

  
  함수 이름이 설명되는군
• Legendre chi 함수_s(z) (Lewin 1958, Cha. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992)는 다변량(polylogarithms) 단위로 표현할 수 있다.
  $${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{1}{1}:{2}}\왼쪽[\operatorname {Li}_{s}-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$

  
• 정수 순서의 폴리로그는 일반화된 초기하 함수로 표현될 수 있다.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots,1,2,\dots,2;z)\qquad(n=0,1,1,2,\ldots )}$$

  
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}=z_{n-1}F_{n-1}(2,2,\dots,2,1,1,\dots,1;z)\qquad(n=1,2,3,\ldots )~.}$$

  
• 불완전한 제타 함수 또는 "Debye 함수"(Abramowitz & Stegun 1972, § 27.1):
  $${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over(n-1)!}\int _{z}^{\infit }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$

  
  양의 정수 n에 대한 다각측량 Li_n(z)는 유한 합으로 표현될 수 있다(Wood 1992, § 16).
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu }}=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad(n=1,2,3,\ldots).}$$

  
  상당히 유사한 표현식은 "Debye 함수" Z_n(z)와 다변량(polylogarithm:
  $${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad(n=1,2,\ldots).}$$

  
• Lambert ${\displaystyle \mathrm{시리즈}}$를 사용하여 $J{\displaystyle {}_{}{s}_{}}$( n$$) {\$displaystyle J_{s}($n)}이(가) Jordan의 토털 함수라면,
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}z}}$$

  

적분표현

다음 적분 표현 중 하나는 정의 전력 시리즈의 수렴원 z = 1을 넘어 다변량 연속 분석을 제공한다.

1. 다변량 로그는 보세-아인슈타인 분포의 적분 단위로 표시할 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma(s)\int_{0}^{\ft }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$

   
   이것은 re(s) > 0과 z real과 ≥ 1을 제외한 모든 z에 수렴한다. 이 맥락에서 다변량(polylogarithm)은 때때로 보세 적분(Bose integrity)이라고 부르지만, 더 흔히 보세-아인슈타인 적분(Bose-Einstein integrity)이라고 부른다.^[1] 이와 유사하게, 다변량 로그는 페르미-디락 분포의 적분으로 표현될 수 있다.
   $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}-z={\frac {1}{\frac {1}{0}^{\int _{0}{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$

   
   이것은 re(s) > 0과 z real과 and -1을 제외한 모든 z에 수렴한다. 이 맥락에서 다변량(polylogarithm)은 페르미 적분 또는 페르미-디락 적분^[2](GSL 2010)이라고도 한다. 이러한 표현은 통합의 Taylor 확장에 의해 z 및 용어 통합과 관련하여 쉽게 검증된다. 딩글의 논문에는 두 종류의 통합에 대한 상세한 조사가 수록되어 있다. 폴리로그는 맥스웰-볼츠만 분포의 적분과도 관련이 있다.
   $${\displaystyle \lim_{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li}_{s}{z}}}}}={1 \over \감마(s)\int _{0}^{t^{s-1e^{-t}dt=1.}$$

   
   이것은 또한 원산지 근처에서 다목적의 점근거동을 준다.
2. 보완적 적분 표현은 z real과 < 0을 제외한 모든 z에 적용된다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int_{0}^{0}{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$

   
   이 적분은 Hurwitz zeta 함수(위 참조) 및 후자의 친숙한 적분 표현과 폴리로그의 일반적인 관계에서 따온 것이다.
3. 다변량 로그는 일반적으로 보세-아인슈타인 표현을 음의 순서로 확장하는 행클 등고선 적분(Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13)으로 나타낼 수 있다. 통합체의 t = μpole이 음이 아닌 실제 축에 놓여 있지 않는 한, s ≠ 1, 2, 3, …은 다음과 같다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu }}=-{\\\s) \over {2\pi i}\}\point _{H}{-t)^{s-1}{e^{t-\mu }-1}{1}:{s-1dt}$$

   
   여기서 H는 행클 윤곽선을 나타낸다. 통합은 0에서 무한대로의 실제 축을 따라 절단되며 축은 t의 하단 반면에 속한다. 통합은 상부 하프 평면에서 +∞(Im(t) > 0)에서 시작하여 극 t = µ + 2kπi 중 어느 것도 감싸지 않고 원점을 원을 그리며, 하부 하프 평면에서 +∞(Im(t) < 0)에서 종료한다. µ가 실제이고 음이 아닌 경우, 동봉된 t = µpole의 기여도를 단순히 뺄 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma(1-s) \over {2\pi i}\}\point _{H}{-t){s-1}{e^{{t-\mu }}}{1}d-2\pi iR}$$

   
   여기서 R은 폴의 잔류물이다.
   $${\displaystyle R={i \over 2\pi }\감마(1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$

   
4. 아벨-Plana 공식을 폴리로그의 정의 시리즈에 적용할 때, 모든 복합 z와 모든 복합 s에 유효한 헤르미테 형태의 적분 표현 결과:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$

   
   여기서 γ은 상부 불완전 감마함수다. 이 식에서 ln(z)의 모든(부분은 아님)은 -ln(½)¹_z으로 대체할 수 있다. 모든 복잡한 s에도 적용되는 관련 표현,
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int_{0}^{0}{0}{0}^{0}\infractan t-t\ln(-z)}{{1+t^{2}{s/}sinh(\pi t)d},d}}},}}}}}}},}}}$$

   
   만약 Re(s)≤ 0입니다. 이 표현이 Φ는 레르히 대령으로 지금 초월적 존재에− zΦ(다음, s, 1), Φ(다음, s, 1⁄2)고 첫 Φ 시리즈와 1/(e2πt이 포함된 보완적 공식에 Abel–Plana 공식을 적용하는 2초씩 Lis(−z)/(−z))을 써서 발견된 불완전 감마 함수의 z에 대한 긍정적인 실축에서를 사용하지만, 이 적분 실패 Avoids.+1)나는1 / (e^2πt - 1)의 n 자리와 두 번째 φ 시리즈.
5. 에서 인용한 바와 같이, ${\displaystyle s\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$에 대한 일반적인 기하학적 시리즈를 용어로 통합하여 다변량(polylogarithm)에 대한 적분을 표현할 수 있다.^[3]
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot(-1)^{s}}{s!}}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}dt.}$$

   

시리즈 표현

1. 위의 적분 표현에서 언급한 바와 같이, 다변량 표기는 한클 등고선 통합을 통해 음의 순서로 확장될 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu }})=-{\Gamma(1-s) \over 2\pi i}\point _{H}{-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }dt,},}$$

   
   여기서 H는 한클 등고선, s ≠ 1, 2, 3, …이며, 통합의 t = μ극은 음이 아닌 실제 축에 놓여 있지 않다. 등고선은 t - µ = 2kπi로 통합의 극을 둘러싸도록 수정할 수 있으며, 적분은 잔여물의 합으로 평가할 수 있다(우드 1992, § 12, 13, Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.553 harvnb 오류: 대상 없음: SITREFGradshynryhik1980).
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu }}=\감마(1-s)\sum _{k=-\infit }^{\infit }}}(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$

   
   이^μ 값은 Re(s) < 0과 e = 1을 제외한 모든 μ를 지탱한다. 0 < Im(µ) ≤ 2π의 경우 합을 다음과 같이 나눌 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$

   
   현재 두 시리즈를 Hurwitz zeta 기능으로 식별할 수 있는 위치:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$

   
   위의 다른 기능과 이미 관계가 부여된 이 관계는 모든 복합 s ≠ 0, 1, 2, 3을 유지하며 (Jonquiere 1889, eq. 6)에서 처음 도출되었다.
2. 폴리 로가리듬을 µ = 0에 대한 파워 시리즈로 표현하기 위해 Hankel 등고선 적분에서 파생된 시리즈를 다음과 같이 기록한다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$

   
   합계의 이항력이 µ = 0 정도 확장되고 합계의 순서를 반대로 했을 때 h에 대한 합은 다음과 같이 닫힌 형태로 표현할 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\감마(1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\inft }{\zeta(s-k) \over k!}}\mu ^{k}.}$$

   
   이 결과는 µ < 2㎛ 그리고, 제타함수에 의해 제공되는 분석적 연속성 덕분에 모든 s 1 1, 2, 3 … . 순서가 양의 정수라면 s = n이면 k = n - 1을 가진 항과 감마함수의 합은 아니지만 모두 무한대가 된다. 1개 획득(Wood 1992, § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.554 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFGradshynRyzhik1980 (도움말)):
   $$\displaystyle \lim _{s\to k+1}\왼쪽[{\제타(s-k) \overk!}\mu ^{k}+\감마 (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}}\왼쪽[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\오른쪽,}$$

   
   여기서 h에 대한 합은 k = 0이면 사라진다. 따라서 양의 정수 순서와 μ < 2 μs의 경우 다음과 같은 시리즈가 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu }}={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}}\왼쪽[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\nta(n-k) \over k!}}\mu ^{k}}$$

   
   여기서 H는_n n번째 고조파 수를 나타낸다.
   $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$

   
   현재 문제 용어에는 -ln(-μ)이 포함되어 있는데, μ를ⁿ⁻¹ 곱하면 n = 1을 제외하고 μ → 0으로 0이 된다. 이는 다음과 같은_s 이유로 Li(z)가 s = 1과 z = 1에서 참 로그 특이성을 보인다는 사실을 반영한다.
   $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\감마(1-s)(-\mu )^{s-1=0\qquad(\operatorname {Re}s)>1).}$$

   
   s에 가깝지만 같지는 않은 양의 정수에 대해 µ = 0에 대한 팽창의 상이한 항은 계산상의 어려움을 야기할 것으로 예상할 수 있다(Wood 1992, § 9). ln(½)¹_z이 -ln(z)과 균일하게 같지 않기 때문에 ln(z)의 주요 분기와 logarithm의 주 분기가 동시에 사용된다고 가정할 경우, ln(z)의 힘에서 Erdelyi의 상응하는 팽창(Erdelyi et al. 1981, § 1.11-15)은 정확하지 않다. s의 비양수 정수 값의 경우, 약 µ = 0 확장 시 제타 함수 ζ(s - k)는 베르누이 숫자로 감소한다: :(-n - k) = -B_1+n+k /(1 + n + k). 이 시리즈에 의한 Li_−n(z)에 대한 수치평가는 위의 특정 값에 따라 주어진 유한한 합리적 표현들이 큰 n에 대해 나타내는 취소 효과에 시달리지 않는다.
3. ID를 사용하여
   $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma(s)}\int _{0}^{\not^{-t^{-t^{s-1}dt\qquad(\operatorname {Re}s)>0),}$$

   
   다변량(위 참조)의 보세-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같은 형태로 주조할 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$

   
   쌍곡선 코탄젠트를 쌍곡선 시리즈로 대체하고,
   $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\nft }^{\nft }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z}}$$

   
   그런 다음 적분 및 합계의 순서를 반대로 하고 마지막으로 상한 불완전 감마 함수의 적분 표현을 사용하여 합계를 식별하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infit }^{\nft }{\gma(1-s,2k\pi i-\ln z) \over{1-s}.}$$

   
   이 결과와 쌍곡선 코탄젠트의 경우 모두 -k에서_max k까지의_max 대칭 부분 합계가 k_max → ∞으로 무조건 수렴된다. 합계가 대칭적으로 수행된다면, Li_s(z)는 모든 복합 s뿐만 아니라 모든 복합 z도 보유한다.
4. 두 번째 종류의 스털링 숫자에 대한 명시적 표현식을 비양수 정수 순서의 다변량(위 참조)에 대한 유한 합계에 도입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\왼쪽({-z \over 1-z}\오른쪽)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(1)^{j+1}{k \선택 j}(j+1)^{n}\qquad(n=0,1,2,\ldots).}$$

   
   단순히 외측 합계를 ∞(Guillera & Sondow 2008, Organization 2.1)으로 확장함으로써 얻은 무한 시리즈:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infit }\왼쪽({-z \over 1-z}\오른쪽)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(1)^{j+1}{k \선택 j}(j+1)^{s}}$$

   
   모든 복합 s에 대해, 그리고 복합 z에 대해, 합계 순서를 거꾸로 하고 다음을 사용하여 ^−z_(1−z)½ < ₂½>에 대해 검증할 수 있듯이, 복합 z에 대해 모든 복합 s에 대해, 그리고 ₂복합 z에 대해 수렴하는 것으로 밝혀졌다.
   $${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infit }{k \선택 j}\왼쪽-z \over 1-z}\오른쪽)^{k+1}=\left[\left-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}}$$

   
   이러한 계열의 내부 계수는 일반화된 고조파 수를 포함하는 스털링 숫자 관련 공식으로 표현할 수 있다. 예를 들어 다음 ID의 증거(증거 참조)를 찾기 위한 함수 변환 생성을 참조하십시오.
   $${\displaystyle {\begin}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(1)^{j-1}}}{2}}\왼쪽(H_{j}^{2}+)H_{j}^{j}^{(2)}\오른쪽){\frac{z^{j}{j}}{j+1}}{j+1}}\1-z)}\\\\opername {Li}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{j-1}}}}{6}}}}}}{{j^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{j^}}}}}H_{j}H_{j}^{(2)+2H_{j}^{{j}^{(3)}\오른쪽){\frac {z^{j}}{{(1-z)^{j+1}}}.\end{정렬}}}$$

   
   Re(z) < ₂½이 있는 다른 주장의 경우, 분석적 연속성에 의해 결과가 뒤따른다. 이 절차는 오일러의 변환을 다로그를 정의하는 z의 시리즈에 적용하는 것과 같다.

점근팽창

z ≫ 1의 경우 ln(-z):

여기서 B는_2k 베르누이 숫자다. 두 버전 모두 모든 s 및 임의의 arg(z)에 대해 유지된다. 통상적으로, 합계는 용어의 크기가 커지기 시작할 때 종료되어야 한다. 음의 정수 s의 경우 팽창은 완전히 사라지며, 음이 아닌 정수 s의 경우 한정된 수의 항 후에 분리된다. Wood(1992, § 11)는 보스-아인슈타인 적분표현으로부터 이러한 시리즈를 얻기 위한 방법을 설명한다(Li_s(e^µ)에 대한 그의 방정식 11.2는 -2㎛ <임(µ) ≤ 0을 요구한다).

제한행동

이 절의 사실적 정확성은 논쟁의 여지가 있다. 관련 토론은 토크에서 확인할 수 있다.폴리로그리듬. 논쟁의 여지가 있는 진술이 안정적으로 소싱되도록 도와주십시오. (2021년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

다각측량(Polylogarithm, 1992년 § 22)의 다양한 표현으로부터 다음과 같은 한계가 나타난다.

우드의 Re(µ) → ∞에 대한 첫 번째 한계는 그의 방정식 11.3에 따라 수정되었다. Re(s) → -properties에 대한 한계는 Hurwitz zeta 함수(위 참조)와 폴리 로가리듬의 일반적인 관계에서 나타난다.

딜로가리스름

dilogarithm은 순서 s = 2. 임의 복합 인수 z에 대한 dilogarithm의 대체 적분 표현은 다음과 같다(Abramowitz & Stegun 1972, § 27.7).

혼동의 근원은 일부 컴퓨터 대수 시스템이 딜로가리듬을 딜로그(z) = Li₂(1-z)로 정의한다는 것이다.

real z ≥ 1의 경우 dilogarithm의 첫 번째 적분 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 ln(t-1)을 확장하고 기간별로 용어를 통합한다.

딜로가리듬에 대한 아벨 정체는 (Abel 1881)에 의해 주어진다.

이는 즉시 x = 0 또는 y = 0으로 유지되는 것으로 보이며, 일반적인 인수의 경우 분화 differentiation/∂x ∂/∂y에 의해 쉽게 검증된다. y = 1-x의 경우 ID가 오일러의 반사 공식으로 감소함

여기서 Li₂(1) = ζ(2) = ₆½ = ½π이² 사용되었고 x는 어떤 복잡한 값도 취할 수 있다.

새로운 변수 u = x/(1-y), v = y/(1-x) 아벨 ID 판독값

이는 (Rogers 1907)에 주어진 오각형 아이덴티티에 해당한다.

x = y = 1-z에 대한 아벨 정체성과 우리는 랜든의 정체성을 가지고 있다.

그리고 각 희석액에 반사 공식을 적용하면 반전 공식을 찾을 수 있다.

그리고 real z ≥ 1 또한

특수 논거에서 희석액에 대한 알려진 폐쇄형 평가는 아래 표에 수집된다. 첫 번째 열의 주장은 반영 x 1-x파운드 또는 반전 x ½ _x~ 0 또는 x = -1에 의해 관련된다. 세 번째 열의 주장은 모두 이러한 연산에 의해 상호 관련된다.

맥시몬(2003)은 17세기에서 19세기의 참고 문헌을 논한다. 반사 공식은 오일러(Maximon 2003, § 10)의 1768년 책에 등장하기 전인 1760년 랜든에 의해 이미 출판되었다. 아벨이 1826년(Zagier 1989, § 2)에 원고를 쓰기 전인 1809년 스펜스에 의해 아벨의 정체성과 동등한 것이 이미 출판되었다. 빌로가리스미슈(bilogarithmische)라는 명칭은 1828년(Maximon 2003, § 10) 칼 요한 다니엘슨 힐(스웨덴 룬드의 교수)에 의해 도입되었다. 돈 자기에(1989)는 희석이리템이 유머감각을 가진 유일한 수학 함수라고 말했다.

딜로가리듬의 특수 값

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}\pi ^{2}}$	$-\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{10}\pi ^{2}-\ln ^{2}\pi }$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	$-1/\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{15}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{1}{1}:{2}}\ln ^{2}\pi }}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}:}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{1}{1}{1}\ln ^{2}}$	${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}\pi ^{2}}$	$"/\displaystaystyle 1/\phi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}\pi ^{2}-\pi i\ln 2}$	$\displaystyle \phi }$	${\displaystyle {\tfrac {11}{15}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{1}:{1}{1}\ln ^{2}(-1/\phi )}}$
		${\displaystyle \phi ^{2}}$	${\displaystyle -{\tfrac {11}{15}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )}$

여기서$\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle 5}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{1$}:{2$}}({\sqrt{5}+1$)은 황금 비율을 나타낸다$$.

폴리로가리듬 사다리

레오나드 르윈은 다원적 가치관 위에서 다수의 고전적 관계를 특별하고 광범위하게 일반화한다는 것을 발견했다. 이것들은 현재 다층 사다리라고 불린다. ratio${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ (${\displaystyle 5}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{1$}:{2$}}({\sqrt{5}-1)$을 황금 비율의 역수로 정의하십시오. 그렇다면 희석 래더의 두 가지 간단한 예는 다음과 같다.

Coxeter(1935년)가 준 것 랜든이 준 다층 사다리들은 K 이론과 대수 기하학에서 자연스럽고 깊게 발생한다. 다각측량 사다리들은 BBP 알고리즘을 통해 다양한 수학 상수의 신속한 계산에 대한 기초를 제공한다(Bailey, Borwein & Plouffe 1997).

모노드로미

다변량에는 두 개의 분기점이 있다. 하나는 z = 1이고 다른 하나는 z = 0이다. 두 번째 분기점(z = 0)은 다각측량 주 시트에서 볼 수 없으며, 기능이 다른 시트까지 분석적으로 계속되어야만 볼 수 있다. 다목적의 모노드로미 그룹은 두 가지 지점 둘레를 감는 루프의 호모토피 등급으로 구성된다. 이 둘을 m과₀ m로₁ 나타내며, 모노드로미 그룹은 그룹 프레젠테이션을 한다.

dilogarithm의 특수한 경우에 대해서도 wm₀ = mw를₀ 가지고 있으며, 모노드로미 집단은 하이젠베르크 집단이 된다(x₀, y, z로 m, m₁, w를 식별). (베프스타스 2008)

참조

• 아벨, N.H.(1881년)[1826년]."참고)x+x222+x332+⋯+)nn2+⋯{\displaystyle\scriptstyle\psi x=x+{\frac{x^{2}}{2^{2}}}와{\frac{x^{3}}{3^{2}}}+\cdots+{\frac{x^{n}}{{2}}}+\cdots n^}드 라 fonction ψ xsur"(PDF).Sylow, L., 리, S(eds.)에서.제édition, 그들 2세(프랑스어로)− 닐스 헨리크 아벨 드 complètes Œuvres.크리스티아니아[오슬로]:Grøndahl&Søn.를 대신하여 서명함. 189–193.(이인 1826년 원고만 사후에 출판되었다.).
• Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Apostol, T.M. (2010), "Polylogarithm", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S. (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Bailey, D.H.; Broadhurst, D.J. (June 20, 1999). "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder". arXiv:math.CA/9906134.
• Berndt, B.C. (1994). Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag. pp. 323–326. ISBN 978-0-387-94109-7.
• Boersma, J.; Dempsey, J.P. (1992). "On the evaluation of Legendre's chi-function". Mathematics of Computation. 59 (199): 157–163. doi:10.2307/2152987. JSTOR 2152987.
• Borwein, D.; Borwein, J.M.; Girgensohn, R. (1995). "Explicit evaluation of Euler sums" (PDF). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Series 2. 38 (2): 277–294. doi:10.1017/S0013091500019088.
• Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. (2001). "Special Values of Multiple Polylogarithms". Transactions of the American Mathematical Society. 353 (3): 907–941. arXiv:math/9910045. doi:10.1090/S0002-9947-00-02616-7. S2CID 11373360.
• Broadhurst, D.J. (April 21, 1996). "On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory". arXiv:hep-th/9604128.
• Clunie, J. (1954). "On Bose-Einstein functions". Proceedings of the Physical Society. Series A. 67 (7): 632–636. Bibcode:1954PPSA...67..632C. doi:10.1088/0370-1298/67/7/308.
• Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. (1992). "A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder" (PS). Experimental Mathematics. 1 (1): 25–34.
• Coxeter, H.S.M. (1935). "The functions of Schläfli and Lobatschefsky". Quarterly Journal of Mathematics. 6 (1): 13–29. Bibcode:1935QJMat...6...13C. doi:10.1093/qmath/os-6.1.13. JFM 61.0395.02.
• Cvijovic, D.; Klinowski, J. (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
• Cvijovic, D. (2007). "New integral representations of the polylogarithm function". Proceedings of the Royal Society A. 463 (2080): 897–905. arXiv:0911.4452. Bibcode:2007RSPSA.463..897C. doi:10.1098/rspa.2006.1794. S2CID 115156743.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.G. (1981). Higher Transcendental Functions, Vol. 1 (PDF). Malabar, FL: R.E. Krieger Publishing. ISBN 978-0-89874-206-0. (1953년 맥그로-힐 원작의 재인쇄다.)
• Fornberg, B.; Kölbig, K.S. (1975). "Complex zeros of the Jonquière or polylogarithm function". Mathematics of Computation. 29 (130): 582–599. doi:10.2307/2005579. JSTOR 2005579.
• GNU Scientific Library (2010). "Reference Manual". Retrieved 2010-06-13.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "9.553.". In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. p. 1050. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
• Guillera, J.; Sondow, J. (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 119131640.
• Hain, R.M. (March 25, 1992). "Classical polylogarithms". arXiv:alg-geom/9202022.
• Jahnke, E.; Emde, F. (1945). Tables of Functions with Formulae and Curves (4th ed.). New York: Dover Publications.
• Jonquière, A. (1889). "Note sur la série ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}$" (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France (in French). 17: 142–152. doi:10.24033/bsmf.392. JFM 21.0246.02.
• Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. (1970). "On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation". BIT. 10: 38–74. doi:10.1007/BF01940890. S2CID 119672619.
• Kirillov, A.N. (1995). "Dilogarithm identities". Progress of Theoretical Physics Supplement. 118: 61–142. arXiv:hep-th/9408113. Bibcode:1995PThPS.118...61K. doi:10.1143/PTPS.118.61. S2CID 119177149.
• Lewin, L. (1958). Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald. MR 0105524.
• Lewin, L. (1981). Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland. ISBN 978-0-444-00550-2.
• Lewin, L., ed. (1991). Structural Properties of Polylogarithms. Mathematical Surveys and Monographs. 37. Providence, RI: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-1634-9.
• Markman, B. (1965). "The Riemann Zeta Function". BIT. 5: 138–141.
• Maximon, L.C. (2003). "The Dilogarithm Function for Complex Argument". Proceedings of the Royal Society A. 459 (2039): 2807–2819. Bibcode:2003RSPSA.459.2807M. doi:10.1098/rspa.2003.1156. S2CID 122271244.
• McDougall, J.; Stoner, E.C. (1938). "The computation of Fermi-Dirac functions". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 237 (773): 67–104. Bibcode:1938RSPTA.237...67M. doi:10.1098/rsta.1938.0004. JFM 64.1500.04.
• Nielsen, N. (1909). "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie". Nova Acta Leopoldina (in German). Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121–212. JFM 40.0478.01.
• Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A. (1990). Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-682-1. (§ 1.2, "일반화된 제타 함수, 베르누이 다항식, 오일러 다항식 및 다항식", 페이지 23 참조)
• Robinson, J.E. (1951). "Note on the Bose-Einstein integral functions". Physical Review. Series 2. 83 (3): 678–679. Bibcode:1951PhRv...83..678R. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
• Rogers, L.J. (1907). "On function sum theorems connected with the series ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}}$". Proceedings of the London Mathematical Society (2). 4 (1): 169–189. doi:10.1112/plms/s2-4.1.169. JFM 37.0428.03.
• Schrödinger, E. (1952). Statistical Thermodynamics (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press.
• Truesdell, C. (1945). "On a function which occurs in the theory of the structure of polymers". Annals of Mathematics. Second Series. 46 (1): 144–157. doi:10.2307/1969153. JSTOR 1969153.
• Vepstas, L. (2008). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". Numerical Algorithms. 47 (3): 211–252. arXiv:math.CA/0702243. Bibcode:2008NuAlg..47..211V. doi:10.1007/s11075-007-9153-8. S2CID 15131811.
• Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. (본판은 여러 번 재인쇄되었으며, 1996년판 페이퍼백에는 ISBN 0-521-09189-6이 있다.)
• Wirtinger, W. (1905). "Über eine besondere Dirichletsche Reihe". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German). 1905 (129): 214–219. doi:10.1515/crll.1905.129.214. JFM 37.0434.01. S2CID 199545536.
• Wood, D.C. (June 1992). "The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92*" (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory. Retrieved 2005-11-01.
• Zagier, D(1989년)."기하학과 정수론에서의 그 dilogarithm 기능".번호 이론과 관련 토픽:신문들은 그 전 라마누잔 콜로퀴움, 봄베이, 1988년에 발표된.수학의 연구. 12.봄베이:타타 연구소 기초적 연구와 옥스퍼드 대학 출판부.를 대신하여 서명함. 231–249.아이 에스비엔 0-19-562367-3.(또한"그 유명한 dilogarithm"로 저널 수학 및 물리적의 과학 22(1988년 나타났다),를 대신하여 서명함. 131–145,장 1세(2007년Zagier).).
• Zagier, D. (2007). "The Dilogarithm Function" (PDF). In Cartier, P.E.; et al. (eds.). Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. Berlin: Springer-Verlag. pp. 3–65. ISBN 978-3-540-30307-7.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Polylogarithm". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Dilogarithm". MathWorld.
• 분석적 숫자 이론의 알고리즘은 임의의 정밀도, GMP 기반의 GPL 면허 구현을 제공한다.