미그레스

일반 위상수학에서, 미그레 집합()은 아래에 설명된 정확한 의미에서 작거나 무시할 수 있는 위상 공간의 부분 집합입니다.측정되지 않은 집합을 비측정 또는 두 번째 범주라고 합니다.다른 관련 용어의 정의는 아래를 참조하십시오.

고정 공간의 평균 부분 집합은 π-이상적인 부분 집합을 형성합니다. 즉, 평균 집합의 모든 부분 집합은 평균이고, 셀 수 없이 많은 평균 집합의 합은 평균입니다.

Meagre 집합은 함수 분석의 몇 가지 기본 결과의 증명에 사용되는 Baire 공간 및 Baire 범주 정리의 개념 공식화에 중요한 역할을 합니다.

정의들

$전체적$으로 X${displaystyle$ X$}$는 위상 공간이 됩니다.

Meagreset의 정의는${\displaystyle }$X의 $어디$에도 없는 $밀도$가 높은 부분 집합$, 즉$ 폐쇄가 내부가 비어 있는$X의$ 집합을 사용합니다.자세한 내용은 해당 문서를 참조하십시오.

X의 부분 집합을 .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}라고 하는데, X의 부분 집합이 어디에도 없는 밀도가 높은 부분 집합일 경우 X의 첫 번째 범주인 {\displaystyle X}의 부분 집합이다X의 led nonmeagre, X의 nonmeagre 부분 집합인 {\displaystyle X}, {\displaystyle}$X,}$ 또는$$ X$.{{displaystyle$ X$.}$의^[1] 두 번째 범주의 "$in{\displaystyle }$ X${displaystyle$X$\}"$ 한정자는 주변 공간이 고정되어 있고 맥락에서 이해되는 경우 생략할 수 있습니다.

위상 공간이 자신의 미량(각각 비미량) 부분 집합인 경우 미량(각각 비미량(각각 비미량)

X의 부분 집합 A({displaystyle X})는 X({displaystyle X})에서 콤마그레(comeagre) 또는 X({displaystyle X})에서 잔차({displaystyle X})라고 한다. (이 접두사 "co"의 사용은 "cofinite"와 같은 다른 용어에서의 사용과 일치한다.)부분 집합은 X에서 $각{\displaystyle }$ 내부가 밀도가 높은 집합의 계수 가능한 교차점과 동일한 경우에만 X$displaystyle$ X$}$에서 집합이 됩니다$.$

용어 해설

non-sumer와 come agreement의 개념은 혼동되어서는 안 됩니다.$공간{\displaystyle }$ X${displaystyle$ X$}$가 미거인 경우 모든 부분 집합은 미거 및 커미거이며 비미거 집합은 없습니다.$공간{\displaystyle }$X({$displaystyle$X})가$$ 비미거이고, 어떤 집합도 비미거와 코미거가 동시에 없으며, 모든 코미거 집합은 비미거 집합이며, 비미거 보완이 있는 비미거 집합이 있을 수 있습니다.아래 예제 섹션을 참조하십시오.

추가적인 용어로서, $위상$ 공간$$$X$의 $부분$ 집합$$A가$X$에서 유도된 부분 공간 위상이 주어진다면, 사람은 그것이 작은 공간, 즉 (그 자체로 위상 $공간$으로 간주될 때) 그 자체의 작은 부분 집합이라고 말할 수 있습니다.이 $경우{\displaystyle }$ A$({displaystyle$A$})$는 X({$displaystyle$X$\})$의 미미한 부분 공간이라고도 할 수 있으며, 이는 부분 공간 위상이 주어졌을 때의 미미한 공간을 의미합니다.중요한 것은 이 값이 전체 $공간{\displaystyle }$X({$displaystyle$ X$\})$에서 측정되는 것과 같지 않다는 것입니다. (둘 사이의 관계는 아래 속성 및 예제 섹션을 참조하십시오.마찬가지로, 비미거 부분 공간은 그 자체가 비미거인 집합이 될 것이며, 이는 전체 공간에서 비미거인 것과 같지 않습니다.그러나 위상 벡터 공간의 맥락에서 일부 저자는 전체 ^[2]공간에 대해 설정된 벡터 부분 공간을 의미하기 위해 "약간/비약간 하위 공간"이라는 문구를 사용할 수 있습니다.

첫 번째 범주와 두 번째 범주라는 용어는 르네 바이어가 ^[3]1899년 논문에서 사용한 원래의 범주입니다.이 ^[4][5]보잘것없는 용어는 1948년 부르바키에 의해 도입되었습니다.

예

빈 집합은 항상 모든 위상 공간의 닫힌 공간 밀도가 높은(따라서 빈약한) 부분 집합입니다.

비미거 $공간$에서 X$=$ ${\displaystyle [0,}$ 1 ]${\displaystyle \cup }$ (${\displaystyle }$[${\displaystyle 2,}$ 3] ${\displaystyle \cap }$$$ ) {\$displaystyle$$$X=[$0, 1]\cup ([2,$ 3$]\cap$ \$mathbb${Q$\})\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle 집합}$ [$2,$ ${\displaystyle 3]}$∩ ${\displaystyle$[2, $3]\cap$ \$mathbbb$ ${$$Q}$은 미거입니다.집합${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ $]$ {{$displaystyle [0,1]}$이(가) non-megree이고 일치합니다.

비미거 $공간{\displaystyle }$ X $=$ [${\displaystyle 0,2}$] {\$displaystyle$ X=[$0, 2]}$에서 집합${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ $]$ 표시$스타일$ [$0, 1]$은 비미거 공간입니다.그러나${\displaystyle }$그것은 그것의 ${\displaystyle \mathrm{보어}}$ (${\displaystyle 1,}$ 2$)$ {{$displaystyle (1,$ 2)} 또한$$ 미미하기 때문에 그리 크지 않습니다.

고립점이 없는 카운트 가능한₁ T 공간은 미량입니다.그래서 그것은 또한 부분 공간으로 포함되는 모든 공간에서 작습니다.$예$를 들어, Q${$는$$R{$displaystyle$ $\mathbb$ {R$}($$즉,$ R${$displaystyle $\mathbb$ {$R$$}$에서 유도된 부분 공간 위상과 함께 그 자체로 미어짐)인 동시에 R$.({$displaystyle $\mathbb {$R})의 $단순{\displaystyle \mathbb{}}$ 부분 공간입니다$.$

칸토어 집합은 $({displaystyle$ \$mathbb${R$$$})$에서 어느 곳에서도 밀도가$$높지 $않으므로$ R$({displaystyle \mathbb$ {R$$$})$에서는 미미하지만, 완전한 메트릭 공간이기 때문에 그 자체는 미미합니다.

집합${\displaystyle ([0,1}$ ]${\displaystyle \cap Q\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle \cup }$ {${\displaystyle 2}$ $}$ {\$displaystyle$$$([$0,$ 1$]\cap$ \mathbb ${Q$$})$ \$cup$\{2$\}$은$($는) R ${{displaystyle$\mathbb {$R$$\}$에서 어느 곳에서도 밀도가 높지 않지만$,$ R \$mathbbb{$$R$$\}$에서는 미미합니다. (부분 공간에 고립된 점이 포함되어 있기 때문에).

$선{\displaystyle \mathbb{}}$R${\displaystyle }$× {$}$ {{$displaystyle \mathbb {R}$ \$times$\{$0\}}$은 $평면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$에서 측정됩니다$.$ {{$displaystyle \mathbb {R}$^{$2}}$ 그러나$$ 그것은 측정되지 않는 부분 공간, 즉 그 자체입니다.

$집합{\displaystyle }$ S $=$ (${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times Q\mathbb{}}$ )$$ (${\displaystyle R\mathbb{}}$× { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ) {\$displaystyle$ S=(\$mathbb {Q} \times$ \$mathbb$ {$Q}$) \$cup$(\$mathbb${$R$$}$ \$times$\{$0$$\})$은 ${\displaystyle {}^{}}$의$작은$ 부분 $집합{\displaystyle \mathbb{}}$ R${\displaystyle }$× 0 \$mathbbbb{R}$$}$임에도$$ 불구하고 \$mathbetimesubspace$는 \times이다$.$${$은(는) 단순한 위상 ^[6]공간이 아닙니다.고립점이 없는 하우스도르프 카운트 공간은 미량인 반면 고립점을 포함하는 위상 공간은 ^[6]미량입니다.합리적인 숫자는 셀 수 있기 때문에 실수의 부분 집합으로서 그리고 공간으로서 미미합니다. 즉, 그것들은 바이어 공간을 형성하지 않습니다.

고립점을 포함하는 모든 위상 공간은 비미거^[6](비미거)입니다. 고립점을 포함하는 집합은 밀도가 높을 수 없기 때문입니다.특히, 비어 있지 않은 모든 이산 공간은 비미거입니다.

모든 비어 있지 않은 열린 집합을 두 개의 비미거 집합으로 나누는 실수$R$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 H${displaystyle$$H}$가 있습니다.즉, 비어 있지 않은 모든 열린 $집합{\displaystyle }$ U ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$\\$displaystyle$ U$\subseteq \mathbb {R$에 대해, $집합{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ H \$displaystyle$U\$cap$ H$}$와 ${\displaystyle U}$ $∖$ H \$displaystyle$U\$setminus$ H는$$ 둘 다 비정상입니다.

균일 수렴 위상을 갖는 [0, 1]의 연속 실값 함수들의 공간 C([0, 1])에서, [0, 1]의 연속 실값 함수들의 집합 A([0, 1])는 어느 시점에서 도함수를 갖는, [0, 1]의 연속 실값 함수들의 집합 A({displaystyle A})이다.[7][7][8]C${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,1}$]$$) {{$displaystyle$ C$([0, 1])}$는 완전한 메트릭 $공간$이므로 비미거입니다.따라서 [$],$ {{$displaystyle$$$$[0,$1], {\displaystyle [0, 1$]$에${\displaystyle }$대한 연속적인 실제 값 nonehere 미분 가능 함수로 구성된$$A{$displaystyle$A}의 $보완$은 대수롭지 않게 됩니다.특히 해당 집합은 비어 있지 않습니다.이것은 어디에서도 구별할 수 없는 연속 함수의 존재를 보여주는 한 가지 방법입니다.

특성화 및 충분한 조건

비어 있지 않은 모든 Baire 공간은 비정상입니다.특히, Baire 범주 정리에 따르면 비어 있지 않은 모든 완전한 메트릭 공간과 비어 있지 않은 로컬 콤팩트 하우스도르프 공간은 비미거입니다.

모든 Baire 공간은 비척도이지만 Baire ^[6]공간이 아닌 비척도 공간이 있습니다.하우스도르프 국소 콤팩트 공간뿐만 아니라 완전한 (의사)^[6] 메트릭 공간은 바이어 공간이기 때문에 비미거 공간이기도 합니다.

측정 집합의 모든 부분 집합은 계산할 수 있는 많은 측정 ^[9]집합의 결합과 마찬가지로 측정 집합입니다.$만약{\displaystyle }$h : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ h$:X\to$ X$}$가 동형이라면, 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}${\$displaystyle$S \$subseteq$X$$${\displaystyle \}}$는 h ($S)$ {\$displaystyle h($S$$)}가 ^[9]작은 $경우$에만 측정됩니다.

모든 곳에서 밀도가 높은 부분 집합은 빈약한 ^[9]집합입니다.따라서$$X의 $내부$가 비어 있는 X${$$displaystyle$ X$}$의 닫힌 부분 집합은 X${displaystyle$ X$}$의 첫 번째 범주에 속합니다(즉, X${displaystyle$ X$}$의 $미미한{\displaystyle }$ 부분 집합입니다).

바나흐 범주^[10] 정리에 따르면,${\displaystyle }모든{\displaystyle }$ 공간$X$, \"$displaystyle$ X$,\"$ 첫$$ 번째 범주의 열린 집합의 카운트 가능한 집합의 결합은 첫 번째 범주에 속합니다.

평균 집합의 모든 부분 집합과 모든 카운트 가능한 결합은 미량입니다.따라서 고정 공간의 보잘것없는 부분 집합은 무시할 수 있는 집합의 적절한 개념인 부분 집합의 π-이상을 형성합니다.모든 초집합과 카운트 가능한 교차점 집합은 일치합니다.비미거 집합의 모든 수퍼 집합은 비미거 집합입니다.

A ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ⊆ $,$ {{$displaystyle$ A$\subseteq$ Y$\subseteq$ X$$$,$ $여기$서$$Y {\$displaystyle$ Y$$$}$가 X$.$ {{$displaystyle$ X$.}$에서 유도된 부분 공간 위상을 가지고 $있다고{\displaystyle }$ 가정합니다$$. 단,$집합{\displaystyle }$ A {\displaystyle A$$$}$는${\displaystyle }Y$에서$$측정되지 않고 $X$에서 측정될 수 있습니다. $그러나$ ^[5]다음 결과는 유지됩니다.

• A$({displaystyle$A})가$$ Y$({displaystyle$ Y$})$에서 미계인 $경우{\displaystyle }$$,$ A({$displaystyle$ A$$$})$는${\displaystyle }$X({$displaystyle$X)에서 미계입니다$.$
• X에서${\displaystyle }Y{\displaystyle }$$($$디스플레이$ 스타일 Y$)$가 열려 있는 $경우{\displaystyle }$,$$X${\displaystyle (\{}$디스플레이 $스타일$ X$})$에서 A({$디스플레이$ $스타일$ A$$})가 작은 $경우$에만$$Y({$디스플레이$ $스타일$ Y$)$에서$$A({$디스플레이$ 스타일 A$})$가 작은 것입니다$.$
• $Y$가${\displaystyle }X$에서 밀도가 높은 $경우$$({$$displaystyle$$$Y$}),$ X에서 $밀도$가 낮은 경우${\displaystyle (\{}$$displaystyle$A$}),$ X에서 밀도가 낮은 $경우{\displaystyle }$({$displaystyle$$$X$})$에만 Y에서 $측정$됩니다$.$

또한 비측정 세트의 경우에는 다음과 같습니다.

• A$({displaystyle$A})가$$ X$({displaystyle$ X$})$에서 측정되지 않는 $경우{\displaystyle }$ $({displaystyle$A})는$$ Y$({displaystyle$ Y$})$에서 측정되지 않는 것입니다.
• Y${\displaystyle \{}$$displaystyle$ Y$}$가 X${\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle$ X$}$에서 열려 있는 $경우{\displaystyle }$, X에서 $A{\displaystyle }$${$$displaystyle$ A$}$가 비측정인 $경우$에만 Y${\displaystyle$ Y$}$에서 비측정인 것입니다$.$
• $Y$가${\displaystyle }X$에서 밀도가 높은 $경우{\displaystyle }$({$displaystyle$$$Y${\displaystyle \}),}$$$X에서 $밀도$가 낮은 경우({$displaystyle$A}), X에서 밀도가 낮은 경우({$displaystyle$$$X$}$인 $경우{\displaystyle }$)에만$$Y에서 밀도가 낮은 A({$displaystyle$ A$})$입니다$.$

특히, X${displaystyle$ X$}$의 $모든{\displaystyle }$ 부분 집합 자체가${\displaystyle }X$에서 미량입니다$.$ X{$displaystyle$ X}에서 미량인$X$의 모든 부분 집합은 그 자체로 미량인 X${displaystyle$ X$}$에서 미량인 X의 모든 부분 집합은 미량입니다.그리고${\displaystyle }$X의 $열린{\displaystyle }$ 집합이나 조밀한 집합의 경우$,$$$$X$에서 $미거$가 되는$$ 것은 그 자체로 미거인 것과 같고, 비미거 속성에 대해서도 유사합니다.

위상 $공간{\displaystyle }$X({$displaystyle$$$X$})$는 X({$displaystyle$X})에서 밀도가 높은 열린 집합의 모든 계수 가능 교차점이 ^[11]비어 있지 않은 경우에만 비미거 공간입니다.

계수 집합의 모든 초집합은 계수 집합의 계수 가능한 결합이 계수 가능하기 때문에 계수 가능한 다수의 계수 집합의 교차점과 마찬가지로 일치합니다.

특성.

국소적으로 볼록하지 않은 위상 벡터 공간은 막대형 ^[6]공간입니다.

$X의$$어느{\displaystyle }$ 곳에서도 밀도가 높은 부분 집합은 모두 미미합니다$.$결과적으로 내부가 비어 있는 닫힌 부분 집합은 모두 미미합니다.따라서 X${displaystyle$ X$}$의 두 번째 범주에 속하는 X${$$displaystyle$$$X}의 닫힌 부분 집합은 X${displaystyle$ X$}$^[12]의 내부가 비어 있지 않아야 합니다(그렇지 않으면 밀도가 어느 곳에도 없으므로 첫 번째 범주의 내부가 됩니다).

만약 B⊆ X{displaystyle B\subseteq X}가 X{displaystyle X}의 두 번째 범주에 속하고, 만약 S1, ...S2, S_{2}인 경우, S1 ∪ S2 ⋯ S2 ∪ S2와 같은 X{displaystyle X}의 하위 집합은 적어도 S2의 범주에 속한다면, SCUP의 하나이다$yle X.}$

부분 집합 평균 및 르베그 측도

Lebegue 양의 ^[6]측도를 갖는 조밀 부분 집합(따라서 조잡한 부분 집합)이 없습니다.

R${$에 설정된 Meagrees는 Lebegue 측정값이 0일 필요가 없으며 전체 측정값을 가질 수도 있습니다.예를 들어, 스미스-볼테라-칸토어 집합처럼 [0,1] 구간에서 지방 칸토어 집합은 밀도가 높은 곳에서 닫히고 임의로 1에 가까운 척도로 구성될 수 있다 $]$ {{$displaystyle [0,1]}$ 표시$$($측정값{\displaystyle \mathrm{}}$1$.{displaystyle$ 1$.})$

측정값이 0인 비측정 세트가 있을 수 있습니다.[0, 1] (예를 들어, 이전 단락의 측정값)에서 측정값 1의 임의의 측정값 1({displaystyle 1})의 보완값은 0(displaystyle 0)이고, [0, 1], [0, 1], [0, 1](0, 1)에서 측정값이 일치하므로, [0, 1] 이후의 측정값 1(0, 1)에서 측정값 1(baire space)이다.

다음은 $측정값$이$0인$$$R{$displaystyle \$$mathbb {R}$에 설정된 비측정값의 다른 예입니다$.$

$여기$서 ${\displaystyle {r1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {r2\mathrm{}}_{},}$…{{$displaystyle r_{1}, r_{2},\ldots}$는 유리수를 열거하는 시퀀스입니다.

보렐 계층과의 관계

아무 곳도 없는 조밀 부분 집합을 닫을 필요는 없지만 항상 아무 곳도 없는 조밀 부분 집합(즉, 닫힌 $부분$ 집합)에 포함되는 것처럼, 미거 집합이 F$$ ${\sigma$} 집합$$(닫힌 집합의 계수 결합)$일{\displaystyle {}_{}}$ 필요는 없습니다.$그러나{\displaystyle {}_{}}$ 항상 F$$ {\$displaystyle F_{\sigma}$ 집합에$$ 포함됩니다(각 집합의 닫힘을 취함).

두 번째로, 어디에도 없는 조밀 집합의 보완이 개방될 필요가 없고, 밀집된 내부(밀집 개방 집합 포함)를 가지고 있는 것처럼, 코미그레 집합은 $G{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\delta }_{}}$ ${\delta }$ 집합일 필요가 없고, 밀집된 개방 집합으로 형성된 $조밀$한 G$$δ ${\delta }$ 집합을$$ 포함합니다.

바나흐-마주르 게임

미그레 세트는 바나흐-마주르 게임 측면에서 유용한 대체 특성을 가지고 있습니다.Y를 위상 공간으로 하고, W를 Y의 부분 집합으로 하여, 모든 비어 있지 않은 열린 집합이 W에 속하는 부분 집합을 가지며, X가 Y의 부분 집합이 Y의 어떤 부분 집합이 되도록 한다.Displaystyle Y의 부분 집합이다$($ ${\displaystyle Y,W\mathcal{}}$)$$. ({표시 $스타일$ MZ($X, Y,$ {\$mathcal$ {$W}).$} 바나흐-마주르 게임에서 P(디스플레이 스타일 P)와 Q(디스플레이 스타일 Q)는 P(디스플레이 스타일 P)의 교차점에서 P(디스플레이 스타일 P) 플레이어가 승리하면 연속적으로 W({mathcal {W})의 더 작은 요소를 선택하여 시퀀스 W(1 ⊇ W2 ⊇ W3 ⋯ W)를 생성한다시퀀스에 X${displaystyle$ X$\}$에 포인트가 포함되어 있습니다. 그렇지 않으면 $플레이어$ Q$(displaystyle$ Q$)$가 승리합니다.

에르도스-시에르핀스키 이중성

평균 집합에 대한 많은 인수는 Lebegue measure 0의 집합과 같은 null 집합에도 적용됩니다.에르도스-시에르핀스키 이중성 정리는 연속체 가설이 유지된다면, 실수 집합의 이미지가 빈약한 집합인 실제에서 실제로의 혁명이 있고,^[14] 그 반대도 있다고 말합니다.사실, 지도 아래의 실제 집합의 이미지는 원래 집합이 미량인 경우에만 null이고,^[15] 그 반대의 경우에도 null입니다.

참고 항목

• 막대형 공간 – 위상 벡터 공간 유형
• 일반 특성 – 일반적인 예에 대한 특성 보유(아날로그 잔차에 대한 특성 보유)
• 무시할 수 있는 집합 – 대수롭지 않은 것으로 간주되는 수학적 집합, 아날로그-미거의 경우
• Baire 속성 – 약한 집합에 의한 열린 집합의 차이

메모들

서지학

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