비분석적 매끄러운 기능

수학에서 평활함수(무한하게 다른 함수라고도 함)와 분석함수는 매우 중요한 두 가지 유형의 함수다.실제 논쟁의 어떤 분석적 기능이 부드럽다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.그 반대는 아래 백범례를 통해 증명된 바와 같이 사실이 아니다.

콤팩트한 지지를 받는 부드러운 기능의 가장 중요한 적용 중 하나는 로랑 슈와르츠의 분포 이론과 같이 일반화된 기능의 이론에 중요한 이른바 몰리어의 구축이다.

부드럽지만 분석적이지 않은 기능의 존재는 미분 기하학과 분석 기하학의 주요한 차이점 중 하나를 나타낸다.피복 이론의 관점에서, 이 차이는 다음과 같이 진술할 수 있다: 분석적 사례와 대조적으로, 서로 다른 다지관의 서로 다른 기능의 피복은 미세하다.

아래 기능은 일반적으로 서로 다른 다지관에 통합의 파티션을 구축하는 데 사용된다.

예제 함수

함수의 정의

함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)={\case}e^{-{\frac {1}{1}{x}}&{\text{{if}}}{{x},\0&{\text}{{{}if{}x\leq 0,\case}}}}}}$

모든 실수 x에 대해 정의된다.

기능이 부드럽다.

f함수는 실제 라인의 모든 포인트 x에서 모든 주문의 연속적인 파생상품을 가지고 있다.이러한 파생상품의 공식은

${\displaystyle f^{n}(x)={\p_{n}(x)}{x^{2}}:\x^{n}}\,f(x)&{\text{}{}}}}}{x>0,\0&\text{}{}}}}}}}}}}}}}}}*x\x\leq,\case{case}$

여기서 p_n(x)는 p₁(x) = 1로 반복적으로 주어진 n - 1의 다항식이다.

${\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}$

모든 양의 정수 n에 대해이 공식에서 파생상품이 0으로 연속된다는 것은 완전히 명확하지 않다. 이는 일방적 한계에서 비롯된다.

${\displaystyle \lim_{x\prow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}{x^{m}}=0}$

음수가 아닌 정수 m에 대해.

기능이 분석되지 않음

앞에서 본 바와 같이 f함수는 매끄러우며, 원점에서의 모든 파생상품은 0이다.그러므로, 원점에 있는 테일러의 f 시리즈는 제로 함수로 모든 곳에 수렴된다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {0}{n!}}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathb {R},}$

따라서 Taylor 시리즈는 x > 0의 f(x)와 같지 않다.따라서 f는 원점에서 분석되지 않는다.

원활한 전환 기능

함수

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathb {R},}$

실제 라인의 모든 곳에 엄격히 양의 분모가 있으므로 g 또한 매끄럽다.또한, g(x) = x ≤ 0의 경우 0이고 g(x) = 1 x ≥ 1의 경우 1이므로, 단위 간격의 레벨 0에서 레벨 1로 부드러운 전환을 제공한다 [0, 1].실제 간격 [a, b]에서 <b>로 부드럽게 전환하려면 기능을 고려한다.

${\displaystyle \mathb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}{\Bigr )}.}$

실수의 경우, a < b < c < d, 평활함수

${\displaystyle \mathb{R} \ni x\mapsto g{\bigl (}{b-a}{\bigr )}\,g{\bigl (}{\frac {d-x}{d-c}{\Bigr )}}}}}}}}}}$

닫힌 간격[b, c]의 1과 같으며 열린 간격(a, d)을 벗어나 사라지기 때문에 범프 함수의 역할을 할 수 있다.

어디에서도 실제 분석되지 않는 부드러운 기능

어느 지점에서나 분석되지 않는 무한히 다른 함수의 병리학적 예는 다음과 같은 푸리에 시리즈를 사용하여 구성할 수 있다.A := { 2ⁿ : $n{\displaystyle \mathbb{}}$ ∈ N ${\$을(를) 2의 모든 검정력 집합으로 하고, 모든 x ∈ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 정의하십시오$.$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in A}e^{-{\sqrt{k}}\cos(kx)\.}$

이후 이 시리즈 ∑ k∈ e− kkn{\displaystyle \sum_{Ak\in}e^{-{\sqrt{k}}}k^{n}}모든 n∈ N{\displaystyle \mathbb{N}에}전진, 이 기능 쉽게 수업 C∞의, 바이어 슈트라스 M-판정 법의 표준 유도 응용 프로그램 derivati의 각 시리즈의 평등 수렴을 보여 주기 위해 보인다.ves. 더욱이, of의 모든 dynadious 합리적 배수의 경우, 즉 p ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 및$$ q ∈ A의 모든 x := π/ ^p_q에 대해, 그리고 파생 n ∈ A, n ≥ 4 및 n > q의 모든 순서에 대해 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle F^{(n)}(x):=\sum _{k\in A}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}\cos(kx)=\sum _{k\in A \atop k>q}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}+\sum _{k\in A \atop k\leq q}e^{-{\sqrt {k}}}k^{n}\cos(kx)\geq e^{-n}n^{2n}+O(q^{n})\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

여기서 cos(kx) = 모든 k > q에 대해 1이라는 사실을 사용했고,${\displaystyle }k{\displaystyle }$ = n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$그 결과, 그러한 x ∈ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 용어로 아래로부터의 첫 번째 합을 제한했다.

${\displaystyle \limsup _{n\to \inflt }\왼쪽({\frac { F^{(n)}(x) }{n!}}}}^{1/n}=+\큰 \...}$

Taylor 시리즈 F x의 수렴 반경이 Cauchy-Hadamard 공식에 의해 0이 되도록 한다.함수의 분석성 집합은 공개 집합이고, 다이디치 합리성은 밀도 있기 때문에, $우리$는 R ${\$에서 F는 아무 곳에서도 분석되지 않는다고 결론짓는다$.$

Taylor 시리즈 적용

실제 또는 복잡한 숫자의 모든 시퀀스 α₀, α₁, α₂, .에 대해, 다음 구성은 이러한 숫자를 원점에서 파생상품으로 가지고 있는 실선에 매끄러운 함수 F의 존재를 보여준다.^[1]특히 숫자의 모든 순서는 부드러운 함수의 테일러 시리즈의 계수로 나타날 수 있다.이 결과는 에밀 보렐의 뒤를 이어 보렐의 보조정리법으로 알려져 있다.

위와 같이 부드러운 전환 함수 g를 사용하여 정의하십시오.

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x)\qquad x\in \mathb {R}.}$

이 함수 h는 또한 부드럽다. 이 함수는 닫힌 간격[-1,1]에서 1과 같으며 열린 간격(-2,2) 밖으로 사라진다.h를 사용하여 모든 자연수 n (0 포함)에 대해 평활 함수를 정의하십시오.

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x)\qquad x\in \mathb {R},}$

이 값은 [-1,1]의 단일 x에ⁿ 동의하고 간격(-2,2)을 벗어나 사라진다.따라서 원점에서의 derivative의_n k번째 파생상품은 충족된다.

${\displaystyle \property _{n}^{n(k)}(0)={\reason{case}n!&{\text{{{\k=n,\0&{\text{otherwise,}}\end{case}}\case}\n\in \mathb {N}_{0},}$

그리고 경계성 정리는 ψ과_n ψ의_n 모든 파생상품이 경계됨을 암시한다.따라서 상수는

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1, \alpha _{n} ,\ \psi _{n}\ _{\infty },\ \psi _{n}^{(1)}\ _{\infty },\ldots ,\ \psi _{n}^{(n)}\ _{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

ψ의_n 우월적 규범과 그것의 첫 번째 n개의 파생상품은 잘 정의된 실제 수이다.축척 함수 정의

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}{n!\,\lambda _{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathb {0}.$

연쇄 규칙을 반복적으로 적용하면

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

k번째_n 파생상품인 0의 이전 결과를 이용하여

${\displaystyle f_{n}^{n}^{(k)}(0)={\begin{case}\alpha _{n}{n}{n}\text{{n}{n}{n}}{n}{n}}{n}\cext{n}}}}}{n}}}}{n}.}$

그 기능이 아직 남아 있다는 것을 보여 준다.

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\nf_{n}(x),\qquad x\in \mathb {R},}$

정의가 잘 되어 있으며 기간별로 무한히 여러 번 구분할 수 있다.^[2]이를 위해 모든 k에 대해 관찰하십시오.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\ f_{n}^{(k)}\ _{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac { \alpha _{n} }{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\ \psi _{n}^{(k)}\ _{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac { \alpha _{n} }{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\ \psi _{n}^{(k)}\ _{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

여기서 나머지 무한 시리즈는 비율 테스트에 의해 수렴된다.

상위 차원에 대한 적용

모든 반경 r > 0에 대해,

${\displaystyle \mathb {R}^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\x\{2})}$

유클리드 노먼 x는 반경 r의 볼에 지지대를 두고 n차원 유클리드 공간의 부드러운 기능을 정의하지만, ( )> ${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0$

복합분석

이 병리학은 실제 변수보다는 복잡한 변수의 서로 다른 기능을 가지고 발생할 수 없다.실제로 모든 홀로모르픽 함수는 분석적이기 때문에 본 문서에서 정의한 함수 f가 무한히 다른데도 불구하고 분석될 수 있는 기능 f의 실패는 실제 변수와 복합 변이 분석 사이의 가장 극적인 차이 중 하나를 나타내는 것이다.

함수 f는 실제 선에 걸쳐 모든 주문의 파생상품을 가지고 있지만, 양의 하프라인 x > 0에서 복잡한 평면까지 f의 분석적 연속성, 즉 함수라는 점에 유의한다.

${\displaystyle \mathb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathb {C},}$

원점에 본질적인 특이점을 가지고 있고, 따라서 연속적이지도 않고, 훨씬 덜 분석적이다.위대한 피카르 정리(Picard organization)에 의해 모든 복잡한 값(제로를 제외)을 기원의 모든 이웃에서 무한히 여러 번 획득한다.

참고 항목

• 범프 함수
• 파비우스 함수
• 평탄함수
• 몰리퍼

메모들

외부 링크

• "Infinitely-differentiable function that is not analytic". PlanetMath.