베르누이 수

수학에서, 베르누이_n 수 B는 해석에서 자주 발생하는 유리수의 수열이다.베르누이 수는 탄젠트 함수와 쌍곡선 탄젠트 함수의 테일러 급수 확장, 첫 번째 n개의 양의 정수의 m번째 거듭제곱의 합에 대한 Faulhaber 공식, 오일러-맥로린 공식, 그리고 리만 제타 함수의 특정 값에 대한 식에 나타난다.

처음 20개의 베르누이 숫자의 값은 인접한 표에 나와 있습니다.${\displaystyle {문헌}_{}^{}}$에는 B n${\displaystyle {}_{}^{}}$-$${\$displaystyle B_{n}^{-{}}$ $및{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle B_{}^{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}^{}}$$$+ {\$displaystyle B_{n$로 표시된 두 가지 규칙이 사용됩니다. $여기$서 ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}^{}}$1 -${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 1}$ /$$ (\$displaystyle$ B_{1}^{-{} = 1 /$2$ + 2 )${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 / 2 = 1 = 1 = 1 / 2 ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1}$로 표시됩니다.dd n > 1, B_n = 0. 짝수 n > 0에 대해_n n이 4로 나누어지면 B가 음수이고 그렇지 않으면 양수입니다.베르누이 숫자는 B${\displaystyle {}_n^{}}$${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle B_{}}$n (${\displaystyle 0}$)$$( { $displaystyle$ $B$$$_ {$n$$$} ) = B _ {$n$$$} ( 0 ) = $B$_ {n } ( 0 )$$= ${\displaystyle B_{}^{}}$_ {${\displaystyle n_{}}$ } ( 0${\displaystyle }$) 및 B +${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ B ( 1 { + n )의 특수값입니다$.$

베르누이 숫자는 비슷한 시기에 스위스 수학자 야콥 베르누이(Jacob Bernouli)에 의해 발견되었고, 일본 수학자 세키 다카카즈(Seki Takakazu)에 의해 독립적으로 명명되었다.세키의 발견은 1712년^[2][3][4] 그의 작품인 가쓰요 산포에, 베르누이의 유작인 1713년 아르스 추측에 발표되었다.1842년 해석 엔진에 관한 Ada Lovelace의 노트 G는 배비지의 ^[5]기계로 베르누이 수를 생성하는 알고리즘을 기술하고 있다.그 결과 베르누이 숫자는 최초로 공개된 복잡한 컴퓨터 프로그램의 대상이 되는 특징을 가지고 있다.

이 글에서 사용된 위첨자 ±는 베르누이 숫자에 대한 두 개의 기호 규칙을 구분한다.n = 1 항만 영향을 받습니다.

• B⁻
  _n⁻
  ₁ = -1/2인 B(OEIS: A027641 / OEIS: A027642)는 NIST와 대부분의 최신 ^[6]교과서에서 규정한 부호 규칙이다.
• B⁺
  _n = +1/2인⁺
  ₁ B(OEIS: A164555 / OEIS: A027642)는 구 ^[1]문헌에서 사용되었으며, (2022년부터) 피터 러쉬니의^[7] "베르누이 선언"^[8]에 따라 도널드 크누스에 의해 사용되었다.

아래 공식에서 B ${\displaystyle n_{}^{}}$+ $=$( -${\displaystyle {}^{}1}$) ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle B_{}^{}}$-$${$style$ B_${n$}^+}= $11)^{n}B_{n$ $관계$를 갖는 기호 규칙에서 다른 기호로 전환할 수 있으며, 정수 n = 2 이상인 경우에는 무시하기만 하면 됩니다.

모든_n 홀수 n > 1에 대해 B = 0이고, 많은 공식들이 짝수 지수 베르누이 수만을 포함하므로, 몇몇 저자들은 B 대신_2n "B_n"를 쓴다.이 글은 그 표기법을 따르지 않는다.

역사

초기 역사

베르누이 수는 고대부터 수학자들이 관심을 가져왔던 정수 거듭제곱의 계산의 초기 역사에 뿌리를 두고 있습니다.

세키 다카카즈의 가쓰요 산포(1712년)에서 이항계수와 베르누이 수를 표로 나타낸 페이지

처음 n개의 양의 정수의 합, 제곱의 합, 그리고 처음 n개의 양의 정수의 세제곱의 합을 계산하는 방법은 알려져 있었지만, 실제 '공식'은 없었고, 말로만 설명되었다.이 문제를 고려했던 고대 위대한 수학자들 중에는 피타고라스 (기원전 572년 경-497년, 그리스), 아르키메데스 (기원전 287년–212년, 이탈리아), 아리아바하타 (기원전 476년, 인도), 아부 바크르 알-카라지 (기원전 1019년, 페르시아), 아부 알리 알-하스 이븐 알-하스 이븐 알-이 있었다.

16세기 후반과 17세기 초반에 수학자들은 상당한 발전을 이루었다.영국의 웨스트 토마스 해리오 (1560–1621)에서 독일의 요한 파울하베르 (1580–1635), 피에르 드 페르마 (1601–1665), 그리고 동료 프랑스 수학자 블레즈 파스칼 (1623–1662)은 모두 중요한 역할을 했습니다.

토머스 해리엇은 상징적 표기법을 사용하여 멱합에 대한 공식을 도출하고 쓴 최초의 사람으로 보이지만, 그조차도 4제곱합까지만 계산했다.요한 포크하버는 1631년 그의 학술 대수학에서 17제곱까지의 거듭제곱에 대한 공식을 제시했는데, 그는 일반적인 공식을 제시하지 않았다.

1654년 블레이즈 파스칼은 p = 0, 1, 2, ..., k에 대한 처음 n개의 양의 정수의 p제곱의 합계와 관련된 파스칼의 동일성을 증명했다.

스위스의 수학자 야콥 베르누이 (1654–1705)는 B, B₁, B₂, B, …의₀ 단일 수열의 존재를 최초로 깨달은 사람이다.모든 ^[9]힘의 합계에 대해 균일한 공식을 제공합니다.

베르누이가 어떤 양의 정수 c에 대한 c제곱의 합계에 대한 공식의 계수를 빠르고 쉽게 계산하는 데 필요한 패턴을 발견했을 때 경험한 기쁨은 그의 논평에서 알 수 있다.그는 다음과 같이 썼다.

이 표를 이용해 처음 1000개의 숫자를 합산하면 91,409,924,241,424,243,424,924,241,924,242,500의 합이 된다는 것을 알아내는 데 30분도 걸리지 않았습니다.

베르누이의 결과는 1713년 Ars Expectandi에 사후에 발표되었다.다카카즈 세키는 독자적으로 베르누이 숫자를 발견하여 1년 전인 1712년에 ^[2]사후에 출판되었다.그러나, 세키는 그의 방법을 일련의 상수에 기초한 공식으로 제시하지 않았다.

베르누이의 거듭제곱 공식은 현재까지 가장 유용하고 일반화 가능한 공식이다.베르누이 공식의 계수는 이제 아브라함 드 모아브르의 제안에 따라 베르누이 수라고 불립니다.

베르누이의 공식은 힘의 합을 계산하는 놀라운 방법을 찾았지만 베르누이의 공식은 언급하지 않은 요한 파울하버의 이름을 따서 때때로 포울하버의 공식이라고 불립니다.Knuth에^[9] 따르면 Faulhaber 공식의 엄격한 증거는 1834년 ^[10]Carl Jacobi에 의해 처음 출판되었다.폴하버 공식에 대한 Knuth의 심층 연구는 다음과 같이 마무리된다(LHS의 비표준 표기법은 더 자세히 설명된다).

Faulhaber는 베르누이 숫자를 발견하지 못했다; 즉, 그는 단 하나의 상수열도 B₀, B₁, B₂, B, B, ...는 유니폼이 될 것이다.

${\displaystyle \sum n^{m}=subfrac {1}{m+1}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}n^{m}+{\binom {m+1}n^{m}+{\cdots}$

또는

${\displaystyle \sum n^{m}=subfrac {1}{m+1}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m}{-{}n^{m}+{\binom {m+1}{m}+{\binom {m}{m}{m}+{cdots}+{cd}B_{n^{{{{cd})$

모든 힘을 합쳐서 말이야예를 들어, 그는 그의 공식을 변환한 후 계수의 거의 절반이 0으로 판명되었다는 사실을 언급하지 않았다. σn^m N의 다항식에서 ^[11]N의 다항식으로요."

산매포테스타툼 재건

야콥 베르누이의 "Summae Potestatum", 1713^[a]

${\displaystyle}$

베르누이 수: A164555(n)/OEIS: A027642(n)는 야콥 베르누이에 의해 1713년 97페이지에 사후에 출판된 책 Ars Expectandi에서 소개되었다.주요 공식은 해당 팩시밀리 후반부에서 확인할 수 있습니다.베르누이에 의해 A, B, C, D로 표시된 상수 계수는 현재 A = B₂, B = B₄, C = B₆, D = B로₈ 널리 사용되는 표기법에 매핑된다.c·c-1·c-2·c-3은 c·(c-1)·(c-2)·(c-3)를 의미하며, 작은 점은 그룹 기호로 사용됩니다.오늘날의 용어를 사용하면 이러한 식은 요인 거듭제곱^k c가 됩니다.1 × 2 × ...의 단축키로서 요인 표기 k!를 사용합니다. × k는 100년이 지나서야 도입되었다.왼쪽의 적분 기호는 1675년 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)로 거슬러 올라가는데, 그는 그것을 "summa"(섬)^[b]의 긴 글자 S로 사용했다.왼쪽의 문자 n은 합계의 지표가 아니지만 1, 2, ..., n으로 이해되는 합계의 범위의 상한을 제공한다. 양의 c에 대해, 오늘날 수학자는 베르누이의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{c+1}}{c+}+{\frac {1}{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}.$

이 공식은 짝수 지수 2, 4, 6...만을 사용하는 이른바 '비교적' 열거에서 현대적 형태로 전환할 때 B = 1/2를₁ 설정하는 것을 제안한다(다음 단락의 다른 규칙에 대한 자세한 내용은 참조).이러한 맥락에서 가장 놀라운 점은 하강 요인^k−1 c의 k = 0에 대한 값이 1/c +^[12] 1이라는 사실입니다.베르누이의 공식은 이렇게 쓰여질 수 있다.

$\displaystyle \sum _{k=1}^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

B = 1/2일 경우₁ 베르누이가 해당 위치에서 계수에 준 값을 다시 획득합니다.

위의 Bernouli 인용문의 전반부에 있는${\displaystyle \underset{\delta k}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle {1nk\mathrm{}}^{}}$9(\$displaystyle$ $\textstyle$$$$\$$sum$ _${k=$$1}^{$$n$$}})$ 공식은$$ 마지막 항의 오류를 포함하고 ${\displaystyle \frac{\mathrm{있으며}}{}}$,${\displaystyle }$1 - $12nstyle$이$$아닌${\displaystyle }$$-$이어야 합니다$.$

정의들

베르누이 숫자에 대한 많은 특징들이 지난 300년 동안 발견되었고, 각각은 이 숫자들을 소개하는데 사용될 수 있었다.여기에서는 가장 유용한 세 가지 항목만 언급합니다.

• 재귀 방정식
• 명시적 공식,
• 생성 함수

세 가지 ^[13]접근법이 동등하다는 증거.

재귀적 정의

베르누이 수는 합계를^[1] 따른다

${\displaystyle {displaystyle}\sum _{k=0}{m}{\binom {m+1}{k}{k}{{k}}&=\delta _{m,0}{m}{\sum _m+1}{k}{\delta _{m,0}{k}{m}{m}{m}{\delta _m,0}{m}{m}{m}{m,0}{m}{m}{m}{\displaysty}{\displaysty$

$여기$서 m ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0,1}$, 2${\displaystyle \mathrm{...}}$${\displaystyle m=0,1,2...$} 및 θ는 크로네커 델타이다$.$${\displaystyle B_{}^{}}$ m ${\$ { $display$ B _ { $m$}^{ \ $mp$ { $}$ gives에$$ $대한{\displaystyle {}_{}^{}}$ 해결은 재귀 공식을 제공합니다.

$디스플레이 스타일B_{m}^{-{}}&=_{m,0}-\sum_{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}{\frac {B_{k}^{-{}}{m-k+1}}\\delta _{m,0}-}\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}{\frac {B_{k}^+}{m-k+1}}.\end { aligned}}$

명시적 정의

1893년 루이 살슈츠는 베르누이 ^[14]숫자에 대한 총 38개의 명시적 공식들을 열거했는데, 이는 보통 오래된 문헌에서 몇 가지 참조를 제공한다.그 중 하나는 다음과 같습니다(m$$ $1$의 $경우{\displaystyle }$ {$displaystyle$ m$\geq$1의 경우).$$

$디스플레이 스타일B_{m}^{-{}&={k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}{\frac {v^{m}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=_{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{\frac {(v+1)^{m}{k+1}}.\end { aligned}}$

생성함수

지수 생성 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {t} {t} {e^{t}-1}}&=flac {t} {2}}\left(\operatorname {coth} {t} {2}}-1\오른쪽)&=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&=flac {t}{2}\left(\operatorname {coth}{2}}+1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end {alignedat}}$

여기서 $대체$는 t ${\displaystyle \to }$ -$$t {$displaystyle$ t$\to -t$입니다.

(일반) 생성 함수

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty}B_{m}^{+}z^{m}$

점근 급수입니다.삼각함수 ψ가₁ 포함되어 있습니다.

베르누이 수와 리만 제타 함수

리만 제타 함수에 의해 주어진 베르누이 수.

베르누이 수는 리만 제타 함수로 표현될 수 있다.

B⁺
_n = -nµ(1 - n) (n µ 1의 경우).

여기서 제타 함수의 인수는 0 또는 음수입니다.

제타 함수 방정식과 감마 반사 공식에 의해 다음과 같은 관계를 ^[15]얻을 수 있다.

$displaystyle B$$n$$}{(2\$pi)^{$2n}}\zeta(2n)\$seta$}($n 1 1).

이제 제타 함수의 인수는 긍정적입니다.

그런 다음 it → 1 (n → ))과 스털링의 공식에서 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}{}_{}}$~ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {\mu n\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ n ${\displaystyle {\frac{\pi }{}}^{}}$e ) ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ \ $displaystyle$ B _ { $2n$} \ $sim$ 4$sqrt${$pi$ n } \$frac${ $n$} { \ $pi$ e} \ right )^$2n$} \ $sim$$$（ n ） 。

베르누이 수의 효율적인 계산

일부 어플리케이션에서는 베르누이 수₀ B~B_{p − 3} 모듈로 p를 계산할 수 있습니다.여기서 p는 소수입니다.예를 들어 Vandiver의 추측이 p를 유지하는지 여부를 테스트하거나 심지어 p가 불규칙한 소수인지를 판별하는 데에도 유용합니다.적어도 (일정한) p의 산술 연산이 필요하기 때문에 위의 재귀 공식을 사용하여 이러한 계산을 수행하는 것은 적어도 (정수² 배수의) p개의 산술 연산이 필요하기 때문입니다.다행히 O(p(log p)² 연산만 필요한 더 빠른 방법이 개발되었습니다^[16](큰 O 표기법 참조).

David^[17] Harvey는 많은 작은 소수 p에 대해 B 모듈로_n p를 계산하고, 그리고 나서 중국의 나머지 정리를 통해 B를 재구성함으로써_n 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 설명한다.Harvey는 이 알고리즘의 점근적 시간 복잡도는 O(n² log(^{2 + ε}n))이며, 이 구현이 다른 방법에 기초한 구현보다 훨씬 빠르다고 주장한다.이 구현을 사용하여 Harvey는 n = 10에⁸ 대해 B를 계산했다_n.Harvey의 실장은 버전 3.1부터 SageMath에 포함되어 있습니다.이에 앞서 Bernd^[18] Kellner는 2002년 12월 n = 10에⁶ 대해 B를 완전 정밀도로 계산했고_n 2008년 4월 Mathematica를 사용하여 n = 10에⁷ 대해 Oleksandr Pavlyk를^[19] 계산했다.

컴퓨터.	연도	n	숫자*
J. 베르누이	~1689	10	1
L. 오일러	1748	30	8
J. C. 애덤스	1878	62	36
D. E. 크누스, T. J. 벅홀츠	1967	1672년	3330
G. Fee, S. Pluffe	1996	10000	27677
G. Fee, S. Pluffe	1996	100000	376755
B. C. 켈너	2002	1000000	4767529
O. 파블릭	2008	10000000	57675260
D. 하비	2008	100000000	676752569

* 정규화된 과학적 표기법에서 B를 실수로 표기할 경우_n 자릿수는 10의 지수로 이해해야 한다.

Julia 프로그래밍 언어에서 베르누이 숫자를 계산하는 가능한 알고리즘은 다음과^[14] 같습니다.

b    = 어레이{플로트64}(정의하지 않다, n+1) b[1] = 1 b[2] = -0.5 위해서 m=2:n      위해서 k=0:m         위해서 v=0:k             b[m+1] += (-1)^v * 이항식의(k,v) * v^(m) / (k+1)         끝.     끝. 끝. 돌아가다 b 

베르누이 수 적용

점근 분석

수학에서 베르누이 수들의 가장 중요한 적용은 오일러-매클로린 공식에서의 사용이다.f가 충분히 자주 미분 가능한 함수라고 가정하면, 오일러-맥라우린 공식은 다음과^[20] 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \sum _{k=a}^b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x),\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^-}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)+R_{-}(f,m).}$

이 공식은 B = -1/2로 가정한다⁻
₁.B⁺
₁ = +1/2 관례를 사용하면 공식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b(k)=\int _{a}^{b}f(x), sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^+}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)+R_{+}(f,m)}$

$여기$서${\displaystyle {}^{}}$f(${\displaystyle {0)}^{}}$ $=$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$ f$^{(0$)}=$f}($즉$,$ f {\$displaystyle$f}의 0차 도함수는 f$${\$displaystyle$ f$}$입니다).또한 f$)$ {{$style$ f$^{-1}}}$는 f$${\$display style$ f$\}$의 역도함수를 $나타낸다{\displaystyle {}^{}}$.미적분의 기본정리에 따르면,

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)}, f={(-1)}(b)-f^{(-1)}(a)}$

따라서 마지막 공식은 오일러-맥로린 공식의 다음과 같은 간결한 형태로 더욱 단순화할 수 있다.

${\displaystyle _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

이 형태는 예를 들어 제타 함수의 중요한 오일러-맥로린 확장을 위한 원천이다.

${\displaystyle {\displaystyle}\zeta&=_{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^+}{k!}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&=secfrac {B_{0}}{0!}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}}{2!}s^{\overline {1}+\cdots +R(s,m)\&=blac {1}{2}+{\frac {1}{12}s+\cdots +R(s,m)입니다.\end { aligned}}$

여기서^k s는 상승 요인 ^[21]검정력을 나타냅니다.

베르누이 숫자는 다른 종류의 점근팽창에도 자주 사용된다.다음은 디감마 함수 θ의 고전적인 푸앵카레형 점근팽창이다.

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

거듭제곱의 합계

베르누이 수는 첫 번째 n개의 양의 정수의 m제곱 합계의 닫힌 형태 표현에서 두드러지게 나타납니다.m, n ÷ 0의 경우

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

이 식은 항상 n(도 m + 1)의 다항식으로 다시 쓸 수 있습니다.이들 다항식의 계수는 베르누이 공식에 의해 베르누이 수와 관련된다.

${\displaystyle S_{m}(n)=subfrac {1}{m+1}{sum _{k=0}{m}{\binom {m+1}{k}B_{k}^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}{k!(m+1-k)!}},}$

여기서 ^{m + 1}
_k()는 이항 계수를 나타냅니다.

예를 들어 m을 1로 하면 삼각형 숫자 0, 1, 3, 6, ...을 얻을 수 있습니다.OEIS: A000217.

$({displaystyle 1+2+\cdots +n=snfrac {1}{2}+2B_{1}^{+}n^{1}=sntfrac {1}{2}{2}+n}).$

m을 2로 하면 정사각형 피라미드 숫자 0, 1, 5, 14, ...이 된다.OEIS: A000330.

$({displaystyle 1^{2}+\cdots +n^{2}=sq frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n^{1}=sq frac {3}{3})}$

일부 저자는 베르누이 수에 대한 대체 규칙을 사용하고 베르누이의 공식을 다음과 같이 기술한다.

${\displaystyle S_{m}(n)=sum frac {1}{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}B_{k}^{m+1-k}\sum_{k}.}$

베르누이의 공식은 때때로 힘의 합계를 계산하는 놀라운 방법을 발견한 요한 파울하버의 이름을 따서 포울하버의 공식이라고 불립니다.

Faulhaber의 공식은 V에 의해 일반화되었습니다.궈와 쩡이 q-analog로.^[22]

테일러 급수

베르누이 수는 많은 삼각함수와 쌍곡함수의 테일러 급수 확장에 나타납니다.

접선

${\displaystyle {displaystyle}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(-2n)}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left x\right &<\frac {pi }{2}\\end {aligned}}$

코탄젠트

${\displaystyle {{aligned}\cot x&{}=sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^2n}{(2n)}{(2n)}{{n}!}}},&\qquad 0< x <\pi .\end {aligned}}$

쌍곡선 탄젠트

${\displaystyle {{n=1}^{\infty}{\frac {2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)}{(2n)}}\;x^{2n-1}, x&<\frac {\pi }{2}}.\end { aligned}}$

쌍곡선 코탄젠트

${\displaystyle {\coth x&{}=sum _{n=0}^{\infty}{\frac {B_{2n}(2x)^2n}{(2n)}{(2n)}{(2n)}!}}}, &\qquad \qquad 0 < x < \pi . \end { aligned } }$

로랑 급수

베르누이 숫자는 다음과 같은 로랑 ^[23]시리즈로 나타납니다.

Digamma $함수{\displaystyle }$: ${\displaystyle )}$ ( ${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \ln }$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{z}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ k $=$ ${\displaystyle \frac{1_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ B ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ + $k$\ $psi$ ( z ) = \ $ln$ z $- sum$ _ { k$$= 1 }^{ \ $infty$} { \ $frac${ $B$_ { k$}^+$ { $kz }$}

토폴로지에서 사용

베르누이 수를 포함하는 결합 평행화 다양체의 이국적 (4n - 1) 구체의 미분동형성 등급의 순환 그룹의 순서에 대한 케르바-밀너 공식.ES를 n ÷ 2에 대해 이러한 이국적인 구체의 수로 하자_n.

$({displaystyle {textit {ES}}_{n}=(2^{n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator}\left\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

치수 4n의 매끄러운 방향의 닫힌 다양체의 L속에 대한 히르제브루흐 시그니처 정리도 베르누이 수를 포함한다.

조합 번호가 있는 연결

베르누이 수를 다양한 종류의 조합수로 연결하는 것은 유한 차이에 대한 고전적인 이론과 기본 조합 원리인 포함-배제 원리의 예로서 베르누이 수의 조합 해석에 기초한다.

Worpitzky 번호와의 접속

진행할 정의는 1883년 Julius Worpitzky에 의해 개발되었습니다.기초연산 외에 요인함수 n! 및 멱함수^m k만을 이용한다.부호 없는 Worpitzky 숫자는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

두 번째 종류의 스털링 번호를 통해서도 표현될 수 있다.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{n+1\display k+1}\right\}.}$

그 후 베르누이 수는 고조파 시퀀스 1, 1/2, 1/3, ...에 의해 가중된 워피츠키 수의 포함-제외합으로 도입된다.

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{k}{k+1}\=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}\sum _{v=0}^{k}{k+1}^{k}(-1)^{k}{k+1}\sum_{k}^{k}{k}{k}{k}{{n}}}}{n}}}{n}{n}}{k}}}{n}{k}}}}}{n}}}{}{k \choose v} \ . }$

B₀ = 1

B₁ = 1 - 1/2

B₂ = 1 - 3/2 + 2/3

B₃ = 1 - 7/2 + 12/3 - 6/4

B₄ = 1 - 15/2 + 50/3 - 60/4 + 24/5

B₅ = 1 - 31/2 + 180/3 - 390/4 + 360/5 - 120/6

B₆ = 1 - 63/2 + 602/3 - 2100/4 + 3360/5 - 2520/6 + 720/7

이⁺
₁ 표현은 B = +1/2입니다.

시퀀스_n s, n 0 0. Worpitzky의 번호 OEIS: A028246₁, OEIS: A163626을 s, s₀₁, s₂₀₁, s₂, s, s, s₀₃, ...에 적용한_0n 아키야마-타니가와 변환과 동일하다(첫 번째 스털링 번호의 접속 참조).이는 표를 통해 확인할 수 있습니다.

의 아이덴티티

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	- - 3			0	0	0	4	−4
1	- - 3	2				0	4	- ~ 10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	~24
1	-	50	- ~ 60	24

첫 번째 행은 s, s₁, s₂, s₃, s, s를₄ 나타냅니다₀.

따라서 두 번째 분수 오일러 수 OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1)의 경우:

E₀ = 1

E₁ = 1 - 1/2

E₂ = 1 - 3/2 + 2/4

E₃ = 1 - 7/2 + 12/4 - 6/8

E₄ = 1 - 15/2 + 50/4 - 60/8 + 24/16

E₅ = 1 - 31/2 + 180/4 - 390/8 + 360/16 - 120/32

E₆ = 1 - 63/2 + 602/4 - 2100/8 + 3360/16 - 2520/32 + 720/64

베르누이 수를 워피츠키 수로 나타내는 두 번째 공식은 n represent 1에 대한 것이다.

${\displaystyle B_{n}=paramfrac {n}{n+1}-2}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k},W_{n-1,k}.}$

한 두 번째 은 다음과 같다.

OEIS: A164555 (n + 1) / OEIS: A027642 (n + 1) = n + 1/2^{n + 2} - 2 × OEIS: A19 (n + 1)

두 번째 베르누이 숫자를 두 번째 분수 오일러 숫자와 연결한다. 시작은 '하다, 하다, 하다' 입니다.

1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, ...=(1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, ...) × (1, 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, ...)

첫 번째 괄호의 분자는 OEIS: A111701입니다(첫 번째 종류의 스털링 번호를 사용한 연결 참조).

의 스털링 ( 스털링 번호와의 연결

S(k,m)가 두 번째^[24] 종류의 스털링 번호를 나타내는 경우, 하나는 다음을 가진다.

$j^{k}={k}=\sum _{m=0}^{kj^{\underline {m}}}}{j^{\underline {m}S(k,m}}}}}}}S(k,m)$

여기서^m j는 하강 요인을 나타냅니다.

베르누이 다항식_k B(j)를 다음과 ^[25]같이 정의하는 경우:

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}S(k-1,m)m!B_{k}$

여기서_k, k = 0, 1, 2, ...에 대한 B는 베르누이 수이다.

그런 다음 이항 계수의 다음 속성을 따릅니다.

${ {{j} {m+1}-{\binom {j} {m+1}-{\binom {j} {m+1}-{\binom {j}-{m+1}}-{\binom {m+1}}$

있다, 있다.

$}{\displaystyle j^{k}=blac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}$

베르누이 ^[25]다항식에 대해서도 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}B_{n}j^{k-n}.}$

j in()^j
_{m + 1}의 계수는 (-1)/^mm + 1입니다.

베르누이 다항식의 두 식에서 j의 계수를 비교하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}}m)}{m+1}S(k,m)}$

(B = +1/2)은₁ 베르누이 수에 대한 명시적 공식이며 폰 슈타우트 클라우센 ^[26][27][28]정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

first 1 종종종종1 connect connect connect connect connect 。

제1종 []ⁿ
_m의 부호 없는 스털링 수와 베르누이 수(B₁ = +1/2)에 관련된 두 가지 주요 공식은 다음과 같다.

${frac {1}{m! \}\right]}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1\sum k+1}\right]B_{k}=blashfrac {1}{m+1}$

및 이 합계의 반전(n 0 0, m 0 0)

${frac {1}{m! \}\right]}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1\sum k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

여기서_n,m A는 아키야마 다니가와라는 유리수이며, 그 첫 번째 몇 개는 다음 표에 나와 있다.

번

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5
2	1/6	1/6	3/20
3	0	1/30
4	−1/30

아키야마-타니가와 수는 베르누이 수를 반복적으로 계산하기 위해 이용할 수 있는 단순한 반복 관계를 만족한다.그러면 위의 '알고리즘 설명' 섹션에 나와 있는 알고리즘으로 이어집니다.OEIS: A051714/OEIS: A051715 를 참조해 주세요.

자동수열은 서명된 수열과 동일한 역이항 변환을 갖는 수열입니다.주 대각선이 0 = OEIS: A000004인 경우, 자기 시퀀스는 제1종이다.예: OEIS: A000045, 피보나치 번호.주 대각선이 첫 번째 상부 대각선에 2를 곱한 경우 두 번째 종류입니다.예: OEIS: A164555/OEIS: A027642, 두 번째 베르누이 번호(OEIS: A190339 참조).2 = 1/OEIS: A000079에 적용되는⁻ⁿ 아키야마-타니가와 변환은 OEIS: A198631(n)/OEIS: A06519(n+1)로 이어진다.이 때문에,

수

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4
2	0	1/4	3/8
3	- 1/4	- 1/4
4	0

OEIS: A209308 및 OEIS: A227577을 참조하십시오.OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1)는 두 번째 (분수) 오일러 수이자 두 번째 종류의 자기수이다.

(OEIS: A164555 (n + 2) / OEIS: A027642 (n + 2) = 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, ...) × (2^{n + 3}/n + 2 = 3, 14/3, 15/2, 62/5, 21, ...) = OE:1986 A:

또한 OEIS: A027641 / OEIS: A027642(Worpitzky 번호와의 연결 참조).

파스칼의과의

파스칼의 삼각형을 베르누이^[c] 숫자와 연결하는 공식들이 있다.

${\displaystyle B_{n}^{+}=flac {A_{n}}{(n+1)!$

파스칼의 삼각형의 요소로 이루어진 n-by-n Hessenberg 행렬 부분의 어디에 n{\displaystyle A_{n}}을 결정하는:자세히 적, k={0만약 k입니다.;1+i(나는 + 1k− 1) 그렇지 않으면{\displaystyle a_{i,k}={\begin{경우}0&,{\text{만약}}k>, 1+i\\{i+1\choose k-1}&,{\text{oth.erwise}}\end{c$ases}}}$

::

$({displaystyle B_{6}^{+}=frac {det {pmatrix} 1&2&0&3&3&0&1&0&4&0\1&5&10&1&6&15&35}=frac }{}={4 스펙$

오일러 수 ⁿ
_mδ와 베르누이 수를 연결하는 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {displaystyle _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\slangle {n\contrac m}\right\rangle &=2^{n+1}(1){\frac {B_{n+1}{n+1}{{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}^{n}{n}{n}{n}{n}\end { aligned}}$

B 가 1/2 로 설정되어 있는 경우₁, 양쪽의 공식은 n 0 0 에 대해서 유효합니다.B가 -1/2로 설정되어 있는 경우₁, 각각 n 1 1과 n 2 2에 대해서만 유효합니다.

이진 트리 표현

스털링 다항식 δ_n(x)는 B = n!n_n!disc(1)에_n 의해 베르누이 숫자와 관련된다.S. C. Woon은 δ_n(1)를 이진 ^[29]트리로 계산하는 알고리즘을 설명했다.

Woon의 재귀 알고리즘(n 1 1)은 루트 노드 N = [1,2]에 할당하는 것으로 시작합니다.트리의 노드 N = [a₁, a₂, ..., a_k]일 때, 노드의 왼쪽 자식은 L(N) = [-a₁, a₂ + 1, a₃, ..., a_k]이고 오른쪽 자식은 R(N) = [a₁, 2₂, a, ..., a_k]입니다.노드 N = [a₁, a₂, ..., a_k]는 상기 트리의 초기 부분에서 ±[a₂, ..., a_k]로 표기되며, a의 부호를₁ 나타낸다.

노드 N이 주어지면 N의 계수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length}(N)}a_{k}!}$